2022-2023學年廣東省中山市高一下學期期末數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省中山市2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在銳角三角形中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在銳角三角形中，，由正弦定理得，又，所以，且，故.故選：A.2.已知復數(shù)z滿足，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)，所以，所以所以或所以復數(shù)或，所以．故選：B．3.已知，且，的夾角為，則在上的投影向量為（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在上的投影向量是：.故選：A.4.一個平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為2的正方形，則原平面圖形的周長為（）A.8 B. C.16 D.〖答案〗C〖解析〗還原直觀圖為原圖形如圖所示，因為，所以，還原回原圖形后，，，所以，所以原圖形周長為．故選：C.5.已知m，n是空間中兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，，則〖答案〗D〖解析〗若，，，則可能平行，可能相交，故A錯誤；若，，則或或或與相交（不垂直），故B錯誤；若，則或，故C錯誤；因為，，所以，又，所以，故D正確.故選：D.6.南丁格爾玫瑰圖是由近代護理學和護士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlorenceNightingale1820－1910）設(shè)計的，圖中每個扇形圓心角都相等，半徑長短表示數(shù)量大小.某機構(gòu)統(tǒng)計了近些年中國知識付費用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖如下，根據(jù)此圖，下列說法錯誤的是（）A2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加B.2017年至2018年，知識付費用戶數(shù)量增加量為近些年來最多C.2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍D.2016年至2022年，知識付費用戶數(shù)量的年增加量逐年遞增〖答案〗D〖解析〗對于A，由圖可知，2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加，故A正確；對于BD，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量分別為：2016年，；2017年，；2018年，；2019年，；2020年，；2021年，；2022年，，可知知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多，故B正確，D錯誤；對于C，由，即2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍，故C正確.故選：D.7.把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，將其圖像向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則其對稱軸為即，所以，則，因為，所以的最小值為.故選：C.8.古代數(shù)學家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學著作，也為地圖學提供了數(shù)學基礎(chǔ)，根據(jù)劉徽的《重差》測量一個球體建筑的高度，已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上B，C兩點與點A在同一條直線上，且在點A的同側(cè)，若在B，C處分別測量球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且BC=100，則該球體建筑物的高度約為（）（cos10°≈0.985）A.45.25 B.50.76 C.56.74 D.58.60〖答案〗B〖解析〗設(shè)球的半徑為R，，，.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，．則b可以為（）A.7 B.8 C.9 D.10〖答案〗AB〖解析〗在△ABC中，，，由正弦定理可得，即，所以，因為，所以，所以b可以為7，8.故選：AB.10.以下化簡結(jié)果正確的是（）A.B.C.D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A中，由兩角和與差的正弦公式，可得，所以A正確；對于B中，由，所以B錯誤；對于C中，因為，可得，所以，所以C正確；對于D中，由余弦的倍角公式，可得，所以D正確.故選：ACD.11.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設(shè)事件“第一次出現(xiàn)2點”，“第二次的點數(shù)小于5點”，“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次點數(shù)之和為9”，則下列說法正確的有（）A.與不互斥且相互獨立 B.與互斥且不相互獨立C.與互斥且不相互獨立 D.與不互斥且相互獨立〖答案〗ABD〖解析〗對于A：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次與第二次的結(jié)果互不影響，即與相互獨立；第一次出現(xiàn)2點，第二次的點數(shù)小于5點可以同時發(fā)生，與不互斥；故A正確；對于B：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果會影響兩次點數(shù)之和，即與不相互獨立；第一次出現(xiàn)2點，則兩次點數(shù)之和最大為8，即與不能同時發(fā)生，即與互斥，故B正確；對于C：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第二次的結(jié)果會影響兩次點數(shù)之和，即與不相互獨立；若第一次的點數(shù)為5，第二次的點數(shù)4點，則兩次點數(shù)之和為9，即與可以同時發(fā)生，即與不互斥，故C錯誤；對于D：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果不會影響兩次點數(shù)之和的奇偶，即與相互獨立；若第一次的點數(shù)為2，第二次的點數(shù)3點，則兩次點數(shù)之和為5是奇數(shù)，即與可以同時發(fā)生，即與不互斥，故D正確.故選：ABD.12.如圖，在正方體中，分別為的中點，則下列說法正確的是（）A. B.平面C.與所成的角的余弦值為 D.點到平面的距離為〖答案〗AD〖解析〗A選項：取中點為，則易得：，故與，，可得平面，又平面，故，A正確；B選項：若平面，則平面或在平面內(nèi)，顯然不成立，B錯誤；C選項：取中點為，則即為所求角，，故，D錯誤；D選項：三棱錐中，，等邊三角形的外接圓半徑為，所以到平面的距離為，D正確.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某校從高一男生中隨機抽取了一個容量為20的身高樣本，將得到的數(shù)據(jù)（單位：cm）從小到大排序：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，x，172，172，173，173，174，175．若該樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是171，則x的值為______．〖答案〗170〖解析〗因為，所以第70百分位數(shù)為第14個數(shù)和第15個數(shù)的平均數(shù)，因為該樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是171，所以，解得.故〖答案〗為：170.14.如圖，在△ABC中，，，，M是BC邊上的中點，P是AM上一點，且滿足，則__________.〖答案〗〖解析〗由圖可得三點共線，又，則.注意到，則.故〖答案〗為：.15.某班同學的體重狀況調(diào)查中，已知30名男生的平均體重為60kg，方差為50，20名女生的平均體重為50kg，方差為60，那么該班50名同學的平均體重為__________kg，方差為__________.〖答案〗5678〖解析〗該班50名同學的平均體重為；由總體樣本方差公式可得該班50名同學的方差為.故〖答案〗為：5678.16.為了研究問題方便，有時將余弦定理寫成：，利用這個結(jié)構(gòu)解決如下問題：若三個正實數(shù)，滿足，，，則_______.〖答案〗〖解析〗設(shè)的角、、的對邊分別為、、，在內(nèi)取點，使得，設(shè)，，，由余弦定理得，，，∴，，∴，則，則，所以，由，得，即，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，滿足，，．求：（1）；（2）與的夾角．解：（1）由，得，故，代入，，得，由，得.（2）由，由于，故與的夾角為.18.已知銳角三角形中，，.（1）求證：；（2）求的值.解：（1）證明：，，，所以.（2），，，即，將代入，得，解得，舍去負值，得.19.在某次乒乓球團體選拔賽中，甲乙兩隊進行比賽，采取五局三勝制（即先勝三局的團隊獲得比賽的勝利），假設(shè)在每局比賽中，甲隊獲勝的概率為0.6，乙隊獲勝的概率為0.4，各局比賽相互獨立.（1）求這場選拔賽三局結(jié)束的概率；（2）若第一局比賽乙隊獲勝，求比賽進入第五局的概率.解：（1）設(shè)“第i局甲勝”為事件，“第j局乙勝”為事件（i，，2，3，4，5），記“三局結(jié)束比賽”，則，所以.（2）記“決勝局進入第五局比賽”，則，所以.20.古希臘數(shù)學家海倫的著作《測地術(shù)》中記載了著名的海倫公式，即利用三角形的三邊長求三角形面積.若三角形的三邊分別為a，b，c，則其面積，其中.（1）證明：海倫公式；（2）若，，求此三角形面積的最大值.解：（1），其中，得證.（2）因為，，所以，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以得最大值為，此時，，，滿足，符合題意.21.已知滿足．（1）試問：角是否可能為直角？請說明理由；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．解：（1）假設(shè)角為直角，則，所以，因為，所以，所以，所以，顯然，所以矛盾，故假設(shè)不成立，所以角不可能為直角．（2）因為，所以，由正弦定理，得，由余弦定理化簡，得，因為為銳角三角形，所以令，則有，所以的取值范圍為．22.如圖1，在平行四邊形ABCD中，，，，E是邊BC上的點，且．連結(jié)AE，并以AE為折痕將△ABE折起，使點B到達點P的位置，得到四棱錐，如圖2．（1）設(shè)平面PEC與平面PAD的交線為l，證明：AD∥l；（2）在圖2中，已知．①證明：平面PAE⊥平面AECD；②求以P，A，D，E為頂點的四面體外接球的表面積．解：（1）由題設(shè)，，而面，面，所以面，又面，面，平面PEC與平面PAD的交線為l，面，所以且，綜上.（2）①若為中點，連接，由題設(shè)，，，則，，所以，故，又，平行四邊形ABCD中，可得，在△中，，，故，在△中，，，即，所以，又為中點，故，在△中，，，則，所以，由，面，故面，又面，則面面.②由①知：△為直角三角形，則外接圓圓心為，故外接圓半徑為，又面，則以P，A，D，E為頂點的四面體外接球球心在直線上，若外接球半徑為，則，可得，所以外接球的表面積為.廣東省中山市2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在銳角三角形中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在銳角三角形中，，由正弦定理得，又，所以，且，故.故選：A.2.已知復數(shù)z滿足，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)，所以，所以所以或所以復數(shù)或，所以．故選：B．3.已知，且，的夾角為，則在上的投影向量為（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在上的投影向量是：.故選：A.4.一個平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為2的正方形，則原平面圖形的周長為（）A.8 B. C.16 D.〖答案〗C〖解析〗還原直觀圖為原圖形如圖所示，因為，所以，還原回原圖形后，，，所以，所以原圖形周長為．故選：C.5.已知m，n是空間中兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，，則〖答案〗D〖解析〗若，，，則可能平行，可能相交，故A錯誤；若，，則或或或與相交（不垂直），故B錯誤；若，則或，故C錯誤；因為，，所以，又，所以，故D正確.故選：D.6.南丁格爾玫瑰圖是由近代護理學和護士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlorenceNightingale1820－1910）設(shè)計的，圖中每個扇形圓心角都相等，半徑長短表示數(shù)量大小.某機構(gòu)統(tǒng)計了近些年中國知識付費用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖如下，根據(jù)此圖，下列說法錯誤的是（）A2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加B.2017年至2018年，知識付費用戶數(shù)量增加量為近些年來最多C.2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍D.2016年至2022年，知識付費用戶數(shù)量的年增加量逐年遞增〖答案〗D〖解析〗對于A，由圖可知，2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加，故A正確；對于BD，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量分別為：2016年，；2017年，；2018年，；2019年，；2020年，；2021年，；2022年，，可知知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多，故B正確，D錯誤；對于C，由，即2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍，故C正確.故選：D.7.把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，將其圖像向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則其對稱軸為即，所以，則，因為，所以的最小值為.故選：C.8.古代數(shù)學家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學著作，也為地圖學提供了數(shù)學基礎(chǔ)，根據(jù)劉徽的《重差》測量一個球體建筑的高度，已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上B，C兩點與點A在同一條直線上，且在點A的同側(cè)，若在B，C處分別測量球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且BC=100，則該球體建筑物的高度約為（）（cos10°≈0.985）A.45.25 B.50.76 C.56.74 D.58.60〖答案〗B〖解析〗設(shè)球的半徑為R，，，.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，．則b可以為（）A.7 B.8 C.9 D.10〖答案〗AB〖解析〗在△ABC中，，，由正弦定理可得，即，所以，因為，所以，所以b可以為7，8.故選：AB.10.以下化簡結(jié)果正確的是（）A.B.C.D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A中，由兩角和與差的正弦公式，可得，所以A正確；對于B中，由，所以B錯誤；對于C中，因為，可得，所以，所以C正確；對于D中，由余弦的倍角公式，可得，所以D正確.故選：ACD.11.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設(shè)事件“第一次出現(xiàn)2點”，“第二次的點數(shù)小于5點”，“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次點數(shù)之和為9”，則下列說法正確的有（）A.與不互斥且相互獨立 B.與互斥且不相互獨立C.與互斥且不相互獨立 D.與不互斥且相互獨立〖答案〗ABD〖解析〗對于A：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次與第二次的結(jié)果互不影響，即與相互獨立；第一次出現(xiàn)2點，第二次的點數(shù)小于5點可以同時發(fā)生，與不互斥；故A正確；對于B：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果會影響兩次點數(shù)之和，即與不相互獨立；第一次出現(xiàn)2點，則兩次點數(shù)之和最大為8，即與不能同時發(fā)生，即與互斥，故B正確；對于C：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第二次的結(jié)果會影響兩次點數(shù)之和，即與不相互獨立；若第一次的點數(shù)為5，第二次的點數(shù)4點，則兩次點數(shù)之和為9，即與可以同時發(fā)生，即與不互斥，故C錯誤；對于D：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果不會影響兩次點數(shù)之和的奇偶，即與相互獨立；若第一次的點數(shù)為2，第二次的點數(shù)3點，則兩次點數(shù)之和為5是奇數(shù)，即與可以同時發(fā)生，即與不互斥，故D正確.故選：ABD.12.如圖，在正方體中，分別為的中點，則下列說法正確的是（）A. B.平面C.與所成的角的余弦值為 D.點到平面的距離為〖答案〗AD〖解析〗A選項：取中點為，則易得：，故與，，可得平面，又平面，故，A正確；B選項：若平面，則平面或在平面內(nèi)，顯然不成立，B錯誤；C選項：取中點為，則即為所求角，，故，D錯誤；D選項：三棱錐中，，等邊三角形的外接圓半徑為，所以到平面的距離為，D正確.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某校從高一男生中隨機抽取了一個容量為20的身高樣本，將得到的數(shù)據(jù)（單位：cm）從小到大排序：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，x，172，172，173，173，174，175．若該樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是171，則x的值為______．〖答案〗170〖解析〗因為，所以第70百分位數(shù)為第14個數(shù)和第15個數(shù)的平均數(shù)，因為該樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是171，所以，解得.故〖答案〗為：170.14.如圖，在△ABC中，，，，M是BC邊上的中點，P是AM上一點，且滿足，則__________.〖答案〗〖解析〗由圖可得三點共線，又，則.注意到，則.故〖答案〗為：.15.某班同學的體重狀況調(diào)查中，已知30名男生的平均體重為60kg，方差為50，20名女生的平均體重為50kg，方差為60，那么該班50名同學的平均體重為__________kg，方差為__________.〖答案〗5678〖解析〗該班50名同學的平均體重為；由總體樣本方差公式可得該班50名同學的方差為.故〖答案〗為：5678.16.為了研究問題方便，有時將余弦定理寫成：，利用這個結(jié)構(gòu)解決如下問題：若三個正實數(shù)，滿足，，，則_______.〖答案〗〖解析〗設(shè)的角、、的對邊分別為、、，在內(nèi)取點，使得，設(shè)，，，由余弦定理得，，，∴，，∴，則，則，所以，由，得，即，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，滿足，，．求：（1）；（2）與的夾角．解：（1）由，得，故，代入，，得，由，得.（2）由，由于，故與的夾角為.18.已知銳角三角形中，，.（1）求證：；（2）求的值.解：（1）證明：，，，所以.（2），，，即，將代入，得，解得，舍去負值，得.19.在某次乒乓球團體選拔賽中，甲乙兩隊進行比賽，采取五局三勝制（即先勝三局的團隊獲得比賽的勝利），假設(shè)在每局比賽中，甲隊