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溫故知新【問(wèn)題1】回顧空間中直線和平面的位置關(guān)系?
線面位置關(guān)系垂直
斜交
ab
在平面內(nèi)平行直線與平面垂直(1)【思考】你能不能從教室中找到線面垂直的例子?【問(wèn)題2】什么叫做直線與平面垂直?能否把直觀的形象數(shù)學(xué)化?用確切的數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫直線與平面垂直。旗桿所在的直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直?
旗桿AB所在直線與地面垂直,即與地面上任意一條直線都垂直.一般地,如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.注:畫直線與平面垂直時(shí),通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直,如圖所示.垂線垂足垂面直線與平面垂直的相關(guān)定義:
【追問(wèn)1】如何理解“任意”?【追問(wèn)2】可以用“無(wú)數(shù)”代替“任意”嗎?【問(wèn)題3】在同一平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。將這一結(jié)論推廣到空間,過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有幾條?為什么?點(diǎn)到平面的距離:
過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線,則該點(diǎn)與垂足間的線段,叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段,垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.
如圖,PP′⊥平面α,P′為垂足,線段PP′的長(zhǎng)度即為點(diǎn)P到平面α的距離.【問(wèn)題4】怎么判斷線面垂直?無(wú)法驗(yàn)證一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直?!舅伎肌磕芊窈?jiǎn)化線面垂直的判定?無(wú)限有限轉(zhuǎn)化
l
l無(wú)數(shù)條
l一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直。線線垂直線面垂直判定定理定義垂直內(nèi)相交直線和平面垂直的判定定理【例1】求證:如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面,那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.已知:如圖,a//b,a⊥α,求證:b⊥α.∵∴證明:在平面內(nèi)作兩條相交直線m,n∵
,∴
∵是兩條相交直線,∴【例2】如圖,點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn),且PA=PC,PB=PD.求證:PO⊥平面ABCDCABDOP
=ABCDPOOBDAC平面又^\IQBDPOBDOPDPB的中點(diǎn)是點(diǎn)又^\=Q,PCPA=ACPO點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)證明:^\Q,【練習(xí)】在正方體ABCD-A'B'C'D'中,判斷直線AC與BD'的位置關(guān)系.利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步
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