2023-2024學年浙江省寧波市余姚市高一下學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市余姚市2023-2024學年高一下學期期末考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.將直角三角形繞其一條直角邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體是（）A.圓柱 B.圓臺 C.圓錐 D.棱柱〖答案〗C〖解析〗將直角三角形繞其一條直角邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體是圓錐.故選：C.2.設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且滿足，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗在正方體中，記平面ABCD為，平面為，（1）當記為n，直線為m，時，可知A錯誤；（2）當記為n，直線為m，時，可知C錯誤；（3）記AC為m，為n時，可知D錯誤；由面面垂直判定定理可知B正確.故選：B.3.一水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，此直觀圖恰好是一個邊長為1的正方形，則原平面圖形的周長為（）A. B.8 C.4 D.〖答案〗B〖解析〗直觀圖中，，由此畫出直觀圖對應的原圖如下圖所示，其中，所以，所以原平面圖形的周長為.故選：B.4.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A.至少有一個黑球與都是黑球 B.至少有一個黑球與都是紅球C.恰有一個黑球與恰有兩個黑球 D.至少有一個黑球與至少有一個紅球〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，記2個紅球分別為A、B，2個黑球分別為a，b，則從這4個球中任取2個球的總基本事件為AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab：

A、都是黑球的基本事件為ab，至少有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，兩個事件有交事件ab，所以不為互斥事件，故A錯誤；

B、至少有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，都是紅球的基本事件為AB，兩個事件不僅是互斥事件，也是對立事件，故B錯誤；

C、恰有兩個黑球的基本事件為ab，恰有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，兩個事件是互斥事件，但不是對立事件，故C正確；

D、至少有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，至少有一個紅球的基本事件為AB，Aa，Ba，Ab，Bb，兩個事件不是互斥事件，故D錯誤.故選：C.5.在中，，則的最大內(nèi)角等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由正弦定理得，即，得，因為，所以，即，所以，，則的最大內(nèi)角為.故選：A.6.某實驗田種植甲、乙兩種水稻，面積相等的兩塊稻田（種植環(huán)境相同）連續(xù)次的產(chǎn)如下：甲乙則下列結論錯誤的是（）A.甲種水稻產(chǎn)量的眾數(shù)為B.乙種水稻產(chǎn)的極差為C.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)等于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)D.甲種水稻產(chǎn)量的方差大于乙種水稻產(chǎn)量的方差〖答案〗D〖解析〗對于A選項，甲種水稻產(chǎn)量的眾數(shù)為，A對；對于B選項，乙種水稻產(chǎn)的極差為，B對；對于C選項，甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為，乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為，C對；對于D選項，甲種水稻產(chǎn)量的方差為，乙種水稻產(chǎn)量的方差為，D錯.故選：D.7.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的最大值為（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗由余弦定理可知，，由可得，化簡可得，所以，即，即，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最大值為.故選：C.8.已知，，函數(shù)，當時，f（x）有最小值，則在上的投影向量為（）A. B. C.－ D.－〖答案〗C〖解析〗由題意得，，，當時，有最小值，即，則在上的投影向量為.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)，則（）A.為純虛數(shù)B.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限C.D.滿足的復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡為直線〖答案〗AD〖解析〗對于A：，故為純虛數(shù)，故A正確；對于B：，其在復平面內(nèi)對應的點在軸正半軸上，故B錯誤；對于C：，，故，故C錯誤；對于D：令，，則由，可得，即，故復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡為軸，故D正確.故選：AD.10.已知中，分別為角的對邊，為的面積，則下列條件能使只有一個解的是（）A.B.C.D.〖答案〗ABD〖解析〗由三角形三邊關系可得：，所以，因為，故，故A正確；由，故，可得：，由此解得，故三角形唯一，B正確；對于C：或者，故三角形不唯一，C錯誤；對于D：，故，兩邊及其夾角，此三角形唯一，故D正確.故選：ABD.11.在直三棱柱中，，且，為線段上的動點，則（）A.B.三棱錐體積不變C.的最小值為D.當是的中點時，過三點的平面截三棱柱外接球所得的截面面積為〖答案〗ABD〖解析〗連接，如圖所示，直三棱柱中，，為正方形，，，平面，平面，，平面，，平面，平面，，A選項正確；由直三棱柱的結構特征，，故三棱錐的體積為定值，B選項正確；設，，，，，，其幾何意義是點和點到點的距離之和，最小值為點到點的距離，為，C選項錯誤；當是的中點時，，，，，，，，設點到平面的距離為，由，得，，直三棱柱是正方體的一半，外接球的球心為的中點，外接球的半徑，點到平面的距離為，則過三點的平面截三棱柱外接球所得截面圓的半徑為，截面面積為，D選項正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則____________.〖答案〗〖解析〗復數(shù)，所以.故〖答案〗為：.13.如圖，在平行四邊形中，和分別是邊和的中點，若，其中，則________.〖答案〗〖解析〗設，因為和分別是邊和的中點，可得，又因為，所以，因，所以，所以.故〖答案〗為：.14.如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正方形的中心為為圓上的點，，，，分別是以為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以為折痕折起，，，使得重合，得到一個四棱錐.當該四棱錐的側面積是底面積的2倍時，該四棱錐的外接球的表面積為__________．〖答案〗〖解析〗如圖：連接交與點，設正方形邊長為，，則，，則正方形面積為：，四棱錐的側面積為：，由題意得，即，解得，畫出折疊后的立體圖形，如圖：設重合點為，該四棱錐為正四棱錐，球心應在的連線上，設為，設外接球半徑為，則，，，，，由勾股定理得，即，解得，外接球表面積為：.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量與的夾角，且，．（1）求，；（2）求與的夾角的余弦值．解：（1）由已知，得，.（2）設與的夾角為，則，因此，與的夾角的余弦值為.16.樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此，某市推出了關于生態(tài)文明建設進展情況的調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，環(huán)境治理和保護問題仍是百姓最為關心的熱點，現(xiàn)從參與關注生態(tài)文明建設的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65），得到的頻率分布直方圖如圖所示（1）求出a的值；（2）求這200人年齡的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）和中位數(shù)（精確到小數(shù)點后一位）；（3）現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行問卷調(diào)查，求這2人恰好在同一組的概率．解：（1）由，得.（2）平均數(shù)為：歲；設中位數(shù)為，則，∴歲.（3）第1，2組的人數(shù)分別為20人，30人，從第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，則第1，2組抽取的人數(shù)分別為2人，3人，分別記為，，，，，設從5人中隨機抽取2人，為，，，，，，，，，共10個基本事件，這2人恰好在同一組的基本事件，，，共4個，所以.17.如圖，在多面體中，平面，，，四邊形是正方形．（1）求直線與平面所成角的余弦值；（2）證明：平面；（3）求平面與平面所成的二面角的平面角的大小.解：（1）因為平面，平面，所以，因為為正方形，所以，又，，平面，所以平面，故就是直線與平面所成角，又平面，所以，因為平面，，所以平面，平面，所以，所以，在中，所以，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為.（2）因為平面，平面，所以，因為，，所以四邊形為直角梯形，所以，，在中，，則，故，因為平面，平面，所以，在中，，在中，，，所以，又，，平面，所以平面.（3）取的中點，連接、，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，所以、、、四點共面，又，，，平面，所以平面，則平面，平面，所以，，所以為平面與平面所成的二面角的平面角，又，，即為等腰直角三角形，所以，所以平面與平面所成的二面角的平面角的大小為.18.品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試.一種通常采用的測試方法如下：拿出瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，經(jīng)過一段時間，等其記憶淡忘后，再讓其品嘗這瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試.根據(jù)一輪測試中的兩次排序偏離程度的高低對其酒味鑒別能力進行評價.現(xiàn)設，分別以表示第一次排序時被排為的三種酒在第二次排序時的序號，并令則是對兩次排序的偏離程度的一種描述.若兩輪測試都有，則該品酒師被授予“特級品酒師”稱號；若兩輪測試都有，且至少有一輪測試出現(xiàn)，則該品酒師被授予“一級品酒師”稱號.（1）用下列表格形式寫出第二次排序時所有可能的排序結果，并求出相應的值；（2）甲參加了兩輪測試，兩輪測試結果相互獨立，記事件“甲被授予一級品酒師稱號”，求；（3）甲連續(xù)兩年都參加了兩輪測試，兩年測試結果相互獨立，記事件“在這兩年中甲至少有一次被授予特級品酒師稱號”，求.解：（1）列舉出第二次排序時所有可能的及相應的值列表如下：（2）由（1）可知，，設甲參加第一輪測試值記為，第二輪測試值記為，所以.（3）由（1）可知，，則兩輪測試中被授予“特級品酒師”稱號的概率，所以.19.在中，角，，所對的邊分別是，，，其面積記為，且滿足（1）求角；（2）為邊上一點，，且求的最小值.（3）圓是外接圓，是圓外一點，，分別切圓于點，，若，求的最小值.解：（1）由及，可得，所以，由余弦定理可得，所以，即，因，所以，即.（2）在中，由正弦定理可得：，即，在中，由正弦定理可得：，即，且與互為補角，可得，即，又，且，即，所以，又，所以，所以為的角平分線，所以，由可得，所以，解得，當且僅當時取得等號，即的最小值為，所以，即的面積的最小值為.（3）設圓半徑為，則，設，，則，，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為．浙江省寧波市余姚市2023-2024學年高一下學期期末考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.將直角三角形繞其一條直角邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體是（）A.圓柱 B.圓臺 C.圓錐 D.棱柱〖答案〗C〖解析〗將直角三角形繞其一條直角邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體是圓錐.故選：C.2.設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且滿足，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗在正方體中，記平面ABCD為，平面為，（1）當記為n，直線為m，時，可知A錯誤；（2）當記為n，直線為m，時，可知C錯誤；（3）記AC為m，為n時，可知D錯誤；由面面垂直判定定理可知B正確.故選：B.3.一水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，此直觀圖恰好是一個邊長為1的正方形，則原平面圖形的周長為（）A. B.8 C.4 D.〖答案〗B〖解析〗直觀圖中，，由此畫出直觀圖對應的原圖如下圖所示，其中，所以，所以原平面圖形的周長為.故選：B.4.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A.至少有一個黑球與都是黑球 B.至少有一個黑球與都是紅球C.恰有一個黑球與恰有兩個黑球 D.至少有一個黑球與至少有一個紅球〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，記2個紅球分別為A、B，2個黑球分別為a，b，則從這4個球中任取2個球的總基本事件為AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab：

A、都是黑球的基本事件為ab，至少有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，兩個事件有交事件ab，所以不為互斥事件，故A錯誤；

B、至少有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，都是紅球的基本事件為AB，兩個事件不僅是互斥事件，也是對立事件，故B錯誤；

C、恰有兩個黑球的基本事件為ab，恰有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，兩個事件是互斥事件，但不是對立事件，故C正確；

D、至少有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，至少有一個紅球的基本事件為AB，Aa，Ba，Ab，Bb，兩個事件不是互斥事件，故D錯誤.故選：C.5.在中，，則的最大內(nèi)角等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由正弦定理得，即，得，因為，所以，即，所以，，則的最大內(nèi)角為.故選：A.6.某實驗田種植甲、乙兩種水稻，面積相等的兩塊稻田（種植環(huán)境相同）連續(xù)次的產(chǎn)如下：甲乙則下列結論錯誤的是（）A.甲種水稻產(chǎn)量的眾數(shù)為B.乙種水稻產(chǎn)的極差為C.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)等于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)D.甲種水稻產(chǎn)量的方差大于乙種水稻產(chǎn)量的方差〖答案〗D〖解析〗對于A選項，甲種水稻產(chǎn)量的眾數(shù)為，A對；對于B選項，乙種水稻產(chǎn)的極差為，B對；對于C選項，甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為，乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為，C對；對于D選項，甲種水稻產(chǎn)量的方差為，乙種水稻產(chǎn)量的方差為，D錯.故選：D.7.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的最大值為（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗由余弦定理可知，，由可得，化簡可得，所以，即，即，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最大值為.故選：C.8.已知，，函數(shù)，當時，f（x）有最小值，則在上的投影向量為（）A. B. C.－ D.－〖答案〗C〖解析〗由題意得，，，當時，有最小值，即，則在上的投影向量為.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)，則（）A.為純虛數(shù)B.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限C.D.滿足的復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡為直線〖答案〗AD〖解析〗對于A：，故為純虛數(shù)，故A正確；對于B：，其在復平面內(nèi)對應的點在軸正半軸上，故B錯誤；對于C：，，故，故C錯誤；對于D：令，，則由，可得，即，故復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡為軸，故D正確.故選：AD.10.已知中，分別為角的對邊，為的面積，則下列條件能使只有一個解的是（）A.B.C.D.〖答案〗ABD〖解析〗由三角形三邊關系可得：，所以，因為，故，故A正確；由，故，可得：，由此解得，故三角形唯一，B正確；對于C：或者，故三角形不唯一，C錯誤；對于D：，故，兩邊及其夾角，此三角形唯一，故D正確.故選：ABD.11.在直三棱柱中，，且，為線段上的動點，則（）A.B.三棱錐體積不變C.的最小值為D.當是的中點時，過三點的平面截三棱柱外接球所得的截面面積為〖答案〗ABD〖解析〗連接，如圖所示，直三棱柱中，，為正方形，，，平面，平面，，平面，，平面，平面，，A選項正確；由直三棱柱的結構特征，，故三棱錐的體積為定值，B選項正確；設，，，，，，其幾何意義是點和點到點的距離之和，最小值為點到點的距離，為，C選項錯誤；當是的中點時，，，，，，，，設點到平面的距離為，由，得，，直三棱柱是正方體的一半，外接球的球心為的中點，外接球的半徑，點到平面的距離為，則過三點的平面截三棱柱外接球所得截面圓的半徑為，截面面積為，D選項正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則____________.〖答案〗〖解析〗復數(shù)，所以.故〖答案〗為：.13.如圖，在平行四邊形中，和分別是邊和的中點，若，其中，則________.〖答案〗〖解析〗設，因為和分別是邊和的中點，可得，又因為，所以，因，所以，所以.故〖答案〗為：.14.如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正方形的中心為為圓上的點，，，，分別是以為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以為折痕折起，，，使得重合，得到一個四棱錐.當該四棱錐的側面積是底面積的2倍時，該四棱錐的外接球的表面積為__________．〖答案〗〖解析〗如圖：連接交與點，設正方形邊長為，，則，，則正方形面積為：，四棱錐的側面積為：，由題意得，即，解得，畫出折疊后的立體圖形，如圖：設重合點為，該四棱錐為正四棱錐，球心應在的連線上，設為，設外接球半徑為，則，，，，，由勾股定理得，即，解得，外接球表面積為：.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量與的夾角，且，．（1）求，；（2）求與的夾角的余弦值．解：（1）由已知，得，.（2）設與的夾角為，則，因此，與的夾角的余弦值為.16.樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此，某市推出了關于生態(tài)文明建設進展情況的調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，環(huán)境治理和保護問題仍是百姓最為關心的熱點，現(xiàn)從參與關注生態(tài)文明建設的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65），得到的頻率分布直方圖如圖所示（1）求出a的值；（2）求這200人年齡的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）和中位數(shù)（精確到小數(shù)點后一位）；（3）現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行問卷調(diào)查，求這2人恰好在同一組的概率．解：（1）由，得.（2）平均數(shù)為：歲；設中位數(shù)為，則，∴歲.（3）第1，2組的人數(shù)分別為20人，30人，從第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，則第1，2組抽取的人數(shù)分別為2人，3人，分別記為，，，，，設從5人中隨機抽取2人，為，，，，，，，，，共10個基本事件，這2人恰好在同一組的基本事件，，，共4個，所以.17.如圖，在多面體中，平面，，，四邊形是正方形．（1）求直線與平面所成角的余弦值；（2）證明：平面；（3）求平面與平面所成的二面角的平面角的大小.解：（1）因為平面，平面，所以，因為為正方形，所以，又，，平面，所以平面，故就是直線與平面所成角，又平面，所以，因為平面，，所以平面，平面，所以，所以，在中，所以，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為.（2）因為平面，平面，所以，因為，，所以四邊形為直角梯形，所以，，在中，，則，故，因為平面，平面，所以，在中，，在中，，，所以，又