2022-2023學(xué)年福建省三明市高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省三明市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.2 C. D.1〖答案〗C〖解析〗由，得，.故選：．2.已知圓錐底面半徑為1，高為2，則該圓錐側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閳A錐底面半徑為1，高為2，所以圓錐的母線長(zhǎng)為，所以該圓錐側(cè)面積為.故選：B.3.已知平面向量、滿足，，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，則，解得，因?yàn)?，故，故與的夾角為.故選：A.4.一次投籃練習(xí)后體育老師統(tǒng)計(jì)了第一小組10個(gè)同學(xué)的命中次數(shù)作為樣本，計(jì)算出他們的平均命中次數(shù)為6，方差為3，后來這個(gè)小組又增加了一個(gè)同學(xué)，投籃命中次數(shù)為6，那么這個(gè)小組11個(gè)同學(xué)投籃命中次數(shù)組成的新樣本的方差是（）A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)10個(gè)同學(xué)的命中次數(shù)分別為，則有，得，于是新樣本的平均數(shù)，新樣本的方差為，.故選：B.5.在平行四邊形ABCD中，，，G為EF的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.6.設(shè)是兩個(gè)不同平面，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，且與所成的角和與所成的角相等，則〖答案〗B〖解析〗A選項(xiàng)，若，則與可能平行，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，兩個(gè)平面垂直于同一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行，所以B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，若，則可能含于，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若，且與所成的角和與所成的角相等，則可能與異面或相交.故選：B.7.麒麟山位于三明市區(qū)中部，海拔262米，原名牛壟山．在地名普查時(shí)，發(fā)現(xiàn)山腰有一塊“孔子戲麒麟”石碑，故更現(xiàn)名．山頂?shù)镊梓腴w仿古塔造型是八角重檐閣．小李為測(cè)量麒麟閣的高度選取了與底部水平的直線AC，如圖，測(cè)得，，米，則麒麟閣的高度CD約為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以，又，所以，又米，所以，解得?故選：C.8.設(shè)為的內(nèi)心，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中點(diǎn)，連，因?yàn)?，，所以，，所以的?nèi)心在線段上，為內(nèi)切圓的半徑，因，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所以.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.設(shè)復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限 B.的虛部是C. D.為實(shí)數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故A正確；的虛部為，故B錯(cuò)誤；，，故C正確；為實(shí)數(shù)，故D正確.故選：ACD.10.袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，從中有放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字都是偶數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和為6”，則（）A.甲與乙是對(duì)立事件 B.甲與乙是互斥事件C.丙與丁相互獨(dú)立 D.甲與丁相互獨(dú)立〖答案〗BD〖解析〗設(shè)甲、乙、丙、丁事件分別對(duì)應(yīng)，則，，丁包含的基本事件有，則，，；對(duì)于A、B，顯然甲乙事件不能同時(shí)發(fā)生，又，則A錯(cuò)誤；B正確；對(duì)于C，，則，則C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，D正確.故選：BD.11.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，下列說法正確的是（）A.若則是等腰三角形B.若，，，則滿足條件的三角形有且只有一個(gè)C.，，BC邊上中線，則的面積為D.若，則為鈍角三角形〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A：由正弦定理得，則，則中或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由，則，可得，故，滿足條件的三角形有一個(gè)，故B正確；對(duì)于C：設(shè)，容易知，故可得，可得，解得，由余弦定理可得；由，可得，故可得三角形面積為，故C正確；對(duì)于D，即，為銳角，故不一定為鈍角三角形，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是正方體在側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.四棱錐外接球的半徑為C.若，則的最大值為D.若，則的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：三棱錐的體積為，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以的面積是定值，且點(diǎn)到平面的距離是正方體的棱長(zhǎng)，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對(duì)于B：由正方體的性質(zhì)可得四棱錐為正四棱錐，設(shè)，則平面，所以四棱錐外接球的球心在直線上，設(shè)外接球的半徑為，則，，，所以，在中，，即，解得，故B正確；對(duì)于C：過點(diǎn)作，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)榍?，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，又，所以，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，又，所以點(diǎn)的軌跡是線段，在中，，，，所以的最大值為，此時(shí)與重合，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：在中，，所以，所以點(diǎn)到的距離為，所以的最小值為，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，若，則m的值為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)橄蛄浚?，且，所以，?故〖答案〗為：.14.某校對(duì)高二年級(jí)全體學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科質(zhì)量檢測(cè)，按首選科目（物理和歷史）進(jìn)行分層抽樣得到一個(gè)樣本，樣本中選物理類的學(xué)生占，該次質(zhì)量檢測(cè)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?00分，選歷史類的學(xué)生該次質(zhì)量檢測(cè)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分，則可估計(jì)出該校全體高二學(xué)生本次數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)的平均分是______．〖答案〗95〖解析〗由題可知，樣本中選歷史類的學(xué)生占，所以估計(jì)該校全體高二學(xué)生本次數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)的平均分為.故〖答案〗為：95.15.劉徽是魏晉時(shí)代著名的數(shù)學(xué)家，他給出的階幻方被稱為“神農(nóng)幻方”．所謂幻方，即把排成的方陣，使其每行、每列和對(duì)角線的數(shù)字之和均相等．如圖是劉徽構(gòu)作的3階幻方，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取和為15的三個(gè)數(shù)，則含有5的概率是______．816357492〖答案〗〖解析〗隨機(jī)抽取和為15的三個(gè)數(shù)包含的基本事件為共8個(gè)，其中含有5的基本事件有共4個(gè)，則含有5的概率是.故〖答案〗為：.16.已知正三棱柱木料各棱長(zhǎng)都為2，如圖所示，，分別為和的中心，為線段上的點(diǎn)，且，過三點(diǎn)的截面把該木料截成兩部分，則截面面積為______．〖答案〗〖解析〗如圖，連接，延長(zhǎng)分別交于，易知，連接并延長(zhǎng)交于，過作交于，連接，因?yàn)椋?，故梯形為過三點(diǎn)的平面截正三棱柱的截面，因?yàn)椋謩e為和的中心，，又，所以，又是等邊三角形，所以，故，即是的中點(diǎn)，所以，易知四邊形為等腰梯形，所以為等腰梯形的高，又正三棱柱各棱長(zhǎng)都為2，所以，，，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，角的對(duì)邊分別，滿足．（1）求；（2）若，，求的面積．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，由余弦定理得，因?yàn)?，所以．?）由（1）知，，因?yàn)?，所以，即，又，解得，所以?8.某企業(yè)為了深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，組織全體120位黨員開展“學(xué)習(xí)二十大，爭(zhēng)當(dāng)領(lǐng)學(xué)人”黨史知識(shí)競(jìng)賽，所有黨員的成績(jī)均在內(nèi)，成績(jī)分成5組，按照下面分組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，并繪制成頻率分布直方圖如圖所示，按比例分配的分層抽樣的方法在第3，4，5組共選取6人作為企業(yè)“二十大精神”的宣傳使者．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)黨員成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)；（2）若從6位宣傳使者中隨機(jī)選取兩人參加宣傳活動(dòng)，求第3組中至多有一人被選中的概率．解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，小于90分的黨員成績(jī)所占比例為，所以黨員成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)位于內(nèi)，由，可以估計(jì)黨員成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為92.5.（2）由頻率分布直方圖可知，第3，4，5組黨員人數(shù)的比例為，按比例分配的分層抽樣的方法選取第3組黨員人數(shù)為人，將第3組三位黨員編為A，B，C，其他組三位黨員編為D，E，F(xiàn)，用，表示兩位黨員，則可以用表示隨機(jī)選取兩人的組合，設(shè)事件“從宣傳使者中隨機(jī)選取兩人，第3組中至多有一人被選中”，試驗(yàn)的樣本空間，，所以，從而．19.在如圖所示的幾何體中，底面是正方形，四邊形是直角梯形，，，平面平面，分別為的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面平面；（2）求多面體的體積．解：（1）因?yàn)镚，F(xiàn)分別為PB，PC的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，所以，又因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?，因?yàn)镚，E分別為PB，MB的中點(diǎn)．所以，又因?yàn)槠矫?，平面．所以平面，又因?yàn)椋珽G，平面EFG，所以平面平面．（2）連接，則多面體的體積，因?yàn)樗倪呅问侵苯翘菪?，，，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以PD是四棱錐的高，又因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，平面．所以，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，又，AD，平面，所以平面，即AB是三棱錐的高，所以，所以多面體PMABCD的體積．20.猜燈謎是我國元宵節(jié)傳統(tǒng)特色活動(dòng)．在某校今年開展元宵節(jié)猜燈謎的活動(dòng)中，組織者設(shè)置難度相當(dāng)?shù)娜舾蔁糁i，某班派甲、乙和丙三位同學(xué)獨(dú)立競(jìng)猜，根據(jù)以往數(shù)據(jù)分析可知，甲、乙猜對(duì)該難度的每道燈謎的概率分別為，．（1）任選一道燈謎，求甲、乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率；（2）任選一道燈謎，若甲、乙、丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人猜對(duì)的概率為，求丙猜對(duì)該難度的每道燈謎的概率．解：（1）設(shè)事件A=“任選一道燈謎，甲猜對(duì)”，事件B=“任選一道燈謎，乙猜對(duì)”，事件C=“任選一道燈謎，甲、乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對(duì)”，則，，故，，因?yàn)槭录嗀與事件B相互獨(dú)立，所以．（2）設(shè)事件D=“任選一道燈謎，甲、乙、丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人猜對(duì)”，事件E=“任選一道燈謎，丙猜對(duì)”，因?yàn)槭录嗀、事件B、事件C兩兩獨(dú)立，那么，所以，，所以．21.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，．（1）求證：；（2）在線段PD上是否存在一點(diǎn)M，使得BM與平面所成角的正切值為，若存在，求二面角的大小，若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）證明：因?yàn)?，，，，所以四邊形是直角梯形，且，，故，即，又平面，平面，所以，又，且PA，平面PAC，所以平面PAC，又平面PAC，所以.（2）存在符合條件的點(diǎn)M，且M為PD的中點(diǎn)，證明如下，過點(diǎn)M作于點(diǎn)N，連接BN，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)镸N，平面PAD，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，平面，所以平面，則∠MBN為BM與平面所成的角，設(shè)，則，，，由得，解得或（舍去），所以M為PD的中點(diǎn)，過點(diǎn)N作于點(diǎn)G，連接MG，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面MGN，故平面MGN，因?yàn)槠矫鍹GN，所以，所以∠MGN為二面角的平面角，在中，，所以，即當(dāng)點(diǎn)M為PD的中點(diǎn)時(shí)，符合題意，且二面角的大小為．22.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．點(diǎn)D在BC上，且.（1）若，求c；（2）若AD是∠BAC的角平分線，且，求周長(zhǎng)的最小值．解：（1）因?yàn)?，在中由正弦定理得，即，所以?（2）由得，即，在中，由余弦定理得，所以，所以周長(zhǎng)，由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以周長(zhǎng)，所以周長(zhǎng)的最小值為．福建省三明市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.2 C. D.1〖答案〗C〖解析〗由，得，.故選：．2.已知圓錐底面半徑為1，高為2，則該圓錐側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閳A錐底面半徑為1，高為2，所以圓錐的母線長(zhǎng)為，所以該圓錐側(cè)面積為.故選：B.3.已知平面向量、滿足，，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，則，解得，因?yàn)椋?，故與的夾角為.故選：A.4.一次投籃練習(xí)后體育老師統(tǒng)計(jì)了第一小組10個(gè)同學(xué)的命中次數(shù)作為樣本，計(jì)算出他們的平均命中次數(shù)為6，方差為3，后來這個(gè)小組又增加了一個(gè)同學(xué)，投籃命中次數(shù)為6，那么這個(gè)小組11個(gè)同學(xué)投籃命中次數(shù)組成的新樣本的方差是（）A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)10個(gè)同學(xué)的命中次數(shù)分別為，則有，得，于是新樣本的平均數(shù)，新樣本的方差為，.故選：B.5.在平行四邊形ABCD中，，，G為EF的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.6.設(shè)是兩個(gè)不同平面，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，且與所成的角和與所成的角相等，則〖答案〗B〖解析〗A選項(xiàng)，若，則與可能平行，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，兩個(gè)平面垂直于同一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行，所以B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，若，則可能含于，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若，且與所成的角和與所成的角相等，則可能與異面或相交.故選：B.7.麒麟山位于三明市區(qū)中部，海拔262米，原名牛壟山．在地名普查時(shí)，發(fā)現(xiàn)山腰有一塊“孔子戲麒麟”石碑，故更現(xiàn)名．山頂?shù)镊梓腴w仿古塔造型是八角重檐閣．小李為測(cè)量麒麟閣的高度選取了與底部水平的直線AC，如圖，測(cè)得，，米，則麒麟閣的高度CD約為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，所以，又，所以，又米，所以，解得?故選：C.8.設(shè)為的內(nèi)心，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中點(diǎn)，連，因?yàn)椋?，所以，，所以的?nèi)心在線段上，為內(nèi)切圓的半徑，因，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所以.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.設(shè)復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限 B.的虛部是C. D.為實(shí)數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故A正確；的虛部為，故B錯(cuò)誤；，，故C正確；為實(shí)數(shù)，故D正確.故選：ACD.10.袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，從中有放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字都是偶數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和為6”，則（）A.甲與乙是對(duì)立事件 B.甲與乙是互斥事件C.丙與丁相互獨(dú)立 D.甲與丁相互獨(dú)立〖答案〗BD〖解析〗設(shè)甲、乙、丙、丁事件分別對(duì)應(yīng)，則，，丁包含的基本事件有，則，，；對(duì)于A、B，顯然甲乙事件不能同時(shí)發(fā)生，又，則A錯(cuò)誤；B正確；對(duì)于C，，則，則C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，D正確.故選：BD.11.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，下列說法正確的是（）A.若則是等腰三角形B.若，，，則滿足條件的三角形有且只有一個(gè)C.，，BC邊上中線，則的面積為D.若，則為鈍角三角形〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A：由正弦定理得，則，則中或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由，則，可得，故，滿足條件的三角形有一個(gè)，故B正確；對(duì)于C：設(shè)，容易知，故可得，可得，解得，由余弦定理可得；由，可得，故可得三角形面積為，故C正確；對(duì)于D，即，為銳角，故不一定為鈍角三角形，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是正方體在側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.四棱錐外接球的半徑為C.若，則的最大值為D.若，則的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：三棱錐的體積為，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以的面積是定值，且點(diǎn)到平面的距離是正方體的棱長(zhǎng)，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對(duì)于B：由正方體的性質(zhì)可得四棱錐為正四棱錐，設(shè)，則平面，所以四棱錐外接球的球心在直線上，設(shè)外接球的半徑為，則，，，所以，在中，，即，解得，故B正確；對(duì)于C：過點(diǎn)作，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)榍?，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，又，所以，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，又，所以點(diǎn)的軌跡是線段，在中，，，，所以的最大值為，此時(shí)與重合，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：在中，，所以，所以點(diǎn)到的距離為，所以的最小值為，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，若，則m的值為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)橄蛄?，，且，所以，?故〖答案〗為：.14.某校對(duì)高二年級(jí)全體學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科質(zhì)量檢測(cè)，按首選科目（物理和歷史）進(jìn)行分層抽樣得到一個(gè)樣本，樣本中選物理類的學(xué)生占，該次質(zhì)量檢測(cè)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?00分，選歷史類的學(xué)生該次質(zhì)量檢測(cè)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分，則可估計(jì)出該校全體高二學(xué)生本次數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)的平均分是______．〖答案〗95〖解析〗由題可知，樣本中選歷史類的學(xué)生占，所以估計(jì)該校全體高二學(xué)生本次數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)的平均分為.故〖答案〗為：95.15.劉徽是魏晉時(shí)代著名的數(shù)學(xué)家，他給出的階幻方被稱為“神農(nóng)幻方”．所謂幻方，即把排成的方陣，使其每行、每列和對(duì)角線的數(shù)字之和均相等．如圖是劉徽構(gòu)作的3階幻方，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取和為15的三個(gè)數(shù)，則含有5的概率是______．816357492〖答案〗〖解析〗隨機(jī)抽取和為15的三個(gè)數(shù)包含的基本事件為共8個(gè)，其中含有5的基本事件有共4個(gè)，則含有5的概率是.故〖答案〗為：.16.已知正三棱柱木料各棱長(zhǎng)都為2，如圖所示，，分別為和的中心，為線段上的點(diǎn)，且，過三點(diǎn)的截面把該木料截成兩部分，則截面面積為______．〖答案〗〖解析〗如圖，連接，延長(zhǎng)分別交于，易知，連接并延長(zhǎng)交于，過作交于，連接，因?yàn)椋?，故梯形為過三點(diǎn)的平面截正三棱柱的截面，因?yàn)?，分別為和的中心，，又，所以，又是等邊三角形，所以，故，即是的中點(diǎn)，所以，易知四邊形為等腰梯形，所以為等腰梯形的高，又正三棱柱各棱長(zhǎng)都為2，所以，，，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，角的對(duì)邊分別，滿足．（1）求；（2）若，，求的面積．解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，由余弦定理得，因?yàn)椋裕?）由（1）知，，因?yàn)椋?，即，又，解得，所以?8.某企業(yè)為了深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，組織全體120位黨員開展“學(xué)習(xí)二十大，爭(zhēng)當(dāng)領(lǐng)學(xué)人”黨史知識(shí)競(jìng)賽，所有黨員的成績(jī)均在內(nèi)，成績(jī)分成5組，按照下面分組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，并繪制成頻率分布直方圖如圖所示，按比例分配的分層抽樣的方法在第3，4，5組共選取6人作為企業(yè)“二十大精神”的宣傳使者．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)黨員成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)；（2）若從6位宣傳使者中隨機(jī)選取兩人參加宣傳活動(dòng)，求第3組中至多有一人被選中的概率．解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，小于90分的黨員成績(jī)所占比例為，所以黨員成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)位于內(nèi)，由，可以估計(jì)黨員成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為92.5.（2）由頻率分布直方圖可知，第3，4，5組黨員人數(shù)的比例為，按比例分配的分層抽樣的方法選取第3組黨員人數(shù)為人，將第3組三位黨員編為A，B，C，其他組三位黨員編為D，E，F(xiàn)，用，表示兩位黨員，則可以用表示隨機(jī)選取兩人的組合，設(shè)事件“從宣傳使者中隨機(jī)選取兩人，第3組中至多有一人被選中”，試驗(yàn)的樣本空間，，所以，從而．19.在如圖所示的幾何體中，底面是正方形，四邊形是直角梯形，，，平面平面，分別為的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面平面；（2）求多面體的體積．解：（1）因?yàn)镚，F(xiàn)分別為PB，PC的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，所以，又因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?，因?yàn)镚，E分別為PB，MB的中點(diǎn)．所以，又因?yàn)槠矫?，平面．所以平面，又因?yàn)椋珽G，平面EFG，所以平面平面．（2）連接，則多面體的體積，因?yàn)樗倪呅问侵苯翘菪?，，，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以PD是四棱錐的高，又因?yàn)椋?/p>