第2講、常用邏輯用語（教師版）

[在此處鍵入]第2講常用邏輯用語知識梳理一、充分條件、必要條件、充要條件1、定義如果命題“若，則”為真（記作），則是的充分條件；同時是的必要條件．2、從邏輯推理關(guān)系上看（1）若且，則是的充分不必要條件；（2）若且，則是的必要不充分條件；（3）若且，則是的的充要條件（也說和等價）；（4）若且，則不是的充分條件，也不是的必要條件．對充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實質(zhì)：，則是的充分條件，同時是的必要條件．所謂“充分”是指只要成立，就成立；所謂“必要”是指要使得成立，必須要成立（即如果不成立，則肯定不成立）．二．全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞與全稱量詞命題．短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示．含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題．全稱量詞命題“對中的任意一個，有成立”可用符號簡記為“”，讀作“對任意屬于，有成立”．（2）存在量詞與存在量詞命題．短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示．含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題．存在量詞命題“存在中的一個，使成立”可用符號簡記為“”，讀作“存在中元素，使成立”（存在量詞命題也叫存在性命題）．三．含有一個量詞的命題的否定（1）全稱量詞命題的否定為，．（2）存在量詞命題的否定為．注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點之一．【解題方法總結(jié)】1、從集合與集合之間的關(guān)系上看設(shè)．（1）若，則是的充分條件（），是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小大”．（2）若，則是的必要條件，是的充分條件；（3）若，則與互為充要條件．2、常見的一些詞語和它的否定詞如下表原詞語等于大于小于是都是任意（所有）至多有一個至多有一個否定詞語不等于小于等于大于等于不是不都是某個至少有兩個一個都沒有（1）要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合中的每一個元素證明其成立，要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合中的一個，使得其不成立即可，這就是通常所說的舉一個反例．（2）要判斷一個存在量詞命題為真命題，只要在限定集合中能找到一個使之成立即可，否則這個存在量詞命題就是假命題．必考題型全歸納題型一：充分條件與必要條件的判斷【解題總結(jié)】1、要明確推出的含義，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立．2、充分必要條件在面對集合問題時，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．3、充分必要條件考察范圍廣，失分率高，一定要注意各個知識面的培養(yǎng)．例1．（2024·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）已知向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，所以；若，則，解得，得不出．所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A．例2．（2024·全國·高三專題練習）已知直線平面，則“直線平面”是“平面平面”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若“直線平面”成立，設(shè)，且，又平面，所以平面，又，所以“平面平面”成立；若“平面平面”成立，且直線平面，可推出平面或平面，所以“直線平面”不一定成立.綜上，“直線平面”是“平面平面”的充分不必要條件.故選：A.例3．（2024·天津和平·高三天津一中校考階段練習）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B例4．（2024·天津南開·南開中學校考模擬預測）已知，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若，則不成立，若且，此時推不出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D題型二：根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍【解題總結(jié)】1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含關(guān)系．2、在充分必要條件求解參數(shù)取值范圍時，要注意端點是否能取到問題，容易出錯．例5．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考二模）若“”是“”的一個充分條件，則的一個可能值是__________.【答案】（只需滿足即可）【解析】由可得，則，所以，，解得，因為“”是“”的一個充分條件，故的一個可能取值為.故答案為：（只需滿足即可）.例6．（2024·上海長寧·統(tǒng)考二模）若“”是“”的充分條件，則實數(shù)的取值范圍為___________．【答案】【解析】“”是“”的充分條件，，，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.例7．（2024·全國·高三專題練習）若“”是“”的必要不充分條件，則的值可以是__________.（寫出滿足條件的一個值即可）【答案】（答案不唯一，滿足即可）【解析】由于“”是“”的必要不充分條件，所以，所以的值只需小于即可.故答案為：（答案不唯一，滿足即可）題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假【解題總結(jié)】1、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷既要通過漢字意思，又要通過數(shù)學結(jié)論．2、全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性判斷較為簡單，注意細節(jié)即可．例8．（2024·河北·高三學業(yè)考試）設(shè)非空集合，滿足，則下列選項正確的是（

）A．，有 B．，有C．，使得 D．，使得【答案】B【解析】，，當?時，，使得，故A錯誤；，，必有，即，必有，故B正確；由B正確，得，必有，，使得錯誤，即C錯誤；當時，不存在，使得，故D錯誤，綜上只有B是正確的．故選：B．例9．（2024·全國·高三專題練習）已知，下列四個命題：①，，②，，③，，④，．其中是真命題的有（

）A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】C【解析】對于①，由得：，，，則，①正確；對于②，，，即，則，②正確；對于③，函數(shù)在上為減函數(shù)，而，則，即，，③錯誤；對于④，當時，，，即，④錯誤，所以所給命題中，真命題的是①②．故選：C例10．（2024·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預測）直線，直線，給出下列命題：①，使得；

②，使得；③，與都相交；

④，使得原點到的距離為.其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】C【解析】對于①，若，則，該方程組無解，①錯；對于②，若，則，解得，②對；對于③，當時，直線的方程為，即，此時，、重合，③錯；對于④，直線的方程為，若，使得原點到的距離為，則，整理可得，，方程有解，④對.故選：C.題型四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定【解題總結(jié)】1、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定是將條件中的全稱量詞和存在量詞互換，結(jié)論變否定．2、全稱量詞命題和存在量詞命題的否定要注意否定是全否，而不是半否．例11．（2024·四川成都·三模）命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意可得，“”的否定是，故選：B例12．（2024·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預測）已知命題，不是素數(shù)，則為（

）A．，是素數(shù) B．，是素數(shù)C．，是素數(shù) D．，是素數(shù)【答案】D【解析】命題為全稱量詞命題，該命題的否定為，是素數(shù).故選：D.例13．（2024·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預測）命題“有一個偶數(shù)是素數(shù)”的否定是（

）A．任意一個奇數(shù)是素數(shù) B．任意一個偶數(shù)都不是素數(shù)C．存在一個奇數(shù)不是素數(shù) D．存在一個偶數(shù)不是素數(shù)【答案】B【解析】由于存在量詞命題，否定為.所以命題“有一個偶數(shù)是素數(shù)”的否定是“任意一個偶數(shù)都不是素數(shù)”.故選：B題型五：根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍【解題總結(jié)】1、在解決求參數(shù)的取值范圍問題上，可以先令兩個命題都為真命題，如果哪個是假命題，去求真命題的補級即可．2、全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問題相對較難，要注重端點出點是否可以取到．例14．（2024·全國·高三專題練習）若命題“”為假命題，則實數(shù)x的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】命題“”為假命題，其否定為真命題，即“”為真命題．令，則，即，解得，所以實數(shù)x的取值范圍為.故選：C例15．（2024·全國·高三專題練習）已知命題：，，若p為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為命題：，，所以：，，又因為為假命題，所以為真命題，即，恒成立，所以，即，解得，故選：D．例16．（2024·全國·高三專題練習）若命題“”是假命題，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為命題“，”是假命題，所以命題“，”是真命題，若，即或，當時，不等式為，恒成立，滿足題意；當時，不等式為，不恒成立，不滿足題意；當時，則需要滿足，即，解得，綜上所述，的范圍是，故選：B.例17．（2024·全國·高三專題練習）已知命題“，”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為命題“，”為假命題，則命題的否定“，”為真命題，所以，．易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，取最小值，所以．所以實數(shù)a的取值范圍為．故選：D．1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當為整數(shù)時，必為整數(shù)；當為整數(shù)時，比一定為整數(shù)，例如當時，.所以“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.2．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為可得：當時，，充分性成立；當時，，必要性不成立；所以當，是的充分不必要條件.故選：A.3．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件