2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元雙優(yōu)測評卷-第四單元指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)A卷含解析

PAGEPAGE20第四單元指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)A卷基礎(chǔ)過關(guān)必刷卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知函數(shù)在（0，2）上為減函數(shù)，則的取值范圍是（）A．（1，3] B．（1，3） C．（0，1） D．[3，+∞）2．下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是（）A． B． C． D．3．一種藥在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危急．現(xiàn)給某病人注射了這種藥，假如藥在血液中以每小時(shí)的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價(jià)值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過（）小時(shí)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效．（附：，，答案實(shí)行四舍五入精確到）A．2.3小時(shí) B．3.5小時(shí) C．5.6小時(shí) D．8.8小時(shí)4．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．(1，4) B．[1，4)C．(-∞，1)∪(4，+∞) D．(-∞，1]∪(4，+∞)5．若函數(shù)f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0a≠1）在區(qū)間（1，3）內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A．[，1） B．（0，] C．（1，） D．[）6．已知函數(shù)恒過定點(diǎn)，則函數(shù)不經(jīng)過（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限7．定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，滿意，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，以下命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．對數(shù)函數(shù)且與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象不行能是（）A．B．C．D．10．高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在上是增函數(shù) D．的值域是11．對于函數(shù)定義域中隨意的，有如下結(jié)論，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是（）A． B．C．＞0 D．12．已知函數(shù)，則下列關(guān)于這三個(gè)函數(shù)的描述中，正確的是（）A．隨著的漸漸增大，增長速度越來越快于B．隨著的漸漸增大，增長速度越來越快于C．當(dāng)時(shí)，增長速度始終快于D．當(dāng)時(shí)，增長速度有時(shí)快于三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．與地震釋放的能量的關(guān)系為．那么里氏9級的地震釋放的能量是里氏7級地震釋放的能量的______倍．14．已知函數(shù)，且，則f(2013)=_________15．已知，若，則________．16．關(guān)于函數(shù)的下列命題：①函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；②函數(shù)的最小值為；③當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；④在上是增函數(shù)；⑤無最大值，也無最小值．其中正確命題的序號是_________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知函數(shù)f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為1和2．（1）求m、n的值；（2）若不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，求k的取值范圍．（3）令g(x)=，若函數(shù)F（x）=g（2x）﹣r2x在x∈[﹣1，1]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)r的取值范圍．18．已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且．（1）求函數(shù)，的解析式；（2）若對隨意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；19．2013年9月22日，為應(yīng)對臺風(fēng)“天兔”侵襲，我校食堂做好了充分打算，儲備了至少三天的食物，食物在貯存時(shí)，有些易于保存，而有些卻須要適當(dāng)處理，如牛奶等，它們的保鮮時(shí)間會因貯存時(shí)溫度的不同而不同，假定保鮮時(shí)間與貯存溫度間的關(guān)系為指數(shù)型函數(shù)（且），若牛奶放在0℃的冰箱中，保鮮時(shí)間約為192時(shí)，放在22℃的廚房中，保鮮時(shí)間約為42時(shí).（1）寫出保鮮時(shí)間（單位：時(shí)）關(guān)于貯存溫度（單位：℃）的函數(shù)解析式；（2）請運(yùn)用（1）的結(jié)論計(jì)算，若我校購買的牛奶至少要貯存三天，則貯存時(shí)的溫度最高約為多少？（精確到整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：）20．函數(shù)（1）假如時(shí)，有意義，確定的取值范圍；（2），若值域?yàn)?，求的值；?）在（2）條件下，為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且時(shí)，對隨意的恒成立，求的取值范圍.21．函數(shù)和的圖象如圖所示，設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，且．（1）請指出圖中曲線，分別對應(yīng)的函數(shù)；（2）結(jié)合函數(shù)圖象，比較，，，的大?。?2．已知常數(shù)a∈R+，函數(shù)f（x）＝x2﹣ax+1（1）若a＝3，解方程log3f（x）＝1+log3（x﹣）；（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝[f（x）]．若g（x）在[0，]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；（3）設(shè)集合A＝{x|f（x）＝x+a﹣3，x≥a﹣1}的元素個(gè)數(shù)為n，求n關(guān)于a的函數(shù)n（a）在R+的表達(dá)式一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知函數(shù)在（0，2）上為減函數(shù)，則的取值范圍是（）A．（1，3] B．（1，3） C．（0，1） D．[3，+∞）【答案】A【解析】由函數(shù)在（0，2）上為減函數(shù)，可得函數(shù)在（0，2）上大于零，且為減函數(shù)，，故有，解得故選：A．2．下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以此函?shù)為偶函數(shù)，所以A不合題意；對于B，定義域?yàn)?，因?yàn)椋源撕瘮?shù)為偶函數(shù)，所以B不合題意；對于C，定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以此函?shù)為奇函數(shù)，所以C不合題意；對于D，定義域?yàn)?，因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以D符合題意，故選：D3．一種藥在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危急．現(xiàn)給某病人注射了這種藥，假如藥在血液中以每小時(shí)的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價(jià)值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過（）小時(shí)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效．（附：，，答案實(shí)行四舍五入精確到）A．2.3小時(shí) B．3.5小時(shí) C．5.6小時(shí) D．8.8小時(shí)【答案】A【解析】設(shè)從現(xiàn)在起經(jīng)過小時(shí)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效．則，，，，．故選：A．4．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．(1，4) B．[1，4)C．(-∞，1)∪(4，+∞) D．(-∞，1]∪(4，+∞)【答案】A【解析】由題意得>0，即(x-1)(x-4)<0，解得1<x<4.故選：A5．若函數(shù)f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0a≠1）在區(qū)間（1，3）內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A．[，1） B．（0，] C．（1，） D．[）【答案】B【解析】令y＝logat，t＝2﹣ax，∵a＞0，∴t＝2﹣ax在（1，3）上單調(diào)遞減，∵f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在區(qū)間（1，3）內(nèi)單調(diào)遞增，∴函數(shù)y＝logat是減函數(shù)，且t（x）＞0在（1，3）上成立，∴，∴0＜a≤.故選：B．6．已知函數(shù)恒過定點(diǎn)，則函數(shù)不經(jīng)過（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】恒過定點(diǎn)，，，為減函數(shù)，且過點(diǎn)，的函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限．故選：．7．定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，滿意，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，又，所以，函數(shù)是偶函數(shù)，，的圖象關(guān)于直線對稱，任取、且，則，所以，，即，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，令得，作出函數(shù)和的圖象如圖所示：令得，由圖象可得函數(shù)和的圖象在每個(gè)區(qū)間上都有個(gè)交點(diǎn)，所以，函數(shù)共有個(gè)零點(diǎn)．故選：B．8．已知函數(shù)，，以下命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】如圖，畫出的圖象，在單調(diào)遞增，視察圖形易推斷①②正確，對③④，當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，化為，即，則，故③正確.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．對數(shù)函數(shù)且與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象不行能是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】若，則對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，二次函數(shù)開口向上，對稱軸，經(jīng)過原點(diǎn)，可能為A，不行能為B.若，則對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，二次函數(shù)開口向下，對稱軸，經(jīng)過原點(diǎn)，C、D都不行能.故選：BCD.10．高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在上是增函數(shù) D．的值域是【答案】BC【解析】依據(jù)題意知，.∵，，，∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；，∴是奇函數(shù)，B正確；在R上是增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在R上是增函數(shù)，C正確；，，，，，D錯(cuò)誤.故選：BC.11．對于函數(shù)定義域中隨意的，有如下結(jié)論，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是（）A． B．C．＞0 D．【答案】BC【解析】對于A，，即，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B正確；對于C，在定義域中單調(diào)遞增，，故C正確；對于D，，利用基本不等式知，又，則，故D錯(cuò)誤；故選：BC12．已知函數(shù)，則下列關(guān)于這三個(gè)函數(shù)的描述中，正確的是（）A．隨著的漸漸增大，增長速度越來越快于B．隨著的漸漸增大，增長速度越來越快于C．當(dāng)時(shí)，增長速度始終快于D．當(dāng)時(shí)，增長速度有時(shí)快于【答案】BD【解析】如圖對于，從負(fù)無窮起先，大于，然后大于，再然后再次大于，最終大于，再也追不上，故隨著的漸漸增大，增長速度越來越快于，A錯(cuò)誤，BD正確；由于的增長速度是不變的，當(dāng)時(shí)，大于，當(dāng)時(shí)，大于，再也追不上，增長速度有時(shí)快于，C錯(cuò)誤．故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．與地震釋放的能量的關(guān)系為．那么里氏9級的地震釋放的能量是里氏7級地震釋放的能量的______倍．【答案】1000【解析】由題意，，則里氏9級的地震釋放的能量，里氏7級地震釋放的能量，所以.故答案為：1000.14．已知函數(shù)，且，則f(2013)=_________【答案】0【解析】設(shè)，則，所以，.故答案為：0.15．已知，若，則________．【答案】【解析】因?yàn)楫?dāng)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，若，不妨設(shè)，，所以，所以，則．故答案為：．16．關(guān)于函數(shù)的下列命題：①函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；②函數(shù)的最小值為；③當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；④在上是增函數(shù)；⑤無最大值，也無最小值．其中正確命題的序號是_________．【答案】①②④【解析】對①，，定義域?yàn)?，，所以函?shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，故①正確.對②，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以函數(shù)的最小值為，故②正確.對③，時(shí)，，令，設(shè)隨意，.當(dāng)時(shí)，，所以為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以為增函數(shù)，所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故③錯(cuò)誤.對④，因?yàn)楹瘮?shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以在，上是增函數(shù)，故④正確.對⑤，由②知，函數(shù)的最小值為，故⑤錯(cuò)誤.故答案為：①②④四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知函數(shù)f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為1和2．（1）求m、n的值；（2）若不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，求k的取值范圍．（3）令g(x)=，若函數(shù)F（x）=g（2x）﹣r2x在x∈[﹣1，1]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)r的取值范圍．【答案】（1）m=1，n=2；（2）k＜﹣；（3）[﹣，3]．【解析】（1）函數(shù)f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為1和2．可得：1﹣3m+n=0，4﹣6m+n=0，解得m=1，n=2，（2）由（1）可得f（x）=x2﹣3x+2，不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，可得不等式f（x）＞k在x∈[0，5]恒成立，f（x）=x2﹣3x+2在x∈[0，5]上的最小值為：f（）=﹣，可得k＜﹣．（3）g(x)==x+﹣3，函數(shù)F（x）=g（2x）﹣r?2x在x∈[﹣1，1]上有零點(diǎn)，即g（2x）﹣r?2x=0在x∈[﹣1，1]上有解，即r=1+2?（）2﹣3?在x∈[﹣1，1]上有解，令t=，則r=2t2﹣3t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，即r=2t2﹣3t+1在t∈[，2]上有解，r=2k2﹣2t+1=2（t﹣）2﹣，（≤t≤2），∴﹣≤r≤3，∴r的范圍是[﹣，3]．18．已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且．（1）求函數(shù)，的解析式；（2）若對隨意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；【答案】（1），；（2）．【解析】（1），用代替得，則，解方程組得：，．（2）由題意可得對隨意恒成立，令，，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，故則對恒成立因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.故，即實(shí)數(shù)的最大值為.19．2013年9月22日，為應(yīng)對臺風(fēng)“天兔”侵襲，我校食堂做好了充分打算，儲備了至少三天的食物，食物在貯存時(shí)，有些易于保存，而有些卻須要適當(dāng)處理，如牛奶等，它們的保鮮時(shí)間會因貯存時(shí)溫度的不同而不同，假定保鮮時(shí)間與貯存溫度間的關(guān)系為指數(shù)型函數(shù)（且），若牛奶放在0℃的冰箱中，保鮮時(shí)間約為192時(shí)，放在22℃的廚房中，保鮮時(shí)間約為42時(shí).（1）寫出保鮮時(shí)間（單位：時(shí)）關(guān)于貯存溫度（單位：℃）的函數(shù)解析式；（2）請運(yùn)用（1）的結(jié)論計(jì)算，若我校購買的牛奶至少要貯存三天，則貯存時(shí)的溫度最高約為多少？（精確到整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）；（2）14℃.【解析】（1）設(shè)（且），則有，，.（2）依題意有，若我校購買的牛奶至少要貯存三天，則貯存時(shí)的溫度最高約為14℃.20．函數(shù)（1）假如時(shí)，有意義，確定的取值范圍；（2），若值域?yàn)?，求的值；?）在（2）條件下，為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且時(shí)，對隨意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由題意，，即，令，則，，的取值范圍為.（2）令，由題意，的值域包含，①時(shí)，，值域?yàn)椋瑵M意條件；②時(shí)，，令，所以為開口向下的拋物線，易知的值域?yàn)椋粷M意條件，綜上，.（3）時(shí)，，若，又為奇函數(shù)，，綜上，，且，，