5.3.1復數(shù)的三角表示式5.3.2復數(shù)乘除運算的幾何意義課件高一下學期數(shù)學北師大版

第五章復數(shù)3.1復數(shù)的三角表示式3.2復數(shù)乘除運算的幾何意義高中同步學案優(yōu)化設(shè)計GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI北師大版

數(shù)學

必修第二冊目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗收·課堂達標檢測課程標準1.通過復數(shù)的幾何意義,了解復數(shù)的三角表示.2.了解復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式之間的關(guān)系.3.了解復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點一

復數(shù)的三角表示式

這個式子稱為復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的

,簡稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分,a+bi稱為復數(shù)的代數(shù)表示式,簡稱代數(shù)形式.

當z=r(cosθ+isinθ)≠0時,z的輻角有無窮多個值,這些值相差2π的整數(shù)倍.三角表示式

為確定起見,將滿足條件0≤θ<2π的輻角值,稱為

,記作argz,即0≤argz<2π.每一個非零復數(shù)有唯一的模與輻角的主值,并且可由它的模與輻角的主值唯一確定.因此,兩個非零復數(shù)相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等.如果z=0,那么與它對應(yīng)的向量

縮成一個點(零向量),它的方向是任意的,所以復數(shù)0的輻角也是任意的.

非零復數(shù)的輻角不唯一,輻角的主值唯一輻角的主值

名師點睛1.復數(shù)的三角形式的特征:(1)模r≥0.(2)括號內(nèi)需滿足:前余弦,后正弦,角相同.(3)cos

θ與isin

θ之間用加號連結(jié).簡單地說,復數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征是:模非負,角相同,余弦前,加號連.不符合條件的都不是三角形式.2.在復數(shù)的三角形式中,幅角θ的值可以用弧度表示,也可以用角度表示,可以是主值,也可以是主值加2kπ或k·360°(k∈Z).但為了簡單起見,復數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式時,一般將θ寫成主值.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)×××××2.[人教A版教材習題]將下列復數(shù)表示成三角形式:解(1)6=6(cos

0+isin

0).3.終邊相同的角有什么關(guān)系?提示

終邊相同的角相差2π的整數(shù)倍.知識點二

復數(shù)三角形式的乘法法則與幾何意義1.復數(shù)乘法運算的三角表示r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].兩個復數(shù)相乘,積的模等于它們的模的

,積的輻角等于它們輻角的

.

簡單地說,兩個復數(shù)三角形式相乘的法則為:模數(shù)相乘,輻角相加.積

和

2.復數(shù)乘法運算的幾何意義

θ2>0,逆時針;θ2<0,順時針

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(2)若argz1=α,argz2=β,則arg(z1·z2)=α+β.(

)√×2.把復數(shù)a+bi(a,b∈R)在復平面內(nèi)對應(yīng)的向量繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后所得向量對應(yīng)的復數(shù)為(

)

A.a-bi B.-a+biC.b-ai D.-b+aiC解析

按順時針旋轉(zhuǎn)90°,即將復數(shù)與cos(-90°)+isin(-90°)相乘,∴所求復數(shù)為(a+bi)·(-i)=b-ai.知識點三

復數(shù)三角形式的除法法則與幾何意義1.復數(shù)除法運算的三角表示兩個復數(shù)相除,商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模,商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的

.

簡單地說,兩個復數(shù)三角形式相除的法則為:模數(shù)相除,輻角相減.差

2.復數(shù)除法運算的幾何意義

θ2>0,順時針;θ2<0,逆時針

過關(guān)自診判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)√×重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一復數(shù)的三角形式【例1】

將下列復數(shù)表示成三角形式(輻角取主值).(1)5i;(2)8;(3)-3-3i;(4)-1+i.(2)因為r=8,cos

θ=1,sin

θ=0,所以θ=0,所以8=8(cos

0+isin

0).規(guī)律方法

復數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi化為復數(shù)三角形式的一般步驟(2)由tan

θ=及點(a,b)所在象限求出復數(shù)的一個輻角(一般情況下,只須求出復數(shù)的輻角主值即可);(3)寫出復數(shù)的三角形式.變式訓練1將下列復數(shù)中代數(shù)形式的表示成三角形式(輻角取主值),三角形式的表示成代數(shù)形式.(1)-1;解

(1)因為r=1,cos

θ=-1,sin

θ=0,所以θ=π,于是-1=cos

π+isin

π.探究點二復數(shù)三角形式的乘法運算【例2】

計算下列各式:(3)(cos36°+isin36°)5.解

(1)原式=21(cos

π+isin

π)=-21.(3)原式=cos(5×36°)+isin(5×36°)=cos

180°+isin

180°=-1.規(guī)律方法

兩個復數(shù)三角形式乘法的法則可簡記為,模數(shù)相乘,輻角相加,并且可以作以下推廣:(1)有限個復數(shù)相乘,結(jié)論亦成立.即z1·z2·…·zn=r1(cos

θ1+isin

θ1)·r2(cos

θ2+isin

θ2)·…·rn(cos

θn+isin

θn)=r1·r2·…·rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].(2)當z1=z2=…=zn=z時,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ,有zn=[r(cos

θ+isin

θ)]n=rn(cos

nθ+isin

nθ),這就是復數(shù)三角形式的乘方法則,即:模數(shù)乘方,輻角n倍.變式訓練2計算下列各式:(2)3(cos18°+isin18°)·2(cos54°+isin54°)·5(cos108°+isin108°);(2)原式=3×2×5[cos(18°+54°+108°)+isin(18°+54°+108°)]=30(cos

180°+isin

180°)=-30.探究點三復數(shù)三角形式的除法運算【例3】

計算下列各式:(2)原式=9[cos(270°+90°)+isin(270°+90°)]=9(cos

360°+isin

360°)=9.規(guī)律方法

進行兩個復數(shù)的三角形式除法運算時,將模對應(yīng)相除等于商的模,用被除數(shù)輻角減去除數(shù)的輻角等于商的輻角,即可得兩個復數(shù)的除法結(jié)果.探究點四復數(shù)乘除法運算的幾何意義【例4】

已知復數(shù)乘法(x+yi)(cosθ+isinθ)(x,y∈R,i為虛數(shù)單位)的幾何意義是將復數(shù)x+yi在復平面內(nèi)對應(yīng)的點(x,y)繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角,則將點(6,4)繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)

得到的點的坐標為

.

解析

復數(shù)乘法(x+yi)(cos

θ+isin

θ)(x,y∈R,i為虛數(shù)單位)的幾何意義是將復數(shù)x+yi在復平面內(nèi)對應(yīng)的點(x,y)繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角,則將點(6,4)繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)

得到的點的對應(yīng)的復數(shù)為變式探究若將條件“逆時針方向”改為“順時針方向”,其結(jié)果如何?規(guī)律方法

逆時針方向旋轉(zhuǎn)與復數(shù)的乘法的幾何意義相對應(yīng);順時針方向旋轉(zhuǎn)與復數(shù)的除法的幾何意義相對應(yīng).可簡記為“逆乘順除”四個字.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)復數(shù)的三角形式及復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化;(2)復數(shù)在三角形式下的乘法、除法運算;(3)復數(shù)在三角形式下的乘法、除法運算的幾何意義.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):(1)輻角和輻角主值容易混淆;(2)若arg

z1=α,arg

z2=β,則arg(z1·z2)不一定為α+β,arg()不一定為α-β.成果驗收·課堂達標檢測123456789A級必備知識基礎(chǔ)練C123456789C123456789A.1 B.3 C.5 D.7C12345678941234567895.在復平面內(nèi),把與復數(shù)-2+2i對應(yīng)的向量繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)75°,求與所得向量對應(yīng)的復數(shù).123456789B級關(guān)鍵能力提升練6.復數(shù)(sin10°+icos10°)(sin10°+icos10°)的三角形式是(

)A.sin30°+icos30° B.cos160°+isin160°C.cos30°+isin30° D.sin160°+icos160°B解析

(sin

10°+icos

10°)(sin

10°+icos

10°)=sin210°-cos210°+2sin

10°cos

10°i=-cos

20°+sin

20°I=cos

160°+isin

160°.故選B.1234567897.設(shè)z1=1-2i,z2=1+i,z3=-1+3i,則argz1+argz2+argz3=(

)C1234567898.(多選)設(shè)z1,z2是復數(shù),argz1=α,argz2=β,則arg(z1·z2)有可能是下列情況中的哪些(

)A.α+β

B.α+β-2πC.2π-(α+β