2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因，所以，所以z共軛復(fù)數(shù).故選：C.2.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得：，解得，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.3.在中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)．若，則（）A. B. C.－1 D.1〖答案〗C〖解析〗如圖所示，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得：，又因?yàn)?，所以，所?故選：C.4.三條直線，，的位置如圖所示，它們的斜率分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)三條直線，，的傾斜角為，由圖可知，所以.故選：B.5.已知直線a，b，平面，，，則下列判斷正確的是（）A.，B.，C.，，，D.，，〖答案〗D〖解析〗作長方體，連接左右側(cè)面的對角線，如下圖所示：對于A，設(shè)，，平面，顯然，，但，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)，，平面，顯然，，但，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)且僅當(dāng)，，，與相交，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對于D，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，故D正確.故選：D.6.若函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)相鄰公共點(diǎn)之間的距離等于2，則對稱中心到對稱軸距離的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)相鄰公共點(diǎn)之間的距離等于2，可得函數(shù)的最小正周期為，則對稱中心到對稱軸距離的最小值為.故選：B.7.已知正三棱錐的側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且，則其外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)檎忮F的側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且，如圖將正三棱錐放到如下棱長為正方體中，則正三棱錐的外接球即為正方體的外接球，則正方體的外接球的半徑，所以外接球的表面積.故選：A.8.已知的外接圓圓心為O，且，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵的外接圓的圓心為O，且，

∴O為的中點(diǎn)，即為外接圓的直徑，∴，

∵，∴是等邊三角形，設(shè)為的中點(diǎn)，則，∴向量在向量上的投影向量為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，，，四點(diǎn)不共線，下列等式能判斷為平行四邊形的是（）A. B.（為平面內(nèi)任意一點(diǎn)）C. D.（為平面內(nèi)任意一點(diǎn)）〖答案〗ABC〖解析〗因?yàn)?，，，四點(diǎn)不共線，對于A：，所以且，所以為平行四邊形，故A正確；對于B：因?yàn)?，所以，所以且，所以為平行四邊形，故B正確；對于C：因?yàn)?，即，所以，所以且，所以為平行四邊形，故C正確；對于D：因?yàn)椋?，所以，所以四邊形為平行四邊形，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.在中，已知，，，則邊的長可能為（）A.4 B.5 C.8 D.10〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)?，，，由余弦定理，即，即，解得?故選：AC.11.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.B.C.函數(shù)周期為D.將函數(shù)的圖象向左平移可得的圖象〖答案〗BC〖解析〗由圖可知，，，，此時(shí)，令，則，，，，，，故A錯(cuò)誤，B正確；由圖可知的周期為，故C正確；將函數(shù)的圖象向左平移得，與不同，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.在正方體中，則下列判斷正確的是（）A.直線與夾角為 B.直線與平面夾角為C.平面平面 D.直線平面〖答案〗BCD〖解析〗對于A，正方體的對角面是矩形，則，是直線與所成角或其補(bǔ)角，而為等邊三角形，即，A錯(cuò)誤；對于B，由平面，平面，得，而，，平面，因此平面，令，連接，則是直線與平面夾角，顯然，B正確；對于C，由平面，平面，得，而，，平面，則平面，又平面，因此平面平面，C正確；對于D，由選項(xiàng)B知，平面，平面，則，同理，而平面，所以直線平面，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在射線上，且，則______．〖答案〗〖解析〗由復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在射線上，所以，，其中，因?yàn)?，可得，又因?yàn)椋獾?，所?故〖答案〗為：.14.已知，且，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，所以，，，所以，所以，所以，所?故〖答案〗為：.15.在一個(gè)直二面角的棱l上有兩點(diǎn)A，B，線段，線段，并且，，，則CD的長為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，則，又因?yàn)?，，，，所以，連接，則，可得，所以.故〖答案〗為：.16.邊長為2的等邊三角形ABC的重心為G，設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由題意，設(shè)等邊的邊長為，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以分別為軸建立直角坐標(biāo)系，可作圖如下：由為等邊的重心，則，，即，，設(shè)，則，，，對于，，故.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，.（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）求邊上的中線所在直線的方程.解：（1）由題意得，且，所以，則邊上的高所在直線的方程為，化簡得.（2）由題知的中點(diǎn)，所以，則邊上的中線所在直線的方程為，化簡得.18.已知．（1）求的周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求在上的最小值及相應(yīng)自變量的取值集合．解：（1）由已知得，則的周期為，由得，所以的單調(diào)減區(qū)間為．（2）設(shè)，由題知，，則當(dāng)時(shí)，最小值為0，此時(shí)，即，所以取到最小時(shí)相應(yīng)的自變量的集合為．19.設(shè)向量．（1）求證：與互相垂直；（2）設(shè)，若與垂直，求實(shí)數(shù)的值；（3）設(shè)，當(dāng)取最小值時(shí)，求的值．解：（1）證明：由向量，可得，又由，所以與互相垂直．（2）由，可得，因?yàn)?，所以，解得．?）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取到最小值，于是，又，所以．20.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，分別為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）設(shè)平面，，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求異面直線與所成角的余弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則且，又因?yàn)榍遥瑒t，且，所以平行四邊形，則，因?yàn)槊鍼AD，面PAD，所以平面．（2）若選條件①：由，因?yàn)椋瑒t，又由，且平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，如圖所示，則，，，故，又由，則，所以異面直線與PC所成角的余弦值為．若選條件②：由，可得，所以，又由，所以，所以，即，又由平面，且平面，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，如圖所示，則，，，故，又由，則，所以異面直線與PC所成角的余弦值為．21.如圖，已知是圓的直徑，且垂直圓所在的平面，且是弧的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求二面角A－BM－P的正弦值．解：（1）設(shè)點(diǎn)到平面距離為，由題意知，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，則平面，又平面，所以，由，得，，即，故，所以點(diǎn)到平面的距離為.（2）由（1）得，，所以即為二面角的平面角，因?yàn)椋腔〉闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，則，則，所以二面角A－BM－P的正弦值為．22.如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min．在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，再從B勻速步行到C．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為100m/min，山路AC長為2520m，經(jīng)測量，，∠B為鈍角．（1）求索道AB的長度；（2）求乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？最短距離為多少m（結(jié)果保留根號(hào)）？解：（1）由，得，又，可得，由正弦定理，得，所以索道AB的長度為（m）．（2）設(shè)乙出發(fā)分鐘時(shí)，甲、乙之間的距離為h，由余弦定理，可得，當(dāng)時(shí)，取最小值．此時(shí)，h的最小值為．所以，乙出發(fā)分鐘后，乙在纜車上與甲的最短距離為．內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因，所以，所以z共軛復(fù)數(shù).故選：C.2.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得：，解得，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.3.在中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)．若，則（）A. B. C.－1 D.1〖答案〗C〖解析〗如圖所示，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得：，又因?yàn)?，所以，所?故選：C.4.三條直線，，的位置如圖所示，它們的斜率分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)三條直線，，的傾斜角為，由圖可知，所以.故選：B.5.已知直線a，b，平面，，，則下列判斷正確的是（）A.，B.，C.，，，D.，，〖答案〗D〖解析〗作長方體，連接左右側(cè)面的對角線，如下圖所示：對于A，設(shè)，，平面，顯然，，但，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)，，平面，顯然，，但，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)且僅當(dāng)，，，與相交，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對于D，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，故D正確.故選：D.6.若函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)相鄰公共點(diǎn)之間的距離等于2，則對稱中心到對稱軸距離的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)相鄰公共點(diǎn)之間的距離等于2，可得函數(shù)的最小正周期為，則對稱中心到對稱軸距離的最小值為.故選：B.7.已知正三棱錐的側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且，則其外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)檎忮F的側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且，如圖將正三棱錐放到如下棱長為正方體中，則正三棱錐的外接球即為正方體的外接球，則正方體的外接球的半徑，所以外接球的表面積.故選：A.8.已知的外接圓圓心為O，且，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵的外接圓的圓心為O，且，

∴O為的中點(diǎn)，即為外接圓的直徑，∴，

∵，∴是等邊三角形，設(shè)為的中點(diǎn)，則，∴向量在向量上的投影向量為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，，，四點(diǎn)不共線，下列等式能判斷為平行四邊形的是（）A. B.（為平面內(nèi)任意一點(diǎn)）C. D.（為平面內(nèi)任意一點(diǎn)）〖答案〗ABC〖解析〗因?yàn)?，，，四點(diǎn)不共線，對于A：，所以且，所以為平行四邊形，故A正確；對于B：因?yàn)椋?，所以且，所以為平行四邊形，故B正確；對于C：因?yàn)?，即，所以，所以且，所以為平行四邊形，故C正確；對于D：因?yàn)?，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.在中，已知，，，則邊的長可能為（）A.4 B.5 C.8 D.10〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)?，，，由余弦定理，即，即，解得?故選：AC.11.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.B.C.函數(shù)周期為D.將函數(shù)的圖象向左平移可得的圖象〖答案〗BC〖解析〗由圖可知，，，，此時(shí)，令，則，，，，，，故A錯(cuò)誤，B正確；由圖可知的周期為，故C正確；將函數(shù)的圖象向左平移得，與不同，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.在正方體中，則下列判斷正確的是（）A.直線與夾角為 B.直線與平面夾角為C.平面平面 D.直線平面〖答案〗BCD〖解析〗對于A，正方體的對角面是矩形，則，是直線與所成角或其補(bǔ)角，而為等邊三角形，即，A錯(cuò)誤；對于B，由平面，平面，得，而，，平面，因此平面，令，連接，則是直線與平面夾角，顯然，B正確；對于C，由平面，平面，得，而，，平面，則平面，又平面，因此平面平面，C正確；對于D，由選項(xiàng)B知，平面，平面，則，同理，而平面，所以直線平面，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在射線上，且，則______．〖答案〗〖解析〗由復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在射線上，所以，，其中，因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，解得，所?故〖答案〗為：.14.已知，且，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，且，所以，，，所以，所以，所以，所?故〖答案〗為：.15.在一個(gè)直二面角的棱l上有兩點(diǎn)A，B，線段，線段，并且，，，則CD的長為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，則，又因?yàn)?，，，，所以，連接，則，可得，所以.故〖答案〗為：.16.邊長為2的等邊三角形ABC的重心為G，設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由題意，設(shè)等邊的邊長為，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以分別為軸建立直角坐標(biāo)系，可作圖如下：由為等邊的重心，則，，即，，設(shè)，則，，，對于，，故.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，.（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）求邊上的中線所在直線的方程.解：（1）由題意得，且，所以，則邊上的高所在直線的方程為，化簡得.（2）由題知的中點(diǎn)，所以，則邊上的中線所在直線的方程為，化簡得.18.已知．（1）求的周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求在上的最小值及相應(yīng)自變量的取值集合．解：（1）由已知得，則的周期為，由得，所以的單調(diào)減區(qū)間為．（2）設(shè)，由題知，，則當(dāng)時(shí)，最小值為0，此時(shí)，即，所以取到最小時(shí)相應(yīng)的自變量的集合為．19.設(shè)向量．（1）求證：與互相垂直；（2）設(shè)，若與垂直，求實(shí)數(shù)的值；（3）設(shè)，當(dāng)取最小值時(shí)，求的值．解：（1）證明：由向量，可得，又由，所以與互相垂直．（2）由，可得，因?yàn)?，所以，解得．?）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取到最小值，于是，又，所以．20.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，分別為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）設(shè)平面，，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求異面直線與所成角的余弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則且，又因?yàn)榍遥瑒t，且，所以平行四邊形，則，因?yàn)槊鍼AD，面PAD，所以平面．（2）若選條件①：由，因?yàn)椋瑒t，又由，且平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為x，y，z軸建立空間直