13.4 課題學習+最短路徑問題 人教版八年級上冊數學教學設計

13.4課題學習最短路徑問題教學設計教學目標利用軸對稱、平移等變化解決簡單的最短路徑問題。通過學習，進一步培養(yǎng)學生用符號和圖形語言表達數學的能力。教學重難點利用平移、軸對稱解決最短路徑問題。教學類型探究型、啟發(fā)型、歸納型教學過程內容畫面片頭你好，歡迎來到今天的數學微課堂。場景1正文講解導入俗話說：“當官不為民做主，不如回家賣紅薯”。說到這句俗語，不得不聯(lián)想到宋代名相蔡襄。在北宋嘉祐年間，洛陽江是一個鄉(xiāng)野古渡，名叫萬安渡。這里水流湍急，嚴重地影響了兩岸居民的生活。為了解決這個問題，蔡襄下令在這個古渡上建造一座橋。但橋建設的位置卻難住了工匠們。同學們，你能幫助工匠們解決這個難題嗎？這節(jié)課就讓我們一起來集中探究一下吧！趣味學習師：同學們，我們首先來把這個問題來轉化成數學的語言。如例題1：如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN．橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）（展示不讀）師：同學們，這個問題我們該怎么解決呢？生：可以用畫圖的形式先把抽象的實際問題轉化為數學問題。這個題目可以這樣畫圖：這時，只需要求出當點N在直線b的什么位置時，AM+MN+NB最小？就是最短的路徑。師：那這個問題還可以在簡化嗎？生：可以。因為河面的寬度是固定的，也就是MN的長度是固定的。當AM+NB最小時，AM+MN+NB最小.問題可以轉化為當點N在直線b的什么位置時，AM+NB最小。師：同學們，你們真聰明！那我們該怎么找N點的位置呢？生：我們可以通過圖形的變化將問題轉化為我們已經研究過的問題。通過觀察，我們發(fā)現只需要將AM沿與河岸垂直的方向平移，點M移動到點N，點A移動到A′.則：A′N=AM.這時，我們再連接A′B，交直線b于點N，這樣就可以找到點N的位置。因為兩點之間線段最短。師：同學們，你們真聰明！那你能用文字的語言總結一下做題方法嗎？生：①實際問題可以抽象成數學問題。②利用平移、實現線段的轉移。③把已知問題轉化為容易解決的問題。師：同學們，你們總結的真到位！那我們該如何證明這條路徑是最短的呢？哪位同學可以分享一下你的證明方法呢？生：要想證明路徑AMNB最短，只需要證明AM+MN+NB<AM′+M′N′+N′B即可。但是由于MN=M′N。因此，只需要證明AM+NB<AM′+N′B由平移可知AM=A′NAM′=A′N′這時，只需要證明A′N+NB<A′N′+N′B即可。因為兩點之間，線段最短。其證明過程如下：在直線b上任取一點N′，過N′作N′M′⊥a連接AM′，A′N′，N′B由平移性質可知，AM=A′N，AM′=A′N′.AM+NB=A′N+NB=A′BAM′+N′B=A′N′+N′B.由兩點之間，線段最短可知：A′B<A′N′+N′B即AM+NB<AM′+N′B即AM+MN+NB<AM′+M′N′+N′B.（展示不讀）師：同學們，你們真棒！成功地幫助了工匠們解決了建橋的難題。但在這個過程中，大家也要學會用符號的語言進行整理和表達哦！小試身手過渡：同學們，這節(jié)課我們學習了最短路徑問題（第二課時），你學會了嗎？快快拿起本子挑戰(zhàn)一下下面的練習題吧！如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為10，BD平分∠ABC，若M、N分別是BD、BC上的動點，求CM+MN的最小值解：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M，過點M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于點E，MN⊥BC于N∴MN＝ME，∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面積為10，AB＝4，∴×4?CE＝10，∴CE＝．即CM+MN的最小值為5．（展示不讀）小結同學們，這節(jié)課我們學習了最短路徑問題（第二課時），你有哪些收獲呢？大家要注意以后我們在解決此類問題時，要巧用利用軸對稱、平移等學過的知識，根據兩點之間，線段