高二數(shù)學(xué)（人教版）選修4-5教案

PAGE1課題：第17課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法與不等式目的要求：重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)過(guò)程：一、引入：數(shù)學(xué)歸納法是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n)時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n＝k時(shí)命題成立，再證明n＝k＋1時(shí)命題也成立，這是遞推的依據(jù)。實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無(wú)限。證明時(shí)，關(guān)鍵是k＋1步的推證，要有目標(biāo)意識(shí)。二、典型例題：例1、證明：。例2、設(shè)，，證明貝努利不等式：。例3、設(shè)為正數(shù)，，證明：。例4、設(shè)數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，若對(duì)于所有的自然數(shù)n，都有S＝，證明{a}是等差數(shù)列。（94年全國(guó)文）例5、已知數(shù)列，得，…，，…。S為其前n項(xiàng)和，求S、S、S、S，推測(cè)S公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。（93年全國(guó)理）解：計(jì)算得S＝，S＝，S＝，S＝，猜測(cè)S＝(n∈N)【注】從試驗(yàn)、觀察出發(fā)，用不完全歸納法作出歸納猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明，這是探索性問(wèn)題的證法，數(shù)列中經(jīng)常用到。（試值→猜想→證明）【另解】用裂項(xiàng)相消法求和例6、設(shè)a＝＋＋…＋(n∈N),證明：n(n＋1)<a<(n＋1)。三、小結(jié)：四、練習(xí)：

課題：第01課時(shí)不等式的基本性質(zhì)目的要求：重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)過(guò)程：一、引入：不等關(guān)系是自然界中存在著的基本數(shù)學(xué)關(guān)系?！读凶?湯問(wèn)》中膾炙人口的“兩小兒辯日”：“遠(yuǎn)者小而近者大”、“近者熱而遠(yuǎn)者涼”，就從側(cè)面表明了現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的廣泛存在；日常生活中息息相關(guān)的問(wèn)題，如“自來(lái)水管的直截面為什么做成圓的，而不做成方的呢?”、“電燈掛在寫字臺(tái)上方怎樣的高度最亮？”、“用一塊正方形白鐵皮，在它的四個(gè)角各剪去一個(gè)小正方形，制成一個(gè)無(wú)蓋的盒子。要使制成的盒子的容積最大，應(yīng)當(dāng)剪去多大的小正方形？”等，都屬于不等關(guān)系的問(wèn)題，需要借助不等式的相關(guān)知識(shí)才能得到解決。而且，不等式在數(shù)學(xué)研究中也起著相當(dāng)重要的作用。本專題將介紹一些重要的不等式（含有絕對(duì)值的不等式、柯西不等式、貝努利不等式、排序不等式等）和它們的證明，數(shù)學(xué)歸納法和它的簡(jiǎn)單應(yīng)用等。人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結(jié)構(gòu)，事與事成因與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系，這表明現(xiàn)實(shí)世界中的量，不等是普遍的、絕對(duì)的，而相等則是局部的、相對(duì)的。還可從引言中實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，說(shuō)明本章知識(shí)的地位和作用。生活中為什么糖水加糖甜更甜呢?轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，則糖水更甜了，為什么?分析：起初的糖水濃度為，加入m克糖后的糖水濃度為，只要證>即可。怎么證呢?二、不等式的基本性質(zhì)：1、實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)，從實(shí)數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可知：得出結(jié)論：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)即可。2、不等式的基本性質(zhì)：①、如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b。(對(duì)稱性)②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。推論：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b，c>da+c>b+d．④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac<bc．⑤、如果a>b>0，那么(nN，且n>1)⑥、如果a>b>0，那么(nN，且n>1)。三、典型例題：四、練習(xí)：五、作業(yè)：

課題：第02課時(shí)含有絕對(duì)值的不等式的解法目的要求：重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)過(guò)程：一、引入：在初中課程的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)對(duì)不等式和絕對(duì)值的一些基本知識(shí)有了一定的了解。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)討論含有絕對(duì)值的不等式。關(guān)于含有絕對(duì)值的不等式的問(wèn)題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。下面分別就這兩類問(wèn)題展開探討。1、解在絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的不等式（也稱絕對(duì)值不等式），關(guān)鍵在于去掉絕對(duì)值符號(hào)，化成普通的不等式。主要的依據(jù)是絕對(duì)值的意義.請(qǐng)同學(xué)們回憶一下絕對(duì)值的意義。在數(shù)軸上，一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離稱為這個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的絕對(duì)值。即。2、含有絕對(duì)值的不等式有兩種基本的類型。第一種類型。設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對(duì)值的意義，不等式的解集是，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于a的點(diǎn)的集合是開區(qū)間（－a，a），如圖所示。圖1-1如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結(jié)果來(lái)解。第二種類型。設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對(duì)值的意義，不等式的解集是{或}它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離大于a的點(diǎn)的集合是兩個(gè)開區(qū)間的并集。如圖1-2所示。–圖1-2同樣，如果給定的不等式符合這種類型，就可以直接利用它的結(jié)果來(lái)解。二、典型例題：例1、解不等式。例2、解不等式。方法1：分域討論★方法2：依題意，或，（為什么可以這么解？）例3、解不等式。例4、解不等式。解本題可以按照例3的方法解，但更簡(jiǎn)單的解法是利用幾何意義。原不等式即數(shù)軸上的點(diǎn)x到1，2的距離的和大于等于5。因?yàn)?，2的距離為1，所以x在2的右邊，與2的距離大于等于2（＝（5－1）；或者x在1的左邊，與1的距離大于等于2。這就是說(shuō)，或例5、不等式>，對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。三、小結(jié)：四、練習(xí)：解不等式1、2、3、.4、.5、6、.7、8、9、10、五、作業(yè)：

課題：第03課時(shí)含有絕對(duì)值的不等式的證明目的要求：重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)過(guò)程：一、引入：證明一個(gè)含有絕對(duì)值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外，經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對(duì)值的和、差、積、商的性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）請(qǐng)同學(xué)們思考一下，是否可以用絕對(duì)值的幾何意義說(shuō)明上述性質(zhì)存在的道理？實(shí)際上，性質(zhì)和可以從正負(fù)數(shù)和零的乘法、除法法則直接推出；而絕對(duì)值的差的性質(zhì)可以利用和的性質(zhì)導(dǎo)出。因此，只要能夠證明對(duì)于任意實(shí)數(shù)都成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明?，F(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們討論一個(gè)問(wèn)題：設(shè)為實(shí)數(shù)，和哪個(gè)大？顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立（即在時(shí)，等號(hào)成立。在時(shí)，等號(hào)不成立）。同樣，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。含有絕對(duì)值的不等式的證明中，常常利用、及絕對(duì)值的和的性質(zhì)。二、典型例題：例1、證明（1），（2）。證明（1）如果那么所以如果那么所以（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，有，就是，。所以，。例2、證明。例3、證明。思考：如何利用數(shù)軸給出例3的幾何解釋？（設(shè)A，B，C為數(shù)軸上的3個(gè)點(diǎn)，分別表示數(shù)a，b，c，則線段當(dāng)且僅當(dāng)C在A，B之間時(shí)，等號(hào)成立。這就是上面的例3。特別的，取c＝0（即C為原點(diǎn)），就得到例2的后半部分。）探究：試?yán)媒^對(duì)值的幾何意義，給出不等式的幾何解釋？含有絕對(duì)值的不等式常常相加減，得到較為復(fù)雜的不等式，這就需要利用例1，例2和例3的結(jié)果來(lái)證明。例4、已知，求證證明（1），∴（2）由（1），（2）得：例5、已知求證：。證明，∴，由例1及上式，。注意：在推理比較簡(jiǎn)單時(shí)，我們常常將幾個(gè)不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用于不等號(hào)方向相同的不等式。三、小結(jié)：四、練習(xí)：1、已知求證：。2、已知求證：。五、作業(yè)：鏈接：不等式的圖形借助圖形的直觀性來(lái)研究不等式的問(wèn)題，是學(xué)習(xí)不等式的一個(gè)重要方法，特別是利用絕對(duì)值和絕對(duì)值不等式的幾何意義來(lái)解不等式或者證明不等式，往往能使問(wèn)題變得直觀明了，幫助我們迅速而準(zhǔn)確地尋找到問(wèn)題的答案。關(guān)鍵是在遇到相關(guān)問(wèn)題時(shí)，能否準(zhǔn)確地把握不等式的圖形，從而有效地解決問(wèn)題。我們?cè)賮?lái)通過(guò)幾個(gè)具體問(wèn)題體會(huì)不等式圖形的作用。1．解不等式。題意即是在數(shù)軸上找出到與的距離之和不大于到點(diǎn)的距離的所有流動(dòng)點(diǎn)。首先在數(shù)軸上找到點(diǎn)，，（如圖）。-10123從圖上判斷，在與之間的一切點(diǎn)顯示都合乎要求。事實(shí)上，這種點(diǎn)到與的距離和正好是1，而到的距離是?，F(xiàn)在讓流動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)向左移動(dòng)，這樣它到點(diǎn)的距離變，而到點(diǎn)與的距離增大，顯然，合乎要求的點(diǎn)只能是介于與之間的某一個(gè)點(diǎn)。由可得再讓流動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)向右移動(dòng)，雖然這種點(diǎn)到與的距離的和及到的距離和都在增加，但兩相比較，到與的距離的和增加的要快。所以，要使這種點(diǎn)合乎要求，也只能流動(dòng)到某一點(diǎn)而止。由可得從而不等式的解為2．畫出不等式的圖形，并指出其解的范圍。先考慮不等式在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的情況。在第一象限內(nèi)不等式等價(jià)于： ，，.其圖形是由第一象限中直線下方的點(diǎn)所組成。同樣可畫出二、三、四象限的情況。從而得到不等式的圖形是以原點(diǎn)O為中心，四個(gè)等點(diǎn)分別在坐標(biāo)軸上的正方形。不等式解的范圍一目了然。探究：利用不等式的圖形解不等式1.;2．A組（1）；（2）6．已知求證：7．已知求證：B組*****8．求證*****9．已知求證：10．若為任意實(shí)數(shù)，為正數(shù)，求證：（，而）

課題：第04課時(shí)指數(shù)不等式的解法目的要求：重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)過(guò)程：一、引入：二、典型例題：例1、解不等式解：原不等式可化為：∵底數(shù)2>1∴整理得：解之，不等式的解集為{x|-3<x<2}例2、解不等式。解：原不等式可化為：即：解之：或∴x>2或∴不等式的解集為{x|x>2或}例3、解不等式：(當(dāng)a>1時(shí)當(dāng)0<a<1時(shí))例4、解不等式：(-1<x<3)三、小結(jié)：四、練習(xí)：五、作業(yè)：

課題：第05課時(shí)對(duì)數(shù)不等式的解法目的要求：重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)過(guò)程：一、引入：二、典型例題：例1、解不等式。解：原不等式等價(jià)于或解之得：4<x≤5∴原不等式的解集為{x|4<x≤5}例2、解關(guān)于x的不等式：解：原不等式可化為當(dāng)a>1時(shí)有（其實(shí)中間一個(gè)不等式可?。┊?dāng)0<a<1時(shí)有∴當(dāng)a>1時(shí)不等式的解集為；當(dāng)0<a<1時(shí)不等式的解集為。例3、解關(guān)于x的不等式。解：原不等式等價(jià)于Ⅰ：或Ⅱ：解Ⅰ：解Ⅱ：∴當(dāng)a>1時(shí)有0<x<a當(dāng)0<a<1時(shí)有x>a∴原不等式的解集為{x|0<x<a,a>1}或{x|x>a,0<a<1}例4、解不等式。解：兩邊取以a為底的對(duì)數(shù)：當(dāng)0<a<1時(shí)原不等式化為：∴∴當(dāng)a>1時(shí)原不等式化為：∴∴∴∴原不等式的解集為或

課題：第06課時(shí)無(wú)理不等式的解法目的要求：重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)過(guò)程：一、引入：1、無(wú)理不等式的類型：①、②、③、二、典型例題：例1、解不等式解：∵根式有意義∴必須有：又有∵原不等式可化為兩邊平方得：解之：∴例2、解不等式解：原不等式等價(jià)于下列兩個(gè)不等式組得解集的并集：Ⅰ：Ⅱ：解Ⅰ：解Ⅱ：∴原不等式的解集為例4、解不等式解：要使不等式有意義必須：原不等式可變形為因?yàn)閮蛇吘鶠榉秦?fù)∴即∵x+1≥0∴不等式的解為2x+1≥0即例5、解不等式例6、解不等式解：定義域x-1≥0x≥1原不等式可化為：兩邊立方并整理得：在此條件下兩邊再平方,整理得：解之并聯(lián)系定義域得原不等式的解為三、小結(jié)：四、練習(xí)：解下列不等式1．五、作業(yè)：

課題：第07課時(shí)含有參數(shù)不等式的解法目的要求：重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)過(guò)程：一、引入：二、典型例題：例1、解關(guān)于x的不等式解：原不等式等價(jià)于即：∴若a>1，若0<a<1。例2、解關(guān)于x的不等式解：原不等式可化為即：s當(dāng)m>1時(shí)∴當(dāng)m=1時(shí)∴xφ當(dāng)0<m<1時(shí)∴當(dāng)m≤0時(shí)x<0例3、解關(guān)于x的不等式解：原不等式等價(jià)于當(dāng)即時(shí)∴當(dāng)即時(shí)∴x6當(dāng)即時(shí)xR。例4、解關(guān)于x的不等式解：當(dāng)即(0,)時(shí)∴x>2或x<1當(dāng)即=時(shí)xφ當(dāng)即(,)時(shí)∴1<x<2例5、滿足的x的集合為A；滿足的x的集合為B。1、若AB求a的取值范圍2、若AB求a的取值范圍3、若A∩B為僅含一個(gè)元素的集合，求a的值。解：A=[1,2]B={x|(x-a)(x-1)≤0}當(dāng)a≤1時(shí)B=[a,1]當(dāng)a>1時(shí)B=[1,a]當(dāng)a>2時(shí)AB當(dāng)1≤a≤2時(shí)AB當(dāng)a≤1時(shí)A∩B僅含一個(gè)元素例6、方程有相異兩實(shí)根，求a的取值范圍。解：原不等式可化為，令：則設(shè)又∵a>0三、小結(jié)：四、練習(xí)：五、作業(yè)：

課題：第08課時(shí)不等式的證明方法之一：比較法目的要求：重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)過(guò)程：一、引入：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)即可，即利用不等式的性質(zhì)：二、典型例題：例1、設(shè)，求證：。例2、若實(shí)數(shù)，求證：證明：采用差值比較法：====∴ ∴ 討論：若題設(shè)中去掉這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？例3、已知求證本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于對(duì)稱，不妨設(shè)，從而原不等式得證。2）商值比較法：設(shè)故原不等式得證。注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號(hào)。例4、甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)。甲有一半時(shí)間以速度行走，另一半時(shí)間以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，問(wèn)甲、乙兩人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)。分析：設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是，甲、乙兩人走完這段路程所用的時(shí)間分別為。要回答題目中的問(wèn)題，只要比較的大小就可以了。解：設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是，甲、乙兩人走完這段路程所用的時(shí)間分別為，根據(jù)題意有，，可得，，從而，其中都是正數(shù)，且。于是，即。從而知甲比乙首先到達(dá)指定地點(diǎn)。討論：如果，甲、乙兩人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)？例5、設(shè)求證；對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有（1）證明考慮（1）式兩邊的差。 ＝＝（2）即（1）成立。三、小結(jié)：四、練習(xí)：五、作業(yè)：1．比較下面各題中兩個(gè)代數(shù)式值的大?。海?）與；（2）與.2．已知求證：（1）（2）3．若，求證4．比較a4-b4與4a3(a-b)的大?。猓篴4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a3+2ab+b2)=-(a-b)2(當(dāng)且僅當(dāng)d＝b時(shí)取等號(hào))∴a4-b44a3(a-b)。5．比較(a+3)(a-5)與(a+2)(a-4)的大?。?．已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大?。?．如果x>0，比較與的大?。?．已知a≠0，比較與的大?。?．設(shè)x1，比較x3與x2-x+1的大小．說(shuō)明：“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。閱讀材料：琴生不等式例5中的不等式有著重要的數(shù)學(xué)背景，它與高等數(shù)學(xué)中的一類凸函數(shù)有著密切的關(guān)系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。琴生在1905年給出了一個(gè)定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閇a,b]，如果對(duì)于[a,b]內(nèi)任意兩數(shù)，都有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。一般稱（2）式為琴生不等式。更為一般的情況是：設(shè)是定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)，如果對(duì)于[a,b]上的任意兩點(diǎn)，有其中，則稱是區(qū)間[a,b]上的凸函數(shù)。如果不等式反向，即有則稱是[a,b]上的凹函數(shù)。其推廣形式，設(shè)，是[a,b]上的凸函數(shù)，則對(duì)任意有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。若是凹函數(shù)，則上述不等式反向。該不等式稱為琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式應(yīng)用于一些具體的函數(shù)，可以推出許多著名不等式。

課題：第09課時(shí)不等式的證明方法之二：綜合法與分析法目的要求：重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)過(guò)程：一、引入：綜合法和分析法是數(shù)學(xué)中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。由于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性，這里將其放在一起加以認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)，以便于對(duì)比研究?jī)煞N思路方法的特點(diǎn)。所謂綜合法，即從已知條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)或已知的不等式，逐步推導(dǎo)出要證的不等式。而分析法，則是由結(jié)果開始，倒過(guò)來(lái)尋找原因，直至原因成為明顯的或者在已知中。前一種是“由因及果”，后一種是“執(zhí)果索因”。打一個(gè)比方：張三在山里迷了路，救援人員從駐地出發(fā)，逐步尋找，直至找到他，這是“綜合法”；而張三自己找路，直至回到駐地，這是“分析法”。以前得到的結(jié)論，可以作為證明的根據(jù)。特別的，是常常要用到的一個(gè)重要不等式。二、典型例題：例1、都是正數(shù)。求證：證明：由重要不等式可得本例的證明是綜合法。例2、設(shè)，求證證法一分析法要證成立.只需證成立，又因，只需證成立，又需證成立，即需證成立.而顯然成立.由此命題得證。證法二綜合法兩邊同時(shí)加上得兩邊同時(shí)除以正數(shù)得（1）。讀一讀：如果用或表示命題P可以推出命題Q（命題Q可以由命題P推出），那么采用分析法的證法一就是（1）而采用綜合法的證法二就是如果命題P可以推出命題Q，命題Q也可以推出命題P，即同時(shí)有，那么我們就說(shuō)命題P與命題Q等價(jià)，并記為在例2中，由于都是正數(shù)，實(shí)際上例4、證明：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管橫截面的周長(zhǎng)相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。分析：當(dāng)水的流速相同時(shí)，水管的流量取決于水管橫截面面積的大小。設(shè)截面的周長(zhǎng)為，則周長(zhǎng)為的圓的半徑為，截面積為；周長(zhǎng)為的正方形為，截面積為。所以本題只需證明。證明：設(shè)截面的周長(zhǎng)為，則截面是圓的水管的截面面積為，截面是正方形的水管的截面面積為。只需證明：。為了證明上式成立，只需證明。兩邊同乘以正數(shù)，得：。因此，只需證明。上式顯然成立，所以。這就證明了：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管橫截面的周長(zhǎng)相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。例5、證明：。證法一因?yàn)椋?）（3）（4）所以三式相加得（5）兩邊同時(shí)除以2即得（1）。證法二因?yàn)樗裕?）成立。例6、證明：（1）證明（1）（2） （3） （4） （5）（5）顯然成立。因此（1）成立。例7、已知都是正數(shù)，求證并指出等號(hào)在什么時(shí)候成立？分析：本題可以考慮利用因式分解公式著手。證明：==由于都是正數(shù)，所以而，可知即（等號(hào)在時(shí)成立）探究：如果將不等式中的分別用來(lái)代替，并在兩邊同除以3，會(huì)得到怎樣的不等式？并利用得到的結(jié)果證明不等式：，其中是互不相等的正數(shù)，且.三、小結(jié)：解不等式時(shí)，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，移項(xiàng)，在不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)正數(shù)或一個(gè)正的代數(shù)式，得到的不等式都和原來(lái)的不等式等價(jià)。這些方法，也是利用綜合法和分析法證明不等式時(shí)常常用到的技巧。四、練習(xí)：1、已知求證：2、已知求證五、作業(yè)：

課題：第10課時(shí)不等式的證明方法之三：反證法目的要求：重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)過(guò)程：一、引入：前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說(shuō)，直接從題設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對(duì)于一些較復(fù)雜的不等式，有時(shí)很難直接入手求證，這時(shí)可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實(shí)性，而是證明它的反論題為假，或轉(zhuǎn)而證明它的等價(jià)命題為真，以間接地達(dá)到目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方法。反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾。具體地說(shuō)，反證法不直接證明命題“若p則q”，而是先肯定命題的條件p，并否定命題的結(jié)論q，然后通過(guò)合理的邏輯推理，而得到矛盾，從而斷定原來(lái)的結(jié)論是正確的。利用反證法證明不等式，一般有下面幾個(gè)步驟：第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；第二步作出與所證不等式相反的假定；第三步從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。二、典型例題：例1、已知，求證：（且）例1、設(shè)，求證證明：假設(shè)，則有，從而因?yàn)?，所以，這與題設(shè)條件矛盾，所以，原不等式成立。例2、設(shè)二次函數(shù)，求證：中至少有一個(gè)不小于.證明：假設(shè)都小于，則（1）另一方面，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，有（2）（1）、（2）兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來(lái)的結(jié)論正確。注意：諸如本例中的問(wèn)題，當(dāng)要證明幾個(gè)代數(shù)式中，至少有一個(gè)滿足某個(gè)不等式時(shí)，通常采用反證法進(jìn)行。議一議：一般來(lái)說(shuō)，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通常是指所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時(shí)假定矛盾等各種情況。試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點(diǎn)？例3、設(shè)0<a,b,c<1，求證：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同時(shí)大于四、練習(xí)：1、利用反證法證明：若已知a，b，m都是正數(shù)，并且，則2、設(shè)0<a,b,c<2，求證：(2a)c,(2b)a,(2c)b,不可能同時(shí)大于13、若x,y>0，且x+y>2，則和中至少有一個(gè)小于2。提示：反設(shè)≥2，≥2∵x,y>0，可得x+y≤2與x+y>2矛盾。五、作業(yè)：

課題：第11課時(shí)不等式的證明方法之四：放縮法與貝努利不等式目的要求：重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)過(guò)程：一、引入：所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當(dāng)?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。?，使之得出明顯的不等量關(guān)系后，再應(yīng)用不等量大、小的傳遞性，從而使不等式得到證明的方法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)用處更為廣泛。下面我們通過(guò)一些簡(jiǎn)單例證體會(huì)這種方法的基本思想。二、典型例題：例1、若是自然數(shù)，求證證明：==注意：實(shí)際上，我們?cè)谧C明的過(guò)程中，已經(jīng)得到一個(gè)更強(qiáng)的結(jié)論，這恰恰在一定程度上體現(xiàn)了放縮法的基本思想。例2、求證：證明：由（是大于2的自然數(shù)）得例3、若a,b,c,dR+，求證：證：記m=三、小結(jié)：四、練習(xí)：1、設(shè)為大于1的自然數(shù)，求證2、設(shè)為自然數(shù)，求證五、作業(yè)：A組1、對(duì)于任何實(shí)數(shù)，求證：（1）；（2）2、設(shè)，求證：（1）；（2）3、證明不等式.4、若都是正數(shù)，求證：5、若求證6、如果同號(hào)，且均不為0.求證：，并指出等號(hào)成立的條件.7、設(shè)是互不相等的正數(shù)，求證：8、已知三個(gè)正數(shù)的和是1，求證這三個(gè)正數(shù)的倒數(shù)的和必不小于9.9、若，則.10、設(shè)，且求證：11、已知，求證：（1）；（2）.12、設(shè)是互不相等的正數(shù)，求證：13、已知都是正數(shù)，求證：（1）（2）14、已知求證：15、已知求證：16、已知都是正數(shù)，且有求證：17、已知都是正數(shù)，且，求證：18、設(shè)的三條邊為求證.19、已知都是正數(shù)，設(shè)求證：20、設(shè)是自然數(shù)，利用放縮法證明不等式21、若是大于1的自然數(shù)，試證B組22、已知都是正數(shù)，且求證：23、設(shè)，試用反證法證明不能介于與之間。24、若是自然數(shù)，求證鏈接：放縮法與貝努利不等式在用放縮法證明不等式時(shí)，有時(shí)需要“舍掉幾個(gè)正項(xiàng)”以便達(dá)到目的。就是說(shuō)，如果在和式里都是正數(shù)，可以舍掉，從而得到一個(gè)明顯成立的不等式.例如，對(duì)于任何和任何正整數(shù)，由牛頓二項(xiàng)式定理可得舍掉等式右邊第三項(xiàng)及其以后的各項(xiàng)，可以得到不等式：.在后面章節(jié)的學(xué)習(xí)中，我們將會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明這一不等式的正確性。該不等式不僅當(dāng)是正整數(shù)的時(shí)候成立，而且當(dāng)是任何大于1的有理數(shù)的時(shí)候也成立。這就是著名的貝努利不等式。在今后的學(xué)習(xí)中，可以利用微積分證明更一般的貝努利不等式：設(shè)，則在或時(shí)，，在時(shí)，閱讀材料：貝努利家族小史在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，17-18世紀(jì)出現(xiàn)了一個(gè)著名的數(shù)學(xué)世家——貝努利（Bernoulli）家族（瑞士），這個(gè)家族中的三代人中共出現(xiàn)了8位數(shù)學(xué)家，它們幾乎對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支都做出了杰出的貢獻(xiàn)。其中，又以第一代的雅各布?貝努利（JacobBernoulli，1654.12-1705.8）、約翰?貝努利（JohannBernoulli，1667.8-1748.1）兄弟和第二代的丹尼爾?貝努利（DanialBernoulli，1700.2-1782.3，約翰?貝努利的兒子）最為著名。

課題：第12課時(shí)幾個(gè)著名的不等式之一：柯西不等式目的要求：重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)過(guò)程：一、引入：除了前面已經(jīng)介紹的貝努利不等式外，本節(jié)還將討論柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。這些不等式不僅形式優(yōu)美、應(yīng)用廣泛，而且也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要工具。1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代數(shù)形式）設(shè)均為實(shí)數(shù)，則，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。證明：幾何意義：設(shè)，為平面上以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量，它們的終點(diǎn)分別為A（），B（），那么它們的數(shù)量積為，而，，所以柯西不等式的幾何意義就是：，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量方向相同或相反（即兩個(gè)向量共線）時(shí)成立。2、定理2：（柯西不等式的向量形式）設(shè)，為平面上的兩個(gè)向量，則，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量方向相同或相反（即兩個(gè)向量共線）時(shí)成立。3、定理3：（三角形不等式）設(shè)為任意實(shí)數(shù)，則：分析：思考：三角形不等式中等號(hào)成立的條件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推廣形式）：設(shè)為大于1的自然數(shù)，（1，2，…，）為任意實(shí)數(shù)，則：，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立（當(dāng)時(shí)，約定，1，2，…，）。證明：構(gòu)造二次函數(shù)：即構(gòu)造了一個(gè)二次函數(shù)：由于對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，則其，即：，即：，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立（當(dāng)時(shí)，約定，1，2，…，）。如果（）全為0，結(jié)論顯然成立?？挛鞑坏仁接袃蓚€(gè)很好的變式：變式1設(shè)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)變式2設(shè)ai，bi同號(hào)且不為0（i=1，2，…，n），則：，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)。二、典型例題：例1、已知，，求證：。例2、設(shè)，求證：。例3、設(shè)為平面上的向量，則。例4、已知均為正數(shù)，且，求證：。方法1：方法2：（應(yīng)用柯西不等式）例5：已知，，…，為實(shí)數(shù)，求證：。分析：推論：在個(gè)實(shí)數(shù)，，…，的和為定值為S時(shí)，它們的平方和不小于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，平方和取最小值。三、小結(jié)：四、練習(xí)：1、設(shè)x1，x2，…，xn>0,則2、設(shè)（i=1，2，…，n）且求證:．3、設(shè)a為實(shí)常數(shù),試求函數(shù)(x∈R)的最大值．4、求函數(shù)在上的最大值,其中a，b為正常數(shù)．五、作業(yè)：1、已知：，,證明：。提示：本題可用三角換元、柯西不等式等方法來(lái)證明。2、若，且=，=，求證：都是不大于的非負(fù)實(shí)數(shù)。證明：由代入=可得∵∴△≥0即化簡(jiǎn)可得：∵∴同理可得：，由此可見，在平常的解題中，一些證明定理、公理、不等式的方法都可以為我們所用；只要能靈活運(yùn)用，就能收到事半功倍的效果。3、設(shè)a﹐b為不相等的正數(shù)，試證：(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2。4、設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，且x+y+z=10，求的最小值。5、設(shè)x，y，zR，求的最大值。7、設(shè)三個(gè)正實(shí)數(shù)a,b,c滿足，求證：a，b，c一定是某三角形的三邊長(zhǎng)。8、求證個(gè)正實(shí)數(shù)a1，a2，…，an滿足9、已知,且求證:。10、設(shè),求證:。11、設(shè),且x+2y+3z=36,求的最小值．

課題：第13課時(shí)幾個(gè)著名的不等式之二：排序不等式目的要求：重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)過(guò)程：一、引入：1、問(wèn)題：若某網(wǎng)吧的3臺(tái)電腦同時(shí)出現(xiàn)了故障，對(duì)其維修分別需要45min，25min和30min，每臺(tái)電腦耽誤1min，網(wǎng)吧就會(huì)損失0.05元。在只能逐臺(tái)維修的條件下，按怎么樣的順序維修，才能使經(jīng)濟(jì)損失降到最小？分析：二、排序不等式：1、基本概念：一般地，設(shè)有兩組數(shù)：≤≤，≤≤，我們考察這兩組數(shù)兩兩對(duì)應(yīng)之積的和，利用排列組合的知識(shí)，我們知道共有6個(gè)不同的和數(shù)，它們是：對(duì)應(yīng)關(guān)系和備注（，，）（，，）同序和（，，）（，，）亂序和（，，）（，，）亂序和（，，）（，，）亂序和（，，）（，，）亂序和（，，）（，，）反序和根據(jù)上面的猜想，在這6個(gè)不同的和數(shù)中，應(yīng)有結(jié)論：同序和最大，反序和最小。2、對(duì)引例的驗(yàn)證：對(duì)應(yīng)關(guān)系和備注（1，2，3）（25，30，45）同序和（1，2，3）（25，45，30）亂序和（1，2，3）（30，25，45）亂序和（1，2，3）（30，45，25）亂序和（1，2，3）（45，25，30）亂序和（1，2，3）（45，30，25）反序和3、類似的問(wèn)題：5個(gè)人各拿一只水桶到水龍頭接水，如果水龍頭注滿這5個(gè)人的水桶需要的時(shí)間分別是4分鐘，8分鐘，6分鐘，10分鐘，5分鐘。那么如何安排這5個(gè)人接水的順序，才能使他們等待的總時(shí)間最少？分析：4、排序不等式的一般情形：一般地，設(shè)有兩組實(shí)數(shù)：，，，…，與，，，…，，且它們滿足：≤≤≤…≤，≤≤≤…≤，若，，，…，是，，，…，的任意一個(gè)排列，則和數(shù)在，，，…，與，，，…，同序時(shí)最大，反序時(shí)最小，即：，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立。分析：用逐步調(diào)整法四、小結(jié)：五、練習(xí)：六、作業(yè)：1、求證：。2、在△ABC中，ha,hb,hc為邊長(zhǎng)a,b,c上的高，求證：asinA+bsinB+csinCha+hb+hc．3、若a>0,b>0，則．4、在△ABC中，求證：．（IMO）5、若a1，a2，…，an為兩兩不等的正整數(shù)，求證：．6、若x1，x2，…，xn≥0，x1+x2+…+xn≤，則．

課題：第14課時(shí)幾個(gè)著名的不等式之三：平均不等式目的要求：重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)過(guò)程：一、引入：1、定理1：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）證明：1．指出定理適用范圍：強(qiáng)調(diào)取“=”的條件。2、定理2：如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）證明：∵∴即：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)