廣東省揭陽(yáng)市兩校2025屆高三上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)廣東省揭陽(yáng)市兩校2025屆高三上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合A=0,1,2,3，B=x∈Nx2?5x+4≥0A.1 B.1,2 C.0,1 D.1,2,32.“x2≤x”是“1x≥1A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知函數(shù)f(x)=(2?a)x+3a,x<1x?1,x≥1的值域?yàn)镽，那么實(shí)數(shù)aA.(?∞,?1] B.[?1,2) C.(0,2) D.(?2,1]4.如圖，已知A(1,0)，B(0,1)，點(diǎn)C在函數(shù)y=ax的圖象上，點(diǎn)D在函數(shù)y=logax的圖象上，若四邊形ABCD為正方形，則a=A.32 B.2 C.3 D.5.已知sin?θ+sin?(θ+π3A.12 B.33 C.26.神舟十二號(hào)載人飛船搭載3名宇航員進(jìn)入太空，在中國(guó)空間站完成了為期三個(gè)月的太空駐留任務(wù)，期間進(jìn)行了很多空間實(shí)驗(yàn)，目前已經(jīng)順利返回地球．在太空中水資源有限，要通過回收水的方法制造可用水．回收水是將宇航員的尿液、汗液和太空中的水收集起來經(jīng)過特殊的凈水器處理成飲用水，循環(huán)使用．凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20%，要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需要過濾的次數(shù)為(????)(參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010.)A.10 B.12 C.14 D.167.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于A.32 B.22 C.8.已知數(shù)列an滿足a1=1，前n項(xiàng)和為Sn，an+1?A.22024?1 B.3×21012?1 二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列大小關(guān)系正確的是(

)．A.1.92<21.9 B.22.910.已知函數(shù)f(x)=asinx?cos2xA.f(x)的最小正周期為π

B.函數(shù)f(x)的圖象不可能關(guān)于點(diǎn)(π,0)對(duì)稱

C.當(dāng)a=?2時(shí)，函數(shù)f(x)在(π6,π2)上單調(diào)遞增

D.若函數(shù)f(x)11.已知函數(shù)f(x)=1g(?x2+1+x)+ex?e?xA.1 B.2 C.3 D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.定義運(yùn)算abcd=ad?bc則不等式ax11x+1<0對(duì)任意13.已知過原點(diǎn)O的直線與y=log3x交于A，B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，過A作x軸的垂線與函數(shù)y=4x交于C點(diǎn)，過B點(diǎn)作x軸的垂線與函數(shù)y=2x交于D點(diǎn)，當(dāng)CD平行于x14.已知fx是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，ffx?2x=3對(duì)x四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，已知c=5，2bcos(1)求角B的大?。?2)若△ABC的面積103，設(shè)D是BC的中點(diǎn)，求sin?∠BAD16.(本小題12分)如圖，在四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，

(1)證明：BD⊥CC(2)棱BC上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E?AD1?D的余弦值為1317.(本小題12分)

設(shè)函數(shù)f(x)=axb+x2(a≠0,x>0)，滿足：?①f(1)=1(1)求函數(shù)f(x)的解析式．(2)設(shè)矩形ABCD的一邊AB在x軸上，頂點(diǎn)C，D在函數(shù)f(x)的圖象上.設(shè)矩形ABCD的面積為S，求證：0<S<1．

18.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=2exe(1)求實(shí)數(shù)k的值；(2)若x>0時(shí)，關(guān)于x的不等式f(2x)≤mf(x)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)設(shè)g(x)=f(x)+11?f(x)，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,c∈(0,n]，若以a，b，c為長(zhǎng)度的線段可以構(gòu)成三角形時(shí)，均有以g(a)，g(b)，g(c)為長(zhǎng)度的線段也能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)n19.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=ax(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)若不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍;(Ⅲ)當(dāng)a=0時(shí)，試判斷函數(shù)F(x)=2sinx?f(x)?2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給出證明．參考答案1.C

2.B

3.B

4.B

5.B

6.C

7.B

8.D

9.ABD

10.BCD

11.CD

12.?4,0

13.2

14.9

15.解：(1)∵2bcosC=2a?c，結(jié)合余弦定理cosC=a2+b2?c22ab，

可得2b?a2+b2?c22ab=2a?c，整理得a2+c2?b2=ac，

所以cosB=a2+c2?b22ac=12．

又B∈(0,π)，所以B=π3．

(2)因?yàn)?6.解：(1)證明：連接AC,A因?yàn)锳BCD?A1B又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以BD⊥AC，因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD又因?yàn)锳A1∩AC=A且AA1,AC?平面因?yàn)镃C1?平面AC(2)取BC中點(diǎn)Q，連接AQ，因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，且∠ABC=60°，所以△ABC是正三角形，所以AQ⊥BC，即由于AA1⊥平面ABCD，以A為原點(diǎn)，分別以AQ,AD,AA1為x軸、y則A假設(shè)點(diǎn)E存在，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為3,λ,0，其中可得AE=設(shè)平面AD1E的法向量取x=λ，可得y=?3,z=又由平面ADD1的法向量為所以cosAQ,由于二面角E?AD1?D為銳角，則點(diǎn)E在線段QC上，

所以λ=故BC上存在點(diǎn)E，當(dāng)CE=1?32時(shí)，二面角E?A

17.解：(1)由?①得：f1=ab+1=12，即2a=b+1；

由?②得：axb+x2=axb+1x2，(x>0)恒成立，

即b+x2=bx2+1恒成立，

所以b=1，所以a=1，

所以f(x)=x1+x2，(x>0)；

(2)證明：因?yàn)閒′(x)=(1?x)(1+x)(1+x2)2，

當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)>0，

當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0，

所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

不妨設(shè)A(t,0)，t∈(0,1)，

由f(x)=f(18.解：(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽，所以f(0)=0，即2e0e0+1所以k=?1．(2)由(1)知f(x)=2由x>0時(shí)，f(2x)≤mf(x)恒成立，得e2x因?yàn)閑x?1>0，所以設(shè)?(x)=e因?yàn)閑x+1ex≥2，當(dāng)且僅當(dāng)故?(x)=e所以m≥2．(3)由題意得：g(x)=不妨設(shè)0<a≤b≤c≤n，以a，b，c為長(zhǎng)度的線段可以構(gòu)成三角形，即a+b>c，且ea以g(a)，g(b)，g(c)為長(zhǎng)度的線段也能構(gòu)成三角形，則ea+e因?yàn)閑a?c+e所以2e?c2≥1，即c≤?2

19.解：(Ⅰ)因?yàn)閒(x)=ax2?lnx?x，x∈(0,+∞)，

所以f′(x)=2ax?1x?1=2ax2?x?1x，

當(dāng)a≤0時(shí)，2ax2?x?1<0恒成立，所以f′(x)<0；

當(dāng)a>0時(shí)，令2ax2?x?1=0，解得x=1+1+8a4a(舍負(fù))，

令f′(x)>0，得x>1+1+8a4a;令f′(x)<0，得0<x<1+1+8a4a．

綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,1+1+8a4a)上單調(diào)遞減，在(1+1+8a4a,+∞)上單調(diào)遞增．

(Ⅱ)f(x)≥0恒成立，得ax2≥lnx+x在(0,+∞)上恒成立，

所以a≥1x+lnxx2在(0,+∞)上恒成立．

令g(x)=1x+lnxx2(x>0)，

則g′(x)=?1x2+x?2xlnxx4

=?1x2+1?2lnxx3=?x+1?2lnxx3．

令?(x)=?2lnx?x+1(x>0)．

易知?(x)=?2lnx?x+1在(0,+∞)上單調(diào)遞減．

又?(1)=0，

所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，?(x)>0，g′(x)>0．

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，?(x)<0，g′(x)<0．

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

所以g(x)在x=1處取得極大值，也是最大值，即g(x)max=g(1)=1，

所以a≥1，即a的取值范圍為[1,+∞).

(Ⅲ)當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)(x)=2sinx+lnx+x?2x=lnx?x+2sinx，x>