高中數(shù)學(xué) 3.1 第1課時歸納推理同步檢測 北師大版選修1-2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)3.1第1課時歸納推理同步檢測北師大版選修1-2一、選擇題1．觀察下列數(shù)列的特點：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，則第100項是()A．10 B．13C．14 D．100[答案]C[解析]∵eq\f(1＋1313,2)＝91，∴從第92項到第105項都是14，故選C.2．觀察下圖中圖形的規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)適合的圖形為()□●▲▲■○●△A.■ B．△C．□ D．○[答案]A[解析]圖形涉及三種符號□、○、△，其中符號○與△各有3個，且各自有二黑一白，所以□缺一個黑色符號，即應(yīng)畫上■才合適．3．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖形需要火柴棒的根數(shù)為()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2[答案]C[解析]歸納“金魚”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項為8，公差是6的等差數(shù)列，通項公式為an＝6n＋2.4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，猜想an等于()A.eq\f(2,n＋12) B．eq\f(2,nn＋1)C.eq\f(2,2n－1) D．eq\f(2,2n－1)[答案]B[解析]由a1＝1，Sn＝n2an，得a2＝eq\f(1,3)，a3＝eq\f(1,6)，a4＝eq\f(1,10)，猜想an＝eq\f(1,nn＋1)，故應(yīng)選B.5．如圖所示的是一串黑白相間排列的珠子，若按這種規(guī)律排列下去，那么第36顆珠子的顏色是()A．白色 B．黑色C．白色的可能性大 D．黑色的可能性大[答案]A[解析]由圖知，這串珠子的排列規(guī)律是：每5個一組(前3個是白色珠子，后2個是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36顆珠子正好是第8組中的第1顆珠子，其顏色與第一顆珠子的顏色相同，故它的顏色一定是白色．6．四個小動物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐在第1,2,3,4號座位上(如圖所示)，如果第1次前后排動物互換座位，第2次左右列動物互換座位，…，這樣交替進(jìn)行下去，那么第2013次互換座位后，小兔坐在第()號座位上．()開始第1次第2次第3次A．1 B．2C．3 D．4[答案]A[解析]由題意得第4次互換座位后，四個小動物回到了原位，即每經(jīng)過4次互換座位后，小動物回到原位，所以第2013次互換座位后的結(jié)果與第1次互換座位后的結(jié)果相同，小兔坐在第1號座位上．故選A.二、填空題7．考查下列式子：1＝12；2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，得出的結(jié)論是________．[答案]n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2[解析]從數(shù)值特征看，等式左邊首數(shù)為n時，共有連續(xù)2n－1個數(shù)，右邊為(2n－1)2.8．經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)下列正確不等式：eq\r(2)＋eq\r(18)<2eq\r(10)，eq\r(4.5)＋eq\r(15.5)<2eq\r(10)，eq\r(3＋\r(2))＋eq\r(17－\r(2))<2eq\r(10)，…，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫出一個對正實數(shù)a，b成立的條件不等式：________.[答案]當(dāng)a＋b＝20時，有eq\r(a)＋eq\r(b)≤2eq\r(10)(a>0，b>0)[解析]各不等式右邊相同，左邊兩根號內(nèi)的數(shù)之和等于20.三、解答題9．已知Sn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,nn＋1)，寫出S1，S2，S3，S4的值，并由此歸納出Sn的表達(dá)式．[分析]在Sn中分別令n＝1,2,3,4，可以求得S1，S2，S3，S4的值，再進(jìn)行歸納推測．[解析]S1＝eq\f(1,1×2)＝eq\f(1,2)；S2＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)；S3＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4)；S4＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5)＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,20)＝eq\f(16,20)＝eq\f(4,5)；由此猜想：Sn＝eq\f(n,n＋1)(n∈N＋)．[點評]本題利用歸納猜想的思想求得了Sn的表達(dá)式，有兩點應(yīng)注意：①正確理解與把握數(shù)列求和中Sn的含義；②在對特殊值進(jìn)行規(guī)律觀察時，有時需要將所得結(jié)果作變形處理，以顯示隱藏的規(guī)律性．10．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．[答案](1)eq\f(3,4)(2)sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4)證明略[解析]解法一：(1)選擇(2)式，計算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos60°－2α,2)－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)cos2α＋eq\f(\r(3),4)sin2α－eq\f(\r(3),4)sin2α－eq\f(1,4)(1－cos2α)＝1－eq\f(1,4)cos2α－eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)cos2α＝eq\f(3,4).一、選擇題11．我們把1,4,9,16,25，…這些數(shù)稱作正方形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點可以排成一個正方形(如下圖)，則第n個正方形數(shù)是()A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2 D．(n＋1)2[答案]C[解析]第n個正方形數(shù)的數(shù)目點可排成每邊都有n個點的正方形，故為n2.13．平面內(nèi)的小圓形按照下圖中的規(guī)律排列，每個圖中的圓的個數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列{an}，則下列結(jié)論正確的是()①a5＝15；②數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列；③數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列；④數(shù)列{an}的遞推關(guān)系是an＝an－1＋n(n∈N*)．A．①②④ B．①③④C．①② D．①④[答案]D[解析]由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正確．同時④正確，而{an}顯然不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故②③錯誤，故選D.12．如圖是元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是()[答案]A[解析]由前三個圖形呈現(xiàn)出來的規(guī)律可知，下一個圖形可視作上一圖形順時針旋轉(zhuǎn)144°得到的，故由第三個圖形順時針旋轉(zhuǎn)144°得到的圖形應(yīng)為A.二、填空題14．觀察下列不等式1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，……照此規(guī)律，第五個不等式為________．[答案]1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6)[解析]本題考查了歸納的思想方法．觀察可知1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)<eq\f(2n－1,n)，所以第五個不等式為：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).在用歸納法歸納一般性結(jié)論的時候，要養(yǎng)成檢驗意識．15．如圖是由一些小正方體摞成的．第(1)堆有1個，第(2)堆有4個，第(3)堆有10個…，則第n堆有________個小正方體．[答案]eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)[解析]第一堆有1個；第二堆有1＋(1＋2)＝4個；第三堆有1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＝10個；……；第n堆有1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋……＋(1＋2＋…＋n)＝eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)個．三、解答題16．由下列各式：1>eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)>1，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,7)>eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,15)>2，請你歸納出一般結(jié)論．[解析]將題中所給四個式子變形eq\f(1,21－1)>eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22－1)>eq\f(2,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,23－1)>eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,24－1)>eq\f(4,2)，歸納概括，猜測得1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2).17．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－eq\f(2,3)且Sn＋eq\f(1,Sn)＋2＝an(n≥2，n∈N＋)，計算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式．[解析]當(dāng)n≥2時，an＝Sn