高中數(shù)學(xué) 3.1 第2課時(shí)類比推理同步檢測(cè) 北師大版選修1-2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)3.1第2課時(shí)類比推理同步檢測(cè)北師大版選修1-2一、選擇題1．下列哪個(gè)平面圖形與空間圖形中的平行六面體作為類比對(duì)象較合適()A．三角形 B．梯形C．平行四邊形 D．矩形[答案]C[解析]從構(gòu)成幾何圖形的幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面考慮，用平行四邊形作為平行六面體的類比對(duì)象較為合適．2．已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類比三角形的面積公式：S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面積公式S扇等于()A.eq\f(r2,2) B．eq\f(l2,2)C.eq\f(lr,2) D．不可類比[答案]C3．下面幾種推理是合情推理的是()①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°③教室內(nèi)有一把椅子壞了，則猜想該教室內(nèi)的所有椅子都?jí)牧刷苋切蝺?nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得出凸n邊形的內(nèi)角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)A．①② B．①③④C．①②④ D．②④[答案]C[解析]①是類比推理；②④是歸納推理，∴①②④都是合情推理．4．類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出下列空間結(jié)論：①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行；③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；④垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行，則其中正確的結(jié)論是()A．①② B．②③C．③④ D．①④[答案]B[解析]根據(jù)立體幾何中線面之間的位置關(guān)系知，②③是正確的結(jié)論．5．(·遼師大附中期中)類比三角形中的性質(zhì)：(1)兩邊之和大于第三邊(2)中位線長(zhǎng)等于底邊長(zhǎng)的一半(3)三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)可得四面體的對(duì)應(yīng)性質(zhì)：(1)任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積(2)過四面體的交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面面積等于該頂點(diǎn)所對(duì)的面面積的eq\f(1,4)(3)四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)其中類比推理方法正確的有()A．(1) B．(1)(2)C．(1)(2)(3) D．都不對(duì)[答案]C[解析]以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價(jià)，方法正確結(jié)論也不一定正確．6．由代數(shù)式的乘法法則類比得到向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”類比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]由向量的有關(guān)運(yùn)算法則知①②正確，③④⑤⑥都不正確，故應(yīng)選B.二、填空題7．對(duì)于平面幾何中的命題：“夾在兩平行線之間的平行線段的長(zhǎng)度相等”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到的命題是：_____________________________.[答案]夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段的長(zhǎng)度相等8．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為________．[答案]a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9[解析]等比數(shù)列中，“乘積”類比到等差數(shù)列中“和”，故應(yīng)有結(jié)論為a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.9．(·湖南長(zhǎng)沙實(shí)驗(yàn)中學(xué)、沙城一中聯(lián)考)在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點(diǎn)在BC上的射影，則AB2＝BD·BC.拓展到空間，在四面體A－BCD中，DA⊥平面ABC，點(diǎn)O是A在平面BCD內(nèi)的射影，類比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面積之間關(guān)系為________．[答案]Seq\o\al(2,△ABC)＝△OBC·S△DBC[解析]將直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)類比到有一側(cè)棱AD與一側(cè)面ABC垂直的四棱錐的側(cè)面ABC的面積，將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長(zhǎng)，類比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面積可得Seq\o\al(2,△ABC)＝S△OBC·S△DBC.三、解答題10．把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比地推廣到空間中，并判斷類比的結(jié)論是否成立；(1)如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，則必與另一條相交；(2)如果兩條直線同時(shí)垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行．[解析]平面幾何與空間幾何的類比中，點(diǎn)的類比對(duì)象是線，線的類比對(duì)象是面，面的類比對(duì)象是體．(1)的類比結(jié)論為：如果一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)相交．由空間幾何的知識(shí)易得此結(jié)論成立．(2)的類比結(jié)論為：如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面互相平行．由空間幾何的知識(shí)易得此結(jié)論不成立，如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，這兩個(gè)平面還可能相交．一、選擇題11．六個(gè)面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體，在?ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，ACeq\o\al(2,1)＋BDeq\o\al(2,1)＋CAeq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)等于()A．2(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1)) B．3(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1))C．4(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1)) D．4(AB2＋AD2)[答案]C[解析]如圖所示，四邊形AA1C1C和BB1D1D也都是平行四邊形，從而有ACeq\o\al(2,1)＋CAeq\o\al(2,1)＝2(AC2＋AAeq\o\al(2,1))，BDeq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)＝2(BD2＋BBeq\o\al(2,1))，所以ACeq\o\al(2,1)＋CAeq\o\al(2,1)＋BDeq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)＝2(AC2＋BD2)＋4AAeq\o\al(2,1)＝4(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1))．12．下列類比推理恰當(dāng)?shù)氖?)A．把a(bǔ)(b＋c)與loga(x＋y)類比，則有l(wèi)oga(x＋y)＝logax＋logayB．把a(bǔ)(b＋c)與sin(x＋y)類比，則有sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把(ab)n與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bnD．把a(bǔ)(b＋c)與a·(b＋c)類比，則有a·(b＋c)＝a·b＋a·c[答案]D[解析]選項(xiàng)A，B，C沒有從本質(zhì)屬性上類比，是簡(jiǎn)單類比，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤．13.如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))時(shí)，其離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于()A.eq\f(\r(5)＋1,2) B．eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\r(5)－1 D．eq\r(5)＋1[答案]A[解析]如圖所示，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，∴eq\o(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)，又∵eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝b2－ac＝0，∴c2－a2－ac＝0，∴e2－e－1＝0，∴e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)，故應(yīng)選A.二、填空題14．(·阜陽(yáng)一中模擬)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2n－1＝(2n－1)an.由類比推理可得：在等比數(shù)列{bn}中，若其前n項(xiàng)的積為Pn，則P2n－1＝________.[答案]beq\o\al(2n－1,n)[解析]將等差數(shù)列前n項(xiàng)和類比到等比數(shù)列前n項(xiàng)的積，將等差中項(xiàng)的“倍數(shù)”類比到等比中項(xiàng)的“乘方”．因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2n－1＝(2n－1)an.所以類比可得：在等比數(shù)列{bn}中，若其前n項(xiàng)的積為Pn，則P2n－1＝beq\o\al(2n－1,n).15．在以原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓上有一點(diǎn)P(x0，y0)，則圓的面積S圓＝πr2，過點(diǎn)P的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，當(dāng)離心率e趨近于0時(shí)，短半軸b就趨近于長(zhǎng)半軸a，此時(shí)橢圓就趨近于圓．類比圓的面積公式得橢圓面積S橢圓＝________.類比過圓上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程，則過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x1，y1)的橢圓的切線方程為________．[答案]πabeq\f(x1,a2)·x＋eq\f(y1,b2)·y＝1[解析]當(dāng)橢圓的離心率e趨近于0時(shí)，橢圓趨近于圓，此時(shí)a，b都趨近于圓的半徑r，故由圓的面積S＝πr2＝π·r·r，猜想橢圓面積S橢＝π·a·b，其嚴(yán)格證明可用定積分處理．而由切線方程x0·x＋y0·y＝r2變形得eq\f(x0,r2)·x＋eq\f(y0,r2)·y＝1，則過橢圓上一點(diǎn)P(x1，y1)的橢圓的切線方程為eq\f(x1,a2)·x＋eq\f(y1,b2)·y＝1，其嚴(yán)格證明可用導(dǎo)數(shù)求切線處理．三、解答題16．點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))在圓C：x2＋y2＝1上，經(jīng)過點(diǎn)P的圓的切線方程為eq\f(\r(2),2)x＋eq\f(\r(2),2)y＝1，又點(diǎn)Q(2,1)在圓C外部，容易證明直線2x＋y＝1與圓相交，點(diǎn)Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))在圓C的內(nèi)部．直線eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)y＝1與圓相離．類比上述結(jié)論，你能給出關(guān)于一點(diǎn)P(a，b)與圓x2＋y2＝r2的位置關(guān)系與相應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系的結(jié)論嗎？[解析]點(diǎn)P(a，b)在⊙C：x2＋y2＝r2上時(shí)，直線ax＋by＝r2與⊙C相切；點(diǎn)P在⊙C內(nèi)時(shí)，直線ax＋by＝r2與⊙C相離；點(diǎn)P在⊙C外部時(shí)，直線ax＋by＝r2與⊙C相交．容易證明此結(jié)論是正確的．17．我們知道：12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，……n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，左右兩邊分別相加，得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n∴1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).類比上述推理方法寫出求12＋22＋32＋…＋n2的表達(dá)式的過程．[解析]我們記S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…Sk(n)＝1k＋2k＋3k