第2講、常用邏輯用語（教師版）

[在此處鍵入]第2講常用邏輯用語知識(shí)梳理一、充分條件、必要條件、充要條件1、定義如果命題“若，則”為真（記作），則是的充分條件；同時(shí)是的必要條件．2、從邏輯推理關(guān)系上看（1）若且，則是的充分不必要條件；（2）若且，則是的必要不充分條件；（3）若且，則是的的充要條件（也說和等價(jià)）；（4）若且，則不是的充分條件，也不是的必要條件．對(duì)充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實(shí)質(zhì)：，則是的充分條件，同時(shí)是的必要條件．所謂“充分”是指只要成立，就成立；所謂“必要”是指要使得成立，必須要成立（即如果不成立，則肯定不成立）．二．全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞與全稱量詞命題．短語“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“”表示．含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題．全稱量詞命題“對(duì)中的任意一個(gè)，有成立”可用符號(hào)簡記為“”，讀作“對(duì)任意屬于，有成立”．（2）存在量詞與存在量詞命題．短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“”表示．含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題．存在量詞命題“存在中的一個(gè)，使成立”可用符號(hào)簡記為“”，讀作“存在中元素，使成立”（存在量詞命題也叫存在性命題）．三．含有一個(gè)量詞的命題的否定（1）全稱量詞命題的否定為，．（2）存在量詞命題的否定為．注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點(diǎn)之一．【解題方法總結(jié)】1、從集合與集合之間的關(guān)系上看設(shè)．（1）若，則是的充分條件（），是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小大”．（2）若，則是的必要條件，是的充分條件；（3）若，則與互為充要條件．2、常見的一些詞語和它的否定詞如下表原詞語等于大于小于是都是任意（所有）至多有一個(gè)至多有一個(gè)否定詞語不等于小于等于大于等于不是不都是某個(gè)至少有兩個(gè)一個(gè)都沒有（1）要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合中的每一個(gè)元素證明其成立，要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合中的一個(gè)，使得其不成立即可，這就是通常所說的舉一個(gè)反例．（2）要判斷一個(gè)存在量詞命題為真命題，只要在限定集合中能找到一個(gè)使之成立即可，否則這個(gè)存在量詞命題就是假命題．必考題型全歸納題型一：充分條件與必要條件的判斷【解題總結(jié)】1、要明確推出的含義，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立．2、充分必要條件在面對(duì)集合問題時(shí)，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．3、充分必要條件考察范圍廣，失分率高，一定要注意各個(gè)知識(shí)面的培養(yǎng)．例1．（2024·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，所以；若，則，解得，得不出．所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A．例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線平面，則“直線平面”是“平面平面”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若“直線平面”成立，設(shè)，且，又平面，所以平面，又，所以“平面平面”成立；若“平面平面”成立，且直線平面，可推出平面或平面，所以“直線平面”不一定成立.綜上，“直線平面”是“平面平面”的充分不必要條件.故選：A.例3．（2024·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習(xí)）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B例4．（2024·天津南開·南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若，則不成立，若且，此時(shí)推不出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D題型二：根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍【解題總結(jié)】1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含關(guān)系．2、在充分必要條件求解參數(shù)取值范圍時(shí)，要注意端點(diǎn)是否能取到問題，容易出錯(cuò)．例5．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考二模）若“”是“”的一個(gè)充分條件，則的一個(gè)可能值是__________.【答案】（只需滿足即可）【解析】由可得，則，所以，，解得，因?yàn)椤啊笔恰啊钡囊粋€(gè)充分條件，故的一個(gè)可能取值為.故答案為：（只需滿足即可）.例6．（2024·上海長寧·統(tǒng)考二模）若“”是“”的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________．【答案】【解析】“”是“”的充分條件，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若“”是“”的必要不充分條件，則的值可以是__________.（寫出滿足條件的一個(gè)值即可）【答案】（答案不唯一，滿足即可）【解析】由于“”是“”的必要不充分條件，所以，所以的值只需小于即可.故答案為：（答案不唯一，滿足即可）題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假【解題總結(jié)】1、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷既要通過漢字意思，又要通過數(shù)學(xué)結(jié)論．2、全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性判斷較為簡單，注意細(xì)節(jié)即可．例8．（2024·河北·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)非空集合，滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．，有 B．，有C．，使得 D．，使得【答案】B【解析】，，當(dāng)?時(shí)，，使得，故A錯(cuò)誤；，，必有，即，必有，故B正確；由B正確，得，必有，，使得錯(cuò)誤，即C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，不存在，使得，故D錯(cuò)誤，綜上只有B是正確的．故選：B．例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，下列四個(gè)命題：①，，②，，③，，④，．其中是真命題的有（

）A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】C【解析】對(duì)于①，由得：，，，則，①正確；對(duì)于②，，，即，則，②正確；對(duì)于③，函數(shù)在上為減函數(shù)，而，則，即，，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，，即，④錯(cuò)誤，所以所給命題中，真命題的是①②．故選：C例10．（2024·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）直線，直線，給出下列命題：①，使得；

②，使得；③，與都相交；

④，使得原點(diǎn)到的距離為.其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】C【解析】對(duì)于①，若，則，該方程組無解，①錯(cuò)；對(duì)于②，若，則，解得，②對(duì)；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，此時(shí)，、重合，③錯(cuò)；對(duì)于④，直線的方程為，若，使得原點(diǎn)到的距離為，則，整理可得，，方程有解，④對(duì).故選：C.題型四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定【解題總結(jié)】1、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定是將條件中的全稱量詞和存在量詞互換，結(jié)論變否定．2、全稱量詞命題和存在量詞命題的否定要注意否定是全否，而不是半否．例11．（2024·四川成都·三模）命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意可得，“”的否定是，故選：B例12．（2024·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知命題，不是素?cái)?shù)，則為（

）A．，是素?cái)?shù) B．，是素?cái)?shù)C．，是素?cái)?shù) D．，是素?cái)?shù)【答案】D【解析】命題為全稱量詞命題，該命題的否定為，是素?cái)?shù).故選：D.例13．（2024·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預(yù)測）命題“有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)”的否定是（

）A．任意一個(gè)奇數(shù)是素?cái)?shù) B．任意一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù)C．存在一個(gè)奇數(shù)不是素?cái)?shù) D．存在一個(gè)偶數(shù)不是素?cái)?shù)【答案】B【解析】由于存在量詞命題，否定為.所以命題“有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)”的否定是“任意一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù)”.故選：B題型五：根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍【解題總結(jié)】1、在解決求參數(shù)的取值范圍問題上，可以先令兩個(gè)命題都為真命題，如果哪個(gè)是假命題，去求真命題的補(bǔ)級(jí)即可．2、全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問題相對(duì)較難，要注重端點(diǎn)出點(diǎn)是否可以取到．例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】命題“”為假命題，其否定為真命題，即“”為真命題．令，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為.故選：C例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知命題：，，若p為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槊}：，，所以：，，又因?yàn)闉榧倜}，所以為真命題，即，恒成立，所以，即，解得，故選：D．例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若命題“”是假命題，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槊}“，”是假命題，所以命題“，”是真命題，若，即或，當(dāng)時(shí)，不等式為，恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，不等式為，不恒成立，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，則需要滿足，即，解得，綜上所述，的范圍是，故選：B.例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槊}“，”為假命題，則命題的否定“，”為真命題，所以，．易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，所以．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選：D．1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)為整數(shù)時(shí)，必為整數(shù)；當(dāng)為整數(shù)時(shí)，比一定為整數(shù)，例如當(dāng)時(shí)，.所以“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.2．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)榭傻茫寒?dāng)時(shí)，，充分性成立；當(dāng)時(shí)，，必要性不成立；所以當(dāng)，是的充分不必要條件.故選：A.3．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件