新函數(shù)連續(xù)性1-8函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)講義

二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算及初等函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的概念第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

第一章三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的概念1.函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性定義1在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)設(shè)函數(shù)且可見,函數(shù)在點(diǎn)(1)在點(diǎn)即(2)極限(3)連續(xù)必須具備下列條件:存在;有定義,存在;則定義2

設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,如果當(dāng)自變量的

增量趨向于零時(shí),也趨向于零,

對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量即例1證由定義1知例2單側(cè)連續(xù)定理定義3例3解右連續(xù)但不左連續(xù),2.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).叫做在該區(qū)例4證3.函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類在在(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但

不連續(xù):設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,則滿足下列這樣的點(diǎn)情形之一的函數(shù)f(x)在點(diǎn)雖有定義,但雖有定義,且稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)

.在無定義

;間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,稱若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn)

.為跳躍間斷點(diǎn)

.為無窮間斷點(diǎn)

.例5解注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).例6解例7解例8解例9研究函數(shù)間斷點(diǎn)，說明間斷點(diǎn)的類型.的連續(xù)性，如有二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算及初等函數(shù)的連續(xù)性定理1例如,定理2

在區(qū)間上單調(diào)遞增(遞減)且連續(xù)的函數(shù)的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上也單調(diào)遞增(遞減)且連續(xù).(證明略)例如,在其定義域內(nèi)連續(xù).故在上連續(xù)單調(diào)遞增,其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.又如,

定理（證明略）例如解證:

設(shè)函數(shù)于是故復(fù)合函數(shù)且即定理3例如2.初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★定理基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如,的連續(xù)區(qū)間為(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))的連續(xù)區(qū)間為的定義域?yàn)橐虼怂鼰o連續(xù)點(diǎn)而定理4一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.例10解初等函數(shù)求極限的方法代入法.例11三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例如,定義:最大值，使得對(duì)于在最小值，問題1如何根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形找該函數(shù)在區(qū)間上的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)？問題2是否在某區(qū)間上有定義的函數(shù)在這個(gè)區(qū)間一定有最大值和最小值？例無最大值與最小值也無最大值和最小值又如,

定理5(最值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定存在最大值與最小值.(證明略)推論(有界性）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有界.定理6(介值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.定理7(零值定理)幾何意義：證：再利用介值定理可證取值為0的點(diǎn)的存在性.例12證由零點(diǎn)定理,說明:內(nèi)必有方程的根;取的中點(diǎn)內(nèi)必有方程的根;可用此法求近似根.二分法則則例13證由零點(diǎn)定理,零值定理的推廣例14左連續(xù)右連續(xù)當(dāng)時(shí),有函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)有下列等價(jià)命題:小結(jié)

作業(yè)

P691.(1)—(6)（10）2.(3)（4）

4.5.7.12三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):無窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)(