01-02數(shù)學與我們同行、有理數(shù)(原卷版+解析)

01-02數(shù)學與我們同行、有理數(shù)【專題過關】類型一、裂項求和【解惑】觀察下列等式：，，，請將以上三個等式兩邊分別相加得：。（1）猜想并寫出：（

）。（2）（

）。（3）探究并計算：（

）。（4）計算：【融會貫通】1．計算2．________3．4．5．6．7．_____類型二、最短路線【解惑】如圖是一張道路圖，每段路上的數(shù)字是小王走這段路所需的分鐘數(shù)。請問小王從A出發(fā)走到B，最快需要__________分鐘?！救跁炌ā?．如圖所示，有一只螞蟻站在正方體某條棱的A處，它想盡快地游覽完正方體的各個面，然后回到A處，請問這只螞蟻要怎樣走才能使通過的路程最短？2．下圖是某城市的道路圖，每段路旁標注的數(shù)字表示走完這段路所需用的分鐘數(shù)（單位：分鐘）。郵遞員從A點沿道路到達B點至少要經(jīng)過多長時間？3．如圖，M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點，若從M點繞圓柱體的側(cè)面到達N，沿怎么樣的路線路程最短？4．如圖所示，壁虎在一座油罐的下底邊A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方，油罐上邊緣的B處有一只害蟲，壁虎決定捕捉這只害蟲．為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿著一條螺旋路線，從背后對害蟲進行突然襲擊．請問：壁虎沿著螺旋線至少要爬行多少米才能捕到害蟲？5．有A、B兩個村莊，分別在一條河的兩岸，如圖所示，現(xiàn)在要在小河上架一座木橋，使它與河岸垂直．現(xiàn)在請你選擇最合適的架橋地點，使A、B兩上村莊之間的路最近．6．有一個圓錐如圖所示，A、B在同一條母線上，B為AO的中點，試求以A為起點，以B為終點且繞圓錐側(cè)面一周的最短路線．7．古希臘有一位久負盛名的學者，名叫海倫．他精通數(shù)學、物理，聰慧過人．有一天，一位將軍向他請教一個問題：如圖16﹣3，將軍從甲地騎馬出發(fā)，要到河邊讓馬飲水，然后再回到乙地的馬棚，為了使走的路線最短，應該讓馬在什么地方飲水？類型三、有趣規(guī)律【解惑】“？”處的圖形是哪一個？（

）A． B．C． D．E．【融會貫通】1．“？”處是（

）。A． B．C． D．E．2．如圖，下面每個圖中有多少個白色小正方形和多少個灰色小正方形？（1）把下面的表格補充完整．第1個圖第2個圖第3個圖第4個圖白色12灰色810（2）照這樣接著畫下去，第6個圖中有_____個白色小正方形和_____個灰色小正方形；（3）想一想：照這樣的規(guī)律，第n個圖中有_____個白色小正方形和_____個灰色小正方形；（4）照這樣的規(guī)律，如果某個圖中灰色小正方形有30個，那么白色小正方形有_____個，它是第_____個圖．3．用同樣大小的正方形按下列規(guī)律擺放，將重疊部分涂上顏色，下面的圖案中，第n個圖案中正方形的個數(shù)是________.4．將下圖左邊的大三角形紙板剪3刀,得到4個大小相同的小三角形紙板(第一次操作),見下圖中間.再將每個小三角形紙板剪3刀,得到16個大小相同的更小的三角形紙板(第二次操作),見下圖右邊.這樣繼續(xù)操作下去,完成前六次操作共剪了________刀.5．探索：如圖，外層正方形邊長是5，往里第二、三、四、五層各小正方形邊長依次是4、3、2、1，觀察圖形，完成下列問題；(1)判斷大小關系：13+23+33+43+53________（1+2+3+4+5）2；(2)結(jié)合圖形，證明你（1）中的判斷．猜想：13+23+33+…+n3="________"．6．有一串分數(shù)，，，，，，，，，,，，…，這串分數(shù)從左往右數(shù)，第一個在第________個，第二個在第________個．7．觀察以下的一列數(shù)，依次是11，17，23，29，35，….若從第n個數(shù)開始，每個數(shù)都大于2017，則_______________.類型四、絕對值的“1與-1”化簡【解惑】已知，，都是非零有理數(shù)，滿足，令，則的值為（

）A． B． C． D．【融會貫通】1．（2022·浙江·九年級自主招生）若關于x的方程有四個實數(shù)解，則化簡的結(jié)果是（

）A． B．0 C．2 D．42．（2022秋·全國·七年級期末）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不確定3．（2020秋·江西宜春·七年級宜春市第三中學校考期中）若，，則______．4．（2018秋·天津南開·七年級南開中學?？茧A段練習）若，則_______．5．（2022秋·浙江麗水·七年級校聯(lián)考期中）（《學霸養(yǎng)成卷》改編）如果，那么的值是______．6．（2019秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）已知a、b、c滿足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc<0，若，且，則3m2n+4mn2=____.7．（2018·河南安陽·七年級校聯(lián)考期中）如果abc＜0，則++=_____．8．（2022秋·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）分類討論是重要的數(shù)學方法，如化簡，當時，；當時，；當時，．求解下列問題：(1)當時，值為______，當時，的值為______，當x為不等于0的有理數(shù)時，的值為______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，這2023個數(shù)都是不等于0的有理數(shù)，若這2023個數(shù)中有n個正數(shù)，，則m的值為______（請用含n的式子表示）9．（2022秋·全國·七年級專題練習）（1）數(shù)學小組遇到這樣一個問題：若a，b均不為零，求的值．請補充以下解答過程（直接填空）①當兩個字母a，b中有2個正，0個負時，x=；②當兩個字母a，b中有1個正，1個負時，x=；③當兩個字母a，b中有0個正，2個負時，x=；綜上，當a，b均不為零，求x的值為．（2）請仿照解答過程完成下列問題：①若a，b，c均不為零，求的值．②若a，b，c均不為零，且a+b+c=0，直接寫出代數(shù)式的值．10．（2021秋·江蘇南通·七年級啟東市長江中學?？计谥校┰诮鉀Q數(shù)學問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學思想，下面是運用分類討論的數(shù)學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答題目后提出的探究問題.【提出問題】三個有理數(shù)a，b，c，滿足abc>0，求的值.【解決問題】解：由題意得：a，b，c三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù).①當a，b，c，都是正數(shù)，即a>0，b>0，c>0時，則==1+1+1=3；②當a，b，c有一個為正數(shù)，另兩個位負數(shù)時，設a>0，b<0，c<0，則==1?1?1=?1；所以的值為3或?1.【探究】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：(1)三個有理數(shù)a，b，c滿足abc<0，求的值；(2)已知=9，=4，且a<b，求a?2b的值.11．（2023秋·全國·七年級專題練習）閱讀下列材料并解決有關問題：我們知道，所以當時，；當時，，現(xiàn)在我們可以用這個結(jié)論來解決下面問題：（1）已知，是有理數(shù),當時，求的值；（2）已知，，是有理數(shù)，當，求的值；（3）已知，，是有理數(shù)，，，求的值.類型五、絕對值的最值【解惑】同學們都知道，表示5與1差的絕對值，也可以表示數(shù)軸上5和1這兩點間的距離；表示3與之差的絕對值，實際上也可理解為3與在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離；自然地，對進行變式得，同樣可以表示3與兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離．試探索：(1)__________；(2)表示與__________之間的距離；表示與__________之間的距離；(3)當時，可取整數(shù)__________．（寫出一個符合條件的整數(shù)即可）(4)由以上探索，結(jié)合數(shù)軸猜想：對于任何有理數(shù)，的最小值為__________．【融會貫通】1．（2022春·安徽滁州·七年級統(tǒng)考期中）閱讀下面材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示和2兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示x和的兩點之間的距離是；(2)數(shù)軸上表示x和1的兩點之間的距離為5，則x表示的數(shù)為；(3)若x表示一個有理數(shù)，則有最小值嗎？若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由．2．（2022秋·山東青島·七年級青島大學附屬中學?？茧A段練習）我國著名數(shù)學家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的重要思想方法．我們知道的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應的點到原點的距離，也就是說表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應點之間的距離．提出問題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的點分別記為點A和點B，AB兩點之間的距離記為，那么與有理數(shù)a，b有怎樣的關系？探究問題：探究一：如果A，B兩點中有一點在原點，不妨假設A點在原點，即a＝0．當b＝2時，，如圖1所示；當b＝－3時，，如圖2所示；由此可以推斷當b＝n時，______．探究二：如果A，B兩點都不在原點，即，．（1）當A，B兩點都在原點的右側(cè)時，如圖3所示：；（2）當A，B兩點都在原點的左側(cè)時，如圖4所示：；（3）當A，B兩點在原點的兩側(cè)時，如圖5所示，請你仿照上述探究過程，寫出A，B兩點之間的距離______．解決問題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的點分別記為點A和點B，AB兩點之間的距離記為，那么______．（用含有a，b的式子表示）實際應用：（1）數(shù)軸上，表示有理數(shù)－6和－1的兩點之間的距離是______；（2）數(shù)軸上，表示x和2的兩點P和Q之間的距離是5，則x＝______．拓展延伸：結(jié)合數(shù)軸回答下列問題：（1）的最小值是______；（2）的最大值是______．3．（2022秋·江蘇蘇州·七年級?？茧A段練習）數(shù)學實驗室：點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示3和6兩點之間的距離是______，數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是______．(2)數(shù)軸上表示x和的兩點之間的距離表示為______，數(shù)軸上表示x和7的兩點之間的距離表示為______．(3)若x表示一個有理數(shù)，則的最小值______．(4)若x表示一個有理數(shù)，且，則滿足條件的所有整數(shù)x是______．(5)求使式子有最小值的有理數(shù)x，以及這個最小值．4．（2023秋·山西朔州·七年級校考期末）閱讀與思考：點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是(2)數(shù)軸上表示x和的兩點之間的距離表示為；(3)七年級研究性學習小組在數(shù)學老師指導下，對式子進行探究：①請你在草稿紙上畫出數(shù)軸，當表示數(shù)x的點在與4之間移動時，的值總是一個固定的值為②請你畫出數(shù)軸，探究：是否存在數(shù)x，使？如果存在，則在數(shù)軸上表示出來，并寫出x的值；如果不存在，簡要說明理由．5．（2022秋·新疆烏魯木齊·七年級烏魯木齊市第二十三中學?？计谀┫乳喿x，后探究相關的問題．【閱讀】表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離；可以看做，表示5與的差的絕對值，也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離．(1)如圖，先在數(shù)軸上畫出表示點4.5的相反數(shù)的點，再把點A向左移動1.5個單位，得到點，則點和點表示的數(shù)分別為_______和_______，，兩點間的距離是______；(2)若點A表示的整數(shù)為，則當為_______時，與的值相等；(3)要使代數(shù)式取最小值時，相應的的取值范圍是________．6．（2017秋·陜西·七年級階段練習）認真閱讀下面的材料，完成有關問題．材料：在學習絕對值時，老師教過我們絕對值的幾何含義，如表示、在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離；，所以表示、在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離；，所以表示在數(shù)軸上對應的點到原點的距離．一般地，點、點在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，那么點、點之間的距離可表示為．（1）點、、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、、，那么點到點的距離與點到點的距離之和可表示為__________（用含絕對值的式子表示）．（2）利用數(shù)軸探究：①滿足的的取值范圍是__________．②滿足的的所有值是__________．③設，當?shù)闹等≡诓恍∮谇也淮笥诘姆秶鷷r，的值是不變的，而且是的最小值，這個最小值是_____．（3）拓展：①的最小值為__________．②的最小值為__________．③的最小值為__________，此時的取值范圍為__________．類型六、絕對值的方程【解惑】如果，那么（

）A． B．或2 C． D．2【融會貫通】1．（2022秋·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起一一對應的關系，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎．【閱讀】表示3與1的差的絕對值，也可理解為3與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離；可以看作，表示3與的差的絕對值，也可理解為3與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離．【探索】(1)數(shù)軸上表示5與的兩點之間的距離是___________；(2)①若，則x=___________；②若使x所表示的點到表示2和的點的距離之和為5，所有符合條件的整數(shù)的和為___________；【動手折一折】小明在草稿紙上畫了一條數(shù)軸進行操作探究：(3)折疊紙面，若1表示的點和表示的點重合，則4表示的點和___________表示的點重合；(4)折疊紙面，若3表示的點和表示的點重合，①則表示的點和___________表示的點重合；②這時如果A，B（A在B的左側(cè)）兩點之間的距離為且A，B兩點經(jīng)折疊后重合，則點A表示的數(shù)是___________，點B表示的數(shù)是___________；【拓展】(5)若，則x=___________．2．（2022春·七年級單元測試）閱讀以下例題：解方程：，解：①當時，原方程可化為一元一次方程，解這個方程得；②當時，原方程可化為一元一次方程，解這個方程得；③當，即時，原方程可化為，不成立，此時方程無解．所以原方程的解是或．(1)仿照例題解方程：．(2)探究：當b為何值時，方程滿足：①無解；②只有一個解；③有兩個解．3．（2023秋·遼寧鞍山·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答問題：的含義是數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離，即，也就是說，表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對應的點之間的距離；因此可以推斷表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)1對應的點之間的距離．例如，，就是在數(shù)軸上到1的距離為2的點對應的數(shù)，即為或；回答問題：(1)若，則的值是______；(2)利用上述方法解下列方程：①；②4．（2022秋·江蘇·七年級專題練習）解方程：．5．（2022秋·江蘇·七年級專題練習）解方程．6．（2023·全國·九年級專題練習）解方程：．7．（2022秋·江蘇·七年級專題練習）解方程：類型七、數(shù)軸動點求t【解惑】觀察、理解與應用．題目：如圖數(shù)軸上有三點A、B和C，其中A點在處，B點在2處，C點在原點處．(1)，表示的意義是；(2)，，即用字母表示線段長，，猜想：，設P、Q在數(shù)軸上分別表示的數(shù)為和220，則線段；(3)歸納：如果M、N在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為，，則線；(4)應用：若動點P，Q分別從點和2處同時出發(fā)，沿數(shù)軸負方向運動；已知點P的速度是每秒1個單位長度，點Q的速度是每秒2個單位長度，問：①t為2秒時P，Q兩點的距離是多少？（列算式解答）②t為秒時P，Q兩點之間的距離為2？【融會貫通】1．（2023秋·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）已知數(shù)軸上有、、三個點，分別表示有理數(shù)，，，動點從出發(fā)，以每秒個單位的速度向終點移動，設移動時間為秒．(1)當時，點到點的距離______；此時點所表示的數(shù)為______；(2)當點運動到點時，點同時從點出發(fā)，以每秒個單位的速度向點運動，點到達點后也停止運動，則點出發(fā)秒時與點之間的距離______；(3)在（2）的條件下，當點到達點之前，請求出點移動幾秒時恰好與點之間的距離為個單位？2．（2023春·全國·七年級期末）已知數(shù)軸上兩點A、B對應的數(shù)分別為、3，點P為數(shù)軸上一動點，其對應的數(shù)為x．(1)若點P到點A，點B的距離相等，求點P對應的數(shù)；(2)數(shù)軸上是否存在點P，使點P到點A、點B的距離之和為6？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由；(3)點A、點B分別以2個單位長度/分、1個單位長度/分的速度向右運動，同時點P以6個單位長度/分的速度從O點向左運動．當遇到A時，點P立即以同樣的速度向右運動，并不停地往返于點A與點B之間，求當點A與點B重合時，點P所經(jīng)過的總路程是多少？3．（2020秋·四川綿陽·七年級?？茧A段練習）已知數(shù)軸上A、B兩點對應的數(shù)分別為和4，P為數(shù)軸上一點，對應數(shù)為x．(1)請直接寫出P所表示的數(shù)，使P到A點、B點距離的和為10．(2)若點A、點B和點P（點P在原點）同時向左運動，他們的速度分別為每秒1、2、1個（單位長度/秒）．①幾秒中后點P為線段的中點？并求出此時x的值；②是否存在點P，使得點P為線段的三等分點，若存在請求出x的值；若不存在，請說明理由．4．（2022秋·江蘇宿遷·七年級泗陽致遠中學校考階段練習）如圖，在數(shù)軸上點M表示的數(shù)為m，點N表示的數(shù)為n，點M到點N的距離記為MN．我們規(guī)定：MN的大小可以用位于右邊的點表示的數(shù)減去左邊的點表示的數(shù)表示，即．請用上面的知識解答下面的問題：已知，數(shù)軸上四點A、B、C、D所表示的數(shù)分別為、b、c、d，且滿足：，b是最大的負整數(shù)，（C與A不重合）(1)；；；．(2)若將點A向右移動個單位，則移動后的點表示的數(shù)為；（用代數(shù)式表示）(3)試求出點C到點D的距離．(4)若點A以每秒2個單位的速度向左移動，同時B、D點分別以每秒1個單位、4個單位的速度向右移動，運動過程中始終滿足（點C也隨之運動）．設移動時間為t秒．試探索：大小是否會隨著t的變化而改變？請說明理由．5．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，、兩點在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為和6．(1)直接寫出、兩點之間的距離___；(2)若在數(shù)軸上存在一點，使得，求點表示的數(shù)；(3)如圖2，現(xiàn)有動點、，若點從點出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，同時點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，當點到達原點后立即以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，求：當時的運動時間的值．6．（2022秋·吉林松原·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知數(shù)軸上點表示的數(shù)為，點與點距離個單位，且在點的左邊，動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設運動時間為秒．(1)數(shù)軸上點表示的數(shù)為___________，點表示的數(shù)為___________（用含的式子表示）；(2)動點從點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點，同時出發(fā)．①求點運動多少秒追上點？②求點運動多少秒時與點相距個單位？并求出此時點表示的數(shù)．類型八、數(shù)軸動點新定義【解惑】對于數(shù)軸上的點M，線段AB，給出如下定義：P為線段AB上任意一點，如果M，P兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為點M，線段AB的“近距”，記作d1（點M，線段AB）；如果M，P兩點間的距離有最大值，那么稱這個最大值為點M，線段AB的“遠距”，記作d2（點M，線段AB），特別的，若點M與點P重合，則M，P兩點間距離為0，已知點A表示的數(shù)為﹣2，點B表示的數(shù)為3．如圖，若點C表示的數(shù)為5，則d1（點C，線段AB）＝2，d2（點C，線段AB）＝7．(1)若點D表示的數(shù)為﹣3，則d1（點D，線段AB）＝，d2（點D，線段AB）＝；(2)若點E表示數(shù)為x，點F表示數(shù)為x+1．d2（點F，線段AB）是d1（點E，線段AB）的3倍．求x的值．【融會貫通】1．（2021秋·福建福州·七年級校考期末）已知數(shù)軸上三點，若點在點之間且，則稱點是的突點．例如，圖1中，點表示的數(shù)分別為，1,0，，此時，，則點是的突點，點是的突點．(1)如圖，數(shù)軸上點，表示的數(shù)分別為，，若點是的突點，則點表示的數(shù)是______；若點是的突點，則點表示的數(shù)是______；(2)如圖，為數(shù)軸上兩點，它們表示的數(shù)分別為，10，若點向數(shù)軸的負方向以每秒個單位長度運動,，同時點向數(shù)軸的正方向以每秒個單位長度運動，假設運動時間為秒，求使得原點是的突點的值；若不存在，請說明理由．2．（2022秋·浙江寧波·七年級?？计谥校?shù)軸上點A表示，點B表示6，點C表示12，點D表示18．如圖，將數(shù)軸在原點O和點B、C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．在“折線數(shù)軸”上，把兩點所對應的兩數(shù)之差的絕對值叫這兩點間的和諧距離．例如，點A和點D在折線數(shù)軸上的和諧距離為個單位長度．動點M從點A出發(fā)，以4個單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運動，從點O運動到點C期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，過點C后繼續(xù)以原來的速度向終點D運動；點M從點A出發(fā)的同時，點N從點D出發(fā)，一直以3個單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”負方向向終點A運動，其中一點到達終點時，兩點都停止運動．設運動的時間為t秒．(1)當秒時，M、N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為__________；(2)當點M、N都運動到折線段上時，O、M兩點間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；C、N兩點間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；__________時，M、N兩點相遇；(3)當__________時，M、N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度；當__________時，M、O兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離相等．3．（2022秋·廣西南寧·七年級南寧市第四十七中學?？计谥校τ跀?shù)軸上的A，B，C三點，給出如下定義：若其中一個點與另外兩個點的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關系，則稱該點是另外兩個點的“聯(lián)盟點”．例如：數(shù)軸上點A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時點B是點A，C的“聯(lián)盟點”．(1)若點A表示數(shù)，點B表示數(shù)3，下列各數(shù)，，0，1所對應的點分別是，其中是點A，B的“聯(lián)盟點”的是___________；(2)點A表示數(shù)，點B表示數(shù)5，P為數(shù)軸上的一個動點：①若點P在點A的左側(cè)，且點P是點A，B的“聯(lián)盟點”，求此時點P表示的數(shù)；②若點P在點B的右側(cè)，點P，A，B中，有一個點恰好是另外兩個點的“聯(lián)盟點”，求此時點P表示的數(shù)．4．（2022秋·北京朝陽·七年級校考期中）閱讀下列材料：若數(shù)軸上點A、點B表示的數(shù)分別為a，b，則線段的中點表示的數(shù)為．基于此，我們給出如下定義：數(shù)軸上給定兩點A，B以及一條線段，若線段的中點R在線段上（點R能與點P或Q重合），則稱點A與點B關于線段徑向?qū)ΨQ．例：如圖所示，點A，P，Q，B所表示的數(shù)為1，2，5，7，那么線段的中點R所表示的數(shù)為＝4，所以點R在線段上，則點A與點B關于線段徑向?qū)ΨQ．解答下列問題：如圖1，在數(shù)軸上，點O為原點，點A表示的數(shù)為?1，點M表示的數(shù)為2．(1)點B，C分別表示的數(shù)為，4，在B，C兩點中，點______與點A關于線段徑向?qū)ΨQ；(2)點N是數(shù)軸上一個動點，點F表示的數(shù)為6，點A與點F關于線段徑向?qū)ΨQ，求線段長度的最小值，并寫出求解過程；(3)在數(shù)軸上，動點K從表示的點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度向右移動，動點L從表示的點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向右移動．點K和L同時出發(fā)，設移動的時間為t秒（t＞0），若線段上至少存在一點與點A關于線段徑向?qū)ΨQ，則直接寫出t能取到的最小值為______，能取到的最大值為______．5．（2022秋·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期中）閱讀理解：若A、B、C為數(shù)軸上三點，若點C到A的距離是點C到B的距離2倍，我們就稱點C是【A，B】的好點．如圖1，點A表示的數(shù)為﹣1，點B表示的數(shù)為2．表示1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是1，那么點C是【A，B】的好點．(1)知識運用：如圖1，表示0的點D到點A的距離是1，到點B的距離是2，那么點D______【A，B】的好點；（請在橫線上填是或不是）(2)如圖2，M、N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為4，點N所表示的數(shù)為﹣2．數(shù)______所對應的點是【M，N】的好點（寫出所有可能的情況）；(3)拓展提升：如圖3，A、B為數(shù)軸上兩點，點A所表示的數(shù)為﹣20，點B所表示的數(shù)為40．現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點B出發(fā)，以4個單位每秒的速度向左運動，到達點A停止．當經(jīng)過幾秒時，P、A和B中恰有一個點為其余兩點的好點？（寫出所有情況）類型九、數(shù)列求和【解惑】37．（2022秋·湖北十堰·七年級十堰市實驗中學校考階段練習）閱讀材料：求的值．解：令①將等式①兩邊同時乘，得．②②-①，得，即所以．請你根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)計算：(2)已知數(shù)列：，，，，，，①它的第個數(shù)是多少？②求這列數(shù)中前個數(shù)的和．【融會貫通】1.（2020秋·江蘇無錫·七年級校考階段練習）【閱讀】計算的值.令S＝，則3S＝，因此3S－S＝，所以S＝，即S＝＝.依照以上推理，計算：＝__________.2．（2019·寧夏固原·統(tǒng)考一模）根據(jù)下列材料，解答問題．等比數(shù)列求和：概念：對于一列數(shù)a1，a2，a3，…an…（n為正整數(shù)），若從第二個數(shù)開始，每一個數(shù)與前一個數(shù)的比為一定值，即＝q（常數(shù)），那么這一列數(shù)a1，a2，a3，…，an，…成等比數(shù)列，這一常數(shù)q叫做該數(shù)列的公比．例：求等比數(shù)列1，3，32，33，…，3100的和，解：令S＝1+3+32+33+…+3100則3S＝3+32+33+…+3100+3101因此，3S﹣S＝3101﹣1，所以S＝即1+3+32+33…+3100＝仿照例題，等比數(shù)列1，5，52，53，…，52018的和為_____．3．（2022秋·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期中）閱讀材料：求．首先設①，則②，得，即．以上解法，在數(shù)列求和中，我們稱之為“錯位相減法”．請你根據(jù)上面的材料，解決下列問題：(1)．(2)；(3)求的值．4．（2022秋·江蘇淮安·七年級?？茧A段練習）【等比數(shù)列】按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列的一般形式可以寫成：．一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比值等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用表示．如：數(shù)列為等比數(shù)列，其中，公比為．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）等比數(shù)列的公比為，第項是．【公式推導】如果一個數(shù)列，是等比數(shù)列，且公比為，那么根據(jù)定義可得到：．所以，，，（2）由此，請你填空完成等比數(shù)列的通項公式：．【拓廣探究】等比數(shù)列求和公式并不復雜，但是其推導過程——錯位相減法，構(gòu)思精巧、形式奇特．下面是小明為了計算的值，采用的方法：設①，則②，得，∴．【解決問題】（3）請仿照小明的方法求的值．5．（2020秋·江蘇連云港·七年級江蘇省新海高級中學?？计谀╅喿x新知一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示（）．即：在數(shù)列，，，…，．（為正整數(shù)）中，若，，…，則數(shù)列，，，…，．（為正整數(shù)）叫做等比數(shù)列．其中叫數(shù)列的首項，叫第二項，…，叫第項，叫做數(shù)列的公比．例如：數(shù)列1，2，4，8，16，…是等比數(shù)列，公比．計算：求等比數(shù)列1，3，，，…，的和．解：令，則．因此．所以．即．學以致用（1）選擇題：下列數(shù)列屬于等比數(shù)列的是（

）A．1，2，3，4，5

B．2，6，18，21，63C．56，28，14，7，

D．－11，22，－33，44，－55（2）填空題：已知數(shù)列，，，…，是公比為4的等比數(shù)列，若它的首項，則它的第項等于_________．（3）解答題：求等比數(shù)列1，5，，，…前2021項的和．類型十、有理數(shù)中的歸納與規(guī)律【解惑】我們平常用的是十進制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十進制的數(shù)要用10個數(shù)碼：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在計算機中用的是二進制，只有兩個數(shù)碼：0，1．如:二進制中111=1×22+1×21+1相當于十進制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相當于十進制中的27．那么二進制中的1011相當于十進制中的(

)A．9 B．10 C．11 D．12【融會貫通】1．（2022秋·全國·七年級期末）觀察下列各式：1-=，1-=，1-=，根據(jù)上面的等式所反映的規(guī)律（1-）（1-）（1-）=________2．（2022秋·全國·七年級期中）觀察下面算式的演算過程：

……（1）根據(jù)上面的規(guī)律，直接寫出下面結(jié)果：______________．

____________．_________________．（為正整數(shù)）（2）根據(jù)規(guī)律計算：．3．（2019秋·浙江紹興·七年級?？茧A段練習）【概念學習】規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）記作a?，讀作“a的圈n次方”．（1）【初步探究】直接寫出計算結(jié)果：2③=_______，（-）⑤=_______；（2）【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？Ⅰ.試一試：仿照上面的算式，將下列運算結(jié)果直接寫成冪的形式．（﹣3）④=_______；5⑥=_______；(-)⑩=_______．Ⅱ.想一想：將一個非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式等于_______；Ⅲ.

算一算：122÷(-)④×(-2)⑤－(-)⑥÷33.4．（2022·浙江·九年級自主招生）我們已知道：，事實上：（為正整數(shù)）成立，故有：當時，成立．由以上結(jié)論填寫下列代數(shù)式結(jié)果：(1)__________．(2)___________．(3)_____．5．（2022秋·山東青島·七年級統(tǒng)考期中）曹沖稱象是我國歷史上著名的故事，大家都說曹沖聰明．他到底聰明在何處呢？我們都知道，曹沖稱得是石塊而不是大象，并且確信，石塊的質(zhì)量就是大象的體重．曹沖的聰明就在于，他用化歸思想將問題轉(zhuǎn)變了；借助于船這種工具，將大象的體重轉(zhuǎn)變?yōu)橐粔K塊石塊的重量．轉(zhuǎn)變就是化歸的實質(zhì)．化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學思維方式．從字面上看，化歸就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思．例如：我們在七年級數(shù)學上冊第二章中引入“相反數(shù)”這個概念后，正負數(shù)的減法就化歸為已經(jīng)解決的正負數(shù)的加法了；而引入“倒數(shù)”這個概念后，正負數(shù)的除法就化歸為已經(jīng)解決的正負數(shù)的乘法了．下面我們再通過具體實例體會一下化歸思想的運用：數(shù)學問題，計算(其中是正整數(shù)，且，)．探究問題：為解決上面的數(shù)學問題，我們運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數(shù)量關系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究．探究一：計算．第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，……；……第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為，最后空白部分的面積是．根據(jù)第n次分割圖可得等式：．探究二：計算．第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，……，……第n次分別，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為，最后空白部分的面積是．根據(jù)第n次分制圖可得等式：，兩邊同除2，得，探究三：計算．(仿照上述方法，在圖①中只畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并寫出探究過程)解決問題．計算．(在圖②中只畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并完成以下填空)．(1)根據(jù)第n次分割圖可得等式：___________．(2)所以，___________．(3)拓廣應用：計算___________．

01-02數(shù)學與我們同行、有理數(shù)【專題過關】類型一、裂項求和【解惑】觀察下列等式：，，，請將以上三個等式兩邊分別相加得：。（1）猜想并寫出：（

）。（2）（

）。（3）探究并計算：（

）。（4）計算：【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】（1）先根據(jù)題中所給出的等式進行猜想，寫出猜想結(jié)果即可；（2）根據(jù)（1）中的猜想計算出結(jié)果；（3）根據(jù)乘法分配律提取，再計算即可求解；（4）先拆項，再抵消結(jié)果即可求解?！驹斀狻浚?）＝＝【點睛】本題考查的是分數(shù)的混合運算，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關鍵。【融會貫通】1．計算【答案】【詳解】略2．________【答案】【分析】仔細審題，我們會發(fā)現(xiàn)，題干中分母的規(guī)律：；同時很容易發(fā)現(xiàn)是一個等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式我們可得，進而可得：?！驹斀狻吭剑剑剑剑健军c睛】這道題目稍微有點難度，需要先歸納分母的通項，然后利用裂項進行解題，所以同學們應該在記住公式的同時做適當?shù)木C合應用。3．【答案】【詳解】原式4．【答案】【詳解】原式5．【答案】【詳解】原式======6．【答案】【詳解】，，……，，所以原式7．_____【答案】【詳解】所以原式類型二、最短路線【解惑】如圖是一張道路圖，每段路上的數(shù)字是小王走這段路所需的分鐘數(shù)。請問小王從A出發(fā)走到B，最快需要__________分鐘。【答案】48【分析】從A出發(fā)走到B，如果不經(jīng)過中間點，至少需要14＋5＋17＋12＝48分鐘，如果經(jīng)過中間點，那么到達中間點至少需要15＋11＝26分鐘從中間點到B點至少需要10＋12＝22分鐘，總共48分鐘?！驹斀狻坎唤?jīng)過中間點：14＋5＋17＋12＝48（分鐘）經(jīng)過中間點：15＋11＋10＋12＝48（分鐘）所以最快需要48分鐘?！军c睛】本題考查的是最短路線的問題，如果有不同的走法，可以先確定每種情況下的最短路線，再進行比較?！救跁炌ā?．如圖所示，有一只螞蟻站在正方體某條棱的A處，它想盡快地游覽完正方體的各個面，然后回到A處，請問這只螞蟻要怎樣走才能使通過的路程最短？【答案】見詳解．【分析】要選擇最短的路程，螞蟻應該盡量避開頂點．考慮到兩點之間直線最短，應該想辦法將正方體展開在一個平面上，由于正方體的平面展開圖有許多種，所以要選擇最合適的．【詳解】將正方體的六個面記為前、后、左、右、上、下．將這個正方體展開成平面如圖所示．由A點在前面與上面的棱的某處，可以確定A和的位置．連接，即為螞蟻該選擇的最短路線．同時從上面右圖也可以看出，螞蟻選擇的路線是與棱成45°角的直線，我們將平面圖再還原為螞蟻所能選擇的最短路線．【點睛】關鍵是要選擇正方體合適的平面展開圖．事實上，將問題擺在平面上是一個最基本的思想，但是如何選取合適的平面展開圖是關鍵．2．下圖是某城市的道路圖，每段路旁標注的數(shù)字表示走完這段路所需用的分鐘數(shù)（單位：分鐘）。郵遞員從A點沿道路到達B點至少要經(jīng)過多長時間？【答案】18分鐘【分析】如圖所示，從A到B的路線比較多，可以兩兩比較，舍棄時間較長的路線，留下時間較短的路線，直到最后，確定出最短路線。【詳解】簡答：如圖，逐步簡化，去掉沒有必要的路線。答：至少需要18分鐘【點睛】本題可以采取對比分析的方法，兩兩比較，留下較優(yōu)解，知道最后尋找出最佳選擇。3．如圖，M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點，若從M點繞圓柱體的側(cè)面到達N，沿怎么樣的路線路程最短？【答案】側(cè)面展開圖中長方形的一條對角線【詳解】沿圓柱體的母線MN將圓柱的側(cè)面剪開鋪平，得出圓柱的側(cè)面展開圖，從M點繞圓柱體的側(cè)面到達N點．實際上是從側(cè)面展開圖的長方形的一個頂點M到達不相鄰的另一個頂點N．而兩點間以線段的長度最短．所以最短路線就是側(cè)面展開圖中長方形的一條對角線，見下圖．4．如圖所示，壁虎在一座油罐的下底邊A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方，油罐上邊緣的B處有一只害蟲，壁虎決定捕捉這只害蟲．為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿著一條螺旋路線，從背后對害蟲進行突然襲擊．請問：壁虎沿著螺旋線至少要爬行多少米才能捕到害蟲？【答案】13米【分析】為了找到最短路線，我們可以把圓柱的側(cè)面沿AB剪開，展成一個平面（如圖5b所示），在一個平面上兩點間以直線段距離最短，因此連接AB，即為最短路線．【詳解】將圓柱的側(cè)面沿AB剪開，展成如圖5b）所示的平面，連接AB即為最短路線，并且BC=5米，答：壁虎至少要爬行13米才能抓到害蟲．5．有A、B兩個村莊，分別在一條河的兩岸，如圖所示，現(xiàn)在要在小河上架一座木橋，使它與河岸垂直．現(xiàn)在請你選擇最合適的架橋地點，使A、B兩上村莊之間的路最近．【答案】見詳解．【分析】由于橋與河岸互相垂直，所以最短肯定是一和折線，要直接找出這條折線很困難，因此要想辦法反折線化為直線．由于橋的長度相當于河寬，而河寬又是一個定值，所以橋長是一個定值．因此，從A點作河岸的垂線，并在垂線上取一段長度與河寬相等，就相當于把河寬預先扣除了，從而將折線問題轉(zhuǎn)化為直線問題．【詳解】如下圖，過A點作河岸的垂線，在垂線上截取AC的長為河寬，連接BC交右河岸于點D，作DE垂直于河岸，交左河岸于點E，連接AE．則D、E兩點就是使兩村莊行程最短的架橋地點，即兩村莊的最短路程是AE+ED+DB．【點睛】巧妙地運用平移的思想，通過平移將橋的長度扣除了，從而化折線為直線．6．有一個圓錐如圖所示，A、B在同一條母線上，B為AO的中點，試求以A為起點，以B為終點且繞圓錐側(cè)面一周的最短路線．【答案】見詳解．【分析】圓錐的側(cè)面可展為一個平面圖形（如下圖所示），其中若將OA、粘合起來，恰為題中的圓錐，并且B與重合．從而在扇形中是A點與點的最短路程．【詳解】將圓錐面沿母線AO剪開，得到下圖中的扇形其中A點與，B點與點在母線AO分別表示同一個點（即A與，B與在圓錐上是重合的）．在扇形中連接，再將扇形還原成圓錐：則曲線AB即為所求的最短路線．7．古希臘有一位久負盛名的學者，名叫海倫．他精通數(shù)學、物理，聰慧過人．有一天，一位將軍向他請教一個問題：如圖16﹣3，將軍從甲地騎馬出發(fā)，要到河邊讓馬飲水，然后再回到乙地的馬棚，為了使走的路線最短，應該讓馬在什么地方飲水？【答案】飲馬處的C點如圖所示．【詳解】試題分析：根據(jù)：在直線L上的同側(cè)有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定．作出點A關于直線MN的對稱點A′，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接A′B與MN的交點即為飲馬處C．解：飲馬處的C點如圖所示．點評：本題考查了軸對稱確定最短路線問題，此類問題理論依據(jù)是線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等和三角形的任意兩邊之和大于第三邊．類型三、有趣規(guī)律【解惑】“？”處的圖形是哪一個？（

）A． B．C． D．E．【答案】D【分析】先判斷外面大直角的方向，依次順時針旋轉(zhuǎn)90度，可以確定是B或D，里面小直角依次是順時針旋轉(zhuǎn)45度，據(jù)此確定應該是D選項?！驹斀狻客饷娲笾苯且来雾槙r針旋轉(zhuǎn)90度，里面小直角依次順時針旋轉(zhuǎn)45度；故答案選：D?！军c睛】本題考查的是圖形找規(guī)律的問題，可以從圖形變換這個角度進行分析?！救跁炌ā?．“？”處是（

）。A． B．C． D．E．【答案】A【分析】每一行、每一列都只有一個圓，一個正方形，一個三角形，首先確定形狀是圓，然后每一行的“眼睛”有兩個是圓，一個是線，據(jù)此做出選擇。【詳解】“？”處應該是圓形，眼睛是線狀；故答案選A?！军c睛】本題考查的是圖形找規(guī)律的問題，從圖案的形狀、嘴巴、眼睛的形狀入手分析是解題的關鍵。2．如圖，下面每個圖中有多少個白色小正方形和多少個灰色小正方形？（1）把下面的表格補充完整．第1個圖第2個圖第3個圖第4個圖白色12灰色810（2）照這樣接著畫下去，第6個圖中有_____個白色小正方形和_____個灰色小正方形；（3）想一想：照這樣的規(guī)律，第n個圖中有_____個白色小正方形和_____個灰色小正方形；（4）照這樣的規(guī)律，如果某個圖中灰色小正方形有30個，那么白色小正方形有_____個，它是第_____個圖．【答案】341214618n2n+61212【詳解】（1）觀察可知，第1個圖有1個白色小正方形和8個灰色小正方形，第2個圖有2個白色小正方形和10個灰色小正方形，第3個圖有3個白色小正方形和12個灰色小正方形，第4個圖有4個白色小正方形和14個灰色小正方形．（2）根據(jù)上題可推出第6個圖中有6個白色小正方形和18個灰色小正方形；（3）第n個圖中有n個白色小正方形和2n+6個灰色小正方形；（4）2n+6＝302n＝30﹣62n＝24n＝24÷2n＝12故答案為（1）3，4，12，14；（2）6，18：；（3）n，2n+6；（4）12，123．用同樣大小的正方形按下列規(guī)律擺放，將重疊部分涂上顏色，下面的圖案中，第n個圖案中正方形的個數(shù)是________.【答案】4n-1

【分析】根據(jù)題意可得：第1個圖案中正方形的個數(shù)4×1?1=3個，第2個圖案中正方形的個數(shù)4×2?1=7個，……，第n個圖案中正方形的個數(shù)4×n?1個，據(jù)此解答.【詳解】根據(jù)分析可知，第n個圖案中正方形的個數(shù)是：4n-1.故答案為4n-1.4．將下圖左邊的大三角形紙板剪3刀,得到4個大小相同的小三角形紙板(第一次操作),見下圖中間.再將每個小三角形紙板剪3刀,得到16個大小相同的更小的三角形紙板(第二次操作),見下圖右邊.這樣繼續(xù)操作下去,完成前六次操作共剪了________刀.【答案】4095【詳解】略5．探索：如圖，外層正方形邊長是5，往里第二、三、四、五層各小正方形邊長依次是4、3、2、1，觀察圖形，完成下列問題；(1)判斷大小關系：13+23+33+43+53________（1+2+3+4+5）2；(2)結(jié)合圖形，證明你（1）中的判斷．猜想：13+23+33+…+n3="________"．【答案】=（1+2+3+…+n）2【分析】（1）通過計算判斷大?。?）根據(jù)所給圖形的面積證明（1）的判斷．（3）根據(jù)以上兩個題的計算和驗證結(jié)論來推導．【詳解】解：（1）13+23+33+43+53=1+8+27+64+125=225；（1+2+3+4+5）2=152=225；所以13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2．（2）結(jié)合圖形：大正方形的面積等于所有小正方形的面積之和為：52×20+42×16+32×12+22×8+12×4，=52×5×4+42×4×4+32×3×4+22×2×4+12×1×4，=53×4+43×4+33×4+23×4+13×4，=（53+43+33+23+13）×4；同時，大正方形的邊長為：（1+2+3+4+5）×2，所以面積為：[1+2+3+4+5）×2]×[1+2+3+4+5）×2]，=[（1+2+3+4+5）×2]2=（1+2+3+4+5）2×22，=（1+2+3+4+5）2×4；所以：（53+43+33+23+13）×4=（1+2+3+4+5）2×4；即：13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2．（3）由以上結(jié)論猜想得出：13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2．故答案為（1）=；猜想：（1+2+3+…+n）2．6．有一串分數(shù)，，，，，，，，，,，，…，這串分數(shù)從左往右數(shù)，第一個在第________個，第二個在第________個．【答案】6977

【分析】分母是1的分數(shù)有1個，分子是1；分母是2的分數(shù)有3個，分子是1，2，1；分母是3的分數(shù)有5個，分子是1，2，3，2，1；分母是4的分數(shù)有7個；分子是1，2，3，4，3，2，1．分數(shù)的個數(shù)分別是1，3，5，7…，當分母是n時有2n﹣1個分數(shù)；由此求出從分母是1的分數(shù)到分母是8的分數(shù)一共有多少個；分子是自然數(shù)，先從1增加，到和分母相同時再減少到1；因此在這個數(shù)列中應該有2個，分別求出即可．【詳解】分母是8的分數(shù)一共有：2×8﹣1=15（個）；從分母是1的分數(shù)到分母是8的分數(shù)一共：1+3+5+7+…+15=（1+15）×8÷2=16×8÷2=64（個）；第一個是第65個數(shù)，第一個就是第64+5=69個數(shù)；第二個就是第64+9+4=77個數(shù)．故答案為69，77．7．觀察以下的一列數(shù)，依次是11，17，23，29，35，….若從第n個數(shù)開始，每個數(shù)都大于2017，則_______________.【答案】336【詳解】略類型四、絕對值的“1與-1”化簡【解惑】已知，，都是非零有理數(shù)，滿足，令，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，，都是非零有理數(shù)，滿足可知，，為兩正一負或兩負一正，按兩種情況分別討論代數(shù)式的可能取值，再求所有可能的值的情況即可；【詳解】∵，，都是非零有理數(shù)，滿足，∴，，為兩正一負或兩負一正，當，，為兩正一負時，，，則；當，，為兩負一正時，，，∴，綜上所述，的所有可能值為，則；故選A．【點睛】本題主要考查了絕對值的化簡與求值、非零數(shù)的性質(zhì)等知識點，注意分類討論字母的取值，不要漏解．【融會貫通】1．（2022·浙江·九年級自主招生）若關于x的方程有四個實數(shù)解，則化簡的結(jié)果是（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】C【分析】由可化簡得,在化簡的過程中判斷的符號，從而對題中的絕對值進行化簡．【詳解】由有四個實數(shù)解，可知a、b均不為0，且，故，∴，化簡得可知，∴，∴故選：C．【點睛】本題考查的是絕對值的相關計算，理解絕對值方程四個解的意義是難點，會判斷絕對值符號中的每個代數(shù)式的正負是化簡的關鍵．2．（2022秋·全國·七年級期末）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不確定【答案】C【分析】根據(jù)絕對值的意義，先求出a的值，然后進行化簡，得到，則，，再進行化簡計算，即可得到答案．【詳解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，∴當時，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴∴=====0；故選：C．【點睛】本題考查了絕對值的意義，求代數(shù)式的值，解題的關鍵是掌握絕對值的意義，正確的求出，，．3．（2020秋·江西宜春·七年級宜春市第三中學?？计谥校┤?，，則______．【答案】-2或0或4【分析】對a和b，以及的正負進行分類討論，然后去絕對值求出對應的值．【詳解】解：①當，時，，，原式；②當，時，，，原式；③當，，且時，，原式；④當，，且時，，原式；⑤當，，且時，，原式；⑥當，，且時，，原式．故答案是：-2或0或4．【點睛】本題考查絕對值的性質(zhì)，解題的關鍵是利用分類討論的思想去化簡絕對值．4．（2018秋·天津南開·七年級南開中學?？茧A段練習）若，則_______．【答案】2或-2.【分析】對a、b、c中正數(shù)的個數(shù)進行討論，即可求解．【詳解】解：當a、b、c中沒有負數(shù)時，都是正數(shù)，則原式=1+1+1-1=2；當a、b、c中只有一個負數(shù)時，不妨設a是負數(shù)，則原式=-1+1+1+1=2；當a、b、c中有2個負數(shù)時，不妨設a、b是負數(shù)，則原式=-1-1+1-1=-2；當a、b、c都是負數(shù)時，則原式=-1-1-1+1=-2，總是代數(shù)式的值是2或-2，故答案為：2或-2.【點睛】本題考查了有理數(shù)的除法法則和乘法法則，正確進行討論是關鍵．5．（2022秋·浙江麗水·七年級校聯(lián)考期中）（《學霸養(yǎng)成卷》改編）如果，那么的值是______．【答案】0或2【分析】當時，，當時，，結(jié)合可知，a，b，c中至少有2個負數(shù)，再分情況討論即可求解．【詳解】當時，，當時，同理可得，∵∴a，b，c中至少有2個負數(shù)①若a，b，c中有2個負數(shù)，1個正數(shù)則，三個數(shù)中有2個負數(shù)，1個正數(shù)此時②若a，b，c中有3個負數(shù)，則，三個數(shù)都大于0此時綜上，的值為0或2故答案為：0或2．【點睛】本題考查絕對值的化簡，解題的關鍵是掌握當時，，當時，．6．（2019秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）已知a、b、c滿足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc<0，若，且，則3m2n+4mn2=____.【答案】10.【分析】根據(jù)(a+b)(b+c)(c+a)=0，可知a、b、c中有2個數(shù)互為相反數(shù)，另一個為正數(shù)，故，由且，可求出n的值，最終即可得解．【詳解】∵(a+b)(b+c)(c+a)=0∴a、b、c中有2個數(shù)互為相反數(shù)，另一個為正數(shù)∴∵且∴n=-2所以【點睛】本題屬于數(shù)軸綜合性題目．7．（2018·河南安陽·七年級校聯(lián)考期中）如果abc＜0，則++=_____．【答案】1或﹣3【分析】已知abc＜0，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則可得a、b、c有一個負數(shù)或a、b、c有三個負數(shù)，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)解答即可.【詳解】∵abc＜0∴a，b，c有一個負數(shù)，或a，b，c有三個負數(shù)當a，b，c有一個負數(shù)時，則++=1a，b，c有三個負數(shù)則++=﹣3故答案為：1或﹣3【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法法則及絕對值的性質(zhì)，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則得到a、b、c有一個負數(shù)或a、b、c有三個負數(shù)是解決問題的關鍵.8．（2022秋·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）分類討論是重要的數(shù)學方法，如化簡，當時，；當時，；當時，．求解下列問題：(1)當時，值為______，當時，的值為______，當x為不等于0的有理數(shù)時，的值為______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，這2023個數(shù)都是不等于0的有理數(shù)，若這2023個數(shù)中有n個正數(shù)，，則m的值為______（請用含n的式子表示）【答案】(1)，1，(2)或3(3)【分析】（1）根據(jù)絕對值的定義求解即可；（2）已知，，所以，，一正兩負，根據(jù)（1）的結(jié)論解即可；（3）個正數(shù)，負數(shù)有個，式子中有個正1，個，相加得答案．【詳解】（1）解：，，，故答案為：，1，．（2），，，，，的正負性可能為：①當為正數(shù)，，為負數(shù)時：原式；②當為正數(shù)，，為負數(shù)時，原式；③當為正數(shù)，，為負數(shù)時，原式，原式或3．（3）∵有個正數(shù)，負數(shù)的個數(shù)為，．故答案為：．【點睛】本題考查的是數(shù)字的規(guī)律，有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是一個不等于0的數(shù)除以它的絕對值等于1或，將題目轉(zhuǎn)化為由幾個正1和幾個的問題．9．（2022秋·全國·七年級專題練習）（1）數(shù)學小組遇到這樣一個問題：若a，b均不為零，求的值．請補充以下解答過程（直接填空）①當兩個字母a，b中有2個正，0個負時，x=；②當兩個字母a，b中有1個正，1個負時，x=；③當兩個字母a，b中有0個正，2個負時，x=；綜上，當a，b均不為零，求x的值為．（2）請仿照解答過程完成下列問題：①若a，b，c均不為零，求的值．②若a，b，c均不為零，且a+b+c=0，直接寫出代數(shù)式的值．【答案】（1）①2，②0，③-2，2或0或-2；（2）①1或3或-3或-1；②-1或1【分析】（1）①根據(jù)a、b的符合化簡絕對值即可得到答案；②設a是正數(shù)，b是負數(shù)，化簡絕對值即可得到答案；③根據(jù)a、b的符合化簡絕對值即可得到答案；綜合上面三個的結(jié)果得到答案；（2）①分四種情況化簡絕對值即可得到答案；②根據(jù)a、b、c均不為零，分兩種情況求出答案即可.【詳解】（1）①∵a、b都是正數(shù)，∴=a，=b，∴=1+1=2，故答案為：2；②設a是負數(shù)，b是正數(shù)，∴=-a，=b，∴=-1+1=0，故答案為：0；③∵a、b都是負數(shù)，∴=-a，=-b，∴=-1-1=-2，故答案為：-2；綜上，當a，b均不為零，求x的值為2或0或-2；（2）①由題意可得：a、b、c的符號分為四種情況：當a、b、c都是正數(shù)時，=1+1-1=1，當a、b、c為兩正一負且a、b為正c為負時，=1+1+1=3，當a、b、c為一正兩負且a、b為負c為正時，=-1-1-1=-3,當a、b、c都是負數(shù)時，=-1-1+1=-1，綜上，的值為1或3或-3,或-1；②∵a，b，c均不為零，且a+b+c=0，∴=，∴當a、b、c為兩正一負時，=-1-1+1=-1，當a、b、c為一正兩負=-1+1+1=1，綜上，的值為-1或1.【點睛】此題考查絕對值的性質(zhì)，根據(jù)絕對值的符號化簡絕對值，熟記性質(zhì)特征是解題的關鍵.10．（2021秋·江蘇南通·七年級啟東市長江中學?？计谥校┰诮鉀Q數(shù)學問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學思想，下面是運用分類討論的數(shù)學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答題目后提出的探究問題.【提出問題】三個有理數(shù)a，b，c，滿足abc>0，求的值.【解決問題】解：由題意得：a，b，c三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù).①當a，b，c，都是正數(shù)，即a>0，b>0，c>0時，則==1+1+1=3；②當a，b，c有一個為正數(shù)，另兩個位負數(shù)時，設a>0，b<0，c<0，則==1?1?1=?1；所以的值為3或?1.【探究】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：(1)三個有理數(shù)a，b，c滿足abc<0，求的值；(2)已知=9，=4，且a<b，求a?2b的值.【答案】(1)-3或1；(2)?17或?1.【分析】（1）按照題目內(nèi)的求值方式，分類討論，即可解答.（2）根據(jù)=9，=4分別求出a、b的值，再根據(jù)a<b，分情況討論，分別求出a?2b的值即可.【詳解】(1)∵abc<0，∴a，b，c都是負數(shù)或其中一個為負數(shù)，另兩個為正數(shù)，①當a，b，c都是負數(shù)，即a<0，b<0，c<0時，則原式=?1?1?1=?3；②a，b，c有一個為負數(shù)，另兩個為正數(shù)時，不妨設a<0，b>0，c>0，則原式=?1+1+1=1；(2)∵=9，=4∴a=9，b=±4∵a<b，∴當a=-9，b=4時，a?2b=?9?2×4=-17，當a=-9，b=-4時，a?2b=?9?2×(-4)=-1，【點睛】本題考查絕對值的定義，以及分類討論思想的運用，熟練掌握絕對值的定義是解題關鍵.11．（2023秋·全國·七年級專題練習）閱讀下列材料并解決有關問題：我們知道，所以當時，；當時，，現(xiàn)在我們可以用這個結(jié)論來解決下面問題：（1）已知，是有理數(shù),當時，求的值；（2）已知，，是有理數(shù)，當，求的值；（3）已知，，是有理數(shù)，，，求的值.【答案】（1）0或±2；（2）±1或±3；（3）-1.【分析】（1）分3種情況討論即可求解；（2）分4種情況討論即可求解；（3）根據(jù)已知得到b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c兩正一負，進一步計算即可求解．【詳解】解：（1）已知a，b是有理數(shù)，當ab≠0時，①a＜0，b＜0，②a＞0，b＞0，③a、b異號，故=±2或0；（2）已知a，b，c是有理數(shù)，當abc≠0時，①a＜0，b＜0，c＜0，②a＞0，b＞0，c＞0，③a、b、c兩負一正，④a、b、c兩正一負，故=±1或±3；（3）已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c=0，abc＜0，則b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c兩正一負，則=-1-1+1=-1故答案為±2或0；±1或±3；-1．【點睛】此題考查了有理數(shù)的除法，以及絕對值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．類型五、絕對值的最值【解惑】同學們都知道，表示5與1差的絕對值，也可以表示數(shù)軸上5和1這兩點間的距離；表示3與之差的絕對值，實際上也可理解為3與在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離；自然地，對進行變式得，同樣可以表示3與兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離．試探索：(1)__________；(2)表示與__________之間的距離；表示與__________之間的距離；(3)當時，可取整數(shù)__________．（寫出一個符合條件的整數(shù)即可）(4)由以上探索，結(jié)合數(shù)軸猜想：對于任何有理數(shù)，的最小值為__________．【答案】(1)5(2)2，(3)2（答案不唯一）(4)10【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離的表示方法即可解答；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離的表示方法即可解答；（3）利用絕對值及數(shù)軸求解即可；（4）根據(jù)數(shù)軸及絕對值，即可解答．【詳解】（1）解：表示數(shù)軸上表示3的點到表示的點的距離，即為5．故答案為5．（2）解：表示與2之間的距離；表示與之間的距離．故答案為：2，．（3）解：∵表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應的點到2和所對應的點的距離之和為5，∴當x在與2之間的線段上（即），∴可取整數(shù)．故答案為：2（答案不唯一）．（4）解：∵理解為：在數(shù)軸上表示x到和6的距離之和，∴當x在與6之間的線段上（即）時，即的值有最小值，最小值為．故答案為：10．【點睛】本題主要考查了整式的加減、數(shù)軸、絕對值等知識點，掌握整式加減、去絕對值符號以及數(shù)軸的特點是解答本題的關鍵．【融會貫通】1．（2022春·安徽滁州·七年級統(tǒng)考期中）閱讀下面材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示和2兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示x和的兩點之間的距離是；(2)數(shù)軸上表示x和1的兩點之間的距離為5，則x表示的數(shù)為；(3)若x表示一個有理數(shù)，則有最小值嗎？若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由．【答案】(1)5，(2)或6(3)8【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離公式可得答案；（2）由數(shù)軸上兩點間的距離公式列方程，即可解得答案；（3）分三種情況去絕對值，即可得到的最小值．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示和2兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是；（2）解：根據(jù)題意得，或，解得或；（3）解：有最小值，理由如下：當時，，，，即此時大于8；當時，；當時，，，，即此時大于8；綜上所述，的最小值為8．【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點間的距離，絕對值化簡，解題的關鍵是讀懂題意，能靈活運用數(shù)軸上兩點間的距離解決問題．2．（2022秋·山東青島·七年級青島大學附屬中學校考階段練習）我國著名數(shù)學家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的重要思想方法．我們知道的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應的點到原點的距離，也就是說表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應點之間的距離．提出問題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的點分別記為點A和點B，AB兩點之間的距離記為，那么與有理數(shù)a，b有怎樣的關系？探究問題：探究一：如果A，B兩點中有一點在原點，不妨假設A點在原點，即a＝0．當b＝2時，，如圖1所示；當b＝－3時，，如圖2所示；由此可以推斷當b＝n時，______．探究二：如果A，B兩點都不在原點，即，．（1）當A，B兩點都在原點的右側(cè)時，如圖3所示：；（2）當A，B兩點都在原點的左側(cè)時，如圖4所示：；（3）當A，B兩點在原點的兩側(cè)時，如圖5所示，請你仿照上述探究過程，寫出A，B兩點之間的距離______．解決問題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的點分別記為點A和點B，AB兩點之間的距離記為，那么______．（用含有a，b的式子表示）實際應用：（1）數(shù)軸上，表示有理數(shù)－6和－1的兩點之間的距離是______；（2）數(shù)軸上，表示x和2的兩點P和Q之間的距離是5，則x＝______．拓展延伸：結(jié)合數(shù)軸回答下列問題：（1）的最小值是______；（2）的最大值是______．【答案】探究一：n；探究二（2）；（3）；解決問題：；實際應用（1）5；（2）7或；拓展延伸（1）4；（2）9【分析】探究一：根據(jù)絕對值的概念可得；探究二（2）根據(jù)絕對值的概念計算即可；（3）根據(jù)絕對值的概念計算即可；解決問題：根據(jù)絕對值的概念計算即可；實際應用（1）根據(jù)絕對值的概念計算即可；（2）根據(jù)絕對值的概念列方程解答即可；拓展延伸（1）根據(jù)絕對值的概念計算即可；（2）根據(jù)絕對值的概念計算即可．【詳解】探究一：當b＝n時，，故答案為：n；探究二：（2），故答案為：；（3），故答案為：；解決問題：，故答案為：；實際應用（1）有理數(shù)－6和－1的兩點之間的距離是，故答案為：5；（2）∵表示x和2的兩點P和Q之間的距離是5，∴，∴或，得或，故答案為：7或；拓展延伸（1）從數(shù)軸上可以看出，當x位于到1之間時它們的距離和最小，最小值為4，∴的最小值是4，故答案為：4；（2）從數(shù)軸上可以看出，當x位于到5之間時它們的距離差最大，最大值為9，∴的最大值是9，故答案為：9．【點睛】此題考查了絕對值概念的理解，解題的關鍵是要注意負數(shù)絕對值的計算方法．3．（2022秋·江蘇蘇州·七年級校考階段練習）數(shù)學實驗室：點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示3和6兩點之間的距離是______，數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是______．(2)數(shù)軸上表示x和的兩點之間的距離表示為______，數(shù)軸上表示x和7的兩點之間的距離表示為______．(3)若x表示一個有理數(shù)，則的最小值______．(4)若x表示一個有理數(shù)，且，則滿足條件的所有整數(shù)x是______．(5)求使式子有最小值的有理數(shù)x，以及這個最小值．【答案】(1)3，6(2)，(3)6(4)或0或1或2或3或4(5)7【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離的求解方法列式計算即可求解；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離的求解方法列式計算即可求解；（3）根據(jù)幾何意義是：數(shù)軸上x到2和的距離和，可得結(jié)果；（4）根據(jù)幾何意義是：數(shù)軸上x到和4的距離和為5，可得結(jié)果；（5）根據(jù)幾何意義是：數(shù)軸上表示x的點到表示，0，5三點的距離和，可得結(jié)果．【詳解】（1）解：，．故答案為：3，6．（2）由點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離可知：數(shù)軸上表示x和的兩點之間的距離表示為，數(shù)軸上表示x和7的兩點之間的距離表示為．故答案為：，．（3）幾何意義是：數(shù)軸上x到2和的距離和，所以只有當時，才能取到最小值，為6．故答案為：6；（4）可以看作數(shù)軸上x到和4的距離和為5，所以只有當時，方程才成立，又因為x是整數(shù)，所以滿足條件的所有整數(shù)x是或0或1或2或3或4．故答案為：或0或1或2或3或4；（5）看作是數(shù)軸上表示x的點到表示，0，5三點的距離和，所以，當時，有最小值，為7．【點睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解數(shù)軸上兩點間的距離的表示方法是解題的關鍵．4．（2023秋·山西朔州·七年級?？计谀╅喿x與思考：點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是(2)數(shù)軸上表示x和的兩點之間的距離表示為；(3)七年級研究性學習小組在數(shù)學老師指導下，對式子進行探究：①請你在草稿紙上畫出數(shù)軸，當表示數(shù)x的點在與4之間移動時，的值總是一個固定的值為②請你畫出數(shù)軸，探究：是否存在數(shù)x，使？如果存在，則在數(shù)軸上表示出來，并寫出x的值；如果不存在，簡要說明理由．【答案】(1)3，4(2)(3)①7；②存在，數(shù)軸見解析，x為5或【分析】（1）（2）根據(jù)數(shù)軸上A、B兩點之間的距離的表達式計算出絕對值；（3）①先化簡絕對值，然后合并同類項即可；②分為和兩種情況討論．【詳解】（1）解：根據(jù)題意知：2和5兩點之間的距離是，1和的兩點之間的距離是，（2）x和的兩點之間的距離表示為；（3）①當時，；②當時，，解得：，當時，．解得：．∴或．即表示數(shù)軸上到4和距離之和為9，這樣的x值為5或．【點睛】本題主要考查的是絕對值的定義和化簡，根據(jù)題意找出數(shù)軸上任意兩點之間的距離公式是解題的關鍵．5．（2022秋·新疆烏魯木齊·七年級烏魯木齊市第二十三中學?？计谀┫乳喿x，后探究相關的問題．【閱讀】表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離；可以看做，表示5與的差的絕對值，也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離．(1)如圖，先在數(shù)軸上畫出表示點4.5的相反數(shù)的點，再把點A向左移動1.5個單位，得到點，則點和點表示的數(shù)分別為_______和_______，，兩點間的距離是______；(2)若點A表示的整數(shù)為，則當為_______時，與的值相等；(3)要使代數(shù)式取最小值時，相應的的取值范圍是________．【答案】(1)圖見解析；；3；7.5(2)(3)【分析】（1）先在數(shù)軸上畫出B、C，然后根據(jù)數(shù)軸上兩點距離公式求出即可；（2）根據(jù)題意得到，解絕對值方程即可得到答案；（3）分，和三種情況去絕對值求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，B點表示的數(shù)，C點表示的數(shù)3，的距離是；故答案為：；3；7.5．（2）解：解：由題意得，∴或，∴，故答案為：．（3）解：當時，，當時，，當時，；∴當時，有最小值3，故答案為：．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點