數(shù)學(xué)人教A版選修2-3課件第三章統(tǒng)計(jì)案例3.1

§3.1

回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用第三章

統(tǒng)計(jì)案例學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解隨機(jī)誤差、殘差、殘差圖的概念.2.會(huì)通過分析殘差判斷線性回歸模型的擬合效果.3.掌握建立線性回歸模型的步驟.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)請(qǐng)問如何表示推銷金額y與工作年限x之間的相關(guān)關(guān)系？y關(guān)于x的線性回歸方程是什么？知識(shí)點(diǎn)一線性回歸模型思考

某電腦公司有5名產(chǎn)品推銷員，其工作年限與年推銷金額數(shù)據(jù)如下表：答案推銷員編號(hào)12345工作年限x/年35679推銷金額y/萬(wàn)元23345答案畫出散點(diǎn)圖，由圖可知，樣本點(diǎn)散布在一條直線附近，因此可用回歸直線表示變量之間的相關(guān)關(guān)系.(1)函數(shù)關(guān)系是一種

關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種

關(guān)系.(2)回歸分析是對(duì)具有

關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.梳理確定性非確定性相關(guān)(4)線性回歸模型y＝bx＋a＋e，其中a和b是模型的未知參數(shù)，e稱為___________，自變量x稱為

，因變量y稱為

.隨機(jī)誤差解釋變量預(yù)報(bào)變量知識(shí)點(diǎn)二線性回歸分析思考1

預(yù)報(bào)變量

與真實(shí)值y一樣嗎？答案不一定.答案思考2

預(yù)報(bào)值

與真實(shí)值y之間誤差大了好還是小了好？答案越小越好.答案(1)殘差平方和法梳理(2)殘差圖法殘差點(diǎn)

落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適.這樣的帶狀區(qū)域的寬度

，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高.比較均勻地越窄(3)利用相關(guān)指數(shù)R2刻畫回歸效果其計(jì)算公式為：R2＝1－

,其幾何意義：

，表示回歸的效果越好.R2越接近于1知識(shí)點(diǎn)三建立回歸模型的基本步驟1.確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量.2.畫出解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等).3.由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程).4.按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計(jì)回歸方程中的參數(shù).5.得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(如個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過大，殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等).若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.題型探究例1

某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)：類型一求線性回歸方程x681012y2356(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；解答解如圖：解答x681012y2356預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4.解答(1)求線性回歸方程的基本步驟①列出散點(diǎn)圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系.反思與感悟④寫出線性回歸方程并對(duì)實(shí)際問題作出估計(jì).(2)需特別注意的是，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸方程才有實(shí)際意義，否則求出的回歸方程毫無(wú)意義.跟蹤訓(xùn)練1

假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)有如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：x23456y2.23.85.56.57.0由此資料可知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系.(1)求線性回歸方程；解答解由上表中的數(shù)據(jù)可得(2)求使用年限為10年時(shí)，該設(shè)備的維修費(fèi)用為多少？即使用年限為10年時(shí)，該設(shè)備的維修費(fèi)用為12.38萬(wàn)元.解答例2

為研究質(zhì)量x(單位：克)對(duì)彈簧長(zhǎng)度y(單位：厘米)的影響，對(duì)不同質(zhì)量的6個(gè)物體進(jìn)行測(cè)量，數(shù)據(jù)如表所示：類型二線性回歸分析x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點(diǎn)圖并求線性回歸方程；解答解散點(diǎn)圖如圖：由散點(diǎn)圖可知x與y呈線性相關(guān)，(2)求出R2；解R2≈0.9991.(3)進(jìn)行殘差分析.解由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤，如果有的話，需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長(zhǎng)度與質(zhì)量具有線性關(guān)系.解答引申探究1.在條件不變的情況下，畫出殘差圖.解如圖所示.解答2.當(dāng)x＝35時(shí)，估計(jì)y的值.解當(dāng)x＝35時(shí)，y＝6.285＋0.183×35＝12.69.解答(1)該類題屬于線性回歸問題，解答本題應(yīng)先通過散點(diǎn)圖來(lái)分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關(guān)指數(shù)R2來(lái)分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上，借助回歸方程對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析.(2)刻畫回歸效果的三種方法①殘差圖法，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練2

關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)：x24568y3040605070解答∴(1)的擬合效果好于(2)的擬合效果.類型三非線性回歸分析例3

下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：x21232527293235y711212466115325(1)作出x與y的散點(diǎn)圖，并猜測(cè)x與y之間的關(guān)系；解答解作出散點(diǎn)圖如圖，從散點(diǎn)圖可以看出x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識(shí)可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)型函數(shù)曲線y＝c1e的周圍，其中c1、c2為待定的參數(shù).(2)建立x與y的關(guān)系，預(yù)報(bào)回歸模型并計(jì)算殘差；解答解對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z＝lny，則有變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)分布在直線z＝bx＋a，a＝lnc1，b＝c2的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來(lái)建立y與x之間的非線性回歸方程，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784殘差列表如下：(3)利用所得模型，預(yù)報(bào)x＝40時(shí)y的值.解答非線性回歸問題的處理方法(1)指數(shù)函數(shù)型y＝ebx＋a①函數(shù)y＝ebx＋a的圖象：反思與感悟②處理方法：兩邊取對(duì)數(shù)得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉(zhuǎn)化為(x，z)，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(2)對(duì)數(shù)函數(shù)型y＝blnx＋a①函數(shù)y＝blnx＋a的圖象：②處理方法：設(shè)x′＝lnx，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型處理方法：設(shè)x′＝x2，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.跟蹤訓(xùn)練3

已知某種食品每千克的生產(chǎn)成本y(元)與生產(chǎn)該食品的重量x(千克)有關(guān)，經(jīng)生產(chǎn)統(tǒng)計(jì)得到以下數(shù)據(jù)：x123510y10.155.524.082.852.11x203050100200y1.621.411.301.211.15解答u＝10.50.330.20.1y10.155.524.082.852.11u＝0.050.030.020.010.005y1.621.411.301.211.15所以估計(jì)生產(chǎn)該食品500千克時(shí)每千克的生產(chǎn)成本是1.14元.當(dāng)堂訓(xùn)練1.設(shè)有一個(gè)回歸方程

＝2－1.5x，當(dāng)變量x增加1個(gè)單位時(shí)A.y平均增加1.5個(gè)單位B.y平均增加2個(gè)單位C.y平均減少1.5個(gè)單位D.y平均減少2個(gè)單位23451√答案解析解析由回歸方程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以得到.2.如圖四個(gè)散點(diǎn)圖中，適合用線性回歸模型擬合其中兩個(gè)變量的是23451A.①②

B.①③

C.②③

D.③④√答案解析解析由圖易知①③兩個(gè)圖中樣本點(diǎn)在一條直線附近，因此適合用線性回歸模型.3.某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價(jià)x(單位：元)與每天的銷售量y(單位：個(gè))的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示：23451x16171819y50344131A.51個(gè)

B.50個(gè)

C.49個(gè)

D.48個(gè)√答案解析234514.下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關(guān)于x的回歸直線必過23451解析x1234y1357A.點(diǎn)(2,3) B.點(diǎn)(1.5,4)C.點(diǎn)(2.5,4) D.點(diǎn)(2.5,5)√答案5.已知x、y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：23451x0123y1357解答(2)已知變量x與y線性相關(guān)，求出回歸方程.23451解答規(guī)律與方法回歸分析的步