第40屆全國中學生物理競賽預賽試題（2023.09.02）含答案

第40屆全國中學生物理競賽預賽試題（2023.09.02）含答案第40屆全國中學生物理競賽預賽試題（2023年9月2日9:00-12:00）考生必讀1、 考生考試前務必認真閱讀本須知。2、 本試題共5頁，總分為400分。3、 需要閱卷老師評閱的內容一定要寫在答題紙相應題號后面的空白處；閱卷老師只評閱答題紙上的內容；選擇題和填空題也必須在答題紙上作答；寫在試題紙和草稿紙上的解答一律無效。選擇題（本題60分，含5小題，每小題12分。在每小題給出的4個選項中，有的小題只有一項符合題意，有的小題有多項符合題意。將符合題意的選項前面的英文字母寫在答題紙對應小題后面的括號內。全部選對的得12分，選對但不全的得6分，有選錯或不答的得0分。）1.氫原子中基態(tài)電子的結合能與氦離子()中基態(tài)電子的結合能的比值最接近于（）圖2a.A.1B.C.D.圖2a.2.一電路如圖2a所示，其中三個電池的電動勢之比，三個電阻的阻值之比。導線電阻均忽略不計。流過R1、R2、R3的電流大小之比為（）A.B.C.D.圖3aA.bda是系統(tǒng)從外界吸熱的過程；B.bda是系統(tǒng)對外界做負功的過程；C.bea是系統(tǒng)從外界吸熱的過程；D.bea是系統(tǒng)對外界做負功的過程。4.如圖4a，邊長為a的正方形的四個頂點上固定著兩個質子和兩個正電子。某時刻由靜止釋放這四個粒子，僅考慮它們在彼此間電場力的作用下運動，不考慮電磁輻射。已知電子電量為，真空介電常量為。經(jīng)過足夠長的時間后，單個質子、單個正電子的動能最接近的結果分別是：（）A.、B.、C.、D.、5.對于一個導體空腔內部電場的場強和電勢，下列說法正確的是：（）A.電勢的值和場強都不受腔外電荷的影響；B.電勢的值和場強都會受到腔外電荷的影響；C.場強不受腔外電荷的影響，但電勢的值會受到腔外電荷的影響；D.電勢的值不受腔外電荷的影響，但場強會受到腔外電荷的影響。二、填空題（本題100分，每小題20分，每空10分。請把答案填在答題紙對應題號后面的橫線上。只需給出結果，不需寫出求得結果的過程。）6.國際標準音A-la的頻率為。當發(fā)音頻率為這個頻率的音叉振動時，產(chǎn)生的聲波的波長為cm；一個觀測者站在兩個這樣的音叉之間以的速度沿著這兩音叉的連線跑向其中某個音叉，同時這兩個音叉均振動發(fā)聲，則該觀測者聽到的拍頻是Hz。已知聲速為。7.如圖7a，一質量為2M的小球，以20.0m/s的速率從水平地面上坐標原點O出射，初速度方向斜向上，與x軸（水平）正方向的夾角為。當小球到達最高點時，瞬間炸裂為質量均為M的兩小塊A、B；在小球爆炸后的瞬間，A的速度與x軸正方向的夾角為，此后，它恰好落到坐標原點O，整個運動過程均在xy平面內。由此可知，A在爆炸后的瞬間的速率為m/s，B落到地面時的x坐標為m。保留三位有效數(shù)字，不計空氣阻力，重力加速度大小為9.80m/s2。圖9a8.如圖8a，初始時在水平地面上靜止的密閉車廂內的空氣中懸浮一個充滿氦氣的氣球A，它通過柔軟長輕繩固定在車廂底板上，繩長遠大于氣球半徑。若車廂沿水平方向從靜止開始以大小為（g為重力加速度大?。┑募铀俣茸鰟蚣铀僦本€運動，則氣球的位置相對于車廂穩(wěn)定后，拉氣球的輕繩將沿車廂運動方向(填“前傾”、“后仰”或“保持豎直向上”)，且輕繩相對于豎直向上方向的夾角大小為。圖9a如圖9a，在凸透鏡右側距離（L大于凸透鏡的焦距）處放置一塊垂直于光軸的平面鏡。某同學在凸透鏡左側光軸上放置一點光源S，當將S沿著光軸左右移動有限距離時，發(fā)現(xiàn)存在兩個特殊的位置，可使得每個位置上的點光源S與它的像點重合。測得這兩個特殊位置之間的間距為。該凸透鏡的焦距為cm，兩個特殊位置中離透鏡較遠的那一點與透鏡光心相距cm。氣體分子的平均熱運動動能約為，其中是氣體的絕對溫度，為玻爾茲曼常量。一般而言，如果氣體中粒子的物質波波長接近于粒子平均間距，則粒子的量子效應就會變得顯著?？紤]粒子數(shù)密度的氣體。若該氣體為金屬中的自由電子氣，則其溫度在K以下時量子效應顯著；若假想該氣體由氫原子組成，則其溫度在K以下時量子效應顯著。已知電子質量約為，質子質量約為，普朗克常量約為。（結果保留一位有效數(shù)字）三、計算題（本題240分，共6小題，每小題40分。計算題的解答應寫出必要的文字說明、方程式和重要的演算步驟,只寫出最后結果的不能得分。有數(shù)值計算的,答案中必須明確寫出數(shù)值，有單位的必須寫出單位。）圖11a(初始)圖11b(初始)11.（40分）如圖11a和圖11b，在光滑的水平面上建立xOy直角坐標系。A、B、C三個小球（視為質點）質量均為m。初始時小球均靜止，C、B連線沿x方向，間距為L；A、B用長為L、不可伸長、完全沒有彈性的柔軟輕繩連接，B、A連線方向與C、B連線方向垂直，A與B圖11b(初始)（1）B、C間由原長為L、勁度系數(shù)為的輕質彈簧連接（見圖11a）；（2）B、C間由長度為L的柔軟輕繩（材質跟A、B間的軟繩相同）連接（見圖11b）。12.（40分）已知重力加速度大小為。假設空氣阻力可忽略。（1）將一個質量為的小球B放在一個質量為的大球A的上表面上，初始時A的下底離地面高度為，如圖12a所示；現(xiàn)讓它們同時從靜止開始自由下落，當A的下端落到水平硬地（硬地質量）上之后，可發(fā)現(xiàn)B反彈上升的最大高度h比h0大許多倍。不考慮運動相對于豎直方向的偏離，忽略大、小球的線度。假設地面與A、A與B之間的碰撞依次發(fā)生，且兩兩間碰撞的恢復系數(shù)都相等，求此恢復系數(shù)e。（2）如圖12b，一個兒童玩具由一組大小和質量各不相同的小球A、B、C和D組成，其中A上面固定有一根圓柱形光滑細輕桿，其余3個小球都有過其中心的一個圓柱形孔道，孔道的直徑略大于細桿的直徑。將B、C和D依次穿在細桿上，將4個小球構成的體系移至一定高度后，使之由靜止開始下落，已知下落過程中桿始終處于豎直狀態(tài)。A、B、C和D的質量分別為m1、m2、m3和m4，設地面與A、A與B、B與C、C與D之間的碰撞依次發(fā)生，相碰的兩兩物體間的恢復系數(shù)均相等，h0為系統(tǒng)初始下落高度，h為D彈起后上升的最大高度，忽略各球的線度。求恢復系數(shù)e的表達式；并根據(jù)表12a給出的數(shù)據(jù)，求恢復系數(shù)e的數(shù)值。m1(g)m2(g)m3(g)m4(g)76.732.511.35.8011.2表12a（3）若恢復系數(shù)e取第（2）問求得的數(shù)值，m1、m4取表12a中的數(shù)值。當m2與m3取何值時，可使達到最大值？該最大值是多少？13.（40分）一厚度可忽略的球形肥皂泡，其外表面上均勻帶電，當半徑為1.0mm時，其電勢為100V（取無窮遠處的電勢為零）；此時，肥皂泡并未處于力學平衡狀態(tài)。當其半徑增大至1.0cm時，肥皂泡達到力學平衡狀態(tài)，且此時肥皂泡內外氣壓恰好相等。靜電力常量，不考慮重力作用。求（結果保留兩位有效數(shù)字）：（1）肥皂泡所帶電荷的種類及電荷量；（2）肥皂泡膨脹前后的靜電能的變化（已知半徑為r、帶電量為Q的均勻帶電球面的靜電能為）；（3）肥皂泡表面張力系數(shù)的大小。圖14b14.（40分）一厚度為的均質金屬圓盤在半徑為的兩圓環(huán)面之間的部分，被鏤空成均勻分布的薄金屬片，薄金屬片長為（沿徑向），寬為（垂直于盤面），厚為（沿圓環(huán)切向），在離盤心處相鄰的兩薄金屬片間距為，其俯視示意圖如圖14a所示。金屬電阻率為，且（金屬圓盤在半徑為的兩圓環(huán)面之外的兩部分完全看作為理想導體）。在圓盤中心垂直圓盤方向上設置轉軸，盤面上離轉軸處，面積為的小方塊（其相對的兩弧或對邊中點連線長均為，且相對的兩弧中點的連線通過盤心）內施加垂直于盤面的勻強磁場B，如圖14b所示，小方塊外面的磁場可忽略。假設恰好為整數(shù)。當圓盤以角速度轉動時，求圖14b（1）小方塊上產(chǎn)生的電動勢；（2）小方塊內金屬片的總電阻的嚴格表達式（用表出）；（3）小方塊外金屬片的總電阻的嚴格表達式（用表出）；（4）通過小方塊的電流的表達式（用表出）；（5）相對于圓盤轉軸，阻礙圓盤轉動的電磁力矩（用表出）。15.（40分）真空中有一個鋅質小球，半徑，遠離其它物體。使鋅球初始時帶一定量的負電荷，其電勢（取無窮遠處的電勢為零）。某時刻開始，用波長的紫外線照射鋅球；假設光強足夠弱，以至于單位時間逸出的光電子很少。（1）求光電子從鋅球逸出時的最大運動速度？（2）開始時以最大速率從鋅球逸出的電子，運動到離鋅球無窮遠處時的速度大小為多少？（3）計算用紫外線連續(xù)照射鋅球足夠長的時間之后，鋅球的電勢是多少？（4）從開始照射到足夠長的時間后，整個照射過程中從鋅球跑出的光電子的數(shù)目大約是多少？已知：鋅的截止波長，真空中的光速，普朗克常量，真空介電常量，電子電量，電子質量。光軸.圖16a圖16b.光軸16.（40分）如圖16a，將焦距為、半徑為的薄透鏡從正中間切割出一個半徑為的圓形小透鏡；切割出的小透鏡通過打磨其邊緣將其半徑縮小為。如圖16b（剖面示意圖）所示，將切割出來的小透鏡沿著光軸向右平移一小段距離；光軸上一個點光源S位于大透鏡左側，與大透鏡距離為，S發(fā)出波長為的單色光，在透鏡右側出現(xiàn)S光軸.圖16a圖16b.光軸（1）求S的兩個像點和之間的距離，以及像點到屏幕的距離L。（2）描述屏幕上能夠觀測到干涉條紋的區(qū)域的形狀，并計算該區(qū)域的范圍。（3）描述上述區(qū)域范圍內干涉條紋的形狀，導出第k級亮紋在屏幕上的位置公式；總共能看到多少條亮紋？提示：由于透鏡尺寸很小，使得屏幕上干涉區(qū)域內的點到點距離遠小于兩個像點和到點的距離。計算中可利用近似展開式，即當時，有。第40屆全國中學生物理競賽預賽試題解答及評分標準（2023年9月2日9:00-12:00）選擇題（本題60分，含5小題，每小題12分。在每小題給出的4個選項中，有的小題只有一項符合題意，有的小題有多項符合題意。將符合題意的選項前面的英文字母寫在答題紙對應小題后面的括號內。全部選對的得12分，選對但不全的得6分，有選錯或不答的得0分。）1.D2.B3.ABD4.A5.C二、填空題（本題100分，每小題20分，每空10分。請把答案填在答題紙對應題號后面的橫線上。只需給出結果，不需寫出求得結果的過程。）6.，87.，8.前傾，9.3，1210.，三、計算題（本題240分，共6小題，每小題40分。計算題的解答應寫出必要的文字說明、方程式和重要的演算步驟,只寫出最后結果的不能得分。有數(shù)值計算的,答案中必須明確寫出數(shù)值，有單位的必須寫出單位。）11.（1）在A、B間的軟繩剛剛被拉緊后的瞬間，B、C間的輕質彈簧無形變，故小球C的速度為0①在A、B間的軟繩剛剛被拉緊后的瞬間，連接小球A、B的軟繩與x軸的夾角為，小球B所受到的來自軟繩的作用力沿拉直的繩的方向，因此，在此瞬間B的速度沿著軟繩指向A的方向，即此時B的速度為， ②式中分別為x、y坐標軸的方向，是的大小。設此時A的速度為， ③ A、B構成的體系在繩被拉緊的過程中動量守恒，有 ④ ⑤由于輕繩柔軟（完全無彈性）且不可伸長，在繩剛剛被拉緊后的瞬間A相對于B的相對運動速度必然垂直于AB連線，且沿順時針旋轉方向，即 ⑥ ⑦聯(lián)立①④⑤⑥⑦式，解得 ⑧ ⑨由⑧⑨式和題給數(shù)據(jù)得⑩ ?題解圖11a(初始)【解法2：在A、B間的軟繩剛剛被拉緊后的瞬間，B、C間的輕質彈簧無形變，故小球C的速度為0①如題解圖11a，在繩剛剛被拉緊后的瞬間，將A的初速度按垂直于連線方向“”和平行于連線方向“”進行分解②’其中③’由輕繩約束條件，在A、B間的軟繩剛剛被拉緊后的瞬間④’再由A、B間的動量守恒得⑤’⑥’于是⑦’⑧’其中，和分別為平行“”和垂直“”方向的方向向量。于是有⑨’⑩’】【附注：其中平行“”和垂直“”方向的方向向量為綜上，有】（2）在A、B間的柔軟輕繩剛剛被拉緊時，B、C間的柔軟輕繩處于沿x方向伸直的拉緊狀態(tài)，小球C所受到的來自軟繩的作用力指向A，故C只可能沿正x方向運動，可設，另設碰后瞬間A、B速度分別為A、B、C構成的體系在繩被拉緊前與剛剛拉緊后的總動量守恒，有， ?； ?由于B、C間的柔軟輕繩不可伸長，在B、C間的柔軟輕繩被拉緊時，B相對于C的相對運動速度沿正y方向，即 ?在此時瞬間A相對于B的相對運動速度垂直于此時AB連線，且沿順時針旋轉方向，即 ? ?因為A所受沖量只沿AB連線方向，故A在垂直于AB連線方向的速度分量在繩被拉緊前后沒有變化，由AB連線方向的動量定理得 ?聯(lián)立??????式，得 ?

? ?評分標準：本題40分。第（1）小問22分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩?式各2分；【解法2】：①②’③’④’式各2分，⑤’式4分，⑥’⑦’⑧’⑨’⑩’式各2分；第（2）小問18分，?????????式各2分。12.（1）先考慮一般情況。設質量為、速度為的小球1和質量為、速度的小球2發(fā)生對心碰撞，碰撞后小球1和2的速度分別為和，由動量守恒有①碰撞的恢復系數(shù)為②由①②式得③考慮由大球（質量為）與小球（質量為）組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)落地速度為④在以速度向下運動的參考系中，碰撞前兩球m1、m2都處于靜止狀態(tài)，而地球（m0）以速度向上與最下面的大球（）碰撞，利用公式③，碰撞后小球（）的速度為⑤然后大球（）與小球（）之間發(fā)生碰撞，再利用公式③，碰撞后小球（）的速度為⑥考慮到m0>>m1，有⑦且地球與大球碰后地球速度近似不變，于是小球（）相對于地面的速度為⑧小球（）上升的高度（相對于地面）為⑨由⑨式得⑩（2）系統(tǒng)落地時的速度在以速度豎直向下運動的慣性系中，碰撞前，4個小球都處于靜止狀態(tài)，而地球（）以速度豎直向上運動，與最下面的小球碰撞，然后依次引起小球之間的3次碰撞。開始兩次碰撞后小球（）的速度仍為⑥式所示。依次類推，最上面小球(m4)的碰撞后速度為?考慮有?且地球與大球碰后地球速度近似不變，故最上面小球(m4)相對于地面的速度?最上面小球(m4)豎直升的高度?由此可得?由?式和題給數(shù)據(jù)得，恢復系數(shù)的數(shù)值為?(3)只需求達到最大值的條件。進而，?式中等號僅在時成立。即在m4與m1保持不變的條件下，當m2?可以使h/h0達到最大值。這里應用了下述不等式：對于任意正數(shù)，有式中等號當且僅當時成立?！靖阶ⅲ荷鲜霾坏仁娇梢院唵巫C明如下：不妨設分別是中最大數(shù)、最小數(shù)?？闪?，式中，且于是式中等號當且僅當或（等價的）時成立?！坑?式知，的極大值為這時，11.4?由?式和題給數(shù)據(jù)得?評分標準：本題40分。第（1）小問20分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式各2分；第（2）小問12分，??????式各2分。第（3）小問8分，????式各2分。13.（1）半徑為r、總電量為Q的均勻帶電球殼的表面電勢由下式給出 ①其中0為真空介電常量。記肥皂泡初始半徑為，得 ②代入題給數(shù)據(jù)得 ③可知肥皂泡帶正電。（2）記肥皂泡變大后的半徑為，由題給公式得，肥皂泡變大前后靜電勢能變化為 ④由③④式和題給數(shù)據(jù)得 ⑤（3）由于球面上電荷元會受到其他部分電荷的靜電力，故會產(chǎn)生向外的壓強，記為。假設球面從半徑變?yōu)榘霃?，此過程中壓強所做的功為 ⑥由題給公式可知以上過程中肥皂泡靜電勢能變化為 ⑦而保守力做功等于勢能的減少量，即 ⑧肥皂泡的表面張力產(chǎn)生的壓強與表面張力系數(shù)的關系為 ⑨忽略肥皂泡內外氣壓差，則平衡時表面張力產(chǎn)生的壓強與靜電力產(chǎn)生的壓強相等，故 ⑩聯(lián)立⑥⑦⑧⑨⑩式得 ?代入題給數(shù)據(jù)得 ?【解法2：當肥皂泡達到平衡時，體系的總勢能（電荷的勢能與表面張力的勢能的和）達到最小。半徑為r的肥皂泡的表面張力產(chǎn)生的壓強與表面張力系數(shù)的關系為 ⑥’因此表面張力所對應的勢能為 ⑦’其中為任意常數(shù)。結合題給電勢能公式，可知總勢能為 ⑧’由平衡條件可知 ⑨’解得 ⑩’代入題給數(shù)據(jù)得 ?’ 】評分標準：本題40分。第（1）小問8分，①式4分，②③式各2分；第（2）小問8分，④⑤各式4分；第（3）小問24分，⑥⑦⑧⑨⑩式各4分，??式各2分?！窘夥?】：⑥’⑦’⑧’⑨’⑩’?’各4分。14.（1）在小方塊內金屬片的運動速度大小為①方向沿矢經(jīng)末端切向。它們切割磁力線產(chǎn)生的電動勢近似為②該電動勢沿徑向。由①②式得③（2）記小方塊內金屬片的總電阻為。每片金屬片的電阻為④小方塊內金屬片的數(shù)目為⑤由④⑤式得，⑥（3）記小方塊外金屬片的總電阻為。由于密集的金屬片在圓環(huán)上均勻分布，是正整數(shù)。小方塊外金屬片的數(shù)目為⑦由④⑦式得，小方塊外金屬片的總電阻為⑧（4）記通過小方塊的電流為。由歐姆定律，通過小方塊的電流為⑨由③⑥⑧⑨式得⑩（5）小方塊內所有金屬片所受到的總安培力為?方向沿與圓盤上的金屬片垂直。該安培力對圓盤的阻力矩近似為?由⑩??式得，相對于圓盤轉軸，阻礙圓盤轉動的電磁力矩為?評分標準：本題40分。第（1）小問10分，①②式各4分，③式2分；第（2）小問8分，④式4分，⑤⑥式各2分；第（3）小問4分，⑦⑧式各2分；第（4）小問8分，⑨式4分，⑩式4分（寫成近似表達式也同樣給分）；第（5）小問10分，??式各4分，?式2分（寫成近似表達式也同樣給分）。15.（1）鋅的逸出功①式中是相應的截止頻率。電子的最大初動能②由于③式中是光電子從鋅球逸出時的最大運動速度。由①②③式及題給數(shù)據(jù)得④（2）電子從鋅球附近運動到無窮遠，由能量守恒有⑤式中以最大速率從鋅球逸出的電子運動到離鋅球無窮遠處時的速度。由⑤式及題給數(shù)據(jù)得⑥（3）照射時間足夠長，逸出的電子足夠多，以至于鋅球帶正電，其電勢滿足⑦由⑦式及題給數(shù)據(jù)得⑧（4）帶有電荷量為的鋅球的電勢⑨由⑨式得⑩設整個照射過程中從鋅球跑出的光電子的數(shù)目為，則?由⑩?式得?由?式及題給數(shù)據(jù)得?評分標準：本題40分。第（1）小問14分，①②式各4分，③式2分，④式4分；第（2）小問8分，⑤⑥式各4分；第（3）小問8分，⑦⑧式各4分；第（4）小問10分，⑨⑩???式各2分。16.（1）根據(jù)薄透鏡成像公式有①②由①②式和題給數(shù)據(jù)有③于是④（2）如解題圖16a，在以點為圓心的環(huán)帶區(qū)域（圖中用粗實線段標出）內有干涉條紋，且⑤⑥⑦由于干涉條紋應分布在屏幕上點之間的環(huán)帶區(qū)域（以O點為中心），該環(huán)形區(qū)域中的點與點之間的距離滿足解題圖16a.解題圖16a.光軸解題圖16b.光軸.解題圖16b.光軸.（3）如解題圖16b，兩條光路的光程差為⑨亮紋半徑應滿足，⑩從而有?干涉條紋是以光軸和屏幕交點為圓心的一系列同心圓環(huán)(僅存在于(2)中給出的區(qū)域中)，第k級明環(huán)的半徑為?其中??能觀測到的亮紋條數(shù)為?附注：（傍軸近似公式的誤差分析）如果計算條紋級數(shù)k時不用傍軸近似，而用嚴格公式，我們有可以看到，與嚴格結果相比，使用傍軸近似公式對條紋級數(shù)k進行計算時，相對誤差小于0.003，絕對誤差小于0.4，不會影響最終結果。評分標準：本題40分。第（1）小問12分，①②式各4分，③④式各2分；第（2）小問12分，⑤式2分，⑥⑦式各4分，⑧式2分；第（3）小問16分，⑨式4分，⑩?????式各2分。圖5a

圖5a

第40屆全國中學生物理競賽預賽試題解答及評分標準（2023年9月2日9:00-12:00）選擇題（本題60分，含5小題，每小題12分。在每小題給出的4個選項中，有的小題只有一項符合題意，有的小題有多項符合題意。將符合題意的選項前面的英文字母寫在答題紙對應小題后面的括號內。全部選對的得12分，選對但不全的得6分，有選錯或不答的得0分。）1.D2.B3.ABD4.A5.C二、填空題（本題100分，每小題20分，每空10分。請把答案填在答題紙對應題號后面的橫線上。只需給出結果，不需寫出求得結果的過程。）6.，87.，8.前傾，9.3，1210.，三、計算題（本題240分，共6小題，每小題40分。計算題的解答應寫出必要的文字說明、方程式和重要的演算步驟,只寫出最后結果的不能得分。有數(shù)值計算的,答案中必須明確寫出數(shù)值，有單位的必須寫出單位。）11.（1）在A、B間的軟繩剛剛被拉緊后的瞬間，B、C間的輕質彈簧無形變，故小球C的速度為0①在A、B間的軟繩剛剛被拉緊后的瞬間，連接小球A、B的軟繩與x軸的夾角為，小球B所受到的來自軟繩的作用力沿拉直的繩的方向，因此，在此瞬間B的速度沿著軟繩指向A的方向，即此時B的速度為， ②式中分別為x、y坐標軸的方向，是的大小。設此時A的速度為， ③ A、B構成的體系在繩被拉緊的過程中動量守恒，有 ④ ⑤由于輕繩柔軟（完全無彈性）且不可伸長，在繩剛剛被拉緊后的瞬間A相對于B的相對運動速度必然垂直于AB連線，且沿順時針旋轉方向，即 ⑥ ⑦聯(lián)立①④⑤⑥⑦式，解得 ⑧ ⑨由⑧⑨式和題給數(shù)據(jù)得⑩ ?題解圖11a(初始)【解法2：在A、B間的軟繩剛剛被拉緊后的瞬間，B、C間的輕質彈簧無形變，故小球C的速度為0①如題解圖11a，在繩剛剛被拉緊后的瞬間，將A的初速度按垂直于連線方向“”和平行于連線方向“”進行分解②’其中③’由輕繩約束條件，在A、B間的軟繩剛剛被拉緊后的瞬間④’再由A、B間的動量守恒得⑤’⑥’于是⑦’⑧’其中，和分別為平行“”和垂直“”方向的方向向量。于是有⑨’⑩’】【附注：其中平行“”和垂直“”方向的方向向量為綜上，有】（2）在A、B間的柔軟輕繩剛剛被拉緊時，B、C間的柔軟輕繩處于沿x方向伸直的拉緊狀態(tài)，小球C所受到的來自軟繩的作用力指向A，故C只可能沿正x方向運動，可設，另設碰后瞬間A、B速度分別為A、B、C構成的體系在繩被拉緊前與剛剛拉緊后的總動量守恒，有， ?； ?由于B、C間的柔軟輕繩不可伸長，在B、C間的柔軟輕繩被拉緊時，B相對于C的相對運動速度沿正y方向，即 ?在此時瞬間A相對于B的相對運動速度垂直于此時AB連線，且沿順時針旋轉方向，即 ? ?因為A所受沖量只沿AB連線方向，故A在垂直于AB連線方向的速度分量在繩被拉緊前后沒有變化，由AB連線方向的動量定理得 ?聯(lián)立??????式，得 ?

? ?評分標準：本題40分。第（1）小問22分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩?式各2分；【解法2】：①②’③’④’式各2分，⑤’式4分，⑥’⑦’⑧’⑨’⑩’式各2分；第（2）小問18分，?????????式各2分。12.（1）先考慮一般情況。設質量為、速度為的小球1和質量為、速度的小球2發(fā)生對心碰撞，碰撞后小球1和2的速度分別為和，由動量守恒有①碰撞的恢復系數(shù)為②由①②式得③考慮由大球（質量為）與小球（質量為）組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)落地速度為④在以速度向下運動的參考系中，碰撞前兩球m1、m2都處于靜止狀態(tài)，而地球（m0）以速度向上與最下面的大球（）碰撞，利用公式③，碰撞后小球（）的速度為⑤然后大球（）與小球（）之間發(fā)生碰撞，再利用公式③，碰撞后小球（）的速度為⑥考慮到m0>>m1，有⑦且地球與大球碰后地球速度近似不變，于是小球（）相對于地面的速度為⑧小球（）上升的高度（相對于地面）為⑨由⑨式得⑩（2）系統(tǒng)落地時的速度在以速度豎直向下運動的慣性系中，碰撞前，4個小球都處于靜止狀態(tài)，而地球（）以速度豎直向上運動，與最下面的小球碰撞，然后依次引起小球之間的3次碰撞。開始兩次碰撞后小球（）的速度仍為⑥式所示。依次類推，最上面小球(m4)的碰撞后速度為?考慮有?且地球與大球碰后地球速度近似不變，故最上面小球(m4)相對于地面的速度?最上面小球(m4)豎直升的高度?由此可得?由?式和題給數(shù)據(jù)得，恢復系數(shù)的數(shù)值為?(3)只需求達到最大值的條件。進而，?式中等號僅在時成立。即在m4與m1保持不變的條件下，當m2?可以使h/h0達到最大值。這里應用了下述不等式：對于任意正數(shù)，有式中等號當且僅當時成立?！靖阶ⅲ荷鲜霾坏仁娇梢院唵巫C明如下：不妨設分別是中最大數(shù)、最小數(shù)。可令，式中，且于是式中等號當且僅當或（等價的）時成立?！坑?式知，的極大值為這時，11.4?由?式和題給數(shù)據(jù)得?評分標準：本題40分。第（1）小問20分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式各2分；第（2）小問12分，??????式各2分。第（3）小問8分，????式各2分。13.（1）半徑為r、總電量為Q的均勻帶電球殼的表面電勢由下式給出 ①其中0為真空介電常量。記肥皂泡初始半徑為，得 ②代入題給數(shù)據(jù)得 ③可知肥皂泡帶正電。（2）記肥皂泡變大后的半徑為，由題給公式得，肥皂泡變大前后靜電勢能變化為 ④由③④式和題給數(shù)據(jù)得 ⑤（3）由于球面上電荷元會受到其他部分電荷的靜電力，故會產(chǎn)生向外的壓強，記為。假設球面從半徑變?yōu)榘霃剑诉^程中壓強所做的功為 ⑥由題給公式可知以上過程中肥皂泡靜電勢能變化為 ⑦而保守力做功等于勢能的減少量，即 ⑧肥皂泡的表面張力產(chǎn)生的壓強與表面張力系數(shù)的關系為 ⑨忽略肥皂泡內外氣壓差，則平衡時表面張力產(chǎn)生的壓強與靜電力產(chǎn)生的壓強相等，故 ⑩聯(lián)立⑥⑦⑧⑨⑩式得 ?代入題給數(shù)據(jù)得 ?【解法2：當肥皂泡達到平衡時，體系的總勢能（電荷的勢能與表面張力的勢能的和）達到最小。半徑為r的肥皂泡的表面張力產(chǎn)生的壓強與表面張力系數(shù)的關系為 ⑥’因此表面張力所對應的勢能為 ⑦’其中為任意常數(shù)。結合題給電勢能公式，可知總勢能為 ⑧’由平衡條件可知 ⑨’解得 ⑩’代入題給數(shù)據(jù)得 ?’ 】評分標準：本題40分。第（1）小問8分，①式4分，②③式各2分；第（2）小問8分，④⑤各式4分；第（3）小問24分，⑥⑦⑧⑨⑩式各4分，??式各2分。【解法2】：⑥’⑦’⑧’⑨’⑩’?’各4分。14.（1）在小方塊內金屬片的運動速度大小為①方向沿矢經(jīng)末端切向。它們切割磁力線產(chǎn)生的電動勢近似為②該電動勢沿徑向。由①②式得③（2）記小方塊內金屬片的總電阻為。每片金屬片的電阻為④小方塊內金屬片的數(shù)目為⑤由④⑤式得，⑥（3）記小方塊外金屬片的總電阻為。由于密集的金屬片在圓環(huán)上均勻分布，是正整數(shù)。小方塊外金屬片的數(shù)目為⑦由④⑦式得，小方塊外金屬片的總電阻為⑧（4）記通過小方塊的電流為。由歐姆定律，通過小方塊的電流為⑨由③⑥⑧⑨式得⑩（5）小方塊內所有金屬片所受到的總安培力為?方向沿與圓盤上的金屬片垂直。該安培力對圓盤的阻力矩近似為?由⑩??式得，相對于圓盤轉軸，阻礙圓盤轉動的電磁力矩為?評分標準：本題40分。第（