高考總復(fù)習理數(shù)（北師大版）第12章第3節(jié)統(tǒng)計圖表數(shù)據(jù)的數(shù)字特征用樣本估計總體

第三節(jié)統(tǒng)計圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計總體考點高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)特征數(shù)字2017·全國卷Ⅰ·T2·5分平均數(shù)、標準差、中位數(shù)數(shù)據(jù)分析直方圖2017·全國卷Ⅱ·T18·12分以直方圖為載體考查獨立性檢驗數(shù)據(jù)分析2017·北京卷·T17·12分直方圖數(shù)據(jù)分析莖葉圖2015·全國卷Ⅱ·T18·12分莖葉圖、概率數(shù)據(jù)分析命題分析本節(jié)是高考熱點，對于利用頻率分布直方圖莖葉圖樣本數(shù)據(jù)特征來估計總體，若單獨命題以選擇題填空題的形式出現(xiàn)，另外頻率分布直方圖有時也在解答題中出現(xiàn).1．頻率分布直方圖頻率分布直方圖由一些小矩形來表示，每個小矩形的寬度為Δxi，高為eq\f(fi,Δxi)，小矩形的面積恰為相應(yīng)的頻率fi，圖中所有小矩形的面積之和為1.eq\a\vs4\al(作頻率,分布直,方圖的,步驟)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1求極差即一組數(shù)據(jù)中最大值與,最小值的差,2決定組距與組數(shù),3將數(shù)據(jù)分組,4列頻率分布表,5畫頻率分布直方圖))2．頻率折線圖(1)定義：在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加一個區(qū)間．從所加的左邊區(qū)間的中點開始，用線段依次連接各個矩形的頂端中點，直至右邊所加區(qū)間的中點，就可以得到一條折線，我們稱之為頻率折線圖．(2)作用：可以用它來估計總體的分布情況．3．莖葉圖(1)莖葉圖表示數(shù)據(jù)的優(yōu)點①莖葉圖上沒有數(shù)據(jù)的損失，所有的數(shù)據(jù)都可以從這個莖葉圖中得到．②莖葉圖可以隨時記錄，方便比較.(2)莖葉圖表示數(shù)據(jù)的缺點當數(shù)據(jù)量很大或有多組數(shù)據(jù)時，莖葉圖就不那么直觀清晰了．4．數(shù)據(jù)的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征定義與求法優(yōu)點與缺點眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)眾數(shù)通常用于描述變量的值出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．但顯然它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視使它無法客觀地反映總體特征中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置的一個數(shù)據(jù)(或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點平均數(shù)如果有n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個數(shù)的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計總體時可靠性降低(2)標準差、方差①標準差：樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2]).②方差：標準差的平方s2s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq\o(x,\s\up6(－))是樣本平均數(shù).提醒：1．辨明兩個易誤點(1)易忽視頻率分布直方圖中縱軸表示的應(yīng)為eq\f(頻率,組距).(2)在繪制莖葉圖時，易遺漏重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)，重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，同時不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義．2．標準差和方差的異同相同點：標準差和方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。煌c：方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，標準差則不然．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率．()(2)頻率分布直方圖中各個長方形的面積之和為1.()(3)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序?qū)懀嗤臄?shù)據(jù)可以只記一次．()(4)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數(shù)．()(5)在頻率分布直方圖中，眾數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．()(6)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×(6)√2．(教材習題改編)若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A．91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92解析：選A這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96.∴中位數(shù)是eq\f(91＋92,2)＝91.5，平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.3．某雷達測速區(qū)規(guī)定：凡車速大于或等于70km/h的汽車視為“超速”，并將受到處罰．如圖是某路段的一個檢測點對200輛汽車的車速進行檢測所得結(jié)果的頻率分布直方圖，A．30輛 B．40輛C．60輛 D．80輛解析：選B從頻率分布直方圖可知：速度大于或等于70km/h的頻率為0.02×10＝0.2，而汽車總量為200輛，所以被處罰的汽車約有200×4．某學員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.則：(1)平均命中環(huán)數(shù)為________；(2)命中環(huán)數(shù)的標準差為________．解析：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7.(2)s2＝eq\f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.答案：(1)7(2)2莖葉圖[明技法]由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點同頻率分布直方圖類似．它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失，第二點是莖葉圖便于記錄和表示．其缺點是當樣本容量較大時，作圖較繁瑣．[提能力]【典例】(1)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)，已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17.4，則x，y的值分別為()A．7,8 B．5,7C．8,5 D．7,7解析：選D甲的中位數(shù)為17,故y＝7，乙的平均數(shù)為eq\f(3×10＋20＋9＋6＋6＋x＋9,5)＝17.4，解得x＝7.(2)(2017·山東卷)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為()A．3,5 B．5,5C．3,7 D．5,7解析：選A甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65，由甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等得y＝5.又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均值相等，∴eq\f(1,5)×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝eq\f(1,5)×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.故選A．[刷好題]1．重慶市2017年各月的平均氣溫(℃)數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()A．19 B．20C．21.5 D．23解析：選B從莖葉圖知所有數(shù)據(jù)為8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，中間兩個數(shù)為20,20，故中位數(shù)為20，選B．2．某中學高三從甲、乙兩個班中各選出7名學生參加數(shù)學競賽，他們?nèi)〉玫某煽?滿分100分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學生成績的眾數(shù)是85，乙班學生成績的中位數(shù)是83，則x＋y的值為________.解析：由甲班學生成績的眾數(shù)是85，知x＝5，由乙班學生成績的中位數(shù)是83，得y＝3.所以x＋y＝8.答案：8頻率分布直方圖[明技法](1)明確頻率分布直方圖的意義，即圖中的每一個小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻率，所有小矩形的面積和為1.(2)對于統(tǒng)計圖表類題目，最重要的是認真觀察圖表，從中提煉有用的信息和數(shù)據(jù)．[提能力]【典例】(2017·北京卷)某大學藝術(shù)專業(yè)400名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率；(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分數(shù)不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以樣本中分數(shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4，所以從總體的400名學生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于70的概率估計為0.4.(2)根據(jù)題意，樣本中分數(shù)不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分數(shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為100－100×0.9－5＝5，所以總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)估計為400×eq\f(5,100)＝20.(3)由題意可知，樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以樣本中分數(shù)不小于70的男生人數(shù)為60×eq\f(1,2)＝30，所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60，女生人數(shù)為100－60＝40，所以樣本中男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2，所以根據(jù)分層抽樣原理，估計總體中男生和女生人數(shù)的比例為3∶2.[刷好題]1．如圖是根據(jù)部分城市某年6月份的平均氣溫(單位：℃)數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是[20.5,26.5]，樣本數(shù)據(jù)的分組為[20.5,21.5)，[21.5，22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知樣本中平均氣溫低于22.5℃的城市個數(shù)為11，則樣本中平均氣溫不低于25.5解析：最左邊兩個矩形面積之和為0.10×1＋0.12×1＝0.22，總城市數(shù)為11÷0.22＝50，最右面矩形面積為0.18×1＝0.18,50×0.18＝9.答案：92．(2015·全國卷Ⅱ)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表．圖①B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表滿意度評分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)2814106(1)在圖②中作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可)．圖②(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由．解：(1)通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散．(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大．記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”．由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估計值為(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大．樣本的數(shù)字特征[析考情]用樣本的數(shù)字特征估計總體涉及到的量有頻數(shù)、頻率、平均數(shù)、標準差、眾數(shù)、中位數(shù)、極差等.其中高考考查較多的是頻率、平均數(shù)和方差．三種題型均有可能出現(xiàn)，難度不大，為中低檔．[提能力]命題點1：樣本的數(shù)字特征與直方圖交匯【典例1】甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則()A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差解析：選C甲的平均數(shù)是eq\f(4＋5＋6＋7＋8,5)＝6，中位數(shù)是6，極差是4，方差是eq\f(－22＋－12＋02＋12＋22,5)＝2；乙的平均數(shù)是eq\f(5＋5＋5＋6＋9,5)＝6，中位數(shù)是5，極差是4，方差是eq\f(－12＋－12＋－12＋02＋32,5)＝eq\f(12,5)，故選C．命題點2：樣本的數(shù)字特征與莖葉圖交匯【典例2】為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫情況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)(單位：℃)制成如圖所示的莖葉圖．考慮以下結(jié)論：①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；③甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差；④甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差．其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的編號為()A．①③ B．①④C．②③ D．②④解析：選B方法一∵eq\x\to(x)甲＝eq\f(26＋28＋29＋31＋31,5)＝29，eq\x\to(x)乙＝eq\f(28＋29＋30＋31＋32,5)＝30，∴eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙，又seq\o\al(2,甲)＝eq\f(9＋1＋0＋4＋4,5)＝eq\f(18,5)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(4＋1＋0＋1＋4,5)＝2，∴s甲>s乙．故可判斷結(jié)論①④正確．方法二甲地該月14時的氣溫數(shù)據(jù)分布在26和31之間，且數(shù)據(jù)波動較大，而乙地該月14時的氣溫數(shù)據(jù)分布在28和32之間，且數(shù)據(jù)波動較小，可以判斷結(jié)論①④正確，故選B．命題點3：樣本的數(shù)字特征與優(yōu)化決策問題【典例3】甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))：甲108999乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應(yīng)是