2023-2024學(xué)年上海市靜安區(qū)高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市靜安區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有10題，滿分35分，其中1~5題每題3分，6~10題每題4分.）1.已知向量，則______．〖答案〗〖解析〗，故.故〖答案〗為：.2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則______．〖答案〗〖解析〗，故，故.故〖答案〗為：.3.已知（其中為正整數(shù)）是公比為的等比數(shù)列，且，則______．〖答案〗3〖解析〗由題意可知，故，所以.故〖答案〗為：3.4.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則______．〖答案〗〖解析〗由題得，故由三角函數(shù)定義得，所以.故〖答案〗為：.5.已知向量，且，則實(shí)數(shù)______．〖答案〗2〖解析〗由題，又，故，.故〖答案〗為：.6.已知平面上兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是是直線上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，故，即，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.故〖答案〗為：.7.在中，若，則___________〖答案〗〖解析〗由正弦定理，且，則，設(shè)，由余弦定理，可得.故〖答案〗為：.8.設(shè)是正實(shí)數(shù)，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，得到的曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則的最大值______．〖答案〗〖解析〗如圖：函數(shù)在第一象限的射線的傾斜角為，圖象關(guān)于軸對稱，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，當(dāng)時(shí)，所得圖象與垂直于的直線還是只有1個(gè)交點(diǎn)，所以仍然是函數(shù)的圖象；當(dāng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)所得的圖象是一段為，一段是軸的正半軸（包括原點(diǎn)），不是函數(shù)圖象；當(dāng)時(shí)，如圖所示，則圖形不是函數(shù)的圖象，又，故的最大值為.故〖答案〗為：.9.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則______．〖答案〗〖解析〗角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，可得，因?yàn)椋?，所以，可?故〖答案〗為：.10.函數(shù)的部分圖像的示意圖如圖所示，已知，且，則______．〖答案〗〖解析〗由圖可得，又，故，，又，故，則有，，即，，又，則，即，由，則，即，故或，，即或，，又，故，則.故〖答案〗：.二、選擇題（本大題共有3題，滿分12分，每題4分.）11.已知，則角的終邊所在的象限為第（）象限．A.一 B.二 C.三 D.四〖答案〗C〖解析〗由，則角的終邊所在的象限為第三象限.

故選：C.12.已知函數(shù)，且，則（）A.11 B.14 C.17 D.20〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，故，而，?故選：B.13.若函數(shù)在內(nèi)是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)在內(nèi)是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，，故.故選：D.三、解答題（本大題共有5題，滿分53分.）14.已知一元二次方程．（1）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解該方程；（2）設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根在復(fù)平面上所對應(yīng)的向量分別為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求與夾角的大小．（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）解：（1）因?yàn)?，所以，所以方程有一對虛?shù)根，設(shè)為、，又，解得，．（2）由（1）可得，，所以，所以與夾角的大小為．15.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和（其中為正整數(shù)），已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，求．解：設(shè)公差為，則，又，所以，解得，所以，故．16.化簡下列各式：（1）；（2）．解：（1）法一：．法2：.（2）.17.已知函數(shù)．（1）某同學(xué)打算用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在某一周期內(nèi)的圖象，列表如下：00100000請?jiān)诖痤}紙上填寫上表的空格處數(shù)值，并寫出函數(shù)的表達(dá)式和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將（1）中函數(shù)的圖象向下平移個(gè)單位得到的圖象，若函數(shù)在閉區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，請直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）根據(jù)“五點(diǎn)法”，完成列表：00100000所以表中所填的數(shù)據(jù)為：，由表格可知：，，，所以，由，，得，，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間．（2）根據(jù)列出得表格，可以做出函數(shù)得圖象，如下：該問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間有兩個(gè)交點(diǎn)，又，，，所以的取值范圍是．18.在某一個(gè)十字路口，每次亮綠燈的時(shí)長為（為時(shí)間單位：秒），那么每次綠燈亮?xí)r，在同一條直行道路上同方向能有多少輛汽車通過該十字路口？該問題涉及車長、車距、車速，前方堵塞狀況包括行人非機(jī)動(dòng)車等因素．為了將問題簡化，在路況車況駕駛狀態(tài)等都良好的前提下，提出如下基本假設(shè)：1．通過路口的車輛長度都相等；2．等待通行時(shí)，前后相鄰兩輛車的車距都相等；3．綠燈亮?xí)r，汽車都是沿同方向從靜止?fàn)顟B(tài)勻加速啟動(dòng)，到達(dá)最高限速汽車開始勻速行駛；4．離路口信號燈最近第一輛車在綠燈亮后延遲時(shí)間開始動(dòng)起來．前一輛車啟動(dòng)后，下一輛車啟動(dòng)的延遲時(shí)間相等，在延遲時(shí)間內(nèi)，車輛保持靜止；5．按照交通安全法規(guī)行駛，行車秩序良好，沒有碰擦或堵塞等現(xiàn)象發(fā)生．一名建模愛好者收集數(shù)據(jù)整理如下：1．車長設(shè)為，取，車距設(shè)為，取，第一輛車離停車線距離為；2．加速度記作，取，汽車在勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)段行駛路程；3．前后車啟動(dòng)延遲時(shí)間記為，?。?．第輛車啟動(dòng)延遲時(shí)間；5．該十字路口限速，換算為；6．第輛車到達(dá)最高限速的時(shí)間為取．設(shè)第輛車在綠燈持續(xù)時(shí)間內(nèi)駛離停車線的距離為．根據(jù)上述假設(shè)與數(shù)據(jù)，，依次類推．請你解決下列問題：（1）求；（結(jié)果保留一位小數(shù)，單位：）（2）對于第輛車，寫出函數(shù)的分段表達(dá)式；（3）求在亮綠燈的內(nèi)，這一條直行道路上同方向能有多少輛汽車通過該十字路口．解：（1），.（2）對第輛車，列出函數(shù)的分段表達(dá)式，相當(dāng)于已經(jīng)解決一般化的問題，通過對小汽車三個(gè)運(yùn)動(dòng)階段的分析，整理得：，其中，，或者寫成.（3）由于十字路口亮綠燈的時(shí)長為，即，于是，該實(shí)際問題可表述為數(shù)學(xué)問題：求的最大，與計(jì)算的方法相同，計(jì)算，，第8輛車沒有行駛到停車線時(shí)綠燈已經(jīng)結(jié)束，沒能通過十字路口．在亮綠燈的內(nèi)，這一條直行道路上同方向至多有7輛汽車通過該十字路口.上海市靜安區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有10題，滿分35分，其中1~5題每題3分，6~10題每題4分.）1.已知向量，則______．〖答案〗〖解析〗，故.故〖答案〗為：.2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則______．〖答案〗〖解析〗，故，故.故〖答案〗為：.3.已知（其中為正整數(shù)）是公比為的等比數(shù)列，且，則______．〖答案〗3〖解析〗由題意可知，故，所以.故〖答案〗為：3.4.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則______．〖答案〗〖解析〗由題得，故由三角函數(shù)定義得，所以.故〖答案〗為：.5.已知向量，且，則實(shí)數(shù)______．〖答案〗2〖解析〗由題，又，故，.故〖答案〗為：.6.已知平面上兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是是直線上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，故，即，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.故〖答案〗為：.7.在中，若，則___________〖答案〗〖解析〗由正弦定理，且，則，設(shè)，由余弦定理，可得.故〖答案〗為：.8.設(shè)是正實(shí)數(shù)，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，得到的曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則的最大值______．〖答案〗〖解析〗如圖：函數(shù)在第一象限的射線的傾斜角為，圖象關(guān)于軸對稱，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，當(dāng)時(shí)，所得圖象與垂直于的直線還是只有1個(gè)交點(diǎn)，所以仍然是函數(shù)的圖象；當(dāng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)所得的圖象是一段為，一段是軸的正半軸（包括原點(diǎn)），不是函數(shù)圖象；當(dāng)時(shí)，如圖所示，則圖形不是函數(shù)的圖象，又，故的最大值為.故〖答案〗為：.9.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則______．〖答案〗〖解析〗角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，可得，因?yàn)?，，所以，可?故〖答案〗為：.10.函數(shù)的部分圖像的示意圖如圖所示，已知，且，則______．〖答案〗〖解析〗由圖可得，又，故，，又，故，則有，，即，，又，則，即，由，則，即，故或，，即或，，又，故，則.故〖答案〗：.二、選擇題（本大題共有3題，滿分12分，每題4分.）11.已知，則角的終邊所在的象限為第（）象限．A.一 B.二 C.三 D.四〖答案〗C〖解析〗由，則角的終邊所在的象限為第三象限.

故選：C.12.已知函數(shù)，且，則（）A.11 B.14 C.17 D.20〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，故，而，?故選：B.13.若函數(shù)在內(nèi)是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)在內(nèi)是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，，故.故選：D.三、解答題（本大題共有5題，滿分53分.）14.已知一元二次方程．（1）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解該方程；（2）設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根在復(fù)平面上所對應(yīng)的向量分別為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求與夾角的大小．（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）解：（1）因?yàn)?，所以，所以方程有一對虛?shù)根，設(shè)為、，又，解得，．（2）由（1）可得，，所以，所以與夾角的大小為．15.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和（其中為正整數(shù)），已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，求．解：設(shè)公差為，則，又，所以，解得，所以，故．16.化簡下列各式：（1）；（2）．解：（1）法一：．法2：.（2）.17.已知函數(shù)．（1）某同學(xué)打算用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在某一周期內(nèi)的圖象，列表如下：00100000請?jiān)诖痤}紙上填寫上表的空格處數(shù)值，并寫出函數(shù)的表達(dá)式和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將（1）中函數(shù)的圖象向下平移個(gè)單位得到的圖象，若函數(shù)在閉區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，請直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）根據(jù)“五點(diǎn)法”，完成列表：00100000所以表中所填的數(shù)據(jù)為：，由表格可知：，，，所以，由，，得，，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間．（2）根據(jù)列出得表格，可以做出函數(shù)得圖象，如下：該問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間有兩個(gè)交點(diǎn)，又，，，所以的取值范圍是．18.在某一個(gè)十字路口，每次亮綠燈的時(shí)長為（為時(shí)間單位：秒），那么每次綠燈亮?xí)r，在同一條直行道路上同方向能有多少輛汽車通過該十字路口？該問題涉及車長、車距、車速，前方堵塞狀況包括行人非機(jī)動(dòng)車等因素．為了將問題簡化，在路況車況駕駛狀態(tài)等都良好的前提下，提出如下基本假設(shè)：1．通過路口的車輛長度都相等；2．等待通行時(shí)，前后相鄰兩輛車的車距都相等；3．綠燈亮?xí)r，汽車都是沿同方向從靜止?fàn)顟B(tài)勻加速啟動(dòng)，到達(dá)最高限速汽車開始勻速行駛；4．離路口信號燈最近第一輛車在綠燈亮后延遲時(shí)間開始動(dòng)起來．前一輛車啟動(dòng)后，下一輛車啟動(dòng)的延遲時(shí)間相等，在延遲時(shí)間內(nèi)，車輛保持靜止；5．按照交通安全法規(guī)行駛，行車秩序良好，沒有碰擦或堵塞等現(xiàn)象發(fā)生．一名建模愛好者收集數(shù)據(jù)整理如下：1．車長設(shè)為，取，車距設(shè)為，取，第一輛車離停車線距離為；2．加速度記作，取，汽車在勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)段行駛路程；3．前后車啟動(dòng)延遲時(shí)間記為，?。?．第輛車啟動(dòng)延遲時(shí)間；5．該十字路口限速，換算為；6．第輛車到達(dá)最高限速的時(shí)間為?。O(shè)第輛車在綠燈持續(xù)時(shí)間內(nèi)駛離停車線的距離為．根據(jù)上述假設(shè)與數(shù)據(jù)，，依次類推．請你解決下列問題：（1）求；（結(jié)果保留一位小數(shù)，單位：）（2）對于第