模型07 三角形-飛鏢模型-解析版

三角形模型（七）——飛鏢模型◎結論：如圖所示，已知四邊形ABDC，則∠BDC=∠A+∠B+∠C【證明】如圖，延長BD交AC于點E.∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角，∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.其他添加軸助線的方法1．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點，直角頂點D落在的內(nèi)部，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再說明∠DBC+∠DCB=90°，進而完成解答．【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴40°-90°=50°故選C．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，靈活運用三角形內(nèi)角和定理成為解答本題的關鍵．2．（2022·全國·八年級課時練習）在社會實踐手工課上，小茗同學設計了一個形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出再利用鄰補角的性質(zhì)求出，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出，根據(jù)鄰補角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，如圖，∵∴同理得∵∴∵∴∴∴,故選：A．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，鄰補角的性質(zhì)，解題關鍵是會添加輔助線，將已知條件聯(lián)系起來進行求解．三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；鄰補角性質(zhì)：鄰補角互補；多邊形內(nèi)角和：．3．（2020·浙江·蕭山區(qū)高橋初級中學八年級期中）如圖，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC與∠ACB的角平分線交于D1，∠ABD1與∠ACD1的角平分線交于點D2，依此類推，∠ABD4與∠ACD4的角平分線交于點D5，則∠BD5C的度數(shù)是（）A．24° B．25° C．30° D．36°【答案】B【詳解】∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠ABC+∠ACB=160°，∵∠ABC與∠ACB的角平分線交于D1，∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACB∵∠ABD1與∠ACD1的角平分線交于點D2，∴∠ABD2=∠ABD1=∠ABC，∠ACD2=∠ACD1=∠ACB，同理可得：∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，∴∠ABD5+∠ACD5=×160°=5°，∴∠BCD5+∠CBD5=155°，∴∠BD5C=180°-∠BCD5-∠CBD5=25°，故選：B1．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，若，則____________．【答案】230°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到結論．【詳解】解：如圖∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案為：230°．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關鍵是要熟練掌握三角形外角性質(zhì)．2．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在中，，，平分，平分，則______.【答案】【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解.【詳解】解：∵平分，平分，∴，∴.【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理.熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關鍵.3．（2022·全國·八年級課時練習）如圖所示，已知四邊形，求證．【答案】見解析【分析】方法1連接BC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結果；方法2作射線，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，，兩式相加即可得到結論；方法3延長BD，交AC于點E，兩次運用三角形外角的性質(zhì)即可得出結論．【詳解】方法1如圖所示，連接BC.在中，，即.在中，，；方法2如圖所示，連接AD并延長.是的外角，.同理，..即.方法3如圖所示，延長BD，交AC于點E.是的外角，.是的外角，..【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)：解題的關鍵是知道三角形的任一外角等于與之不相鄰的兩內(nèi)角的和．也考查了三角形內(nèi)角和定理.1．（2022·山西晉中·二模）如圖，在中，，，，，連接BC，CD，則的度數(shù)是（）A．45° B．50° C．55° D．80°【答案】B【分析】連接AC并延長交EF于點M．由平行線的性質(zhì)得，，再由等量代換得，先求出即可求出．【詳解】解：連接AC并延長交EF于點M．，，，，，，，故選B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎題型．2．如圖(1)所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：（1）觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：①如圖(2)，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、圖(1)XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX=__________°；②如圖(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；（寫出解答過程）③如圖（4），∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，則∠A的度數(shù)=__________°．【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，詳見解析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70【分析】（1）根據(jù)題意觀察圖形連接AD并延長至點F，根據(jù)一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可證∠BDC=∠BDF+∠CDF；（2）①由（1）的結論可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；②結合圖形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的結論可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．③由②方法，進而可得答案．【詳解】解：（1）連接AD并延長至點F，由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①由（1）的結論易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．故答案是：40；②由（1）的結論易得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，∴∠ADB+∠AEB＝80°；∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,∴∠ADC=∠ADB,∠AEC=∠AEB∴∠DCE＝(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；③由②知，∠BG1C＝(∠ABD+∠ACD)+∠A，∵∠BG1C＝77°，∴設∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，∴(140﹣x)＋x＝77，∴14﹣x+x＝77，∴x＝70，∴∠A為70°．故答案是：70．【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的關鍵，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．3．（2022·河北·景縣第二中學八年級階段練習）如圖，在中，，一塊直角三角尺XYZ放置在上，恰好三角尺XYZ的兩條直角邊XY，XZ分別經(jīng)過點B，C．(1)________，________，________．(2)若改變直角三角尺XYZ的位置，但三角尺XYZ的兩條直角邊XY，XZ仍然分別經(jīng)過點B，C，則的大小是否變化？請說明理由．【答案】(1)150°；90°；60°(2)∠ABX＋∠ACX的大小不變．理由見解析．【分析】（1）在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和等于180°，可求∠ABC+∠ACB=180°-∠A，即可求∠ABC+∠ACB；根據(jù)∠ABC+∠ACB=140°，∠XBC+∠XCB=90°，即可求出答案；（2）不發(fā)生變化，由于在△ABC中，∠A=30°，從而∠ABC+∠ACB是一個定值，即等于150°，同理在△XBC中，∠BXC=90°，那么∠XBC+∠XCB也是一個定值，等于90°，于是∠ABX+∠ACX的值不變，等于150°-90°=60°．（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°，∴∠ABC+∠ACB=140°；∵在△BCX中，∠BXC=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°，∴∠ABX+∠ACX=140°-90°=50°；故答案為：140°，90°，50°；（2）∠ABX＋∠ACX的大小不變．理由：在△ABC中，∠A＋∠