5.3.1函數(shù)的單調(diào)性（第一課時）（課件）高二數(shù)學(xué)課件（人教A版2019選擇性）

函數(shù)的單調(diào)性（1-2）函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間G上，當(dāng)x1、x2∈D且x1＜x2時函數(shù)單調(diào)性判定單調(diào)函數(shù)的圖象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，則f(x)在D上是增函數(shù)；2）都有f(x1)＞f(x2)，則f(x)在D上是減函數(shù)；若f(x)在D上是增函數(shù)或減函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)則f(x)在D上具有嚴(yán)格的單調(diào)性。D稱為單調(diào)區(qū)間D=(a,b)一、復(fù)習(xí)引入:判斷函數(shù)單調(diào)性有哪些方法？例如：判斷函數(shù)的單調(diào)性。xyo函數(shù)在

上為

函數(shù)，在

上為

函數(shù)。圖象法定義法減增如圖：3).變形5).結(jié)論4).

判斷正負(fù)2).

作差判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：1).取

值復(fù)習(xí)引入回顧用定義法證明單調(diào)性的步驟？我們先來研究前面學(xué)習(xí)過的高臺跳水問題.思考?圖(1)是某高臺跳水運(yùn)動員的重心相對于水面的高度h隨時間t變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+4.8t+11的圖像.htOh(t)=-4.9t2+4.8t+11vtOv(t)=-9.8t+4.8運(yùn)動員從起跳到最高點(diǎn)，及從最高點(diǎn)到入水這兩段時間的運(yùn)動狀態(tài)有什么區(qū)別？如何從數(shù)學(xué)上刻畫這種區(qū)別？(1)從起跳到最高點(diǎn),運(yùn)動員的重心處于上升狀態(tài),離水面的高度h隨時間t的增加而增加,即h(t)是單調(diào)遞增.相應(yīng)的v(t)=h′(t)>0.觀察圖像可以發(fā)現(xiàn):運(yùn)動員從起跳到最高點(diǎn)，及從最高點(diǎn)到入水這兩段時間的運(yùn)動狀態(tài)有什么區(qū)別？如何從數(shù)學(xué)上刻畫這種區(qū)別？(1)從起跳到最高點(diǎn),h(t)是單調(diào)遞增,v(t)=h′(t)>0.觀察圖像可以發(fā)現(xiàn):(2)從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動員的重心處于下降狀態(tài)，離水面的高度h隨時間t的增加而減小，即h(t)是單調(diào)遞減.相應(yīng)地，v(t)=h'(t)<0.

思考?我們看到，函數(shù)h(t)的單調(diào)性與h′(t)的正負(fù)有內(nèi)在聯(lián)系.那么，我們能否由h′(t)的正負(fù)來判斷函數(shù)h(t)的單調(diào)性呢？

當(dāng)t∈(a,b)時，h′(t)<0，函數(shù)h(t)的圖象是“下降”的，函數(shù)h(t)在(a,b)上單調(diào)遞減.

對于高臺跳水問題，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)t∈(0,a)時，h′(t)>0，函數(shù)h(t)的圖象是“上升”的，函數(shù)h(t)在(0,a)上單調(diào)遞增；這種情況是否具有一般性呢？觀察！觀察下面一些函數(shù)的圖象,探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系.解析：圖(1)中，f′(x)=1>0，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).圖(3)中，f′(x)=3x2≥0，函數(shù)f(x)是增函數(shù).圖(2)中，f′(x)=2x，x<0時,f′(x)<0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù)；x>0時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)是增函數(shù).xyOy=f(x)如圖，導(dǎo)數(shù)f′(x0)表示函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率.可以發(fā)現(xiàn)：在x=x0處,f′(x0)>0,切線是“左下右上”的上升式,函數(shù)f(x)的圖象也是上升的,函數(shù)f(x)在x=x0附近單調(diào)遞增;在x=x1處,f′(x1)<0,切線是“左上右下”的下降式,函數(shù)f(x)的圖象也是下降的,函數(shù)f(x)在x=x0附近單調(diào)遞減.一般地，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)之間具有如下的關(guān)系：在某個區(qū)間(a,b)上，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增；在某個區(qū)間(a,b)上，如果f′(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.

思考?

如果在某個區(qū)間上恒有f′(x)=0，那么函數(shù)f(x)有什么特性？

如果在區(qū)間I上恒有f′(x)=0,那么對于I上任意一點(diǎn)(x0,f(x0)),函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率為0,從而函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是常數(shù)函數(shù),即f(x)=C(C為常數(shù)).f′(x)的正負(fù)f(x)的單調(diào)性f′(x)>0f′(x)<0函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系課堂探究這是一個充分不必要的結(jié)論

注意單項(xiàng)箭頭所以，函數(shù)f(x)=x3+3x在R上單調(diào)遞增，如圖所示.解：(1)因?yàn)閒(x)=x3+3x,

所以f′(x)=3x2+3=3(x2+1)>0.xyOf(x)=x3+3x所以，函數(shù)f(x)=sinx-x在(0,π)上單調(diào)遞減，如圖所示.

(2)因?yàn)閒(x)=sinx-x,x∈(0,π),所以f′(x)=cosx-1<0.xyOf(x)=sinx?x1xyO1練習(xí):(1)函數(shù)f(x)=x2?4lnx在定義域上的單調(diào)性是(

)A.先增后減 B.先減后增 C.單調(diào)遞增 D.單調(diào)遞減分析:求f'(x),分別解不等式f'(x)>0和f'(x)<0即可得單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間,從而判斷函數(shù)的單調(diào)性;

解:∵y'=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.

對于C,當(dāng)x∈(π,2π)時,sinx<0,y′>0,函數(shù)單調(diào)遞增,故C符合題意;

對于D,當(dāng)x∈(0,π)時,sinx>0,y′<0,函數(shù)單調(diào)遞減,故D不符合題意.故選C.

令m(x)=ex?(x+1)(x>?1),則m'(x)=ex?1,由m'(x)=0,得x=0,

當(dāng)x∈(?1,0)時,m'(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時,m'(x)>0.所以m(x)在(?1,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

所以m(x)≥m(0)=e0?1=0,即f'(x)≥0,所以f(x)在(?1,+∞)上是增函數(shù),即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,+∞).故選A.

函數(shù)

的圖象如圖所示,試畫出導(dǎo)函數(shù)

圖象的大致形狀y=f(x)xyOabc例題解析

函數(shù)

的圖象如圖所示,試畫出導(dǎo)函數(shù)

圖象的大致形狀Oabxyy=f(x)xyOabcc例題解析1．在導(dǎo)函數(shù)圖象中，x軸上方的圖象所對應(yīng)的區(qū)間對應(yīng)原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即“正則增”；反之，若原函數(shù)單調(diào)遞增，則導(dǎo)函數(shù)圖象在x軸上方，即“增則正”．2．在導(dǎo)函數(shù)圖象中，x軸下方的圖象所對應(yīng)的區(qū)間對應(yīng)原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，即“負(fù)則減”；反之，若原函數(shù)單調(diào)遞減，則導(dǎo)函數(shù)圖象在x軸下方，即“減則負(fù)”．由導(dǎo)函數(shù)的圖象或信息畫原函數(shù)的大致圖象(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能是(

)D

利用單調(diào)性比較大小1．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，若a<c<d<b，則f(c)____f(d).2．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，若a<c<d<b，則f(c)____f(d).<

>B[解析]

由題意知[f(x)g(x)]′>0，即f(x)g(x)的導(dǎo)數(shù)在R上大于0，從而f(x)g(x)在R上是增函數(shù)．因?yàn)閍>b，所以f(a)g(a)>f(b)g(b).ABC函數(shù)的單調(diào)性（2）

1.鞏固對“函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)之間的關(guān)系”的理解2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

學(xué)習(xí)目標(biāo)二、探究新知[大本例1]

求函數(shù)f(x)＝x2e－x的單調(diào)區(qū)間．一般情況下，我們可以通過如下步驟判斷函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性：第一步，確定函數(shù)的定義域；第二步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；第三步，用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．二、探究新知一般情況下，我們可以通過如下步驟判斷函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性：第一步，確定函數(shù)的定義域；第二步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；第三步，用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．一般情況下，我們可以通過如下步驟判斷函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性：(1)求函數(shù)的定義域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；解集即為f(x)的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間;1、判斷函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性的一般步驟：法一：法二：(1)求函數(shù)的定義域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；解集即為f(x)的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間;2、利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題需要注意的問題：

前提，容易忽視.

使的實(shí)數(shù)x.

（1）定義域優(yōu)先的原則：解決問題的過程只能在定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）如果一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個，這些單調(diào)區(qū)間之間不能用“∪”連接，而只能用“逗號”或“和”字等隔開.

導(dǎo)數(shù)的絕對值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上或向下)注意：分析圖象的變化與導(dǎo)數(shù)的絕對值的大小關(guān)系常見的對應(yīng)情況如下表所示．1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義：f′(x0)即為過曲線y＝f(x)上點(diǎn)P(x0，f(x0))切線的斜率．2．曲線的升降、切線的斜率與導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系如下表：方法提升曲線f(x)在x＝x0附近的升降情況切線的斜率k切線的傾斜角f′(x0)＞0上升k＞0銳角f′(x0)＜0下降k＜0鈍角f′(x0)＝0平坦k＝0零角(切線與x軸平行)說明：切線斜率的絕對值的大小反映了曲線在相應(yīng)點(diǎn)附近上升或下降的快慢.函數(shù)圖象的變化與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系1．曲線y＝f(x)在點(diǎn)P0(x0，f(x0))處的切線的斜率，即函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，反映了曲線在點(diǎn)P0處的瞬時變化率．一般地，切線的斜率的絕對值越大，曲線的變化就越快；切線的斜率的絕對值越小，曲線的變化就越慢，即曲線比較平緩．由曲線在點(diǎn)P0處附近的變化程度，可以判斷曲線在點(diǎn)P0處切線的斜率的絕對值的大?。?.若f′(x)是在區(qū)間(a，b)上的增函數(shù)，則f(x)的圖象是向下凸的，如例題(1)中圖A.若f′(x)在(a，b)上是減函數(shù)，則f(x)的圖象是