第八章方差分析

第八章方差分析第八章方差分析PAGE/PAGE115第八章方差分析第八章方差分析Ⅰ.學(xué)習(xí)目的本章介紹方差分析的理論、方法與運(yùn)用。通過學(xué)習(xí)，要求：1.了解方差分析的基本概念和思想；2.理解方差分解原理；3.掌握單因素、雙因素（有、無交互作用）方差分析的原理和流程；4學(xué)會(huì)針對資料提出原假設(shè)，并能利用Excel進(jìn)行方差分析。Ⅱ.課程內(nèi)容要點(diǎn)第一節(jié)方差分析方法引導(dǎo)一、方差分析問題的提出方差分析，簡稱ANOVA（analysisofvariance），就是利用試驗(yàn)觀測值總偏差的可分解性，將不同條件所引起的偏差與試驗(yàn)誤差分解開來，按照一定的規(guī)則進(jìn)行比較，以確定條件偏差的影響程度以及相對大小。當(dāng)已經(jīng)確認(rèn)某幾種因素對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響時(shí)，可使用方差分析檢驗(yàn)確定哪種因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響最為顯著及估計(jì)影響程度。二、方差分析的有關(guān)術(shù)語和概念1．試驗(yàn)結(jié)果：在一項(xiàng)試驗(yàn)中用來衡量試驗(yàn)效果的特征量，也稱試驗(yàn)指標(biāo)或指標(biāo)，類似函數(shù)的因變量或者目標(biāo)函數(shù)。2．試驗(yàn)因素：試驗(yàn)中，凡是對試驗(yàn)指標(biāo)可能產(chǎn)生影響的原因都稱為因素，或稱為因子，類似函數(shù)的自變量。試驗(yàn)中需要考察的因素稱為試驗(yàn)因素，簡稱為因素。一般用大寫字母A、B、C、……表示。方差分析的目的就是分析實(shí)驗(yàn)因素對實(shí)驗(yàn)或抽樣的結(jié)果有無顯著影響。如果在實(shí)驗(yàn)中變化的因素只有一個(gè)，這時(shí)的方差分析稱為單因素方差分析；如果在實(shí)驗(yàn)中變化的因素不止一個(gè)，這時(shí)的方差分析就稱為多因素方差分析。3．因素水平：因素在試驗(yàn)中所處的各種狀態(tài)或者所取的不同值，稱為該因素的水平，簡稱水平。一般用下標(biāo)區(qū)分。同樣因素水平有時(shí)可以取得具體的數(shù)量值，有時(shí)只能取到定性值（如好，中，差等）。4．交互作用：當(dāng)方差分析過程中的影響因素不唯一時(shí)，這種多個(gè)因素的不同水平的組合對指標(biāo)的影響稱為因素間的交互作用。三、方差分析的基本原理（一）方差分解原理一般地，試驗(yàn)結(jié)果的差異性可由離差平方和表示，離差平方和又可分解為組間方差與組內(nèi)方差。其中，組間方差為因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響的加總；組內(nèi)方差則是各組內(nèi)的隨機(jī)影響的加總。如果組間方差明顯高于組內(nèi)方差，說明樣本數(shù)據(jù)波動(dòng)的主要來源是組間方差，因素是引起波動(dòng)的主要原因，則認(rèn)為因素對試驗(yàn)的結(jié)果存在顯著的影響；否則認(rèn)為波動(dòng)主要來自組內(nèi)方差，即因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響不顯著。（二）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)因素影響是否顯著的統(tǒng)計(jì)量是F統(tǒng)計(jì)量：統(tǒng)計(jì)量的值越大，說明組間方差是離差平方和的主要來源，因素影響顯著；F統(tǒng)計(jì)量的值越小，說明組內(nèi)方差是離差平方和的主要來源，因素影響不顯著。第二節(jié)單因素方差分析一、單因素條件下的平方和分解公式設(shè)表示在水平下，第次試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果。  按方差分解的原理可得 為組間方差，由不同水平下的各組均值和總平均值的殘差平方和；是組內(nèi)方差，即各組試驗(yàn)結(jié)果和各組均值的殘差平方和。 二、因素作用顯著性的檢驗(yàn)若記各水平下的總體均值為，則檢驗(yàn)因素對試驗(yàn)結(jié)果影響的顯著性就是檢驗(yàn)假設(shè)： 可直接構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)前面提出的假設(shè)，即統(tǒng)計(jì)量為： ， 值越大，越說明組間方差大于組內(nèi)方差，因此組間方差構(gòu)成了離差平方和的主要來源，即因素的不同水平對試驗(yàn)結(jié)果影響較大，應(yīng)拒絕原假設(shè)；反之，說明組內(nèi)方差是主要來源，應(yīng)接受原假設(shè)。對于給定的顯著性水平，查分布表得臨界值，當(dāng)時(shí)，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為因素對總體有顯著影響；當(dāng)時(shí)，接受原假設(shè)，即因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響不顯著。為了方便分析，通常把方差分析列成一張方差分析表。差異源平方和自由度均方差F統(tǒng)計(jì)量組間組內(nèi)－總計(jì)－－三、應(yīng)注意的問題（一）方差分析需滿足的假設(shè)條件。（1）每次試驗(yàn)都是獨(dú)立進(jìn)行的；（2）各樣本都是來自正態(tài)總體的；（3）各總體的方差是相等的。只有滿足這些條件，方差分析的結(jié)果才是有效的。（二）在實(shí)際問題中，各水平下的總體的試驗(yàn)次數(shù)可以相等也可以不等，分析過程和結(jié)論基本不變。但是當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)相差較大或因素較多時(shí)應(yīng)該考慮采用廣義線性模型分析，以消除非均衡試驗(yàn)設(shè)計(jì)的影響。（三）方差分析只能判斷各總體的均值是否相等，而不能判斷出哪個(gè)總體的均值是大還是小，這時(shí)需要在均值不等的前提下，采用多重比較法進(jìn)一步比較各個(gè)均值的大小。第三節(jié)雙因素方差分析一、無交互作用的雙因素方差分析與是待確認(rèn)是否對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響的兩個(gè)因素，假定之間無交互作用，在兩個(gè)因素的各種水平組合下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)可得表8-1。表8-1：無交互作用的雙因素方差分析數(shù)據(jù)表因素均值……因素……均值……是在因素的各個(gè)水平下個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的均值；是在因素的各種水平下個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的均值。根據(jù)方差分解原理可得： 依次展開有 表示的是因素的各個(gè)水平下各組試驗(yàn)結(jié)果與該組均值的殘差平方和，是因素的各個(gè)水平下各組試驗(yàn)結(jié)果與該組均值的殘差平方和，是所有水平組合下的試驗(yàn)結(jié)果和均值的殘差平方和。類似單因素方差分析可知，的自由度為，的自由度為，的自由度為，的自由度為。對應(yīng)的均方差為：檢驗(yàn)因素與對試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著的統(tǒng)計(jì)量分別為 綜合以上結(jié)論可以得到方差分析表。表8-2無交互作用的雙因素方差分析表差異源平方和自由度均方差F統(tǒng)計(jì)量因素因素誤差－總計(jì)－－二、有交互作用的雙因素方差分析當(dāng)因素之間存在交互作用時(shí)，為了區(qū)分隨機(jī)誤差和交互作用，需要在不同的水平組合下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)。設(shè)在因素與因素每一個(gè)水平組合下等重復(fù)的試驗(yàn)次，得到表8-3。表8-3：有交互作用的雙因素方差分析數(shù)據(jù)表因素……因素……表示的是在水平組合下第次試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果。在該組合下的試驗(yàn)結(jié)果的均值為：進(jìn)一步記：和無交互作用的方差分析類似，離差平方和可以分解為：其中 交叉項(xiàng)表示兩個(gè)因素的取值水平組合下的試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的因素水平組合方差。、、、和的自由度分別是、、、和。可計(jì)算出均方差 則統(tǒng)計(jì)量依次為 總結(jié)以上結(jié)論可以得到方差分析表8-4。表8-4：雙因素等重復(fù)試驗(yàn)方差分析表差異源平方和自由度均方差F統(tǒng)計(jì)量因素因素交互作用誤差－總計(jì)－－Ⅲ.考核知識點(diǎn)與考核要求一、方差分析的問題和基本概念 1、識記:（1）方差分析的定義（2）實(shí)驗(yàn)因素的概念，因素水平的含義。2、領(lǐng)會(huì)：交互作用的含義。二、方差的分解和統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造1、識記：（1）方差的分解；（2）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。2、領(lǐng)會(huì)：方差“自由度”的確定。三、單因素方差分析1、識記：（1）單因素方差分析的意義；（2）單因素條件下的離差平方和的分解；（3）各個(gè)方差自由度的確定；（4）統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造。2、領(lǐng)會(huì)：（1）單因素條件下的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；（2）方差分析中應(yīng)注意的幾個(gè)問題。3、應(yīng)用：（1）單因素方差分析的應(yīng)用；（2）利用Excel進(jìn)行單因素方差分析。四、雙因素方差分析1、識記：（1）無交互作用下的離差平方和的分解，各個(gè)方差自由度的確定，檢驗(yàn)雙因素影響是否顯著的統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造；（2）有交互作用下的離差平方和的分解，各個(gè)方差自由度的確定，檢驗(yàn)各因素影響和交互作用是否顯著的統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造。2、領(lǐng)會(huì)：（1）無交互作用下方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；（2）有交互作用下方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。3、應(yīng)用：（1）無交互作用條件下雙因素方差分析的應(yīng)用；（2）有交互作用條件下的方差分析的應(yīng)用；（3）利用Excel進(jìn)行上述兩種方差分析。Ⅳ.習(xí)題詳解一、選擇題1.B2.D3.C4.B5.B6.B7.A8.C9.ABCDE10.ABCD11.ABC12.BCE13.ADE二、計(jì)算題1．解：這是一個(gè)等重復(fù)的單因素試驗(yàn)。由題意設(shè)來自四個(gè)不同供應(yīng)商的柳釘破壞承受力的均值分別為?？梢越⒓僭O(shè)檢驗(yàn)，不全相等。由Excel軟件的方差分析可以得到下表。表8-5Excel得到的方差分析表差異源平方和自由度均方差F值P值F臨界值組間5708.67531902.8921.8625520.153414.377114組內(nèi)36779.7361021.658－－－總計(jì)42488.3839－－－－由于值=0.15341，大于顯著水平，所以認(rèn)為供應(yīng)商不會(huì)對柳釘?shù)膿p壞承受力產(chǎn)生顯著影響，應(yīng)該接受原假設(shè)。各水平下的均值99％的置信度下的置信區(qū)間為：，即表8-5均值置信區(qū)間表供應(yīng)商平均值置信區(qū)間下限置信區(qū)間上限A1489.700453.915525.485A2472.800440.516505.084A3464.000433.067494.933A4493.000460.806525.1942．解：由題意設(shè)來自三條不同線路的燈泡壽命均值分別為?？梢越⒓僭O(shè)檢驗(yàn)，不全相等。由Excel軟件的方差分析可以得到下表。表8-6Excel得到的方差分析表差異源平方和自由度均方差F值P值F臨界值組間228.42114.22.92820.09216.927組內(nèi)4681239－－－總計(jì)696.414－－－－由于值=0.0921133，大于顯著水平，所以認(rèn)為線路不同不會(huì)對燈泡的壽命產(chǎn)生顯著影響，應(yīng)該接受原假設(shè)。各水平下的均值99％的置信度下的置信區(qū)間為：，即表8-7均值置信區(qū)間表線路平均值置信區(qū)間下限置信區(qū)間上限A155.00041.42068.580A248.80035.34562.255A345.60034.17357.0273．解：根據(jù)題意設(shè)來自三個(gè)不同子公司的文員的報(bào)酬均值分別為。可以建立假設(shè)檢驗(yàn)，不全相等。由Excel軟件的方差分析可以得到下表。表8-8Excel得到的方差分析表差異源平方和自由度均方差F值P值F臨界值組間17845.8128922.9043.9750.04293.739組內(nèi)31429.13142244.938－－－總計(jì)49274.9416－－－－由于值=0.0429481，小于顯著水平，所以認(rèn)為所屬子公司不同會(huì)對文員的工作效率產(chǎn)生顯著影響，應(yīng)該拒絕原假設(shè)。各水平下的均值95％的置信度下的置信區(qū)間為：，即表8-9均值置信區(qū)間表子公司平均值置信區(qū)間下限置信區(qū)間上限A1223.800173.983273.617A2148.16790.670205.663A3158.500111.611205.3894．解：根據(jù)題意設(shè)來自未載客汽車和載客汽車的速度均值分別為?？梢越⒓僭O(shè)檢驗(yàn)，不全相等。由Excel軟件的方差分析可以得到下表。表8-10Excel得到的方差分析表差異源平方和自由度均方差F值P值F臨界值組間250.98331250.98333.3760.0815.871組內(nèi)1487.0172074.35083－－－總計(jì)173821－－－－由于值=0.081071，大于顯著水平，所以認(rèn)為載客與否對汽車的速度不會(huì)產(chǎn)生顯著影響，應(yīng)該接受原假設(shè)。各水平下的均值97.5％的置信度下的置信區(qū)間為：，即表8-11均值置信區(qū)間表載客與否平均值置信區(qū)間下限置信區(qū)間上限未載客63.70056.91756.917載客56.91750.95062.8845．解：設(shè)外包裝因素為，產(chǎn)品地區(qū)因素為，由題意建立假設(shè)檢驗(yàn)可由Excel軟件的方差分析直接得到以下方差分析表。表8-12Excel得到的雙因素?zé)o交互作用的方差分析表差異源平方和自由度均方差F值P值F臨界值外包裝74.13333237.0671.3210.3194.459地區(qū)191.0667447.7671.7020.2423.838誤差224.5333828.067－－－總計(jì)489.733314－－－－因?yàn)橥獍b因素的值=0.31943，地區(qū)因素的p值=0.241868，都大于，所以包裝和地區(qū)這兩個(gè)因素都對產(chǎn)品的銷售量沒有顯著影響。6．解：設(shè)司機(jī)的駕駛技術(shù)因素為，路面環(huán)境因素為，由題意建立假設(shè)檢驗(yàn)可由Excel軟件的方差分析直接得到以下方差分析表。因?yàn)樗緳C(jī)的駕駛技術(shù)因素的p值=0.035671，路面環(huán)境因素的值=0.026459，都小于，所以路面環(huán)境和司機(jī)的駕駛技術(shù)這兩個(gè)因素都會(huì)對耗油量產(chǎn)生顯著影響。表8-13Excel得到的雙因素?zé)o交互作用的方差分析表差異源平方和自由度均方差F值P值F臨界值司機(jī)的駕駛技術(shù)2684673.6680.03573.25916路面環(huán)境240.55380.1834.3900.02653.4903誤差219.21218.267－－－總計(jì)727.7519－－－－7．解：這是一個(gè)有交互作用的雙因素重復(fù)試驗(yàn)。由題意設(shè)結(jié)帳流程因素為，收銀員因素為，設(shè)交互作用為，建立假設(shè)檢驗(yàn)可由Excel軟件的方差分析直