3.1 不等式的基本性質(zhì)-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)•題型•技巧》精講與精練高分突破系列（蘇教版2019必修第一冊）

3.1不等式的基本性質(zhì)【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：比較大小的方法依據(jù)如果a>b?a－b>0.如果a＝b?a－b＝0.如果a<b?a－b<0.結(jié)論要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小考點(diǎn)二：重要不等式?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．考點(diǎn)三：等式的基本性質(zhì)(1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).考點(diǎn)四二不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bcc的符號(hào)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正【題型歸納】題型一：已知條件判斷所給不等式的大小1．（2022·陜西·扶風(fēng)縣法門高中高一階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則2．（2022·江蘇·南京市中華中學(xué)高一階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．（2022·廣東·東莞市海德實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一階段練習(xí)）已知均為實(shí)數(shù)，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，則題型二：不等式的性質(zhì)比較數(shù)的大小4．（2022·全國·高一單元測試）已知，則下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．5．（2022·北京平谷·高一期末）已知a，b，，那么下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則6．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．題型三：作差法或作商法比較不等式的大小7．（2022·河南省葉縣高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．8．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a＞b＞1，y1，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（

）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y19．（2021·山東·泰安一中高一期中）設(shè)，，則（

）．A． B． C． D．題型四：利用不等式求取值范圍10．（2022·江蘇省如皋中學(xué)高一階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．11．（2021·全國·高一期中）已知實(shí)數(shù)滿足，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．12．（2021·山東·臨沂第二中學(xué)高一階段練習(xí)）若，，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．題型五：由不等式性質(zhì)證明不等式13．（2021·全國·高一專題練習(xí)）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求證：≤；（2）已知c>a>b>0，求證：14．（2021·黑龍江·尚志市尚志中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，（1）.求證：；（2）若，求證：；15．（2022·全國·高一專題）（1）若，，求證：；（2），，，求證：【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題16．（2022·廣東·東莞市海德實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一階段練習(xí)）已知﹣1＜a+b＜3，且2＜a﹣b＜4，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．17．（2022·河南·中學(xué)生學(xué)習(xí)報(bào)附中高一階段練習(xí)）已知，，則M，N的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．18．（2022·陜西·扶風(fēng)縣法門高中高一階段練習(xí)）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件19．（2022·廣東·東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）下列命題中，是真命題的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么20．（2022·湖南·衡陽市第六中學(xué)高一開學(xué)考試）已知是關(guān)于的不等式的一個(gè)解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．21．（2022·山東·惠民縣第二中學(xué)高一階段練習(xí)）如果，則正確的是（

）A．若a>b，則 B．若a>b，則C．若a>b，c>d，則a+c>b+d D．若a>b，c>d，則ac>bd【高分突破】一、單選題22．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題正確的是（

）A． B．C．且 D．23．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，且，則以下不正確的是（

）A． B． C． D．24．（2022·湖南·新化縣教育科學(xué)研究所高一期末）已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，則D．若，則25．（2022·山西呂梁·高一期末）已知，則（

）A． B．C． D．的取值范圍是二、多選題26．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習(xí)）實(shí)數(shù)，，，滿足：，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．27．（2022·寧夏·銀川二中高一階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則28．（2022·河北·青龍滿族自治縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）若、、，，則下列不等式不正確的是（

）A． B．C． D．29．（2022·湖北·沙市中學(xué)高一階段練習(xí)）已知均為實(shí)數(shù)，下列命題正確的是（

）A．已知，則存在負(fù)數(shù)使成立B．“”是“”的充分不必要條件C．若，，，則D．若正數(shù)滿足，則30．（2022·江蘇省如皋中學(xué)高一開學(xué)考試）已知，下列命題為真命題的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則31．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一階段練習(xí)）2022年1月，在世界田聯(lián)公布的2022賽季首期各項(xiàng)世界排名中，我國一運(yùn)動(dòng)員以1325分排名男子100米世界第八名，極大地激勵(lì)了學(xué)生對百米賽跑的熱愛．甲、乙、丙三名學(xué)生同時(shí)參加了一次百米賽跑，所用時(shí)間（單位：秒）分別為，，．甲有一半的時(shí)間以速度（單位：米/秒）奔跑，另一半的時(shí)間以速度奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑．其中，．則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A． B．C． D．三、填空題32．（2022·河南·禹州市高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）若，，則的取值范圍為______．33．（2022·江蘇·高一單元測試）已知，，則，的大小關(guān)系是________．34．（2022·上?！じ咭粏卧獪y試），，則的最小值是___________.35．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的值______0（選填“>，<，≥，≤”）．36．（2022·上?！じ咭粏卧獪y試）已知，下列命題中正確的是______(將正確命題的序號(hào)填在橫線上)①若，則

②若，則;③若，則;

④若，則.37．（2022·全國·高一）若a、b∈R，則下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a5＋b5＞a3b2＋a2b3；④a＋≥2中一定成立的是__________．(填序號(hào))四、解答題38．（2022·河南省葉縣高級(jí)中學(xué)高一）求解下列問題：(1)已知，比較和的大小；(2)已知，比較與的大小.39．（2022·江蘇·南京市中華中學(xué)高一）已知，.(1)分別求a，c的取值范圍；(2)求的取值范圍.40．（2022·全國·高一）（1）已知，求證：；（2）已知，且，比較與的大?。?1．（2022·全國·高一）試比較下列組式子的大小：(1)與，其中；(2)與，其中，；(3)與，．42．（2021·上海市洋涇中學(xué)高一）設(shè)是四個(gè)正數(shù)．(1)已知，比較與的大小；(2)已知，求證：中至少有一個(gè)小于1．參考答案：1．C【分析】利用特殊值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，利用差比較法證明正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，，如，而，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，如，而，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，則，所以，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，如，而，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C2．C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可逐一求解.【詳解】對于A;若，時(shí)，則，故A錯(cuò)；對于B;若取，則無意義，故B錯(cuò)；對于C；根據(jù)不等式的可加性可知：若，則，故C正確；對于D;若取，但,故D錯(cuò)；故選：C3．A【分析】，即可判斷ABC，由可得，然后可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)?，，所以，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)椋?，所以，故B正確；對于C，因?yàn)?，，所以，故C正確；對于D，由可得，所以，故D正確，故選：A4．C【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)以及差比較法確定正確答案.【詳解】為正數(shù)，為負(fù)數(shù)，所以，，，所以.故選：C5．C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)或通過舉反例，對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析．【詳解】．若，當(dāng)時(shí)，，所以不成立；．若，當(dāng)時(shí)，則，所以不成立；．因?yàn)?，將兩邊同除以，則，所以成立．若且，當(dāng)時(shí)，則，所以，則不成立．故選：．6．C【分析】由不等式的基本性質(zhì)可得答案.【詳解】由，有，可得.故選：C7．C【分析】對A，B，C，D選項(xiàng)作差與0比較即可得出答案.【詳解】對于A，因?yàn)?，故，即，故A錯(cuò)誤；對于B，，無法判斷，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，，故C正確；對于D，因?yàn)椋?，即，故D錯(cuò)誤．故選：C．8．C【分析】利用作差法先比較y1，y2，再比較y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小關(guān)系.【詳解】解：由a＞b＞1，有y1﹣y20，即y1＞y2，由a＞b＞1，有y2﹣y30，即y2＞y3，所以y1＞y2＞y3，故選：C.9．D【分析】首先配方判斷、均大于零，然后作商即可比較大小.【詳解】，，則.故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了作商法比較兩個(gè)式子的大小，屬于基礎(chǔ)題.10．B【分析】令，，可得，再根據(jù)的范圍求解即可.【詳解】令，，則，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所?故選：B11．B【分析】令求出，再由不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】令，即故，解得因?yàn)?，，所以故選：B12．B【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可得出．【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以，故選：B13．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）由不等式的性質(zhì)，先得到，兩邊同時(shí)+1，即得證；（2）由不等式的性質(zhì)，先得到，兩邊乘以c,可得，兩邊同時(shí)-1，可得，再兩邊取倒數(shù)，即得證.【詳解】證明：（1）∵bc≥ad，bd>0，∴，∴＋1≥＋1，∴≤.（2）∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.∵a>b>0，∴又∵c>0，∴，∴，又c－a>0，c－b>0，∴.14．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）利用作差法可求兩者的大小關(guān)系.（1）利用（1）的結(jié)果可證明不等式成立.【詳解】證明：（1）∵∴；（2）由（1）得，故，而，所以.15．（1）證明見解析，（2）證明見解析【分析】（1）利用作差法證明即可，（2）利用不等式的性質(zhì)證明即可【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以?）因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，?6．A【分析】令，列方程組可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)及題干條件，即得解【詳解】由題意，故，解得由﹣1＜a+b＜3，可得；由2＜a﹣b＜4，可得；故故選：A17．A【分析】用作差法比較大?。驹斀狻?，所以．故選：A．18．C【分析】利用作差法、不等式的基本性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】由可得，由已知且，若，則，所以，，則，矛盾.若，則，從而，合乎題意.綜上所述，“”是“”的充要條件.故選：C.19．B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和特殊值法，逐項(xiàng)驗(yàn)證可得出答案【詳解】解：對于A，如果，，那么，故A錯(cuò)誤；對于B，易得，所以，所以化簡得，故B正確；對于C，如果，，那么，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)闈M足，那么，故D錯(cuò)誤；故選：B20．B【分析】把“x=3”代入不等式即可解得.【詳解】將“x=3”代入不等式可得，解得：.故選：B21．C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可逐一求解.【詳解】對于A:取則，故A錯(cuò)，對于B:若，則，故B錯(cuò)誤，對于C:由同號(hào)可加性可知：a>b，c>d，則a+c>b+d，故C正確，對于D:若，則，，故D錯(cuò)誤.故選：C22．A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷即可【詳解】對于選項(xiàng)A，∵，∴，又，成立，故A正確；對于選項(xiàng)B，當(dāng)，時(shí)，結(jié)論明顯錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，所以結(jié)論錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤對于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，所以結(jié)論錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤故選：A23．D【分析】利用不等式的性質(zhì)，逐一分析即可得出答案.【詳解】，，，故A，B正確；，即，故C正確；對兩邊同除得，故D錯(cuò)誤.故選：D.24．B【分析】利用不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，若，，則，故，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，若，，則，所以，，故，B對；對于C選項(xiàng)，若，則，則，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，若，則，所以，，D錯(cuò).故選：B.25．B【分析】取判斷A；由不等式的性質(zhì)判斷BC；由基本不等式判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，不成立，A錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以，，B正確，C錯(cuò)誤．當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，而，D錯(cuò)誤．故選：B26．ACD【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷A、C，利用特殊值判斷B，再利用作差法判斷D；【詳解】解：因?yàn)?，所以，故A正確；令、、、，滿足，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，，所以，故C正確；因?yàn)?，則，因?yàn)?，，所以，即，故D正確；故選：ACD27．BC【分析】取，，可判斷A；當(dāng)，可得，由，利用不等式的基本性質(zhì)可判斷B；當(dāng)時(shí)，利用不等式的基本性質(zhì)可判斷C；取，可判斷D.【詳解】解析：若，，時(shí)，不成立，A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?dāng)，時(shí)，，故，，B正確；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，故，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，故所以C正確；若，，不滿足，D錯(cuò)誤．故選：BC.28．ABC【分析】利用不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對于A，由，則，則，即，故A不正確；對于B，由，則，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故C不正確；對于D，由，，所以，故D正確.故選：ABC.29．AC【分析】A、C、D利用作差法轉(zhuǎn)化為商或積的形式，結(jié)合已知條件、不等式性質(zhì)判斷正誤；B令結(jié)合充分性定義即可判斷正誤.【詳解】A：，而，若為負(fù)數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)成立，正確；B：當(dāng)時(shí)，的大小不確定，即“”不能推出“”，充分性不成立，錯(cuò)誤；C：，而，，，則，故，，故，即，正確；D：，故時(shí)，原不等式也成立，錯(cuò)誤.故選：AC30．BCD【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】對于選項(xiàng)A，若，則，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，若，∵，∴，故B正確；對于選項(xiàng)C，若，則，故，故C正確；對于選項(xiàng)D，若，則，故D正確．故選：BCD．31．AC【分析】首先利用時(shí)間和速度的關(guān)系表示三人的時(shí)間，再利用不等式的關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)，比較大小，即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題意，所以，，，根據(jù)基本不等式可知，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)全部成立，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故C選項(xiàng)正確；，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．32．．【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)，按的正負(fù)分類討論．【詳解】，若，則，若，則，，所以，綜上．故答案為：．33．【分析】利用作差法直接比大小.【詳解】,故答案為：.34．##【分析】分析可得，利用不等式的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】設(shè)，則，解得，所以，，因此，的最小值是.故答案為：.35．≤【分析】先平方，整理可得，結(jié)合的符號(hào)可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所?當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立故答案為：36．②③【分析】①取檢驗(yàn)即可；②和③利用不等式兩端同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等式的方向不改變；④取檢驗(yàn)即可【詳解】①若，當(dāng)時(shí)，則，故①錯(cuò)誤；②若，不等式兩邊同時(shí)乘以，則，故②正確；③若，不等式兩邊同時(shí)乘以，則，故③正確；④若，當(dāng)時(shí)，則，故④錯(cuò)誤；故答案為：②③37．①②【分析】利用作差法及不等式性質(zhì)，即可作出判斷.【詳解】①a