01-02數(shù)學(xué)與我們同行、有理數(shù)(原卷版+解析)

01-02數(shù)學(xué)與我們同行、有理數(shù)【專題過關(guān)】類型一、裂項(xiàng)求和【解惑】觀察下列等式：，，，請將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：。（1）猜想并寫出：（

）。（2）（

）。（3）探究并計(jì)算：（

）。（4）計(jì)算：【融會貫通】1．計(jì)算2．________3．4．5．6．7．_____類型二、最短路線【解惑】如圖是一張道路圖，每段路上的數(shù)字是小王走這段路所需的分鐘數(shù)。請問小王從A出發(fā)走到B，最快需要__________分鐘?！救跁炌ā?．如圖所示，有一只螞蟻站在正方體某條棱的A處，它想盡快地游覽完正方體的各個(gè)面，然后回到A處，請問這只螞蟻要怎樣走才能使通過的路程最短？2．下圖是某城市的道路圖，每段路旁標(biāo)注的數(shù)字表示走完這段路所需用的分鐘數(shù)（單位：分鐘）。郵遞員從A點(diǎn)沿道路到達(dá)B點(diǎn)至少要經(jīng)過多長時(shí)間？3．如圖，M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點(diǎn)，若從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N，沿怎么樣的路線路程最短？4．如圖所示，壁虎在一座油罐的下底邊A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方，油罐上邊緣的B處有一只害蟲，壁虎決定捕捉這只害蟲．為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿著一條螺旋路線，從背后對害蟲進(jìn)行突然襲擊．請問：壁虎沿著螺旋線至少要爬行多少米才能捕到害蟲？5．有A、B兩個(gè)村莊，分別在一條河的兩岸，如圖所示，現(xiàn)在要在小河上架一座木橋，使它與河岸垂直．現(xiàn)在請你選擇最合適的架橋地點(diǎn)，使A、B兩上村莊之間的路最近．6．有一個(gè)圓錐如圖所示，A、B在同一條母線上，B為AO的中點(diǎn)，試求以A為起點(diǎn)，以B為終點(diǎn)且繞圓錐側(cè)面一周的最短路線．7．古希臘有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．他精通數(shù)學(xué)、物理，聰慧過人．有一天，一位將軍向他請教一個(gè)問題：如圖16﹣3，將軍從甲地騎馬出發(fā)，要到河邊讓馬飲水，然后再回到乙地的馬棚，為了使走的路線最短，應(yīng)該讓馬在什么地方飲水？類型三、有趣規(guī)律【解惑】“？”處的圖形是哪一個(gè)？（

）A． B．C． D．E．【融會貫通】1．“？”處是（

）。A． B．C． D．E．2．如圖，下面每個(gè)圖中有多少個(gè)白色小正方形和多少個(gè)灰色小正方形？（1）把下面的表格補(bǔ)充完整．第1個(gè)圖第2個(gè)圖第3個(gè)圖第4個(gè)圖白色12灰色810（2）照這樣接著畫下去，第6個(gè)圖中有_____個(gè)白色小正方形和_____個(gè)灰色小正方形；（3）想一想：照這樣的規(guī)律，第n個(gè)圖中有_____個(gè)白色小正方形和_____個(gè)灰色小正方形；（4）照這樣的規(guī)律，如果某個(gè)圖中灰色小正方形有30個(gè)，那么白色小正方形有_____個(gè)，它是第_____個(gè)圖．3．用同樣大小的正方形按下列規(guī)律擺放，將重疊部分涂上顏色，下面的圖案中，第n個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)是________.4．將下圖左邊的大三角形紙板剪3刀,得到4個(gè)大小相同的小三角形紙板(第一次操作),見下圖中間.再將每個(gè)小三角形紙板剪3刀,得到16個(gè)大小相同的更小的三角形紙板(第二次操作),見下圖右邊.這樣繼續(xù)操作下去,完成前六次操作共剪了________刀.5．探索：如圖，外層正方形邊長是5，往里第二、三、四、五層各小正方形邊長依次是4、3、2、1，觀察圖形，完成下列問題；(1)判斷大小關(guān)系：13+23+33+43+53________（1+2+3+4+5）2；(2)結(jié)合圖形，證明你（1）中的判斷．猜想：13+23+33+…+n3="________"．6．有一串分?jǐn)?shù)，，，，，，，，，,，，…，這串分?jǐn)?shù)從左往右數(shù)，第一個(gè)在第________個(gè)，第二個(gè)在第________個(gè)．7．觀察以下的一列數(shù)，依次是11，17，23，29，35，….若從第n個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都大于2017，則_______________.類型四、絕對值的“1與-1”化簡【解惑】已知，，都是非零有理數(shù)，滿足，令，則的值為（

）A． B． C． D．【融會貫通】1．（2022·浙江·九年級自主招生）若關(guān)于x的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解，則化簡的結(jié)果是（

）A． B．0 C．2 D．42．（2022秋·全國·七年級期末）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不確定3．（2020秋·江西宜春·七年級宜春市第三中學(xué)?？计谥校┤簦?，則______．4．（2018秋·天津南開·七年級南開中學(xué)校考階段練習(xí)）若，則_______．5．（2022秋·浙江麗水·七年級校聯(lián)考期中）（《學(xué)霸養(yǎng)成卷》改編）如果，那么的值是______．6．（2019秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）已知a、b、c滿足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc<0，若，且，則3m2n+4mn2=____.7．（2018·河南安陽·七年級校聯(lián)考期中）如果abc＜0，則++=_____．8．（2022秋·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）分類討論是重要的數(shù)學(xué)方法，如化簡，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．求解下列問題：(1)當(dāng)時(shí)，值為______，當(dāng)時(shí)，的值為______，當(dāng)x為不等于0的有理數(shù)時(shí)，的值為______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，這2023個(gè)數(shù)都是不等于0的有理數(shù)，若這2023個(gè)數(shù)中有n個(gè)正數(shù)，，則m的值為______（請用含n的式子表示）9．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）（1）數(shù)學(xué)小組遇到這樣一個(gè)問題：若a，b均不為零，求的值．請補(bǔ)充以下解答過程（直接填空）①當(dāng)兩個(gè)字母a，b中有2個(gè)正，0個(gè)負(fù)時(shí)，x=；②當(dāng)兩個(gè)字母a，b中有1個(gè)正，1個(gè)負(fù)時(shí)，x=；③當(dāng)兩個(gè)字母a，b中有0個(gè)正，2個(gè)負(fù)時(shí)，x=；綜上，當(dāng)a，b均不為零，求x的值為．（2）請仿照解答過程完成下列問題：①若a，b，c均不為零，求的值．②若a，b，c均不為零，且a+b+c=0，直接寫出代數(shù)式的值．10．（2021秋·江蘇南通·七年級啟東市長江中學(xué)?？计谥校┰诮鉀Q數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的探究問題.【提出問題】三個(gè)有理數(shù)a，b，c，滿足abc>0，求的值.【解決問題】解：由題意得：a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù).①當(dāng)a，b，c，都是正數(shù)，即a>0，b>0，c>0時(shí)，則==1+1+1=3；②當(dāng)a，b，c有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)位負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a>0，b<0，c<0，則==1?1?1=?1；所以的值為3或?1.【探究】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：(1)三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足abc<0，求的值；(2)已知=9，=4，且a<b，求a?2b的值.11．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，現(xiàn)在我們可以用這個(gè)結(jié)論來解決下面問題：（1）已知，是有理數(shù),當(dāng)時(shí)，求的值；（2）已知，，是有理數(shù)，當(dāng)，求的值；（3）已知，，是有理數(shù)，，，求的值.類型五、絕對值的最值【解惑】同學(xué)們都知道，表示5與1差的絕對值，也可以表示數(shù)軸上5和1這兩點(diǎn)間的距離；表示3與之差的絕對值，實(shí)際上也可理解為3與在數(shù)軸上所對的兩點(diǎn)之間的距離；自然地，對進(jìn)行變式得，同樣可以表示3與兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：(1)__________；(2)表示與__________之間的距離；表示與__________之間的距離；(3)當(dāng)時(shí)，可取整數(shù)__________．（寫出一個(gè)符合條件的整數(shù)即可）(4)由以上探索，結(jié)合數(shù)軸猜想：對于任何有理數(shù)，的最小值為__________．【融會貫通】1．（2022春·安徽滁州·七年級統(tǒng)考期中）閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示和2兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)之間的距離是；(2)數(shù)軸上表示x和1的兩點(diǎn)之間的距離為5，則x表示的數(shù)為；(3)若x表示一個(gè)有理數(shù)，則有最小值嗎？若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由．2．（2022秋·山東青島·七年級青島大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．我們知道的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是說表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應(yīng)點(diǎn)之間的距離．提出問題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別記為點(diǎn)A和點(diǎn)B，AB兩點(diǎn)之間的距離記為，那么與有理數(shù)a，b有怎樣的關(guān)系？探究問題：探究一：如果A，B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)，不妨假設(shè)A點(diǎn)在原點(diǎn)，即a＝0．當(dāng)b＝2時(shí)，，如圖1所示；當(dāng)b＝－3時(shí)，，如圖2所示；由此可以推斷當(dāng)b＝n時(shí)，______．探究二：如果A，B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)，即，．（1）當(dāng)A，B兩點(diǎn)都在原點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如圖3所示：；（2）當(dāng)A，B兩點(diǎn)都在原點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖4所示：；（3）當(dāng)A，B兩點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè)時(shí)，如圖5所示，請你仿照上述探究過程，寫出A，B兩點(diǎn)之間的距離______．解決問題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別記為點(diǎn)A和點(diǎn)B，AB兩點(diǎn)之間的距離記為，那么______．（用含有a，b的式子表示）實(shí)際應(yīng)用：（1）數(shù)軸上，表示有理數(shù)－6和－1的兩點(diǎn)之間的距離是______；（2）數(shù)軸上，表示x和2的兩點(diǎn)P和Q之間的距離是5，則x＝______．拓展延伸：結(jié)合數(shù)軸回答下列問題：（1）的最小值是______；（2）的最大值是______．3．（2022秋·江蘇蘇州·七年級?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示3和6兩點(diǎn)之間的距離是______，數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是______．(2)數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)之間的距離表示為______，數(shù)軸上表示x和7的兩點(diǎn)之間的距離表示為______．(3)若x表示一個(gè)有理數(shù)，則的最小值______．(4)若x表示一個(gè)有理數(shù)，且，則滿足條件的所有整數(shù)x是______．(5)求使式子有最小值的有理數(shù)x，以及這個(gè)最小值．4．（2023秋·山西朔州·七年級?？计谀╅喿x與思考：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是(2)數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)之間的距離表示為；(3)七年級研究性學(xué)習(xí)小組在數(shù)學(xué)老師指導(dǎo)下，對式子進(jìn)行探究：①請你在草稿紙上畫出數(shù)軸，當(dāng)表示數(shù)x的點(diǎn)在與4之間移動時(shí)，的值總是一個(gè)固定的值為②請你畫出數(shù)軸，探究：是否存在數(shù)x，使？如果存在，則在數(shù)軸上表示出來，并寫出x的值；如果不存在，簡要說明理由．5．（2022秋·新疆烏魯木齊·七年級烏魯木齊市第二十三中學(xué)?？计谀┫乳喿x，后探究相關(guān)的問題．【閱讀】表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；可以看做，表示5與的差的絕對值，也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．(1)如圖，先在數(shù)軸上畫出表示點(diǎn)4.5的相反數(shù)的點(diǎn)，再把點(diǎn)A向左移動1.5個(gè)單位，得到點(diǎn)，則點(diǎn)和點(diǎn)表示的數(shù)分別為_______和_______，，兩點(diǎn)間的距離是______；(2)若點(diǎn)A表示的整數(shù)為，則當(dāng)為_______時(shí)，與的值相等；(3)要使代數(shù)式取最小值時(shí)，相應(yīng)的的取值范圍是________．6．（2017秋·陜西·七年級階段練習(xí)）認(rèn)真閱讀下面的材料，完成有關(guān)問題．材料：在學(xué)習(xí)絕對值時(shí)，老師教過我們絕對值的幾何含義，如表示、在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；，所以表示、在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；，所以表示在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．一般地，點(diǎn)、點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，那么點(diǎn)、點(diǎn)之間的距離可表示為．（1）點(diǎn)、、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、、，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和可表示為__________（用含絕對值的式子表示）．（2）利用數(shù)軸探究：①滿足的的取值范圍是__________．②滿足的的所有值是__________．③設(shè)，當(dāng)?shù)闹等≡诓恍∮谇也淮笥诘姆秶鷷r(shí)，的值是不變的，而且是的最小值，這個(gè)最小值是_____．（3）拓展：①的最小值為__________．②的最小值為__________．③的最小值為__________，此時(shí)的取值范圍為__________．類型六、絕對值的方程【解惑】如果，那么（

）A． B．或2 C． D．2【融會貫通】1．（2022秋·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）數(shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．【閱讀】表示3與1的差的絕對值，也可理解為3與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；可以看作，表示3與的差的絕對值，也可理解為3與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．【探索】(1)數(shù)軸上表示5與的兩點(diǎn)之間的距離是___________；(2)①若，則x=___________；②若使x所表示的點(diǎn)到表示2和的點(diǎn)的距離之和為5，所有符合條件的整數(shù)的和為___________；【動手折一折】小明在草稿紙上畫了一條數(shù)軸進(jìn)行操作探究：(3)折疊紙面，若1表示的點(diǎn)和表示的點(diǎn)重合，則4表示的點(diǎn)和___________表示的點(diǎn)重合；(4)折疊紙面，若3表示的點(diǎn)和表示的點(diǎn)重合，①則表示的點(diǎn)和___________表示的點(diǎn)重合；②這時(shí)如果A，B（A在B的左側(cè)）兩點(diǎn)之間的距離為且A，B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則點(diǎn)A表示的數(shù)是___________，點(diǎn)B表示的數(shù)是___________；【拓展】(5)若，則x=___________．2．（2022春·七年級單元測試）閱讀以下例題：解方程：，解：①當(dāng)時(shí)，原方程可化為一元一次方程，解這個(gè)方程得；②當(dāng)時(shí)，原方程可化為一元一次方程，解這個(gè)方程得；③當(dāng)，即時(shí)，原方程可化為，不成立，此時(shí)方程無解．所以原方程的解是或．(1)仿照例題解方程：．(2)探究：當(dāng)b為何值時(shí)，方程滿足：①無解；②只有一個(gè)解；③有兩個(gè)解．3．（2023秋·遼寧鞍山·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答問題：的含義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即，也就是說，表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；因此可以推斷表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)1對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．例如，，就是在數(shù)軸上到1的距離為2的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，即為或；回答問題：(1)若，則的值是______；(2)利用上述方法解下列方程：①；②4．（2022秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）解方程：．5．（2022秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）解方程．6．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）解方程：．7．（2022秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）解方程：類型七、數(shù)軸動點(diǎn)求t【解惑】觀察、理解與應(yīng)用．題目：如圖數(shù)軸上有三點(diǎn)A、B和C，其中A點(diǎn)在處，B點(diǎn)在2處，C點(diǎn)在原點(diǎn)處．(1)，表示的意義是；(2)，，即用字母表示線段長，，猜想：，設(shè)P、Q在數(shù)軸上分別表示的數(shù)為和220，則線段；(3)歸納：如果M、N在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為，，則線；(4)應(yīng)用：若動點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)和2處同時(shí)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動；已知點(diǎn)P的速度是每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)Q的速度是每秒2個(gè)單位長度，問：①t為2秒時(shí)P，Q兩點(diǎn)的距離是多少？（列算式解答）②t為秒時(shí)P，Q兩點(diǎn)之間的距離為2？【融會貫通】1．（2023秋·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）已知數(shù)軸上有、、三個(gè)點(diǎn)，分別表示有理數(shù)，，，動點(diǎn)從出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度向終點(diǎn)移動，設(shè)移動時(shí)間為秒．(1)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離______；此時(shí)點(diǎn)所表示的數(shù)為______；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后也停止運(yùn)動，則點(diǎn)出發(fā)秒時(shí)與點(diǎn)之間的距離______；(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)之前，請求出點(diǎn)移動幾秒時(shí)恰好與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位？2．（2023春·全國·七年級期末）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對應(yīng)的數(shù)分別為、3，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為x．(1)若點(diǎn)P到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離相等，求點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)；(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為6？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由；(3)點(diǎn)A、點(diǎn)B分別以2個(gè)單位長度/分、1個(gè)單位長度/分的速度向右運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)P以6個(gè)單位長度/分的速度從O點(diǎn)向左運(yùn)動．當(dāng)遇到A時(shí)，點(diǎn)P立即以同樣的速度向右運(yùn)動，并不停地往返于點(diǎn)A與點(diǎn)B之間，求當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P所經(jīng)過的總路程是多少？3．（2020秋·四川綿陽·七年級校考階段練習(xí)）已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為和4，P為數(shù)軸上一點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為x．(1)請直接寫出P所表示的數(shù)，使P到A點(diǎn)、B點(diǎn)距離的和為10．(2)若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)P（點(diǎn)P在原點(diǎn)）同時(shí)向左運(yùn)動，他們的速度分別為每秒1、2、1個(gè)（單位長度/秒）．①幾秒中后點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)？并求出此時(shí)x的值；②是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P為線段的三等分點(diǎn)，若存在請求出x的值；若不存在，請說明理由．4．（2022秋·江蘇宿遷·七年級泗陽致遠(yuǎn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)M表示的數(shù)為m，點(diǎn)N表示的數(shù)為n，點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離記為MN．我們規(guī)定：MN的大小可以用位于右邊的點(diǎn)表示的數(shù)減去左邊的點(diǎn)表示的數(shù)表示，即．請用上面的知識解答下面的問題：已知，數(shù)軸上四點(diǎn)A、B、C、D所表示的數(shù)分別為、b、c、d，且滿足：，b是最大的負(fù)整數(shù)，（C與A不重合）(1)；；；．(2)若將點(diǎn)A向右移動個(gè)單位，則移動后的點(diǎn)表示的數(shù)為；（用代數(shù)式表示）(3)試求出點(diǎn)C到點(diǎn)D的距離．(4)若點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位的速度向左移動，同時(shí)B、D點(diǎn)分別以每秒1個(gè)單位、4個(gè)單位的速度向右移動，運(yùn)動過程中始終滿足（點(diǎn)C也隨之運(yùn)動）．設(shè)移動時(shí)間為t秒．試探索：大小是否會隨著t的變化而改變？請說明理由．5．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，、兩點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為和6．(1)直接寫出、兩點(diǎn)之間的距離___；(2)若在數(shù)軸上存在一點(diǎn)，使得，求點(diǎn)表示的數(shù)；(3)如圖2，現(xiàn)有動點(diǎn)、，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)原點(diǎn)后立即以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動，求：當(dāng)時(shí)的運(yùn)動時(shí)間的值．6．（2022秋·吉林松原·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)與點(diǎn)距離個(gè)單位，且在點(diǎn)的左邊，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒．(1)數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為___________，點(diǎn)表示的數(shù)為___________（用含的式子表示）；(2)動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，若點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)．①求點(diǎn)運(yùn)動多少秒追上點(diǎn)？②求點(diǎn)運(yùn)動多少秒時(shí)與點(diǎn)相距個(gè)單位？并求出此時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)．類型八、數(shù)軸動點(diǎn)新定義【解惑】對于數(shù)軸上的點(diǎn)M，線段AB，給出如下定義：P為線段AB上任意一點(diǎn)，如果M，P兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為點(diǎn)M，線段AB的“近距”，記作d1（點(diǎn)M，線段AB）；如果M，P兩點(diǎn)間的距離有最大值，那么稱這個(gè)最大值為點(diǎn)M，線段AB的“遠(yuǎn)距”，記作d2（點(diǎn)M，線段AB），特別的，若點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，則M，P兩點(diǎn)間距離為0，已知點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)B表示的數(shù)為3．如圖，若點(diǎn)C表示的數(shù)為5，則d1（點(diǎn)C，線段AB）＝2，d2（點(diǎn)C，線段AB）＝7．(1)若點(diǎn)D表示的數(shù)為﹣3，則d1（點(diǎn)D，線段AB）＝，d2（點(diǎn)D，線段AB）＝；(2)若點(diǎn)E表示數(shù)為x，點(diǎn)F表示數(shù)為x+1．d2（點(diǎn)F，線段AB）是d1（點(diǎn)E，線段AB）的3倍．求x的值．【融會貫通】1．（2021秋·福建福州·七年級?？计谀┮阎獢?shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)在點(diǎn)之間且，則稱點(diǎn)是的突點(diǎn)．例如，圖1中，點(diǎn)表示的數(shù)分別為，1,0，，此時(shí)，，則點(diǎn)是的突點(diǎn)，點(diǎn)是的突點(diǎn)．(1)如圖，數(shù)軸上點(diǎn)，表示的數(shù)分別為，，若點(diǎn)是的突點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)是______；若點(diǎn)是的突點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)是______；(2)如圖，為數(shù)軸上兩點(diǎn)，它們表示的數(shù)分別為，10，若點(diǎn)向數(shù)軸的負(fù)方向以每秒個(gè)單位長度運(yùn)動,，同時(shí)點(diǎn)向數(shù)軸的正方向以每秒個(gè)單位長度運(yùn)動，假設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒，求使得原點(diǎn)是的突點(diǎn)的值；若不存在，請說明理由．2．（2022秋·浙江寧波·七年級?？计谥校?shù)軸上點(diǎn)A表示，點(diǎn)B表示6，點(diǎn)C表示12，點(diǎn)D表示18．如圖，將數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B、C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．在“折線數(shù)軸”上，把兩點(diǎn)所對應(yīng)的兩數(shù)之差的絕對值叫這兩點(diǎn)間的和諧距離．例如，點(diǎn)A和點(diǎn)D在折線數(shù)軸上的和諧距離為個(gè)單位長度．動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運(yùn)動，從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)C期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，過點(diǎn)C后繼續(xù)以原來的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，一直以3個(gè)單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”負(fù)方向向終點(diǎn)A運(yùn)動，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)秒時(shí)，M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為__________；(2)當(dāng)點(diǎn)M、N都運(yùn)動到折線段上時(shí)，O、M兩點(diǎn)間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；C、N兩點(diǎn)間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；__________時(shí)，M、N兩點(diǎn)相遇；(3)當(dāng)__________時(shí)，M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個(gè)單位長度；當(dāng)__________時(shí)，M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等．3．（2022秋·廣西南寧·七年級南寧市第四十七中學(xué)?？计谥校τ跀?shù)軸上的A，B，C三點(diǎn)，給出如下定義：若其中一個(gè)點(diǎn)與另外兩個(gè)點(diǎn)的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的“聯(lián)盟點(diǎn)”．例如：數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時(shí)點(diǎn)B是點(diǎn)A，C的“聯(lián)盟點(diǎn)”．(1)若點(diǎn)A表示數(shù)，點(diǎn)B表示數(shù)3，下列各數(shù)，，0，1所對應(yīng)的點(diǎn)分別是，其中是點(diǎn)A，B的“聯(lián)盟點(diǎn)”的是___________；(2)點(diǎn)A表示數(shù)，點(diǎn)B表示數(shù)5，P為數(shù)軸上的一個(gè)動點(diǎn)：①若點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，且點(diǎn)P是點(diǎn)A，B的“聯(lián)盟點(diǎn)”，求此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)；②若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)P，A，B中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是另外兩個(gè)點(diǎn)的“聯(lián)盟點(diǎn)”，求此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)．4．（2022秋·北京朝陽·七年級校考期中）閱讀下列材料：若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a，b，則線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為．基于此，我們給出如下定義：數(shù)軸上給定兩點(diǎn)A，B以及一條線段，若線段的中點(diǎn)R在線段上（點(diǎn)R能與點(diǎn)P或Q重合），則稱點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于線段徑向?qū)ΨQ．例：如圖所示，點(diǎn)A，P，Q，B所表示的數(shù)為1，2，5，7，那么線段的中點(diǎn)R所表示的數(shù)為＝4，所以點(diǎn)R在線段上，則點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于線段徑向?qū)ΨQ．解答下列問題：如圖1，在數(shù)軸上，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為?1，點(diǎn)M表示的數(shù)為2．(1)點(diǎn)B，C分別表示的數(shù)為，4，在B，C兩點(diǎn)中，點(diǎn)______與點(diǎn)A關(guān)于線段徑向?qū)ΨQ；(2)點(diǎn)N是數(shù)軸上一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)F表示的數(shù)為6，點(diǎn)A與點(diǎn)F關(guān)于線段徑向?qū)ΨQ，求線段長度的最小值，并寫出求解過程；(3)在數(shù)軸上，動點(diǎn)K從表示的點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度向右移動，動點(diǎn)L從表示的點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向右移動．點(diǎn)K和L同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動的時(shí)間為t秒（t＞0），若線段上至少存在一點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于線段徑向?qū)ΨQ，則直接寫出t能取到的最小值為______，能取到的最大值為______．5．（2022秋·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期中）閱讀理解：若A、B、C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C到A的距離是點(diǎn)C到B的距離2倍，我們就稱點(diǎn)C是【A，B】的好點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn)B表示的數(shù)為2．表示1的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是2，到點(diǎn)B的距離是1，那么點(diǎn)C是【A，B】的好點(diǎn)．(1)知識運(yùn)用：如圖1，表示0的點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離是1，到點(diǎn)B的距離是2，那么點(diǎn)D______【A，B】的好點(diǎn)；（請?jiān)跈M線上填是或不是）(2)如圖2，M、N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為4，點(diǎn)N所表示的數(shù)為﹣2．?dāng)?shù)______所對應(yīng)的點(diǎn)是【M，N】的好點(diǎn)（寫出所有可能的情況）；(3)拓展提升：如圖3，A、B為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)A所表示的數(shù)為﹣20，點(diǎn)B所表示的數(shù)為40．現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點(diǎn)B出發(fā)，以4個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A停止．當(dāng)經(jīng)過幾秒時(shí)，P、A和B中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的好點(diǎn)？（寫出所有情況）類型九、數(shù)列求和【解惑】37．（2022秋·湖北十堰·七年級十堰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）閱讀材料：求的值．解：令①將等式①兩邊同時(shí)乘，得．②②-①，得，即所以．請你根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)計(jì)算：(2)已知數(shù)列：，，，，，，①它的第個(gè)數(shù)是多少？②求這列數(shù)中前個(gè)數(shù)的和．【融會貫通】1.（2020秋·江蘇無錫·七年級校考階段練習(xí)）【閱讀】計(jì)算的值.令S＝，則3S＝，因此3S－S＝，所以S＝，即S＝＝.依照以上推理，計(jì)算：＝__________.2．（2019·寧夏固原·統(tǒng)考一模）根據(jù)下列材料，解答問題．等比數(shù)列求和：概念：對于一列數(shù)a1，a2，a3，…an…（n為正整數(shù)），若從第二個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的比為一定值，即＝q（常數(shù)），那么這一列數(shù)a1，a2，a3，…，an，…成等比數(shù)列，這一常數(shù)q叫做該數(shù)列的公比．例：求等比數(shù)列1，3，32，33，…，3100的和，解：令S＝1+3+32+33+…+3100則3S＝3+32+33+…+3100+3101因此，3S﹣S＝3101﹣1，所以S＝即1+3+32+33…+3100＝仿照例題，等比數(shù)列1，5，52，53，…，52018的和為_____．3．（2022秋·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期中）閱讀材料：求．首先設(shè)①，則②，得，即．以上解法，在數(shù)列求和中，我們稱之為“錯(cuò)位相減法”．請你根據(jù)上面的材料，解決下列問題：(1)．(2)；(3)求的值．4．（2022秋·江蘇淮安·七年級?？茧A段練習(xí)）【等比數(shù)列】按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列的一般形式可以寫成：．一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用表示．如：數(shù)列為等比數(shù)列，其中，公比為．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）等比數(shù)列的公比為，第項(xiàng)是．【公式推導(dǎo)】如果一個(gè)數(shù)列，是等比數(shù)列，且公比為，那么根據(jù)定義可得到：．所以，，，（2）由此，請你填空完成等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：．【拓廣探究】等比數(shù)列求和公式并不復(fù)雜，但是其推導(dǎo)過程——錯(cuò)位相減法，構(gòu)思精巧、形式奇特．下面是小明為了計(jì)算的值，采用的方法：設(shè)①，則②，得，∴．【解決問題】（3）請仿照小明的方法求的值．5．（2020秋·江蘇連云港·七年級江蘇省新海高級中學(xué)?？计谀╅喿x新知一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示（）．即：在數(shù)列，，，…，．（為正整數(shù)）中，若，，…，則數(shù)列，，，…，．（為正整數(shù)）叫做等比數(shù)列．其中叫數(shù)列的首項(xiàng)，叫第二項(xiàng)，…，叫第項(xiàng)，叫做數(shù)列的公比．例如：數(shù)列1，2，4，8，16，…是等比數(shù)列，公比．計(jì)算：求等比數(shù)列1，3，，，…，的和．解：令，則．因此．所以．即．學(xué)以致用（1）選擇題：下列數(shù)列屬于等比數(shù)列的是（

）A．1，2，3，4，5

B．2，6，18，21，63C．56，28，14，7，

D．－11，22，－33，44，－55（2）填空題：已知數(shù)列，，，…，是公比為4的等比數(shù)列，若它的首項(xiàng)，則它的第項(xiàng)等于_________．（3）解答題：求等比數(shù)列1，5，，，…前2021項(xiàng)的和．類型十、有理數(shù)中的歸納與規(guī)律【解惑】我們平常用的是十進(jìn)制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十進(jìn)制的數(shù)要用10個(gè)數(shù)碼：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在計(jì)算機(jī)中用的是二進(jìn)制，只有兩個(gè)數(shù)碼：0，1．如:二進(jìn)制中111=1×22+1×21+1相當(dāng)于十進(jìn)制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相當(dāng)于十進(jìn)制中的27．那么二進(jìn)制中的1011相當(dāng)于十進(jìn)制中的(

)A．9 B．10 C．11 D．12【融會貫通】1．（2022秋·全國·七年級期末）觀察下列各式：1-=，1-=，1-=，根據(jù)上面的等式所反映的規(guī)律（1-）（1-）（1-）=________2．（2022秋·全國·七年級期中）觀察下面算式的演算過程：

……（1）根據(jù)上面的規(guī)律，直接寫出下面結(jié)果：______________．

____________．_________________．（為正整數(shù)）（2）根據(jù)規(guī)律計(jì)算：．3．（2019秋·浙江紹興·七年級?？茧A段練習(xí)）【概念學(xué)習(xí)】規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）記作a?，讀作“a的圈n次方”．（1）【初步探究】直接寫出計(jì)算結(jié)果：2③=_______，（-）⑤=_______；（2）【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？Ⅰ.試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式．（﹣3）④=_______；5⑥=_______；(-)⑩=_______．Ⅱ.想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式等于_______；Ⅲ.

算一算：122÷(-)④×(-2)⑤－(-)⑥÷33.4．（2022·浙江·九年級自主招生）我們已知道：，事實(shí)上：（為正整數(shù)）成立，故有：當(dāng)時(shí)，成立．由以上結(jié)論填寫下列代數(shù)式結(jié)果：(1)__________．(2)___________．(3)_____．5．（2022秋·山東青島·七年級統(tǒng)考期中）曹沖稱象是我國歷史上著名的故事，大家都說曹沖聰明．他到底聰明在何處呢？我們都知道，曹沖稱得是石塊而不是大象，并且確信，石塊的質(zhì)量就是大象的體重．曹沖的聰明就在于，他用化歸思想將問題轉(zhuǎn)變了；借助于船這種工具，將大象的體重轉(zhuǎn)變?yōu)橐粔K塊石塊的重量．轉(zhuǎn)變就是化歸的實(shí)質(zhì)．化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式．從字面上看，化歸就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思．例如：我們在七年級數(shù)學(xué)上冊第二章中引入“相反數(shù)”這個(gè)概念后，正負(fù)數(shù)的減法就化歸為已經(jīng)解決的正負(fù)數(shù)的加法了；而引入“倒數(shù)”這個(gè)概念后，正負(fù)數(shù)的除法就化歸為已經(jīng)解決的正負(fù)數(shù)的乘法了．下面我們再通過具體實(shí)例體會一下化歸思想的運(yùn)用：數(shù)學(xué)問題，計(jì)算(其中是正整數(shù)，且，)．探究問題：為解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過不斷地分割一個(gè)面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進(jìn)行探究．探究一：計(jì)算．第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，……；……第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為，最后空白部分的面積是．根據(jù)第n次分割圖可得等式：．探究二：計(jì)算．第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，……，……第n次分別，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為，最后空白部分的面積是．根據(jù)第n次分制圖可得等式：，兩邊同除2，得，探究三：計(jì)算．(仿照上述方法，在圖①中只畫出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并寫出探究過程)解決問題．計(jì)算．(在圖②中只畫出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并完成以下填空)．(1)根據(jù)第n次分割圖可得等式：___________．(2)所以，___________．(3)拓廣應(yīng)用：計(jì)算___________．

01-02數(shù)學(xué)與我們同行、有理數(shù)【專題過關(guān)】類型一、裂項(xiàng)求和【解惑】觀察下列等式：，，，請將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：。（1）猜想并寫出：（

）。（2）（

）。（3）探究并計(jì)算：（

）。（4）計(jì)算：【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】（1）先根據(jù)題中所給出的等式進(jìn)行猜想，寫出猜想結(jié)果即可；（2）根據(jù)（1）中的猜想計(jì)算出結(jié)果；（3）根據(jù)乘法分配律提取，再計(jì)算即可求解；（4）先拆項(xiàng)，再抵消結(jié)果即可求解?！驹斀狻浚?）＝＝【點(diǎn)睛】本題考查的是分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵?！救跁炌ā?．計(jì)算【答案】【詳解】略2．________【答案】【分析】仔細(xì)審題，我們會發(fā)現(xiàn)，題干中分母的規(guī)律：；同時(shí)很容易發(fā)現(xiàn)是一個(gè)等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式我們可得，進(jìn)而可得：?！驹斀狻吭剑剑剑剑健军c(diǎn)睛】這道題目稍微有點(diǎn)難度，需要先歸納分母的通項(xiàng)，然后利用裂項(xiàng)進(jìn)行解題，所以同學(xué)們應(yīng)該在記住公式的同時(shí)做適當(dāng)?shù)木C合應(yīng)用。3．【答案】【詳解】原式4．【答案】【詳解】原式5．【答案】【詳解】原式======6．【答案】【詳解】，，……，，所以原式7．_____【答案】【詳解】所以原式類型二、最短路線【解惑】如圖是一張道路圖，每段路上的數(shù)字是小王走這段路所需的分鐘數(shù)。請問小王從A出發(fā)走到B，最快需要__________分鐘?！敬鸢浮?8【分析】從A出發(fā)走到B，如果不經(jīng)過中間點(diǎn)，至少需要14＋5＋17＋12＝48分鐘，如果經(jīng)過中間點(diǎn)，那么到達(dá)中間點(diǎn)至少需要15＋11＝26分鐘從中間點(diǎn)到B點(diǎn)至少需要10＋12＝22分鐘，總共48分鐘?！驹斀狻坎唤?jīng)過中間點(diǎn)：14＋5＋17＋12＝48（分鐘）經(jīng)過中間點(diǎn)：15＋11＋10＋12＝48（分鐘）所以最快需要48分鐘?！军c(diǎn)睛】本題考查的是最短路線的問題，如果有不同的走法，可以先確定每種情況下的最短路線，再進(jìn)行比較?！救跁炌ā?．如圖所示，有一只螞蟻站在正方體某條棱的A處，它想盡快地游覽完正方體的各個(gè)面，然后回到A處，請問這只螞蟻要怎樣走才能使通過的路程最短？【答案】見詳解．【分析】要選擇最短的路程，螞蟻應(yīng)該盡量避開頂點(diǎn)．考慮到兩點(diǎn)之間直線最短，應(yīng)該想辦法將正方體展開在一個(gè)平面上，由于正方體的平面展開圖有許多種，所以要選擇最合適的．【詳解】將正方體的六個(gè)面記為前、后、左、右、上、下．將這個(gè)正方體展開成平面如圖所示．由A點(diǎn)在前面與上面的棱的某處，可以確定A和的位置．連接，即為螞蟻該選擇的最短路線．同時(shí)從上面右圖也可以看出，螞蟻選擇的路線是與棱成45°角的直線，我們將平面圖再還原為螞蟻所能選擇的最短路線．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是要選擇正方體合適的平面展開圖．事實(shí)上，將問題擺在平面上是一個(gè)最基本的思想，但是如何選取合適的平面展開圖是關(guān)鍵．2．下圖是某城市的道路圖，每段路旁標(biāo)注的數(shù)字表示走完這段路所需用的分鐘數(shù)（單位：分鐘）。郵遞員從A點(diǎn)沿道路到達(dá)B點(diǎn)至少要經(jīng)過多長時(shí)間？【答案】18分鐘【分析】如圖所示，從A到B的路線比較多，可以兩兩比較，舍棄時(shí)間較長的路線，留下時(shí)間較短的路線，直到最后，確定出最短路線?！驹斀狻亢喆穑喝鐖D，逐步簡化，去掉沒有必要的路線。答：至少需要18分鐘【點(diǎn)睛】本題可以采取對比分析的方法，兩兩比較，留下較優(yōu)解，知道最后尋找出最佳選擇。3．如圖，M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點(diǎn)，若從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N，沿怎么樣的路線路程最短？【答案】側(cè)面展開圖中長方形的一條對角線【詳解】沿圓柱體的母線MN將圓柱的側(cè)面剪開鋪平，得出圓柱的側(cè)面展開圖，從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N點(diǎn)．實(shí)際上是從側(cè)面展開圖的長方形的一個(gè)頂點(diǎn)M到達(dá)不相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)N．而兩點(diǎn)間以線段的長度最短．所以最短路線就是側(cè)面展開圖中長方形的一條對角線，見下圖．4．如圖所示，壁虎在一座油罐的下底邊A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方，油罐上邊緣的B處有一只害蟲，壁虎決定捕捉這只害蟲．為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿著一條螺旋路線，從背后對害蟲進(jìn)行突然襲擊．請問：壁虎沿著螺旋線至少要爬行多少米才能捕到害蟲？【答案】13米【分析】為了找到最短路線，我們可以把圓柱的側(cè)面沿AB剪開，展成一個(gè)平面（如圖5b所示），在一個(gè)平面上兩點(diǎn)間以直線段距離最短，因此連接AB，即為最短路線．【詳解】將圓柱的側(cè)面沿AB剪開，展成如圖5b）所示的平面，連接AB即為最短路線，并且BC=5米，答：壁虎至少要爬行13米才能抓到害蟲．5．有A、B兩個(gè)村莊，分別在一條河的兩岸，如圖所示，現(xiàn)在要在小河上架一座木橋，使它與河岸垂直．現(xiàn)在請你選擇最合適的架橋地點(diǎn)，使A、B兩上村莊之間的路最近．【答案】見詳解．【分析】由于橋與河岸互相垂直，所以最短肯定是一和折線，要直接找出這條折線很困難，因此要想辦法反折線化為直線．由于橋的長度相當(dāng)于河寬，而河寬又是一個(gè)定值，所以橋長是一個(gè)定值．因此，從A點(diǎn)作河岸的垂線，并在垂線上取一段長度與河寬相等，就相當(dāng)于把河寬預(yù)先扣除了，從而將折線問題轉(zhuǎn)化為直線問題．【詳解】如下圖，過A點(diǎn)作河岸的垂線，在垂線上截取AC的長為河寬，連接BC交右河岸于點(diǎn)D，作DE垂直于河岸，交左河岸于點(diǎn)E，連接AE．則D、E兩點(diǎn)就是使兩村莊行程最短的架橋地點(diǎn)，即兩村莊的最短路程是AE+ED+DB．【點(diǎn)睛】巧妙地運(yùn)用平移的思想，通過平移將橋的長度扣除了，從而化折線為直線．6．有一個(gè)圓錐如圖所示，A、B在同一條母線上，B為AO的中點(diǎn)，試求以A為起點(diǎn)，以B為終點(diǎn)且繞圓錐側(cè)面一周的最短路線．【答案】見詳解．【分析】圓錐的側(cè)面可展為一個(gè)平面圖形（如下圖所示），其中若將OA、粘合起來，恰為題中的圓錐，并且B與重合．從而在扇形中是A點(diǎn)與點(diǎn)的最短路程．【詳解】將圓錐面沿母線AO剪開，得到下圖中的扇形其中A點(diǎn)與，B點(diǎn)與點(diǎn)在母線AO分別表示同一個(gè)點(diǎn)（即A與，B與在圓錐上是重合的）．在扇形中連接，再將扇形還原成圓錐：則曲線AB即為所求的最短路線．7．古希臘有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．他精通數(shù)學(xué)、物理，聰慧過人．有一天，一位將軍向他請教一個(gè)問題：如圖16﹣3，將軍從甲地騎馬出發(fā)，要到河邊讓馬飲水，然后再回到乙地的馬棚，為了使走的路線最短，應(yīng)該讓馬在什么地方飲水？【答案】飲馬處的C點(diǎn)如圖所示．【詳解】試題分析：根據(jù)：在直線L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過軸對稱來確定．作出點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A′，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接A′B與MN的交點(diǎn)即為飲馬處C．解：飲馬處的C點(diǎn)如圖所示．點(diǎn)評：本題考查了軸對稱確定最短路線問題，此類問題理論依據(jù)是線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等和三角形的任意兩邊之和大于第三邊．類型三、有趣規(guī)律【解惑】“？”處的圖形是哪一個(gè)？（

）A． B．C． D．E．【答案】D【分析】先判斷外面大直角的方向，依次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，可以確定是B或D，里面小直角依次是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度，據(jù)此確定應(yīng)該是D選項(xiàng)?！驹斀狻客饷娲笾苯且来雾槙r(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，里面小直角依次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度；故答案選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查的是圖形找規(guī)律的問題，可以從圖形變換這個(gè)角度進(jìn)行分析。【融會貫通】1．“？”處是（

）。A． B．C． D．E．【答案】A【分析】每一行、每一列都只有一個(gè)圓，一個(gè)正方形，一個(gè)三角形，首先確定形狀是圓，然后每一行的“眼睛”有兩個(gè)是圓，一個(gè)是線，據(jù)此做出選擇?！驹斀狻俊?？”處應(yīng)該是圓形，眼睛是線狀；故答案選A?！军c(diǎn)睛】本題考查的是圖形找規(guī)律的問題，從圖案的形狀、嘴巴、眼睛的形狀入手分析是解題的關(guān)鍵。2．如圖，下面每個(gè)圖中有多少個(gè)白色小正方形和多少個(gè)灰色小正方形？（1）把下面的表格補(bǔ)充完整．第1個(gè)圖第2個(gè)圖第3個(gè)圖第4個(gè)圖白色12灰色810（2）照這樣接著畫下去，第6個(gè)圖中有_____個(gè)白色小正方形和_____個(gè)灰色小正方形；（3）想一想：照這樣的規(guī)律，第n個(gè)圖中有_____個(gè)白色小正方形和_____個(gè)灰色小正方形；（4）照這樣的規(guī)律，如果某個(gè)圖中灰色小正方形有30個(gè)，那么白色小正方形有_____個(gè)，它是第_____個(gè)圖．【答案】341214618n2n+61212【詳解】（1）觀察可知，第1個(gè)圖有1個(gè)白色小正方形和8個(gè)灰色小正方形，第2個(gè)圖有2個(gè)白色小正方形和10個(gè)灰色小正方形，第3個(gè)圖有3個(gè)白色小正方形和12個(gè)灰色小正方形，第4個(gè)圖有4個(gè)白色小正方形和14個(gè)灰色小正方形．（2）根據(jù)上題可推出第6個(gè)圖中有6個(gè)白色小正方形和18個(gè)灰色小正方形；（3）第n個(gè)圖中有n個(gè)白色小正方形和2n+6個(gè)灰色小正方形；（4）2n+6＝302n＝30﹣62n＝24n＝24÷2n＝12故答案為（1）3，4，12，14；（2）6，18：；（3）n，2n+6；（4）12，123．用同樣大小的正方形按下列規(guī)律擺放，將重疊部分涂上顏色，下面的圖案中，第n個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)是________.【答案】4n-1

【分析】根據(jù)題意可得：第1個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)4×1?1=3個(gè)，第2個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)4×2?1=7個(gè)，……，第n個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)4×n?1個(gè)，據(jù)此解答.【詳解】根據(jù)分析可知，第n個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)是：4n-1.故答案為4n-1.4．將下圖左邊的大三角形紙板剪3刀,得到4個(gè)大小相同的小三角形紙板(第一次操作),見下圖中間.再將每個(gè)小三角形紙板剪3刀,得到16個(gè)大小相同的更小的三角形紙板(第二次操作),見下圖右邊.這樣繼續(xù)操作下去,完成前六次操作共剪了________刀.【答案】4095【詳解】略5．探索：如圖，外層正方形邊長是5，往里第二、三、四、五層各小正方形邊長依次是4、3、2、1，觀察圖形，完成下列問題；(1)判斷大小關(guān)系：13+23+33+43+53________（1+2+3+4+5）2；(2)結(jié)合圖形，證明你（1）中的判斷．猜想：13+23+33+…+n3="________"．【答案】=（1+2+3+…+n）2【分析】（1）通過計(jì)算判斷大?。?）根據(jù)所給圖形的面積證明（1）的判斷．（3）根據(jù)以上兩個(gè)題的計(jì)算和驗(yàn)證結(jié)論來推導(dǎo)．【詳解】解：（1）13+23+33+43+53=1+8+27+64+125=225；（1+2+3+4+5）2=152=225；所以13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2．（2）結(jié)合圖形：大正方形的面積等于所有小正方形的面積之和為：52×20+42×16+32×12+22×8+12×4，=52×5×4+42×4×4+32×3×4+22×2×4+12×1×4，=53×4+43×4+33×4+23×4+13×4，=（53+43+33+23+13）×4；同時(shí)，大正方形的邊長為：（1+2+3+4+5）×2，所以面積為：[1+2+3+4+5）×2]×[1+2+3+4+5）×2]，=[（1+2+3+4+5）×2]2=（1+2+3+4+5）2×22，=（1+2+3+4+5）2×4；所以：（53+43+33+23+13）×4=（1+2+3+4+5）2×4；即：13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2．（3）由以上結(jié)論猜想得出：13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2．故答案為（1）=；猜想：（1+2+3+…+n）2．6．有一串分?jǐn)?shù)，，，，，，，，，,，，…，這串分?jǐn)?shù)從左往右數(shù)，第一個(gè)在第________個(gè)，第二個(gè)在第________個(gè)．【答案】6977

【分析】分母是1的分?jǐn)?shù)有1個(gè)，分子是1；分母是2的分?jǐn)?shù)有3個(gè)，分子是1，2，1；分母是3的分?jǐn)?shù)有5個(gè)，分子是1，2，3，2，1；分母是4的分?jǐn)?shù)有7個(gè)；分子是1，2，3，4，3，2，1．分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)分別是1，3，5，7…，當(dāng)分母是n時(shí)有2n﹣1個(gè)分?jǐn)?shù)；由此求出從分母是1的分?jǐn)?shù)到分母是8的分?jǐn)?shù)一共有多少個(gè)；分子是自然數(shù)，先從1增加，到和分母相同時(shí)再減少到1；因此在這個(gè)數(shù)列中應(yīng)該有2個(gè)，分別求出即可．【詳解】分母是8的分?jǐn)?shù)一共有：2×8﹣1=15（個(gè)）；從分母是1的分?jǐn)?shù)到分母是8的分?jǐn)?shù)一共：1+3+5+7+…+15=（1+15）×8÷2=16×8÷2=64（個(gè)）；第一個(gè)是第65個(gè)數(shù)，第一個(gè)就是第64+5=69個(gè)數(shù)；第二個(gè)就是第64+9+4=77個(gè)數(shù)．故答案為69，77．7．觀察以下的一列數(shù)，依次是11，17，23，29，35，….若從第n個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都大于2017，則_______________.【答案】336【詳解】略類型四、絕對值的“1與-1”化簡【解惑】已知，，都是非零有理數(shù)，滿足，令，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，，都是非零有理數(shù)，滿足可知，，為兩正一負(fù)或兩負(fù)一正，按兩種情況分別討論代數(shù)式的可能取值，再求所有可能的值的情況即可；【詳解】∵，，都是非零有理數(shù)，滿足，∴，，為兩正一負(fù)或兩負(fù)一正，當(dāng)，，為兩正一負(fù)時(shí)，，，則；當(dāng)，，為兩負(fù)一正時(shí)，，，∴，綜上所述，的所有可能值為，則；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值的化簡與求值、非零數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn)，注意分類討論字母的取值，不要漏解．【融會貫通】1．（2022·浙江·九年級自主招生）若關(guān)于x的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解，則化簡的結(jié)果是（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】C【分析】由可化簡得,在化簡的過程中判斷的符號，從而對題中的絕對值進(jìn)行化簡．【詳解】由有四個(gè)實(shí)數(shù)解，可知a、b均不為0，且，故，∴，化簡得可知，∴，∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對值的相關(guān)計(jì)算，理解絕對值方程四個(gè)解的意義是難點(diǎn)，會判斷絕對值符號中的每個(gè)代數(shù)式的正負(fù)是化簡的關(guān)鍵．2．（2022秋·全國·七年級期末）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不確定【答案】C【分析】根據(jù)絕對值的意義，先求出a的值，然后進(jìn)行化簡，得到，則，，再進(jìn)行化簡計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，∴當(dāng)時(shí)，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴∴=====0；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的意義，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值的意義，正確的求出，，．3．（2020秋·江西宜春·七年級宜春市第三中學(xué)?？计谥校┤簦?，則______．【答案】-2或0或4【分析】對a和b，以及的正負(fù)進(jìn)行分類討論，然后去絕對值求出對應(yīng)的值．【詳解】解：①當(dāng)，時(shí)，，，原式；②當(dāng)，時(shí)，，，原式；③當(dāng)，，且時(shí)，，原式；④當(dāng)，，且時(shí)，，原式；⑤當(dāng)，，且時(shí)，，原式；⑥當(dāng)，，且時(shí)，，原式．故答案是：-2或0或4．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想去化簡絕對值．4．（2018秋·天津南開·七年級南開中學(xué)校考階段練習(xí)）若，則_______．【答案】2或-2.【分析】對a、b、c中正數(shù)的個(gè)數(shù)進(jìn)行討論，即可求解．【詳解】解：當(dāng)a、b、c中沒有負(fù)數(shù)時(shí)，都是正數(shù)，則原式=1+1+1-1=2；當(dāng)a、b、c中只有一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)a是負(fù)數(shù)，則原式=-1+1+1+1=2；當(dāng)a、b、c中有2個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)a、b是負(fù)數(shù)，則原式=-1-1+1-1=-2；當(dāng)a、b、c都是負(fù)數(shù)時(shí)，則原式=-1-1-1+1=-2，總是代數(shù)式的值是2或-2，故答案為：2或-2.【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的除法法則和乘法法則，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江麗水·七年級校聯(lián)考期中）（《學(xué)霸養(yǎng)成卷》改編）如果，那么的值是______．【答案】0或2【分析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合可知，a，b，c中至少有2個(gè)負(fù)數(shù)，再分情況討論即可求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，同理可得，∵∴a，b，c中至少有2個(gè)負(fù)數(shù)①若a，b，c中有2個(gè)負(fù)數(shù)，1個(gè)正數(shù)則，三個(gè)數(shù)中有2個(gè)負(fù)數(shù)，1個(gè)正數(shù)此時(shí)②若a，b，c中有3個(gè)負(fù)數(shù)，則，三個(gè)數(shù)都大于0此時(shí)綜上，的值為0或2故答案為：0或2．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值的化簡，解題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．6．（2019秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）已知a、b、c滿足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc<0，若，且，則3m2n+4mn2=____.【答案】10.【分析】根據(jù)(a+b)(b+c)(c+a)=0，可知a、b、c中有2個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，另一個(gè)為正數(shù)，故，由且，可求出n的值，最終即可得解．【詳解】∵(a+b)(b+c)(c+a)=0∴a、b、c中有2個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，另一個(gè)為正數(shù)∴∵且∴n=-2所以【點(diǎn)睛】本題屬于數(shù)軸綜合性題目．7．（2018·河南安陽·七年級校聯(lián)考期中）如果abc＜0，則++=_____．【答案】1或﹣3【分析】已知abc＜0，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則可得a、b、c有一個(gè)負(fù)數(shù)或a、b、c有三個(gè)負(fù)數(shù)，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)解答即可.【詳解】∵abc＜0∴a，b，c有一個(gè)負(fù)數(shù)，或a，b，c有三個(gè)負(fù)數(shù)當(dāng)a，b，c有一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，則++=1a，b，c有三個(gè)負(fù)數(shù)則++=﹣3故答案為：1或﹣3【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法法則及絕對值的性質(zhì)，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則得到a、b、c有一個(gè)負(fù)數(shù)或a、b、c有三個(gè)負(fù)數(shù)是解決問題的關(guān)鍵.8．（2022秋·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）分類討論是重要的數(shù)學(xué)方法，如化簡，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．求解下列問題：(1)當(dāng)時(shí)，值為______，當(dāng)時(shí)，的值為______，當(dāng)x為不等于0的有理數(shù)時(shí)，的值為______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，這2023個(gè)數(shù)都是不等于0的有理數(shù)，若這2023個(gè)數(shù)中有n個(gè)正數(shù)，，則m的值為______（請用含n的式子表示）【答案】(1)，1，(2)或3(3)【分析】（1）根據(jù)絕對值的定義求解即可；（2）已知，，所以，，一正兩負(fù)，根據(jù)（1）的結(jié)論解即可；（3）個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)有個(gè)，式子中有個(gè)正1，個(gè)，相加得答案．【詳解】（1）解：，，，故答案為：，1，．（2），，，，，的正負(fù)性可能為：①當(dāng)為正數(shù)，，為負(fù)數(shù)時(shí)：原式；②當(dāng)為正數(shù)，，為負(fù)數(shù)時(shí)，原式；③當(dāng)為正數(shù)，，為負(fù)數(shù)時(shí)，原式，原式或3．（3）∵有個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字的規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是一個(gè)不等于0的數(shù)除以它的絕對值等于1或，將題目轉(zhuǎn)化為由幾個(gè)正1和幾個(gè)的問題．9．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）（1）數(shù)學(xué)小組遇到這樣一個(gè)問題：若a，b均不為零，求的值．請補(bǔ)充以下解答過程（直接填空）①當(dāng)兩個(gè)字母a，b中有2個(gè)正，0個(gè)負(fù)時(shí)，x=；②當(dāng)兩個(gè)字母a，b中有1個(gè)正，1個(gè)負(fù)時(shí)，x=；③當(dāng)兩個(gè)字母a，b中有0個(gè)正，2個(gè)負(fù)時(shí)，x=；綜上，當(dāng)a，b均不為零，求x的值為．（2）請仿照解答過程完成下列問題：①若a，b，c均不為零，求的值．②若a，b，c均不為零，且a+b+c=0，直接寫出代數(shù)式的值．【答案】（1）①2，②0，③-2，2或0或-2；（2）①1或3或-3或-1；②-1或1【分析】（1）①根據(jù)a、b的符合化簡絕對值即可得到答案；②設(shè)a是正數(shù)，b是負(fù)數(shù)，化簡絕對值即可得到答案；③根據(jù)a、b的符合化簡絕對值即可得到答案；綜合上面三個(gè)的結(jié)果得到答案；（2）①分四種情況化簡絕對值即可得到答案；②根據(jù)a、b、c均不為零，分兩種情況求出答案即可.【詳解】（1）①∵a、b都是正數(shù)，∴=a，=b，∴=1+1=2，故答案為：2；②設(shè)a是負(fù)數(shù)，b是正數(shù)，∴=-a，=b，∴=-1+1=0，故答案為：0；③∵a、b都是負(fù)數(shù)，∴=-a，=-b，∴=-1-1=-2，故答案為：-2；綜上，當(dāng)a，b均不為零，求x的值為2或0或-2；（2）①由題意可得：a、b、c的符號分為四種情況：當(dāng)a、b、c都是正數(shù)時(shí)，=1+1-1=1，當(dāng)a、b、c為兩正一負(fù)且a、b為正c為負(fù)時(shí)，=1+1+1=3，當(dāng)a、b、c為一正兩負(fù)且a、b為負(fù)c為正時(shí)，=-1-1-1=-3,當(dāng)a、b、c都是負(fù)數(shù)時(shí)，=-1-1+1=-1，綜上，的值為1或3或-3,或-1；②∵a，b，c均不為零，且a+b+c=0，∴=，∴當(dāng)a、b、c為兩正一負(fù)時(shí)，=-1-1+1=-1，當(dāng)a、b、c為一正兩負(fù)=-1+1+1=1，綜上，的值為-1或1.【點(diǎn)睛】此題考查絕對值的性質(zhì)，根據(jù)絕對值的符號化簡絕對值，熟記性質(zhì)特征是解題的關(guān)鍵.10．（2021秋·江蘇南通·七年級啟東市長江中學(xué)?？计谥校┰诮鉀Q數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的探究問題.【提出問題】三個(gè)有理數(shù)a，b，c，滿足abc>0，求的值.【解決問題】解：由題意得：a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù).①當(dāng)a，b，c，都是正數(shù)，即a>0，b>0，c>0時(shí)，則==1+1+1=3；②當(dāng)a，b，c有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)位負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a>0，b<0，c<0，則==1?1?1=?1；所以的值為3或?1.【探究】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：(1)三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足abc<0，求的值；(2)已知=9，=4，且a<b，求a?2b的值.【答案】(1)-3或1；(2)?17或?1.【分析】（1）按照題目內(nèi)的求值方式，分類討論，即可解答.（2）根據(jù)=9，=4分別求出a、b的值，再根據(jù)a<b，分情況討論，分別求出a?2b的值即可.【詳解】(1)∵abc<0，∴a，b，c都是負(fù)數(shù)或其中一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)，①當(dāng)a，b，c都是負(fù)數(shù)，即a<0，b<0，c<0時(shí)，則原式=?1?1?1=?3；②a，b，c有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)時(shí)，不妨設(shè)a<0，b>0，c>0，則原式=?1+1+1=1；(2)∵=9，=4∴a=9，b=±4∵a<b，∴當(dāng)a=-9，b=4時(shí)，a?2b=?9?2×4=-17，當(dāng)a=-9，b=-4時(shí)，a?2b=?9?2×(-4)=-1，【點(diǎn)睛】本題考查絕對值的定義，以及分類討論思想的運(yùn)用，熟練掌握絕對值的定義是解題關(guān)鍵.11．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，現(xiàn)在我們可以用這個(gè)結(jié)論來解決下面問題：（1）已知，是有理數(shù),當(dāng)時(shí)，求的值；（2）已知，，是有理數(shù)，當(dāng)，求的值；（3）已知，，是有理數(shù)，，，求的值.【答案】（1）0或±2；（2）±1或±3；（3）-1.【分析】（1）分3種情況討論即可求解；（2）分4種情況討論即可求解；（3）根據(jù)已知得到b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c兩正一負(fù)，進(jìn)一步計(jì)算即可求解．【詳解】解：（1）已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)ab≠0時(shí)，①a＜0，b＜0，②a＞0，b＞0，③a、b異號，故=±2或0；（2）已知a，b，c是有理數(shù)，當(dāng)abc≠0時(shí)，①a＜0，b＜0，c＜0，②a＞0，b＞0，c＞0，③a、b、c兩負(fù)一正，④a、b、c兩正一負(fù)，故=±1或±3；（3）已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c=0，abc＜0，則b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c兩正一負(fù)，則=-1-1+1=-1故答案為±2或0；±1或±3；-1．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的除法，以及絕對值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．類型五、絕對值的最值【解惑】同學(xué)們都知道，表示5與1差的絕對值，也可以表示數(shù)軸上5和1這兩點(diǎn)間的距離；表示3與之差的絕對值，實(shí)際上也可理解為3與在數(shù)軸上所對的兩點(diǎn)之間的距離；自然地，對進(jìn)行變式得，同樣可以表示3與兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：(1)__________；(2)表示與__________之間的距離；表示與__________之間的距離；(3)當(dāng)時(shí)，可取整數(shù)__________．（寫出一個(gè)符合條件的整數(shù)即可）(4)由以上探索，結(jié)合數(shù)軸猜想：對于任何有理數(shù)，的最小值為__________．【答案】(1)5(2)2，(3)2（答案不唯一）(4)10【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的表示方法即可解答；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的表示方法即可解答；（3）利用絕對值及數(shù)軸求解即可；（4）根據(jù)數(shù)軸及絕對值，即可解答．【詳解】（1）解：表示數(shù)軸上表示3的點(diǎn)到表示的點(diǎn)的距離，即為5．故答案為5．（2）解：表示與2之間的距離；表示與之間的距離．故答案為：2，．（3）解：∵表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)到2和所對應(yīng)的點(diǎn)的距離之和為5，∴當(dāng)x在與2之間的線段上（即），∴可取整數(shù)．故答案為：2（答案不唯一）．（4）解：∵理解為：在數(shù)軸上表示x到和6的距離之和，∴當(dāng)x在與6之間的線段上（即）時(shí)，即的值有最小值，最小值為．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的加減、數(shù)軸、絕對值等知識點(diǎn)，掌握整式加減、去絕對值符號以及數(shù)軸的特點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．【融會貫通】1．（2022春·安徽滁州·七年級統(tǒng)考期中）閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示和2兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)之間的距離是；(2)數(shù)軸上表示x和1的兩點(diǎn)之間的距離為5，則x表示的數(shù)為；(3)若x表示一個(gè)有理數(shù)，則有最小值嗎？若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由．【答案】(1)5，(2)或6(3)8【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式可得答案；（2）由數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式列方程，即可解得答案；（3）分三種情況去絕對值，即可得到的最小值．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示和2兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是；（2）解：根據(jù)題意得，或，解得或；（3）解：有最小值，理由如下：當(dāng)時(shí)，，，，即此時(shí)大于8；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，，即此時(shí)大于8；綜上所述，的最小值為8．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，絕對值化簡，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能靈活運(yùn)用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離解決問題．2．（2022秋·山東青島·七年級青島大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．我們知道的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是說表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應(yīng)點(diǎn)之間的距離．提出問題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別記為點(diǎn)A和點(diǎn)B，AB兩點(diǎn)之間的距離記為，那么與有理數(shù)a，b有怎樣的關(guān)系？探究問題：探究一：如果A，B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)，不妨假設(shè)A點(diǎn)在原點(diǎn)，即a＝0．當(dāng)b＝2時(shí)，，如圖1所示；當(dāng)b＝－3時(shí)，，如圖2所示；由此可以推斷當(dāng)b＝n時(shí)，______．探究二：如果A，B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)，即，．（1）當(dāng)A，B兩點(diǎn)都在原點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如圖3所示：；（2）當(dāng)A，B兩點(diǎn)都在原點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖4所示：；（3）當(dāng)A，B兩點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè)時(shí)，如圖5所示，請你仿照上述探究過程，寫出A，B兩點(diǎn)之間的距離______．解決問題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別記為點(diǎn)A和點(diǎn)B，AB兩點(diǎn)之間的距離記為，那么______．（用含有a，b的式子表示）實(shí)際應(yīng)用：（1）數(shù)軸上，表示有理數(shù)－6和－1的兩點(diǎn)之間的距離是______；（2）數(shù)軸上，表示x和2的兩點(diǎn)P和Q之間的距離是5，則x＝______．拓展延伸：結(jié)合數(shù)軸回答下列問題：（1）的最小值是______；（2）的最大值是______．【答案】探究一：n；探究二（2）；（3）；解決問題：；實(shí)際應(yīng)用（1）5；（2）7或；拓展延伸（1）4；（2）9【分析】探究一：根據(jù)絕對值的概念可得；探究二（2）根據(jù)絕對值的概念計(jì)算即可；（3）根據(jù)絕對值的概念計(jì)算即可；解決問題：根據(jù)絕對值的概念計(jì)算即可；實(shí)際應(yīng)用（1）根據(jù)絕對值的概念計(jì)算即可；（2）根據(jù)絕對值的概念列方程解答即可；拓展延伸（1）根據(jù)絕對值的概念計(jì)算即可；（2）根據(jù)絕對值的概念計(jì)算即可．【詳解】探究一：當(dāng)b＝n時(shí)，，故答案為：n；探究二：（2），故答案為：；（3），故答案為：；解決問題：，故答案為：；實(shí)際應(yīng)用（1）有理數(shù)－6和－1的兩點(diǎn)之間的距離是，故答案為：5；（2）∵表示x和2的兩點(diǎn)P和Q之間的距離是5，∴，∴或，得或，故答案為：7或；拓展延伸（1）從數(shù)軸上可以看出，當(dāng)x位于到1之間時(shí)它們的距離和最小，最小值為4，∴的最小值是4，故答案為：4；（2）從數(shù)軸上可以看出，當(dāng)x位于到5之間時(shí)它們的距離差最大，最大值為9，∴的最大值是9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】此題考查了絕對值概念的理解，解題的關(guān)鍵是要注意負(fù)數(shù)絕對值的計(jì)算方法．3．（2022秋·江蘇蘇州·七年級?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示3和6兩點(diǎn)之間的距離是______，數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是______．(2)數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)之間的距離表示為______，數(shù)軸上表示x和7的兩點(diǎn)之間的距離表示為______．(3)若x表示一個(gè)有理數(shù)，則的最小值______．(4)若x表示一個(gè)有理數(shù)，且，則滿足條件的所有整數(shù)x是______．(5)求使式子有最小值的有理數(shù)x，以及這個(gè)最小值．【答案】(1)3，6(2)，(3)6(4)或0或1或2或3或4(5)7【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的求解方法列式計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的求解方法列式計(jì)算即可求解；（3）根據(jù)幾何意義是：數(shù)軸上x到2和的距離和，可得結(jié)果；（4）根據(jù)幾何意義是：數(shù)軸上x到和4的距離和為5，可得結(jié)果；（5）根據(jù)幾何意義是：數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示，0，5三點(diǎn)的距離和，可得結(jié)果．【詳解】（1）解：，．故答案為：3，6．（2）由點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離可知：數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)之間的距離表示為，數(shù)軸上表示x和7的兩點(diǎn)之間的距離表示為．故答案為：，．（3）幾何意義是：數(shù)軸上x到2和的距離和，所以只有當(dāng)時(shí)，才能取到最小值，為6．故答案為：6；（4）可以看作數(shù)軸上x到和4的距離和為5，所以只有當(dāng)時(shí)，方程才成立，又因?yàn)閤是整數(shù)，所以滿足條件的所有整數(shù)x是或0或1或2或3或4．故答案為：或0或1或2或3或4；（5）看作是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示，0，5三點(diǎn)的距離和，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值，為7．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的表示方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·山西朔州·七年級校考期末）閱讀與思考：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是(2)數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)之間的距離表示為；(3)七年級研究性學(xué)習(xí)小組在數(shù)學(xué)老師指導(dǎo)下，對式子進(jìn)行探究：①請你在草稿紙上畫出數(shù)軸，當(dāng)表示數(shù)x的點(diǎn)在與4之間移動時(shí)，的值總是一個(gè)固定的值為②請你畫出數(shù)軸，探究：是否存在數(shù)x，使？如果存在，則在數(shù)軸上表示出來，并寫出x的值；如果不存在，簡要說明理由．【答案】(1)3，4(2)(3)①7；②存在，數(shù)軸見解析，x為5或【分析】（1）（2）根據(jù)數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離的表達(dá)式計(jì)算出絕對值；（3）①先化簡絕對值，然后合并同類項(xiàng)即可；②分為和兩種情況討論．【詳解】（1）解：根據(jù)題意知：2和5兩點(diǎn)之間的距離是，1和的兩點(diǎn)之間的距離是，（2）x和的兩點(diǎn)之間的距離表示為；（3）①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，．解得：．∴或．即表示數(shù)軸上到4和距離之和為9，這樣的x值為5或．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是絕對值的定義和化簡，根據(jù)題意找出數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間的距離公式是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·新疆烏魯木齊·七年級烏魯木齊市第二十三中學(xué)?？计谀┫乳喿x，后探究相關(guān)的問題．【閱讀】表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；可以看做，表示5與的差的絕對值，也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．(1)如圖，先在數(shù)軸上畫出表示點(diǎn)4.5的相反數(shù)的點(diǎn)，再把點(diǎn)A向左移動1.5個(gè)單位，得到點(diǎn)，則點(diǎn)和點(diǎn)表示的數(shù)分別為_______和_______，，兩點(diǎn)間的距離是______；(2)若點(diǎn)A表示的整數(shù)為，則當(dāng)為_______時(shí)，與的值相等；(3)要使代數(shù)式取最小值時(shí)，相應(yīng)的的取值范圍是________．【答案】(1)圖見解析；；3；7.5(2)(3)【分析】（1）先在數(shù)軸上畫出B、C，然后根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式求出即可；（2）根據(jù)題意得到，解絕對值方程即可得到答案；（3）分，和三種情況去絕對值求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，B點(diǎn)表示的數(shù)，C點(diǎn)表示的數(shù)3，的距離是；故答案為：；3；7.5．（2）解：解：由題意得，∴或，∴，故答案為：．（3）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；∴當(dāng)時(shí)，有最小值3，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)