與圓有關(guān)的最值問題教學設(shè)計-2023-2024學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

與圓有關(guān)的最值問題教學設(shè)計-2023-2024學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊學校授課教師課時授課班級授課地點教具教學內(nèi)容本節(jié)課選自2023-2024學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊，第四章“圓、方程與方程組”的4.3節(jié)“與圓有關(guān)的最值問題”。教學內(nèi)容主要包括：

1.探索圓上一點到圓外一點的最短距離和最長距離問題；

2.探究圓與直線、圓與圓之間的最值問題，如圓上的點到直線距離的最大值、兩圓相切時圓心距的最小值等；

3.利用代數(shù)方法解決與圓有關(guān)的最值問題，如運用函數(shù)思想、不等式等方法。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標主要包括：培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。通過探究與圓有關(guān)的最值問題，使學生能夠：

1.理解數(shù)學模型在實際問題中的應(yīng)用，提高數(shù)學抽象和數(shù)學建模的能力；

2.培養(yǎng)學生運用幾何直觀和空間想象能力，發(fā)現(xiàn)圓的性質(zhì)及其與最值之間的關(guān)系；

3.培養(yǎng)邏輯推理能力，使學生能夠運用代數(shù)方法合理解決問題，形成嚴密的數(shù)學思維。學習者分析1.學生已經(jīng)掌握了圓的標準方程、圓的一般方程以及圓的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，能夠運用這些知識解決一些基本的幾何問題。

2.學生對數(shù)學有一定的學習興趣，具備一定的空間想象能力和邏輯推理能力。在解決問題的過程中，學生喜歡采用直觀和探索的方式，但部分學生在面對復雜問題時可能會顯得信心不足。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：將實際問題抽象成數(shù)學模型的能力不足，對于與圓有關(guān)的最值問題的解題策略和方法掌握不夠熟練；在運用代數(shù)方法解決問題時，可能會出現(xiàn)運算錯誤或邏輯混亂等問題。此外，部分學生可能在團隊協(xié)作中缺乏主動性和溝通能力。教學資源1.硬件資源：多媒體教學設(shè)備、黑板、圓規(guī)、直尺、計算器。

2.軟件資源：PPT課件、數(shù)學軟件（如GeoGebra）、網(wǎng)絡(luò)教學平臺。

3.信息化資源：電子教材、教學視頻、數(shù)學題庫、在線測評系統(tǒng)。

4.教學手段：講授、小組討論、案例分析、數(shù)學實驗、課后作業(yè)、線上互動。教學過程課前準備：

同學們，我們已經(jīng)學習了圓的相關(guān)知識，今天我們將探討與圓有關(guān)的最值問題。請大家在上課前準備好教材、筆記本和計算器，確保我們能夠高效地進行課堂學習。

一、導入新課

上課開始，我們先來看一個實際問題：在平面直角坐標系中，有一個半徑為1的圓，圓心在原點O(0,0)?，F(xiàn)在有一個點A在圓外，坐標為(2,0)，我們需要找到圓上離點A最近的點和最遠的點。

【提問】同學們，你們認為這個問題該如何解決呢？

二、課堂探究

1.探索圓上一點到圓外一點的最短距離和最長距離問題

【活動】請大家分組討論，嘗試用已經(jīng)學過的知識來解決這個問題。

【講解】經(jīng)過討論，我們發(fā)現(xiàn)，圓上離點A最近的點B和最遠的點C，分別位于圓心O到點A的連線上。這是因為，對于圓上任意一點P，其到點A的距離|AP|是由圓心O到點A的距離|OA|和線段OP的長度共同決定的。

【總結(jié)】因此，我們可以得出結(jié)論：圓上離圓外一點A最近的點在圓心O到點A的連線上，最遠的點也在該連線上。

2.探究圓與直線、圓與圓之間的最值問題

【例題】請大家嘗試解決以下問題：

(1)在平面上，有一個半徑為r的圓，圓心在原點O(0,0)，求圓上的點到直線y=kx+1的距離的最大值。

(2)兩個半徑分別為R和r的圓相切，求它們的圓心距的最小值。

【講解】解決這些問題，我們需要運用到圓的方程、點到直線的距離公式以及兩圓相切的性質(zhì)。

(1)首先，設(shè)圓上任意一點P(x,y)，則點P到直線y=kx+1的距離為：d=|kx-y+1|/√(1+k^2)。

因為點P在圓上，所以有x^2+y^2=r^2。通過代換和求導，我們可以得到d的最大值。

(2)對于兩圓相切的問題，當兩圓外切時，圓心距為R+r；內(nèi)切時，圓心距為R-r。

【總結(jié)】通過以上探究，我們學會了如何利用代數(shù)方法解決與圓有關(guān)的最值問題。

三、鞏固練習

現(xiàn)在，請同學們嘗試完成教材上的練習題，檢驗一下自己對本節(jié)課知識的掌握。

【練習】

1.求圓x^2+y^2=4上離點A(3,0)最近的點和最遠的點。

2.求圓x^2+y^2=9上的點到直線y=2x+1的距離的最大值。

四、課堂小結(jié)

【學生回答】

1.圓上一點到圓外一點的最短距離和最長距離問題。

2.圓與直線、圓與圓之間的最值問題。

很好，希望大家能夠在課后繼續(xù)鞏固這些知識，并運用到實際問題中。

五、課后作業(yè)

請同學們完成以下作業(yè)：

1.教材課后習題第1、2題。

2.結(jié)合本節(jié)課所學的知識，嘗試解決以下實際問題：在一個圓形花壇中，如何確定一條從花壇邊緣到中心噴泉的最短路徑？

六、課堂反饋

最后，請同學們填寫課堂反饋表，以便我了解大家對本節(jié)課的掌握程度，及時調(diào)整教學方法，提高教學效果。

同學們，今天的課就到這里，希望大家能夠?qū)⑺鶎W的知識運用到實際中，不斷提高自己的數(shù)學素養(yǎng)。下節(jié)課，我們將繼續(xù)探討與圓有關(guān)的其他問題。下課后，有問題的同學可以隨時找我討論。謝謝大家！知識點梳理1.圓的標準方程與一般方程

-圓的標準方程：x2+y2=r2

-圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0

2.圓的性質(zhì)

-圓上任意一點到圓心的距離等于圓的半徑。

-圓的切線垂直于過切點的半徑。

-圓的直徑所對的圓周角是直角。

3.點到直線的距離公式

-點P(x?,y?)到直線Ax+By+C=0的距離公式：d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)

4.與圓有關(guān)的最值問題

-圓上一點到圓外一點的最短距離和最長距離問題。

-圓上的點到直線的距離的最大值問題。

-兩圓相切時圓心距的最小值問題。

5.解決最值問題的方法

-幾何方法：利用圓的性質(zhì)和直觀幾何圖形分析最值。

-代數(shù)方法：通過建立數(shù)學模型，運用函數(shù)思想、不等式等方法求解最值。

6.實際問題的數(shù)學建模

-將實際問題抽象為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型。

-運用所學知識解決數(shù)學模型，得到實際問題的解答。

7.數(shù)學軟件的應(yīng)用

-使用數(shù)學軟件（如GeoGebra）輔助教學，直觀展示圓的性質(zhì)和最值問題。

-利用數(shù)學軟件進行實際問題的模擬和求解。內(nèi)容邏輯關(guān)系①重點知識點

-與圓有關(guān)的最值問題的類型及解決方法。

-點到直線的距離公式的應(yīng)用。

-圓的方程和性質(zhì)的運用。

-實際問題抽象為數(shù)學模型的過程。

②關(guān)鍵詞

-最值問題

-圓的方程

-點到直線的距離

-幾何性質(zhì)

-數(shù)學建模

③重點句子

-圓上一點到圓外一點的最短距離和最長距離問題可以通過分析圓心到該點的連線來解決。

-圓上的點到直線的距離的最大值可以通過建立函數(shù)模型并求導數(shù)來求解。

-兩圓相切時，圓心距的最小值等于兩圓半徑之差。

板書設(shè)計：

1.與圓有關(guān)的最值問題

-最短距離和最長距離

-點到直線距離的最大值

-兩圓相切時的圓心距最小值

2.解決方法

-幾何方法

-代數(shù)方法（函數(shù)、導數(shù)、不等式）

3.數(shù)學模型

-點到直線距離公式：d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)

-圓的方程：x2+y2=r2

4.實際問題抽象

-分析問題

-建立模型

-求解答案課堂小結(jié)，當堂檢測課堂小結(jié)：

今天我們學習了與圓有關(guān)的最值問題，重點掌握了以下知識點：

1.圓上一點到圓外一點的最短距離和最長距離問題及其解決方法。

2.圓上的點到直線的距離的最大值問題及代數(shù)求解方法。

3.兩圓相切時圓心距的最小值問題。

4.實際問題的數(shù)學建模過程。

當堂檢測：

為了檢驗大家對這節(jié)課知識的掌握，請完成以下檢測題目：

一、選擇題

1.下列關(guān)于圓的說法，正確的是（）

A.圓上任意一點到圓心的距離等于圓的半徑

B.圓的切線與半徑垂直

C.圓的直徑所對的圓周角是直角

D.所有選項都正確

2.求圓x2+y2=4上離點A(3,0)最近的點和最遠的點，正確答案是（）

A.(2,0)和(4,0)

B.(2,√5)和(2,-√5)

C.(3,√5)和(3,-√5)

D.(3,2)和(3,-2)

二、填空題

3.圓x2+y2=9上的點到直線y=2x+1的距離的最大值是______。

4.兩個半徑分別為R和r的圓相切，它們的圓心距的最小值是______。

三、解答題

5.求解圓x2+y2=4上的點到直線x+y-3=0的距離的最大值。

6.在平面直角坐標系中，有一個半徑為1的圓，圓心在原點O(0,0)，點A在圓外，坐標為(2,0)。求圓上離點A最近的點和最遠的點。

請大家認真完成檢測題目，并在下課前提交。希望通過檢測，大家能夠鞏固所學知識，提高自己的解題能力。下節(jié)課，我們將針對檢測結(jié)果進行講解和分析。謝謝大家！教學反思與總結(jié)在本次教學過程中，我采用了講授與探究相結(jié)合的方法，引導學生通過小組討論和案例分析來探索與圓有關(guān)的最值問題。從整個教學過程來看，我覺得在以下幾方面做得不錯：

1.教學方法：通過實際問題引入，激發(fā)學生的興趣，使他們更容易投入到學習中。同時，結(jié)合數(shù)學軟件（如GeoGebra）進行直觀演示，有助于學生理解和掌握圓的性質(zhì)及最值問題。

2.教學策略：在講解過程中，注重引導學生主動思考，培養(yǎng)學生的邏輯推理和空間想象能力。通過設(shè)置不同難度的例題和練習，使學生在逐步解決問題的過程中，掌握與圓有關(guān)的最值問題的解題方法。

然而，在教學過程中，我也發(fā)現(xiàn)了一些不足之處：

1.部分學生對圓的性質(zhì)和方程掌握不夠熟練，導致在解決最值問題時遇到困難。在今后的教學中，我需要加強對這些基礎(chǔ)知識點的鞏固。

2.在小組討論環(huán)節(jié)，部分學生參與度不高，可能是因為他們對問題不夠了解，或者缺乏團隊合作意識。為了提高學生的參與度，我可以在分組時更加注意學生之間的搭配，同時加強對學生的引導和鼓勵。

教學總結(jié)：

1.學生在知識方面：通過本節(jié)課的學習，大部分學生能夠掌握與圓有關(guān)的最值問題的類型及解決方法，對圓的方程和性質(zhì)有了更深入的理解。

2.技能方面：學生的空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學建模能力得到了鍛煉和提高。

3.情感態(tài)度方面：學生對數(shù)學學習的興趣有所提高，團隊合作意識和解決問題的自信心也得到了增強。

針對教學中存在的問題和不足，我提出以下改進措施和建議：

1.在教學過程中，注重學生對基礎(chǔ)知識的鞏固，特別是圓的方程和性質(zhì)。

2.加強對學生參與小組討論的引導和鼓勵，提高他們的團隊合作意識。

3.增加課堂互動，關(guān)注學生的學習反饋，及時調(diào)整教學方法和策略。

4.設(shè)計更具挑戰(zhàn)性和實用性的課后作業(yè)，讓學生在課后能夠進一步鞏固所學知識。典型例題講解例題1：

已知圓C的方程為x2+y2=4，點A坐標為(3,0)，求圓上離點A最近的點和最遠的點。

解答：

圓心C坐標為(0,0)，半徑為2。圓上離點A最近的點B位于AC上，最遠的點D位于延長線AC上。

由于|AC|=3，所以|AB|=|AC|-|BC|=3-2=1，|AD|=|AC|+|CD|=3+2=5。

因此，點B坐標為(3-1,0)即(2,0)，點D坐標為(3+2,0)即(5,0)。

例題2：

求圓x2+y2=9上的點到直線y=2x+1的距離的最大值。

解答：

設(shè)圓上任意一點P(x,y)，則點P到直線y=2x+1的距離為：d=|2x-y+1|/√(1+22)=|2x-y+1|/√5。

因為點P在圓上，所以有x2+y2=9。

例題3：

兩個半徑分別為R和r的圓相切，求它們的圓心距的最小值。

解答：

當兩圓外切時，圓心距為R+r；內(nèi)切時，圓心距為R-r。

所以，圓心距的最小值為R-r。

例題4：

求解圓x2+y2=4上的點到直線x+y-3=0的距離的最大值。

解答：

設(shè)圓上任意一點P(x,y)，則點P到直線x+y-3=0的距離為：d=|x+y-3|/√(12+12)=