8.6.3平面與平面垂直課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第八章立體幾何初步8.6.3平面與平面垂直人教A版

數(shù)學(xué)

必修第二冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解二面角及其平面角的概念.2.掌握兩個平面互相垂直的定義和畫法.3.理解并掌握兩個平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,能證明性質(zhì)定理,并能解決有關(guān)面面垂直的問題.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1

二面角及平面與平面垂直的定義1.二面角概念平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分,這兩部分通常稱為

.從一條直線出發(fā)的兩個

所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的

,這兩個半平面叫做二面角的

圖示

半平面半平面棱面記法棱為AB,面分別為α,β的二面角記作二面角α-AB-β.有時為了方便,也可在α,β內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點P,Q,將這個二面角記作二面角P-AB-Q.如果棱記作l,那么這個二面角記作二面角α-l-β或二面角P-l-Q2.二面角的平面角

概念

由等角定理知,O點位置變化,所求二面角的平面角仍相等在二面角α-l-β的棱l上任取一點O,以點O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于

l的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角

圖示

棱符號OA?α,OB?β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角范圍0°≤∠AOB≤180°規(guī)定二面角的大小可以用它的

來度量,二面角的平面角是多少度,就說這個二面角是多少度.平面角是

的二面角叫做直二面角

3.平面與平面垂直的定義一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.平面α與β垂直,記作α⊥β.平面角直角過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)二面角的平面角所確定的平面與二面角的棱垂直.(

)(2)對于確定的二面角,平面角的大小與頂點在棱上的位置有關(guān).(

)(3)二面角的平面角的取值范圍是[0,π].(

)(4)平面α和β分別過兩條互相垂直的直線,則α⊥β.(

)(5)異面直線a,b分別和一個二面角的兩個半平面垂直,則a,b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補.(

)√×√×√2.如何畫兩個相互垂直的平面?提示

兩個互相垂直的平面通常畫成如圖中的兩種樣子,此時,把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.3.[蘇教版教材例題]如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中:

(1)求二面角D'-AB-D的大小;(2)求二面角A'-AB-D的大小.解

(1)在正方體ABCD-A'B'C'D'中,AB⊥平面AA'D'D,所以AB⊥AD',AB⊥AD.因此,∠D'AD為二面角D'-AB-D的平面角.在Rt△D'AD中,∠D'AD=45°,所以二面角D'-AB-D的大小為45°.(2)同理,∠A'AD為二面角A'-AB-D的平面角.因為∠A'AD=90°,所以二面角A'-AB-D的大小為90°.知識點2

平面與平面垂直的判定定理

文字語言如果一個平面過另一個平面的

,那么這兩個平面垂直

圖形語言

符號語言

,l⊥α?α⊥β

作用判斷兩個平面

垂線

l?β垂直

名師點睛1.判定定理可簡述為“線面垂直,則面面垂直”.因此要證明平面與平面垂直,可轉(zhuǎn)化為尋找平面的垂線,即證線面垂直.2.兩個平面互相垂直的判定定理不僅是判定兩個平面互相垂直的依據(jù),而且是找出與一個平面垂直的另一個平面的依據(jù).3.此定理有一個推論:a∥α,a⊥β?α⊥β.在做選擇、填空題時可直接應(yīng)用.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)平面α內(nèi)的直線a垂直于平面β內(nèi)的直線b,則α⊥β.(

)(2)平面α內(nèi)的直線a垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線,則α⊥β.(

)(3)平面α內(nèi)的直線a垂直于平面β內(nèi)的兩條相交直線,則α⊥β.(

)××√2.在如圖所示的長方體中,AA'與平面ABCD有什么位置關(guān)系?AA'在長方體的哪幾個面內(nèi)?這幾個面與底面ABCD有什么位置關(guān)系?提示

AA'與平面ABCD垂直;AA'在平面AA'B'B內(nèi),也在平面AA'D'D內(nèi),這兩個平面都與底面垂直.3.在三棱錐P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如圖,則在三棱錐P-ABC的四個面中,互相垂直的面有

對.

3解析

平面PAB⊥平面PAC,平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.知識點3

平面與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直符號語言圖形語言

作用證明直線與平面

垂直

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)已知兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線.(

)(2)已知兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線.(

)(3)已知兩個平面垂直,則過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個平面.(

)(4)垂直于同一平面的兩平面平行.(

)×√××2.已知長方體ABCD-A1B1C1D1,在平面AB1上任取一點M,作ME⊥AB于E,則(

)

A.ME⊥平面AC

B.ME?平面ACC.ME∥平面AC

D.以上都有可能A解析

由于ME?平面AB1,平面AB1∩平面AC=AB,且平面AB1⊥平面AC,ME⊥AB,則ME⊥平面AC.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一求二面角的平面角的大小【例1】

如圖,已知四邊形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD.(1)二面角B-PA-D平面角的大小為

;

(2)二面角B-PA-C平面角的大小為

.

90°45°解析

(1)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA.∴∠BAD為二面角B-PA-D的平面角.又由題意∠BAD=90°,∴二面角B-PA-D的平面角的大小為90°.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA.∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角.又四邊形ABCD為正方形,∴∠BAC=45°.即二面角B-PA-C的平面角的大小為45°.變式探究在題設(shè)條件不變的情況下,若PA=AD,求平面PAB與平面PCD所成的二面角的大小.解

∵CD∥平面PAB,過P作CD的平行線l,如圖,∴l(xiāng)為平面PAB和平面PCD的交線.由PA⊥CD,CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,PD?平面PAD,知CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD.又CD∥l,∴l(xiāng)⊥PD.又PA⊥CD,∴PA⊥l.∴∠DPA為平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角,為45°.規(guī)律方法

1.求二面角的平面角的大小的步驟如下:2.作二面角的平面角的常用方法:(1)定義法.在二面角的棱上找一個特殊點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖①,則∠AOB為二面角α-l-β的平面角.(2)垂面法.過棱上一點作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角.如圖②,∠AOB為二面角α-l-β的平面角.(3)垂線法.過二面角的一個面內(nèi)異于棱上的A點向另一個平面作垂線,垂足為B,由點B向二面角的棱作垂線,垂足為O,連接AO,則∠AOB為二面角的平面角或其補角.如圖③,∠AOB為二面角α-l-β的平面角.探究點二證明兩個平面垂直【例2】

如圖,在三棱錐A-BCD中,點E,F分別為AC,AD的中點,AD⊥CD,BA=BD.求證:平面EFB⊥平面ABD.證明

在△ACD中,因為E,F分別是AC,AD的中點,所以EF∥CD,在△ACD中,因為AD⊥CD,EF∥CD,所以EF⊥AD,因為在△ABD中,BA=BD,F為AD的中點,所以BF⊥AD,因為EF?平面EFB,BF?平面EFB,且EF∩BF=F,所以AD⊥平面EFB,因為AD?平面ABD,所以平面EFB⊥平面ABD.規(guī)律方法

證明平面與平面垂直的方法(1)利用定義:證明二面角的平面角為直角,其判定的方法是:①找出兩相交平面的平面角;②證明這個平面角是直角;③根據(jù)定義,這兩個相交平面互相垂直.(2)利用面面垂直的判定定理:要證面面垂直,只需證線面垂直.即在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直.這是證明面面垂直的常用方法,其基本步驟是:變式訓(xùn)練[北師大版教材例題]如圖,在四面體A1-ABC中,A1A⊥平面ABC,AB⊥BC,且AA1=AB.(1)四面體A1-ABC中有幾組互相垂直的平面?(2)求二面角A-A1B-C和A1-BC-A的大小.解

(1)由A1A⊥平面ABC,A1A?平面A1AB,得平面A1AB⊥平面ABC.同理可得平面A1AC⊥平面ABC.因為A1A⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以A1A⊥BC.又因為AB⊥BC,A1A?平面A1AB,AB?平面A1AB,A1A∩AB=A,所以BC⊥平面A1AB.由BC?平面A1BC,得平面A1BC⊥平面A1AB,于是四面體A1-ABC中互相垂直的平面為:平面A1AB⊥平面ABC,平面A1AC⊥平面ABC,平面A1BC⊥平面A1AB.(2)由(1)知,平面A1BC⊥平面A1AB,所以二面角A-A1B-C為90°.由BC⊥平面A1AB,得A1B⊥BC.又AB⊥BC,所以∠A1BA是二面角A1-BC-A的平面角.在Rt△A1AB中,A1A=AB,則∠A1BA=45°,即二面角A1-BC-A為45°.探究點三平面與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用【例3】

如圖,已知V是△ABC外一點,VA⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VBC.求證:AB⊥BC.證明

在平面VAB內(nèi),過點A作AD⊥VB于點D.∵平面VAB⊥平面VBC,且交線為VB,∴AD⊥平面VBC.∴AD⊥BC.∵VA⊥平面ABC,∴VA⊥BC.∵AD∩VA=A,且VA?平面VAB,AD?平面VAB,∴BC⊥平面VAB.∵AB?平面VAB,∴AB⊥BC.變式探究本例中的已知換為“平面VAB⊥平面ABC,平面VAC⊥平面ABC,CA⊥AB”.試證:VA⊥BC.證明

∵平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,AC?平面ABC,CA⊥AB,∴CA⊥平面VAB,∴CA⊥VA.同理,BA⊥VA.又AB∩AC=A,AB,AC?平面ABC,∴VA⊥平面ABC,∵BC?平面ABC,∴VA⊥BC.規(guī)律方法

1.在運用面面垂直的性質(zhì)定理時,若沒有與交線垂直的直線,一般需作輔助線,基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線,這樣便把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題,進而轉(zhuǎn)化為線線垂直問題.2.平面與平面垂直的其他性質(zhì):(1)如果兩個平面垂直,那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi).(2)如果兩個平面垂直,那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面.(3)如果兩個平面垂直,那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內(nèi).本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)二面角以及二面角的平面角.(2)平面與平面垂直的定義.(3)平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化化歸.3.常見誤區(qū):面面垂直的性質(zhì)定理中對判斷一個平面的垂線需要的條件記不清.成果驗收·課堂達標(biāo)檢測123451.(多選題)已知直線l,m,平面α,β,l?α,m?β,則下列說法中正確的是(

)A.若l∥m,則必有α∥βB.若l⊥m,則必有α⊥βC.若l⊥β,則必有α⊥βD.若α∥β,則必有l(wèi)∥βCD解析

對于A,平面α,β可能相交,所以A錯誤;對于B,平面α,β可能平行或斜交,所以B錯誤;對于C,因為l?α且l⊥β,則必有α⊥β,所以C正確;對于D,因為α∥β,則必有l(wèi)∥β,所以D正確.故選CD.123452.(多選題)在四棱錐P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD為矩形,則下列結(jié)論中正確的是(

)A.平面PAB⊥平面PADB.平面PAB⊥平面PBCC.平面PBC⊥平面PCDD.平面PCD⊥平面PADABD12345解析

已知PA⊥底面ABCD,可得PA⊥AD,PA⊥CD,又底面ABCD為矩形,∴AD⊥AB,CD⊥AD,而AB∩PA=A,AD∩PA=A,∴AD⊥平面PAB,CD⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面PAB,平面PCD⊥平面PAD.又BC∥AD,∴BC⊥平面PAB,∴平面PBC⊥平面PAB.選項A,B,D可證明正確.選項C錯誤,故選ABD.123453.如圖,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,則圖中互相垂直的平面共有

對.

3解析

∵AB⊥平面BCD,∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.∵BC⊥CD,∴DC⊥平面ABC.∴