數學人教A版選修2-3課件第三章統(tǒng)計案例3.1

§3.1

回歸分析的基本思想及其初步應用第三章

統(tǒng)計案例學習目標1.了解隨機誤差、殘差、殘差圖的概念.2.會通過分析殘差判斷線性回歸模型的擬合效果.3.掌握建立線性回歸模型的步驟.題型探究問題導學內容索引當堂訓練問題導學請問如何表示推銷金額y與工作年限x之間的相關關系？y關于x的線性回歸方程是什么？知識點一線性回歸模型思考

某電腦公司有5名產品推銷員，其工作年限與年推銷金額數據如下表：答案推銷員編號12345工作年限x/年35679推銷金額y/萬元23345答案畫出散點圖，由圖可知，樣本點散布在一條直線附近，因此可用回歸直線表示變量之間的相關關系.(1)函數關系是一種

關系，而相關關系是一種

關系.(2)回歸分析是對具有

關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法.梳理確定性非確定性相關(4)線性回歸模型y＝bx＋a＋e，其中a和b是模型的未知參數，e稱為___________，自變量x稱為

，因變量y稱為

.隨機誤差解釋變量預報變量知識點二線性回歸分析思考1

預報變量

與真實值y一樣嗎？答案不一定.答案思考2

預報值

與真實值y之間誤差大了好還是小了好？答案越小越好.答案(1)殘差平方和法梳理(2)殘差圖法殘差點

落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適.這樣的帶狀區(qū)域的寬度

，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高.比較均勻地越窄(3)利用相關指數R2刻畫回歸效果其計算公式為：R2＝1－

,其幾何意義：

，表示回歸的效果越好.R2越接近于1知識點三建立回歸模型的基本步驟1.確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量.2.畫出解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系(如是否存在線性關系等).3.由經驗確定回歸方程的類型(如觀察到數據呈線性關系，則選用線性回歸方程).4.按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計回歸方程中的參數.5.得出結果后分析殘差圖是否有異常(如個別數據對應殘差過大，殘差呈現不隨機的規(guī)律性等).若存在異常，則檢查數據是否有誤，或模型是否合適等.題型探究例1

某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數據：類型一求線性回歸方程x681012y2356(1)請畫出上表數據的散點圖；解答解如圖：解答x681012y2356預測記憶力為9的同學的判斷力約為4.解答(1)求線性回歸方程的基本步驟①列出散點圖，從直觀上分析數據間是否存在線性相關關系.反思與感悟④寫出線性回歸方程并對實際問題作出估計.(2)需特別注意的是，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸方程才有實際意義，否則求出的回歸方程毫無意義.跟蹤訓練1

假設關于某設備的使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計數據：x23456y2.23.85.56.57.0由此資料可知y對x呈線性相關關系.(1)求線性回歸方程；解答解由上表中的數據可得(2)求使用年限為10年時，該設備的維修費用為多少？即使用年限為10年時，該設備的維修費用為12.38萬元.解答例2

為研究質量x(單位：克)對彈簧長度y(單位：厘米)的影響，對不同質量的6個物體進行測量，數據如表所示：類型二線性回歸分析x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點圖并求線性回歸方程；解答解散點圖如圖：由散點圖可知x與y呈線性相關，(2)求出R2；解R2≈0.9991.(3)進行殘差分析.解由殘差表中的數值可以看出第3個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這個數據的時候是否有人為的錯誤，如果有的話，需要糾正數據，重新建立回歸模型；由表中數據可以看出殘差點比較均勻地落在不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與質量具有線性關系.解答引申探究1.在條件不變的情況下，畫出殘差圖.解如圖所示.解答2.當x＝35時，估計y的值.解當x＝35時，y＝6.285＋0.183×35＝12.69.解答(1)該類題屬于線性回歸問題，解答本題應先通過散點圖來分析兩變量間的關系是否線性相關，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關指數R2來分析函數模型的擬合效果，在此基礎上，借助回歸方程對實際問題進行分析.(2)刻畫回歸效果的三種方法①殘差圖法，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內說明選用的模型比較合適.反思與感悟跟蹤訓練2

關于x與y有如下數據：x24568y3040605070解答∴(1)的擬合效果好于(2)的擬合效果.類型三非線性回歸分析例3

下表為收集到的一組數據：x21232527293235y711212466115325(1)作出x與y的散點圖，并猜測x與y之間的關系；解答解作出散點圖如圖，從散點圖可以看出x與y不具有線性相關關系，根據已有知識可以發(fā)現樣本點分布在某一條指數型函數曲線y＝c1e的周圍，其中c1、c2為待定的參數.(2)建立x與y的關系，預報回歸模型并計算殘差；解答解對兩邊取對數把指數關系變?yōu)榫€性關系，令z＝lny，則有變換后的樣本點應分布在直線z＝bx＋a，a＝lnc1，b＝c2的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性回歸方程，數據可以轉化為x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784殘差列表如下：(3)利用所得模型，預報x＝40時y的值.解答非線性回歸問題的處理方法(1)指數函數型y＝ebx＋a①函數y＝ebx＋a的圖象：反思與感悟②處理方法：兩邊取對數得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始數據(x，y)轉化為(x，z)，再根據線性回歸模型的方法求出a，b.(2)對數函數型y＝blnx＋a①函數y＝blnx＋a的圖象：②處理方法：設x′＝lnx，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據線性回歸模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型處理方法：設x′＝x2，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據線性回歸模型的方法求出a，b.跟蹤訓練3

已知某種食品每千克的生產成本y(元)與生產該食品的重量x(千克)有關，經生產統(tǒng)計得到以下數據：x123510y10.155.524.082.852.11x203050100200y1.621.411.301.211.15解答u＝10.50.330.20.1y10.155.524.082.852.11u＝0.050.030.020.010.005y1.621.411.301.211.15所以估計生產該食品500千克時每千克的生產成本是1.14元.當堂訓練1.設有一個回歸方程

＝2－1.5x，當變量x增加1個單位時A.y平均增加1.5個單位B.y平均增加2個單位C.y平均減少1.5個單位D.y平均減少2個單位23451√答案解析解析由回歸方程中兩個變量之間的關系可以得到.2.如圖四個散點圖中，適合用線性回歸模型擬合其中兩個變量的是23451A.①②

B.①③

C.②③

D.③④√答案解析解析由圖易知①③兩個圖中樣本點在一條直線附近，因此適合用線性回歸模型.3.某產品在某零售攤位的零售價x(單位：元)與每天的銷售量y(單位：個)的統(tǒng)計資料如下表所示：23451x16171819y50344131A.51個

B.50個

C.49個

D.48個√答案解析234514.下表是x和y之間的一組數據，則y關于x的回歸直線必過23451解析x1234y1357A.點(2,3) B.點(1.5,4)C.點(2.5,4) D.點(2.5,5)√答案5.已知x、y之間的一組數據如下表：23451x0123y1357解答(2)已知變量x與y線性相關，求出回歸方程.23451解答規(guī)律與方法回歸分析的步