2022-2023學(xué)年上海初二年級下冊同步講義第12講梯形及中位線解析版

第12講梯形及中位線

本章節(jié)主要講述了兩部分內(nèi)容，梯形和中位線，從直角梯形和等腰梯形的性質(zhì)出發(fā)，求

解相關(guān)的邊與角的關(guān)系，在求解的過程中，部分題目需要添加輔助線.中位線主要包括兩個

方面，三角形和梯形，在解題的過程中，要做到靈活應(yīng)用.

模塊一：梯形及等腰梯形

知識精講

一、梯形及梯形的有關(guān)概念

（1）梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形.

底：平行的兩邊叫做底，其中較長的是下底，較短的叫上底.

腰：不平行的兩邊叫做腰.

高：梯形兩底之間的距離叫做高.

（2）特殊梯形

直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.

特殊梯形\

、等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.

思考討論：若上面兩個條件同時成立是否是梯形？

交流：如果同時具備直角梯形和等腰梯形的特征，那么該圖形是矩形.

【等腰梯形性質(zhì)】

等腰梯形性質(zhì)定理1等腰梯形在同一底上的兩個內(nèi)角相等.

等腰梯形性質(zhì)定理2等腰梯形的兩條對角線相等.

另外：等腰梯形是軸對稱圖形；

【等腰梯形判定】

等腰梯形判定定理1在同一底邊上的兩個內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形.

等腰梯形判定定理2對角線相等的梯形是等腰梯形.

例題解析

例1.（2019?上海八年級課時練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=30°,ZBCD=

60°,AD=2,AC平分/BCD,則BC長為（）.

C.4V3D.3A/3

【答案】B

【分析】過點A作AE〃DC,可判斷出AABE是直角三角形，四邊形ADCE是菱形，從而求出

CE、BE即可得出BC的長度.

【詳解】過點A作AE〃DC,

VAD/ZBC,

四邊形ADCE是平行四邊形,

又：AC平分NBCD,

.*.ZDAC=ZACE=ZDCA,

/.AD=CD,

...四邊形ADCE是菱形，

；.CE=AD=AE=2,

VAE/7CD,

.,.ZAEB=ZBCD=60°,

又；NB=30°,

.?.ZBAE=90°,

；.BE=2AE=4,

；.BC=BE+CE=6.

故答案為：6.

【點睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形和梯形，解題的關(guān)鍵

是掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形和梯形.

例2.（2018?上海市清流中學(xué)八年級月考）若等腰梯形兩底角為30°,腰長為8,高和上

底相等，則梯形中位線長為（）

A.80B.10C.473+4D.16百

【答案】C

【分析】分析題意畫出圖形，則DE=CD=CF,AD=8,ZA=30°,由DE_LAB,ZA=30°,

AD=8,即可得出DE=4,進(jìn)而求出CD的長度;運(yùn)用勾股定理得出AE和BF的長度,易證四

邊形CDEF是平行四邊形，得出EF的長度，進(jìn)而得出AB+CD的長度，由梯形中位線的性

質(zhì)，即可解答本題.

【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，則DE=CD=CF,AD=8,ZA=30°.

因為DE_LAB,ZA=30°,AD=8,

所以DE='AD=4,

2

所以CD=4,AE=Jm一。爐=4百，同理BF=4百.

因為DE_LAB,CF±AB,

所以DE〃CF.

因為CD〃EF,

所以四邊形CDEF是平行四邊形，

所以EF=CD=4.

因為CD=4cm,AB=AE+EF+FB=173+4+16=86M,

所以AB+CD=86+4+4=86+8,

所以梯形的中位線長為g(AB+CD)=473+4.

故選C.

【點睛】此題考查等腰梯形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于需結(jié)合梯形中位線的性質(zhì)，勾股定理等

知識進(jìn)行求解.

例3.（2018?上海市清流中學(xué)八年級月考）一個等腰梯形的兩底之差為12,高為6,則等腰

梯形的銳角為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】B

【分析】作梯形的兩條高線，證明^ABE絲△DCF,則有BE=FC,然后判斷aABE為等腰直角

三角形求解.

【詳解】如圖，作AELBC、DFJ_BC,四邊形ABCD為等腰梯形,AD〃BC,BCYD=12,AE=6,

?..四邊形ABCD為等腰梯形，

；.AB=DC,ZB=ZC,

VAD#BC,AE1BC,DF1BC,

AAEFD為矩形，

；.AE=DF,AD=EF,

/.△ABE^ADCF,

；.BE=FC,

.*.BC-AD=BCVF=2BE=12,

，BE=6,

；AE=6,

/.△ABE為等腰直角三角形，

AZB=ZC=45°.

故選B.

【點睛】此題考查等腰梯形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于畫出圖形.

例4.（2018?上海市清流中學(xué)八年級月考）下到關(guān)于梯形的敘述中，不正確的是

（）

A.等腰梯形的兩底平行且相等

B.等腰梯形的兩條對角線相等

C.等腰梯形在同一底上的兩個角相等

D.等腰梯形是軸對稱圖形

【答案】A

【分析】本題考查對等腰梯形性質(zhì)的理解.等腰梯形的性質(zhì)如下:等腰梯形兩腰相等;等腰梯

形兩底平行;等腰梯形的兩條對角線相等;等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等;等腰梯形是軸

對稱圖形.

【詳解】由等腰梯形的性質(zhì)可知,等腰梯形的對角線相等,其在同一底上的兩個角相等,可知

B、C不符合題意；

同時等腰梯形關(guān)于兩底中點的連線成軸對稱,即可得到D不符合題意，

而等腰梯形兩底平行但不相等，因此A符合題意.

故選A.

【點睛】此題考查等腰梯形性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于對性質(zhì)的掌握.

例5.（2017?上海八年級期末）一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是（）

A.梯形B.等腰梯形C.平行四邊形D.等腰梯形或平行四邊形

【答案】D

【解析】根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)，分析所給條件，選擇正確答案.

解：A、一組對邊相等，另一組對邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故A不

正確；

B、一組對邊相等，另一組對邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故B不正確；

C、一組對邊相等，另一組對邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故C不正確；

D、一組對邊相等，另一組對邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故I）正確.

故選D.

“點睛”本題考查了平行四邊形和等腰梯形的性質(zhì).考慮問題時應(yīng)該全面考慮，不能漏掉任

何一種情況，要求培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度.

例6.（2019?上海上外附中）判斷：一組鄰角相等的梯形是等腰梯形（）

【答案】錯誤

【分析】根據(jù)題設(shè)畫出反例圖形即可.

【詳解】解：反例：如圖，已知梯形ABC。，AD//BC,NC=N￡>=90°,而梯形

ABCO不是等腰梯形.

故該命題是假命題，

故答案為：錯誤.

【點睛】本題考查了等腰梯形的概念，熟悉等腰梯形的性質(zhì)，舉出反例是解題的關(guān)健.

例7.（2020?上海楊浦區(qū)?八年級期末）已知在梯形ABCD中，AD//BC,

AB=AD^DC=4,AC±AB,那么梯形ABCD的周長等于.

【答案】20

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到Nn4C=N￡>C4,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

ZDAC=ZACB，得到N0C4=NACB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列式求出

ZBCA=3O°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BC,根據(jù)梯形的周長公式計算，得到答案.

【詳解】解：?.?AD=OC,

:.ZDAC=ZDCA,

-,-AD//BC,

ZDAC=ZACB,

:.ZDCA=ZACB,

?：AD//BC,AB=DC,

：.ZB=ABCD=2ZACB,

ACAB,

:.ZB+ZBCA=90°,BP3ZBC4=9O°,

.?.ZBC4=3O°,

..6C=2AB=8,

-.AB=AD=DC=4,BC=8,

梯形的周長=4+4+4+8=20,

故答案為：20.

【點睛】本題考查的是梯形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握含30。

的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例8.（2020?上海嘉定區(qū)?八年級期末）已知一個梯形的中位線長為5。加，其中一條底

邊的長為6cm,那么該梯形的另一條底邊的長是cm.

【答案】4

【分析】根據(jù)梯形中位線定理解答即可.

【詳解】解：設(shè)該梯形的另一條底邊的長是xcm,根據(jù)題意得：g（x+6）=5,解得：

x=4,

即該梯形的另一條底邊的長是4cm.

故答案為：4.

【點睛】本題考查了梯形中位線定理，屬于基本題目，熟練掌握該定理是解題關(guān)鍵.

例9.（2018?上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)八年級期末）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//

CD,AD^AB<BD±BC,則NC=.

【答案】600

【分析】利用平行線及A5〃C￡>，證明==再證明

ZADC=ABCD,再利用直角三角形兩銳角互余可得答案.

【詳解】解：因為：AB//CD.所以：ZADB=ZABD,

因為：AD=AB，所以：ZBDC=ZABD,

所以：ZADB=ZABD=/BDC'

因為：等腰梯形ABC。，

所以：ZADC=NBCD,

設(shè)：ZBDC=x0,所以NBCD=2x0,

因為：BD工BC,

所以：x+2x=9（），解得：%=30,

所以：NC=60°.

故答案為：60°.

【點睛】本題考查等腰梯形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

例10.（2019?上海上外附中八年級期中）在梯形A8QD中，AB//CD,對角線

AC±BD,AC=6,BD=8,則梯形ABCD的面積為.

【答案】24

【分析】根據(jù)對角線互相垂直的四邊形的面積公式即可求得答案.

【詳解】解：如圖所示，梯形對角線垂直，則SAB8=g-AC-B0=gx6x8=24.

故答案是：24

【點睛】本題考查對角線互相垂直的四邊形的面積公式；對角線垂直時，四邊形可看成四

個直角三角形的面積之和，可得對角線互相垂直的四邊形面積為對角線乘積的一半.

例11.（2020?上海浦東新區(qū)?八年級月考）如圖，在梯形力時中，AD//BC,的=12,AB

=DC=8.N8=60°.

（1）求梯形的中位線長.

【答案】（1）8（2）32^/3

【分析】（1）過力作/勿切交比于反則四邊形被力是平行四邊形，得"=陽AE=

DC,證出△/應(yīng)'是等邊三角形，得BE=AB=8,則/L9=AC=4,即可得出答案；

(2)作｛曰比于八則/物尸=90°-Z5=30°,由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出

BF=^AB=\,AF=gS,由梯形面積公式即可得出答案.

【詳解】解：(1)過4作小〃口交比1于￡,

'：AD//BC,

，四邊形4日6是平行四邊形，

：.AD=EC,AE=DC,

"：AB^DC,

：.AB^AE,

VZ5=60°,

；.△/應(yīng)是等邊三角形，

:.BE=A48,

:.AgEC=BC-跖=12-8=4,

二梯形4及力的中位線長=一(A/BC)=一(4+12)=8；

22

(2)作"LL8C于下，

則/的尸=90°-ZJ?=30°,

：.BF=^AB=A,AF=6BF=A6

梯形46(力的面積BOX/1A=(4+12)X4V3=32^/3.

4D

1

aFEC

【點睛】此題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，梯形中位線的

性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì).

例12.(2020?上海浦東新區(qū)?八年級期末)如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,點E、F

分別是AB、AC的中點，CEJ_BF于點0.

(1)求證：四邊形EBCF是等腰梯形；

(2)EF=1,求四邊形EBCF的面積.

E

B

9

【答案】(1)見解析；(2)一.

4

【分析】(1)根據(jù)三角形的中位線定理和等腰梯形的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)如圖，延長BC至點G,使CG=EF,連接FG,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到FG=EC=BF,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)I?點E、F分別是AB、AC的中點，

.?.EF//BC,BE=-AB--AC=CE,

22

...四邊形EBCF是等腰梯形；

(2)如圖，延長BC至點G,使CG=EF,連接FG,

VEF//BC,即EF//CG,且CG=EF,

四邊形EFGC是平行四邊形，

乂???四邊形EBCF是等腰梯形，

；.FG=EC=BF,

；EF=CG,FC=BE,

.,.△EFB^ACGF(SSS),

S四邊形EBCF=S,

：GC=EF=1,且EF」BC,

2

；.BC=2,

；.BC=BC+CG=1+2=3.

VFG//EC,

AZGFB=ZB0C=90°,

13

；.FH=-BG=-,

22

139

X3X

一-

,?S四邊形EBCF=S?BFG一2-2-4-

【點睛】本題考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正

確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

例13.如圖，己知梯形四切中，8C是下底，NAB060°,BD平?分4ABC,良BDLCD,若梯

形周長是30c加，求此梯形的面積.

【難度】★★

【答案】27^cnr.

【解析】?:BD平-分4ABC,\NABD=NDBC=LNABO30。.

2

'：AD//BC,：.NADB=DBC$0°,：.AB=AD

,:BDLCD,：.ZDCB=60°,：.AABO￡DCB,:.A樂CD.

'設(shè)AB=CD=AD=x，

Rt/\BCD中,,:NDB030°,:.BC=2CD=2x,

.--30=x+x+x+2x,解得：A=6.

作力反La；RtAABE中,

M

協(xié)后30°,.?.除3,A戶.

：.S=-(A/XfiOJ^27>/3cnr.

2

【總結(jié)】本題考查梯形面積公式及等腰梯形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

例14.如圖，直角梯形被力中，/4=90°,AD//BC,AD=5,ZP=45°,"的垂直平分線交

AD于點E,交朋的延長線于點凡求跖的長.

F

【難度】★★

【答案】5

【解析】聯(lián)結(jié)應(yīng)

；￡61垂直平分CD,

：.EOED,/￡綏/介45°,:.NCED=9Q°,

VZJ=90°,AD//BC,.,.四邊形劭比是矩形，

：.BC=AE.

設(shè)BOx=AE,：.ED^EC=AB=5~x

；/例=/面氏45°,...△/!￡尸是等腰直角三角形，

：.AF^AE=x

B叫BA+A片5-x+產(chǎn)5.

【總結(jié)】本題考查中垂線的性質(zhì)，等腰直角三角形，直角梯形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意用整

體思想求出線段跖的長.

例15.如圖，在梯形47切中，AD//BC,AB=AD=DC,/斤60°,

(1)求證：ABVAC-,

(2)若屐6,求梯形力靦的面積.

【難度】★★

【答案】(1)見解析；(2)27g.

【解析】（I）'：AB-CD,，/左/比定60°,NBA慶N店120°

,:AFDC,：.ADAC=ADCA=^°

:.NBAONBAD~NDAC=120°-30°=90°

：.BAA.AC；

(2)'：A^AD=DC,DC=6,:.。A!>AB=6

在直角三角形力犯中，?.?//1華30°,：.BO2AB=12

作/lELBC,貝IJ4后36，

【總結(jié)】本題主要考查含30°的直角三角形性質(zhì)與梯形面積公式的綜合運(yùn)用.

例16.如圖，在梯形力加力中，AD//BC,CA平■分乙BCD,DE//AC,交勿的延長線于點后Z

【難度】★★

【解析】：力「平分/8必

：.ZBCA=ZACD--ZDCB

2

'：DE//AC,：.Z^ZACB--ADCB

2

：N#2N￡,：.4B=NDCB

?.?梯形中，AD//BC,

：.AB-CD

【總結(jié)】本題考查等腰梯形性質(zhì)與角平分線的綜合運(yùn)用，注意對基本模型的總結(jié)運(yùn)用.

例17.如圖，在等腰三角形/8C中，點久￡分別是兩腰/C、■上的點，聯(lián)結(jié)應(yīng)、切相交

于點〃，Z1=Z2.

求證：梯形颯T是等腰梯形.

A

【難度】★★

【解析】：AB=AC,AADB(=AECB

在叢BCD與AECB中,N1=N2,B(=BC

:ZC隘MCB,：.BD-CE

,：AB-AC,：.AD=AE,：.NADE=ZAED-；(180°—ZA)=N4陷ZACB

，DE//BC,又BD與四不平行

...四邊形劭￡C是梯形，且劭=◎；.?.梯形做笫是等腰梯形

【總結(jié)】本題考查等腰梯形判定定理的運(yùn)用，注意證明梯形的方法的總結(jié).

例18.如圖，梯形如叱中，。為直角坐標(biāo)系的原點，爾B、C的坐標(biāo)分別為(14,0)、

(14,3)、(4,3).點八。同時從原點出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動，點/處以每秒1個

單位向終點/運(yùn)動，點0沿小、%以每秒2個單位向終點6運(yùn)動.當(dāng)這兩點中有一點到達(dá)

自己的終點時，另一點也停止運(yùn)動.

(1)設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動了x秒，當(dāng)x等于多少時，四邊形0鋁C為平行四邊形？

(2)四邊形勿"C能否成為等腰梯形?說明理由.

【難度】★★

【答案】(1)尸5；(2)不能.

【解析】(1)由題可知：0(=5,陷10,0/1=14.

'：BC//OA

.?.當(dāng)0點在比'上，且華。時，四邊形0顰C是平行四邊形

即2尸5=x,解得：x=5；

(2)作點「作加總于點E,過點。作QFLOP馬點、F

'：AO//BC,:.C2QF

當(dāng)小用4時，MOG恒△PQF,此時四邊形O/RC為等腰梯形，

即OP=OE+CQrPF,：.x=4+（2尸5）+4,解得：尸-3（舍），

四邊形OA2C不能成為等腰梯形.

【總結(jié)】本題考查梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰梯形的判定與性質(zhì)的綜合

運(yùn)用，注意掌握輔助線的做法，以及數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的綜合運(yùn)用.

例19.如圖，等腰梯形花圃480的底邊/〃靠墻，另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成，設(shè)該

花圃的腰的長為x米.（1）請求出底邊回的長（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若N

BAD=60°,該花圃的面積為S米2,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，指出自變量x的取值范

圍，并求當(dāng)我68G時x的值.

【難度】★★★

【答案】（1）除40-2x；（2）S=--x2+2O>/3x（0<x<20）,產(chǎn)4.

4

【解析】（1）等腰梯形力陽?中，AB^CAx,，於=40-丫-尸40-2國

（2）作應(yīng)UBCFLAD

在RtAABE中,吐30°,：.A^-x.

2

I可理卜廬Ak-x,..Bh-Cb----.

22

???止陷40—2筋力加40r

.c(BC+AD)BE1...?、瓜一3底二”巨人—

..S=------------=-(40-2%+40-x)----=-------+20。3犬(0<x<20),

2224

當(dāng)S=686時，代入解析式，解得：尸4或x=竺(舍)

3

當(dāng)9686時x的值為4.

【總結(jié)】本題考查等腰梯形性質(zhì)與函數(shù)解析式的結(jié)合，注意面積公式中各個量的含義.

例20.已知，一次函數(shù)y=-1x+4的圖像與x軸，y軸，分別交于48兩點，梯形AOBC

4

(。是原點)的邊/白5,(1)求點C的坐標(biāo)；(2)如果一?個一次函數(shù)y=依+分(K6為常

數(shù)，且〃W0)的圖像經(jīng)過4、C兩點，求這個一次函數(shù)的解析式.

【難度】★★★

464464

【答案】(1)2(13,4)或(19,4)或(16,5)；(2)產(chǎn)，》+上或y一上.

33-33

【解析】由題可知：A(16,0),B(0,4).

當(dāng)如〃然時，點C坐標(biāo)為(16,5),

當(dāng)外〃40時，點C坐標(biāo)為(13,4)或(19,4)；

(2)?.?一次函數(shù)的圖像經(jīng)過/、C兩點，點坐標(biāo)不能為(16,5),

當(dāng)1(16,0),<7(13,4)時，利用待定系數(shù)法可得解析式為：y=--x+—；

33

當(dāng)/(16,0),C(19,4)時，利用待定系數(shù)法可得解析式為：y=ix--.

33

【總結(jié)】本題考查直角梯形性質(zhì)及一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，注意分類討論，綜合性較強(qiáng).

例21.如圖，直角梯形力中，AB//CD,ZJ=90°,/戶6,4M,DO3,動點一從點/出

發(fā)，沿方向移動，動點0從點4出發(fā)，在48邊上移動.設(shè)點尸移動的路程為

x,線段的長度為y,線段用平分梯形/及力的周長.

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出這個函數(shù)的定義域；

(2)當(dāng)戶不在外邊上時，線段倒能否平分梯形/靦的面積?若能，求出此時x的值；若

不能，請說明理由.

【難度】★★★

【答案】⑴y=-x+9(3<x<9)；

(2)尸3時，々平分梯形面積.

【解析】(1)過點「作CEU8于點E,則OAE=3,。層4,

可得：除5,所以梯形4版的周長是18.

???尸。平分梯形/質(zhì)的周長，

尸9,*.*0<y<6,A3<x<9,

y=-x+9(3<x<9)；

(2)由題可知，梯形4%》的面積是18.

因為乃不在放上，所以3WxW7.

當(dāng)3Wx<4時，尸在4?上，此時心中=!孫，

???線段偌能平分梯形四，力的面積，則有3孫=9

可得方程組[f：解得：:或，=6(舍)；

[xy=18[y=6[y=3

當(dāng)4WA<7時，點〃在切上，此時SA〃0='x4(x-4+y)

?.?線段PQ能平分梯形ABC!)的面積，則有l(wèi)x4(x-4+y)=9

可得方程組卜)'=9,方程組無解，

[2x+2y=17

當(dāng)戶3時，線段圖能平分梯形46四的面積.

【總結(jié)】本題利用梯形的性質(zhì)，三角形的面積公式，建立方程和方程組求解，注意針對不同

情況討論，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行計算.

模塊二：輔助線

知識精講

解決梯形問題常用的方法

①作高法：使兩腰在兩個直角三角形中；

②移腰法：使兩腰在同一個三角形中，梯形兩個下底角是互余的，那么一般會用到這種添

輔助線的方式，構(gòu)造直角三角形；

③延腰法：構(gòu)造具有公共角的兩個等腰三角形；

④等積變形法：聯(lián)結(jié)梯形上底一端點和另一腰中點，并延長與下底延長線交于一點，構(gòu)成

三角形；

⑤移對角線法：平移對角線，可以構(gòu)造特殊的圖形，如平行四邊形，如果是對角線互相垂

直

的等腰梯形，那么在平移的過程中，還可構(gòu)造等腰直角三角形，結(jié)合三線合一，求梯形的

置問

等.

例題解析

例1.如圖，已知在梯形A8CD中，AD〃BC,AB=AD=CD=13,AEVBC,垂足為

E,AE=12,則8c邊的長等于()

A.20B.21C.22D.23

【難度】★★

【答案】D

【解析】AB=13,A￡=12,：.BE=5.

梯形4BCO中，AD//BC,AB=CD.AE1BC,

：.BC=AD+2BE=\3+2x5=23,故選D.

【總結(jié)】本題主要考查等腰梯形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

例2.已知梯形ABCD中，AD//BC,N8=70,NC=40,AD=2,3c=10.求。C的

長.

【難度】★★

【答案】切=8.

【解析】作應(yīng)7/4?,則四邊形/版是平行四邊形.

：.AD-BE^2,陷/廬70°.

在△龍。中，N信40°,；./瓦?0180°-40°-70°=70°,C次小於法10-2=8.

【總結(jié)】本題考查輔助線——做一邊的平行線，構(gòu)造平行四邊形.

例3.如圖，梯形A8CD中，ABUCD,NA+NB=90,AB=b,CD=a,E、F分

別為A3、8的中點，則￡尸的長等于（）

.b+a口b+a萬b-ab-a

/j?D?C.〃n?

【難度】★★

【答案】C

【解析】分別過點尸做尸G/“〃，F(xiàn)H//BC,分別交加于點G,H

可得平行四邊形DFGA與平行四邊形FCBH

：.AG=FD=CP-BH=-CD=-a,：.GH=b-a

22

VZ/f+Z^90°,.,.可得直角△/＜如E是GH中點、

：.Ef^-GH=-(b-a),故選C.

22

【總結(jié)】本題考查直角三角形中線性質(zhì)與梯形輔助線的添加.

例4.已知：如圖，在梯形力加力中，AD//BC,AB=AC,ZBAC=90°,BD=BC,BD交.AC于0.求

證：COCD.

【難度】★★

【解析】作DELBC,'：AD//BC,：.AF=DE.

:.在Rt/XBDE中,N龐仁30。，：.ABCD-ABDC^Q

:.NDOONDBC+NAMT,：.Z.CDO=ACOD=1^,ACD=CO.

【總結(jié)】本題考查梯形的常用輔助線一做梯形的高，把梯形問題轉(zhuǎn)化成三角形,矩形的問題,

然后根據(jù)已知條件和三角形性質(zhì)解題.

例5.在等腰梯形中，AD//BC,AB-DC,對角線“'與仍相交于點0,Z5（26=60°,

4010c"求梯形的高座,的長.

【難度】★★

【答案】5也cm.

【解析】等腰梯形力質(zhì)中，

-：0B=0C,NHG60°,可得等邊△?,

■：A<=BD=10,二在直角aS宏中，BB--BD=5,

2

DE=5s/3cm.

【總結(jié)】本題考查梯形的相關(guān)計算，注意方法的運(yùn)用.

例6.如圖，在梯形4%中，AD//BC（BC>AD）,ZD=90°,BC=CD=12,

ZABE=45。，若力后10,則CB=.

【難度】★★★

【答案】4或6.

【解析】過點6作物的垂線交DA延長線于機(jī)M為垂足,

延長〃"至ijG,使得MG=CE,聯(lián)結(jié)BG,

可得四邊形式"/是正方形.

：.BG=BM,/e/8價90°,EOGM,:.叢BEg叢BMG,:.NMBG=/CBE

；/4陷45°,:.NCBE+NABlf=45°,：.NABM=45°,

:"AB后NABG=45",二△16匡△/!%,AG=AI^\Q

設(shè)上x,則//=10-x,：.AD=\2-(10—x)=2+x,DE=\2-x.

在燈△/龐中，由4/=力)+函，解得：尸4或產(chǎn)6.

故位的長為4或6.

【總結(jié)】本題考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，考查了全等三角形的判定和對應(yīng)邊相等

的性質(zhì)，注意輔助線的添加方法，將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.

模塊三：中位線

知識精講

三角形中位線的定義和性質(zhì)：

1.定義三角形的中位線：聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點的線段，(強(qiáng)調(diào)它與三角形的中線的區(qū)別)；

2.三角形中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.

3.梯形中位線定理：

梯形的中位線平行于底邊，并且等于兩底和的一半.

【要點點撥】經(jīng)過三角形的一邊中點作另一邊的平行線，也可以證明得到的平行線段為中位

線.同樣地，從梯形的一腰中點作底的平行線，可以證明得到的平行線段為中位線.如果把三

角形看成是一個上底長度為零的特殊的梯形的話，那么三角形中位線定理就成為梯形中位線

定理的特例了.

例題解析

例1(1)順次聯(lián)結(jié)四邊形各邊中點所組成的四邊形是；

(2)順次聯(lián)結(jié)平行四邊形各邊中點所組成的四邊形是；

(3)順次聯(lián)結(jié)矩形各邊中點所得到的四邊形是；

(4)順次聯(lián)結(jié)正方形各邊中點所得到的四邊形是；

(5)順次聯(lián)結(jié)菱形各邊中點所得到的四邊形是；

(6)順次聯(lián)結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得到的四邊形是；

(7)順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊中點所得到的四邊形是；

(8)順次聯(lián)結(jié)對角線相等的四邊形各邊中點所得到的四邊形是；

（9）順次聯(lián)結(jié)對角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點所得到的四邊形是.

【難度】★

【答案】（1）平行四邊形；（2）平行四邊形；（3）菱形；（4）正方形；（5）矩形；

（6）矩形；（7）菱形；（8）菱形；（9）正方形.

【解析】利用三角形中位線性質(zhì)可證明.

【總結(jié)】本題考查中位線性質(zhì)和四邊形判定方法，注意對相關(guān)規(guī)律的總結(jié).

例2.（2019?上海浦東新區(qū)?八年級期中）如圖，aABC中，點D、E分別在AB、AC邊

上，AD=BD,AE=EC,BC=6,則DE=（）

A.4B.3C.2D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的中位線的定理即可求出答案.

【詳解】VAD=BD,AE=EC,.'DE是AABC的中位線，

.*.BC=2DE,；.DE=3,故選B.

【點睛】此題考查三角形的中位線，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形的中位線定理，本題屬

于基礎(chǔ)題型.

例3.（2018?上海市清流中學(xué)八年級月考）順次連接等腰梯形各邊中點所圍成的四邊形是

（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

【答案】C

【分析】由E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點，得出EF,HG,FG,EH是中位線，

再得出四條邊相等，根據(jù)“四條邊都相等的四邊形是菱形”進(jìn)行證明.

【詳解】如圖所示，因為E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點，連接AC、BD,因為

E、F分別是AB、BC的中點，

所以E*^AC,同理可得HG「』AC,FG=-BD,EH=-BD,

2222

又因為等腰梯形的對角線相等，即AC=BD,因此有EF=FG=GH=HE,

所以連接等腰梯形各中點所得四邊形為菱形.

故選c.

【點睛】此題考查三角形中位線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于畫出圖形.

例4.（2019?上海上外附中）梯形兩條對角線互相垂直，且長度分別為4，6,則梯形的

中位線長為「

【答案】V13

【分析】作DE〃AC交AC延長線于點E，得到直角三角形友汨，和平行四邊形

ABED，運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理求得班的長度，依據(jù)梯形中位線等于上下底

和的一半即可.

【詳解】解：如圖，梯形ABC。，AD//BC,AC=6,BD=4,N5OC=90°,

作DE//AC交AC延長線于點E、

???四邊形A3EO是平行四邊形，ZBDE=ZBOC=90°,

：.CE=AD,DE=AC=6,BE=^BD2+DE2=A/42+62=2713>

???BC+AD=BC+CE=BE=2屈,

梯形的中位線長為屈.故答案為：岳.

【點睛】本題考查了梯形的中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解題的

關(guān)鍵是通過作平行線把上下底的和看成一個整體.

例5.（2019?上海上外附中）如圖，四邊形ABCO中，E，尸分別為A。，中點，

且A8=6,CD=8,則EF的長度a的范圍是

【答案】l<aK7

【分析】連接BD,取BD的中點C,連接G￡、GF,得到EG是A的的中位線，F(xiàn)G是

△D9C的中位線，依據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求出GE=，AB=3,GF=，DC=4,分

22

ABHDC，AB.DC不平行時，兩種情況討論，依據(jù)三角形三邊關(guān)系即可.

【詳解】解：連接BD,取BD的中點G,連接GE、GF,

乂：￡，戶分別為AO，8C中點，

EG是ADBA的中位線，F(xiàn)G是4DBC的中位線，

：.GE^-AB^3,GF=-DC^4,

22

①當(dāng)A3〃。。時，

EF=GE+GF=7；

②當(dāng)A3、OC不平行時，

VGF-GE<EF<GE+GF,

A1<￡F<7：

綜上所述：\<EFW7,EPl<a<7.

故答案為：l<aW7.

【點睛】本題考查了三角形三邊大小關(guān)系，構(gòu)造三角形的中位線、分類討論是解題的關(guān)鍵.

例6.（2017?上海閔行區(qū)?八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，E,F、G、H分別是

AB、BD、CD、AC的中點，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個條件是

【答案】AD=BC.

【解析】菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義；

②四邊相等；③對角線互相垂直平分.據(jù)此四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個條件是

AD=BC.等.答案不唯一.

解：條件是AD=BC.

VEH,GF分別是△州（：、ZSBCD的中位線,

.?,EII/7=-BC,GF〃=4,

22

，EII〃=GF,

四邊形EFGH是平行四邊形.

要使四邊形EFGH是菱形，則要使AD=BC,這樣，GH=-^AD,

.,.GH=GF,

四邊形EFGH是菱形.

例7.（2018?上海寶山區(qū)?八年級期末）如圖，將。/時中，AD=8,點、E,尸分別是外,

切的中點，則頗為.

【分析】由四邊形，仍⑦是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等，可得比1=4=8,又

由點反廠分別是切、力的中點，利用三角形中位線的性質(zhì)，即可求得答案.

【詳解】解：；四邊形/以力是平行四邊形，

:.BC=AD=8,

.點民尸分別是如、切的中點，

:.EF=LBC=」X8=4.

22

故答案為:4.

【點睛】本題主要考查J'平行四邊形的性質(zhì)與三角形中位線的性質(zhì).

例8.（2017?上海徐匯區(qū)?八年級期末）如圖，在△然C中，點0,￡分別是邊48,8c的

中點，若理的長是6,則［伉____.

【答案】12.

【分析】根據(jù)三角形中位線定理計算即可.

【詳解】解：：點D,E分別是邊AB,BC的中點，

；.AC=2DE=12,

故答案為：12.

【點睛】本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且

等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

例9.（2019?上海上外附中）如圖，矩形ABC。中，AB=6,AD=8,點O為對角線

AC中點，點M為邊AD中點，則四邊形的周長為

【答案】18

【分析】根據(jù)題意可知是AAOC的中位線，所以的/的長可求；根據(jù)勾股定理可求出

的長，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求出8。的長，進(jìn)而求出四邊形

四加的周長.

【詳解】解：?.?矩形ABC。中，AB=6.AD=8,

AC=^AB2+BC2=V62+82=10-

???0為4c的中點，〃為4?的中點,

.?.0M為AAOC的中位線，AM=，AO=4,

2

/.0M=—DC=—x6=3,

22

BO」AC」xlO=5,

22

二四邊形4友朋的周長=OM+AM+AB+3O=3+4+6+5=18,

故答案為：18.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形的中位線的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半這一性質(zhì)，題目的綜合性很好，難度不大.

例10.(1)點。、E、尸分別是AABC三邊的中點，△￡>￡戶的周長為lOcvn,則AABC的周

長為；

(2)AA3C三條中位線的長為3c〃?、4cm、5cm,則AABC的面積為.

【難度】★

【答案】(1)20cm；(2)24cm2.

【解析】(1)CMBC=AB+BC+AC=2(DE+EF+DF)=20cm.

(2)三條中位線的長為3c〃?、4cm-5cm,且

可知△/S。是直角三角形，

1,

S=—x6x8=24cm.

2

【總結(jié)】本題考查三角形中位線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

例11.如圖，在AABC中，點〃是邊回的中點，點￡在AABC內(nèi)，45■平分NBAC,CE1AE

點尸在邊上，EF//BC.

(1)求證：四邊形物跖是平行四邊形；

(2)錢段BF、AB./C之間有怎么樣的數(shù)量關(guān)系?并證明.

A

【難度】★★

【答案】（1）見解析；（2）22AOAB.

【解析】（1）延長"交力小于點G

'：AELCG,平分/刃C

...△456與44龍中，NGA斤/CAE,A斤AE,/AERNAEC

：./XAGE^/XACE：.AG=AC,即△/IGC是等腰三角形，."是GC'的中點.

?"是以?的中點，，助/胡，'：EF//BD,.?.四邊形"沙是平行四邊形；

（2）?.?皮是△比的中位線，：.ED--BG.

2

又；平行四邊形傲％,：.ED=BF,：.BF^-BG,即妗2阮

2

'：AG=AC,：.2BF+AC^BG^AG-BA.

【總結(jié)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線的性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，用中位線的性質(zhì)解題.

例12.如圖所示，在梯形/版中，AD//BC,對角線AC_L8。交于點。，"V是梯形/版

的中位線，ZDBC=30,求證：AOMN.

【難度】★★

【解析】、：AD〃BC,:./AD0=NDBO3。；

，在RtAAO/）和RtABOC中,OfiF-AD.00-BC

22

：.A(=OA+O(=-(AD+BC).

；,即是梯形ABCD的中位線，

朗生^(AD+BC),，AC=MN.

【總結(jié)】本題考查梯形中位線的性質(zhì)和宜角三角形中性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

例13.如圖所示，在正方形46切中，對角線4G物交于點0,AE平分ZBAC,交6c于點

E,交加于點凡求證：C420F.

【難度】★★

【解析】取"的中點G聯(lián)結(jié)必

?..正方形4?(力中，對角線4G切交于點0,

A0G//CE,CB^20G

：.ZAOG=ZAOi=45Q,ZG0B=Z0^045°.

,：AE平?分/BAC,

：.ZCA^22.5°,

:.NEGW4EAO4A0022.5+450=67.5°,

.?.△(FG中，Z6^180--67.5°-45°=67.5°,

J.AOFG^ZEGO,

：.OG^OF,：.CH=2OF.

【總結(jié)】本題考查三角形中位線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意利用角度得到等腰三角形.

例14.如圖1所示，已知劭、"分別是A4BC的外角平分線，過點/作AF_L%>,AGA.

CE,垂足分別為尺G,連接用，延長加；AG,與直線%相交，易證

FG=-(AB+BC+AC).

(1)若切、位分別是的內(nèi)角平分線(如圖2)；

(2)9為△/式1的內(nèi)角平分線，四為△/8C的外角平分線(如圖3),則在圖2、圖3兩種

情況下，線段AG與△/回三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想，并對其中的一種情況

給予證明.

【難度】★★★

【答案】⑴FG=-(AB+AC-BC)(2)FG=-(BC+AC-AB).

22

【解析】(1)圖2中，分別延長力G、AF交.BC千H、K,

易證△從尸與△物7='全等.

：.AF=KF,A斤KB,同理可證AOHC,：.FG=-HK

2

又HK=BK-BH=Al^AC-BC,FG=；(A8+AC-BC)：

(2)圖3中，分別延長"、""交8C或延長線于從K

易證△物廠與△腑;1全等

：.AF^KF,AFKB,同理可證4用〃G,AOHC

：.P'G=-HK

2

又,/HK=BH-BK=BC+AC-AB

：.FG=^BC+AC-AB).

【總結(jié)】本題考查直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，角平分線性質(zhì)以及全等三角形的判定

等知識點的綜合運(yùn)用.

例15.如圖，在四邊形4%/中，AABC,E、尸分別是5、4?的中點，延長/〃、BC,分別交

力的延長線于點//、G；求證：ZAHF=NBGF.

G

Dt

【難度】★★★

【解析】聯(lián)結(jié)4G取然中點M,聯(lián)結(jié)W、FM

是5的中點，"是"'中點

：.EM=-AD,EM//AD

2

是4c的中點，尸是相的中點

：.MF//