湖南省長郡中學2024-2025學年高三上學期第一次調研考試 數(shù)學試題

長郡中學2025屆高三第一次調研考試數(shù)學本試題卷共4頁.時量120分鐘，滿分150分.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則的一個充分條件是（）A.B.C.D.3.的展開式中的常數(shù)項是（）A.第673項B.第674項C.第675項D.第676項4.銅鼓是流行于中國古代南方一些少數(shù)民族地區(qū)的禮樂器物，已有數(shù)千年歷史，是作為祭祀器具和打擊樂器使用的.如圖，用青銅打造的實心銅鼓可看作由兩個具有公共底面的相同圓臺構成，上下底面的半徑均為25cm，公共底面的半徑為15cm，銅鼓總高度為30cm.已知青銅的密度約為，現(xiàn)有青銅材料1000kg，則最多可以打造這樣的實心銅鼓的個數(shù)為（）（注：）A.1B.2C.3D.45.已知定義在上的函數(shù)滿足（為的導函數(shù)），且，則（）A.B.C.D.6.已知過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交于兩點，是的中點，點是上一點，若點的縱坐標為1，直線，則到的準線的距離與到的距離之和的最小值為（）A.B.C.D.7.已知函數(shù)，對于任意的，都恒成立，且函數(shù)在上單調遞增，則的值為（）A.3B.9C.3或9D.8.如圖，已知長方體中，為正方形的中心點，將長方體繞直線進行旋轉.若平面滿足直線與所成的角為，直線，則旋轉的過程中，直線與夾角的正弦值的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某機械制造裝備設計研究所為推進對機床設備的優(yōu)化，成立兩個小組在原產(chǎn)品的基礎上進行不同方向的研發(fā)，組偏向于智能自動化方向，組偏向于節(jié)能增效方向，一年后用簡單隨機抽樣的方法各抽取6臺進行性能指標測試（滿分：100分），測得組性能得分為：組性能得分為：，則（）A.組性能得分的平均數(shù)比組性能得分的平均數(shù)高B.組性能得分的中位數(shù)比組性能得分的中位數(shù)小C.組性能得分的極差比組性能得分的極差大D.組性能得分的第75百分位數(shù)比組性能得分的平均數(shù)大10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的莖或根上，使接在一起的兩個部分長成一個完整的植株.已知某段圓柱形的樹枝通過利用刀具進行斜辟，形成兩個橢圓形截面，如圖所示，其中分別為兩個截面橢圓的長軸，且都位于圓柱的同一個軸截面上，是圓柱截面圓的一條直徑，設上?下兩個截面橢圓的離心率分別為，則能夠保證的的值可以是（）A.B.C.D.11.對于任意實數(shù)，定義運算“”，則滿足條件的實數(shù)的值可能為（）A.B.C.D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點為，則__________.13.寫出一個同時滿足下列條件①②③的數(shù)列的通項公式__________.①是常數(shù)，且；②；③的前項和存在最小值.14.清代數(shù)學家明安圖所著《割圓密率捷法》中比西方更早提到了“卡特蘭數(shù)”（以比利時數(shù)學家歐仁?查理?卡特蘭的名字命名）.有如下問題：在的格子中，從左下角出發(fā)走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的過程中只能在左下角與右上角的連線的右下方（不能穿過，但可以到達該連線），則共有多少種不同的走法？此問題的結果即卡特蘭數(shù).如圖，現(xiàn)有的格子，每一步只能往上或往右走一格，則從左下角走到右上角共有__________種不同的走法；若要求從左下角走到右上角的過程中只能在直線的右下方，但可以到達直線，則有__________種不同的走法.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知為圓上一個動點，垂直軸，垂足為為坐標原點，的重心為.（1）求點的軌跡方程；（2）記第（1）問中的軌跡為曲線，直線與曲線相交于兩點，點，若點恰好是的垂心，求直線的方程.16.（本小題滿分15分）如圖，四邊形為圓臺的軸截面，，圓臺的母線與底面所成的角為，母線長為是的中點.（1）已知圓內(nèi)存在點，使得平面，作出點的軌跡（寫出解題過程）；（2）點是圓上的一點（不同于），，求平面與平面所成角的正弦值.17.（本小題滿分15分）素質教育是當今教育改革的主旋律，音樂教育是素質教育的重要組成部分，對于陶冶學生的情操?增強學生的表現(xiàn)力和自信心?提高學生的綜合素質等有重要意義.為推進音樂素養(yǎng)教育，培養(yǎng)學生的綜合能力，某校開設了一年的音樂素養(yǎng)選修課，包括一個聲樂班和一個器樂班，已知聲樂班的學生有24名，器樂班的學生有28名，課程結束后兩個班分別舉行音樂素養(yǎng)過關測試，且每人是否通過測試是相互獨立的.（1）聲樂班的學生全部進行測試.若聲樂班每名學生通過測試的概率都為，設聲樂班的學生中恰有3名通過測試的概率為，求的極大值點.（2）器樂班采用分層隨機抽樣的方法進行測試.若器樂班的學生中有4人學習鋼琴，有8人學習小提琴，有16人學習電子琴，按學習的樂器利用分層隨機抽樣的方法從器樂班的學生中抽取7人，再從抽取的7人中隨機抽取3人進行測試，設抽到學習電子琴的學生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.18.（本小題滿分17分）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為等差數(shù)列，且.（1）求的通項公式；（2）數(shù)列的前項和為，集合共有5個元素，求實數(shù)的取值范圍；（3）若數(shù)列中，，求證：19.（本小題滿分17分）設有維向量，稱為向量和的內(nèi)積，當，稱向量和正交.設為全體由和1構成的元數(shù)組對應的向量的集合.（1）若，寫出一個向量，使得；（2）令.若，證明：為偶數(shù)；（3）若是從中選出向量的個數(shù)的最大值，且選出的向量均滿足，猜測的值，并給出一個實例.長郡中學2025屆高三第一次調研考試數(shù)學參考答案一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.題號1234567891011答案ACDCDDAAADADBD6.D【解析】由題得的焦點為，設傾斜角為的直線的方程為，與的方程（聯(lián)立得，設，則，故的方程為.由拋物線定義可知點到準線的距離等于點到焦點的距離，聯(lián)立拋物線與直線，化簡得，由得與相離.分別是過點向準線?直線以及過點向直線引垂線的垂足，連接，所以點到的準線的距離與點到直線的距離之和，等號成立當且僅當點為線段與拋物線的交點，所以到的準線的距離與到的距離之和的最小值為點到直線的距離，即.故選：D.7.A【解析】設函數(shù)的最小正周期為，因為函數(shù)在上單調遞增，所以，得，因此.由知的圖象關于直線對稱，則①.由知的圖象關于點對稱，則②.②-①得，令，則，結合可得或9.當時，代入（1）得，又，所以，此時，因為，故在上單調遞增，符合題意；當時，代入（1）得，又，所以，此時，因為，故在上不是單調遞增的，所以不符合題意，應舍去.綜上，的值為3.故選：A.8.A【解析】在長方體中，，則直線與的夾角等于直線與的夾角.長方體中，為正方形的中心點，則，又，所以是等邊三角形，故直線與的夾角為.則繞直線旋轉的軌跡為圓錐，如圖所示，.因為直線與所成的角為，所以直線與的夾角為.在平面中，作，使得.結合圖形可知，當與直線平行時，與的夾角最小，為，易知.設直線與的夾角為，則，故當時最小，而，故直線與的夾角的正弦值的最小值為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.9.AD10.AD11.BD【解析】由，可得，即，若，可得，符合題意，若，可得，不符合題意，若，可得，不符合題意，若，可得，不符合題意，綜上所述，可得，故只需判斷四個選項中的是否為最大值即可.對于，由題知，而，，所以.（點撥：函數(shù)為減函數(shù)，為減函數(shù)），對于A，；對于B，，故A錯誤，B正確.對于C，D（將0.9轉化為，方便構造函數(shù)）構造函數(shù)，則，因為，所以單調遞減，因為，所以，即，所以.（若找選項中的最大值，下面只需判斷與的大小即可），構造函數(shù)，則，因為，所以，令，則，當時，單調遞減，因為，所以，即單調遞減，又，所以，即，所以.綜上，.對于C，；對于D，，故C錯誤，D正確.（提醒：本題要比較0.09與的大小關系的話可以利用作差法判斷，即，構造函數(shù)，則，因為，所以單調遞增，因為，所以，即，所以）故選：BD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【解析】由于復數(shù)對應的點為，所以，故，故答案為：13.（答案不唯一）14.35；14四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.【解析】（1）設，則，因為的重心，故有：，解得，代入，化簡得，又，故，所以的軌跡方程為.（2）因為的垂心，故有，又，所以，故設直線的方程為，與聯(lián)立消去得：，由得，設，則，由，得，所以，所以，所以，化簡得，解得（舍去）或（滿足），故直線的方程為.16.【解析】（1）是的中點，.要滿足平面，需滿足，又平面平面平面如圖，過作下底面的垂線交下底面于點，過作的平行線，交圓于，則線段即點的軌跡.（2）易知可以為坐標原點，所在直線分別為，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，母線長為，母線與底面所成角為，，取的位置如圖所示，連接，，即，則，則.設平面的法向量為，則，即，令，則.設平面的法向量為，則，即，令，則.設平面與平面所成的角為，則，.17.【解析】（1）24名學生中恰有3名通過測試的概率，則，令，得，所以當時，單調遞增；當時，單調遞減，故的極大值點.（2）利用分層隨機抽樣的方法從28名學生中抽取7名，則7名學生中學習鋼琴的有1名，學習小提琴的有2名，學習電子琴的有4名，所以的所有可能取值為，，，則隨機變量的分布列為01