廣東省高三上學(xué)期第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題

廣東省2025屆普通高中畢業(yè)班第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，考試用時120分鐘，滿分150分．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己所在的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級、姓名、考場號和座位號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在每張答題卡左上角“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4．考生必須保證答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計算出集合，再根據(jù)并集運算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意知，所以，則.故選：D2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)模長公式結(jié)合復(fù)數(shù)相等可求，進而可得模長.【詳解】設(shè)，則，可得，則，解得，所以.故選：C.3.已知函數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分別令、和，運算求解即可.【詳解】因為，令，可得；令，可得；兩式相加可得，令，可得；則，即.故選：D.4.外接球半徑為的正四面體的體積為（）A. B.24 C.32 D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出正四面體棱長，通過作輔助線表示出四面體的高，解直角三角形表示外接球半徑，由已知外接球半徑為可得棱長，再由三棱錐體積公式可得.【詳解】如圖，設(shè)正四面體的下底面中心為，連接，則平面，連接并延長，交于，設(shè)此正四面體的棱長為x，則，，，即四面體的高．設(shè)四面體外接球的球心為，連接，外接球半徑為，則，化簡得，由，得，即正四面體棱長為，所以正四面體的體積.故選：A.5.設(shè)點為圓上的一動點，點為拋物線上的一動點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，可得，利用兩點之間的距離公式可得，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論．【詳解】如下圖，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，，因此，故選：B．6.已知的值域為，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由值域為R，可以得到能取遍所有正數(shù)，從而求解．【詳解】設(shè)，又值域為R，能取遍所有正數(shù)，，解得，故選：C．7.設(shè)為銳角，且，則與的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.不確定【答案】A【解析】【分析】先利用兩角和的余弦公式化簡等式可得，再根據(jù)范圍求得.【詳解】由為銳角，則，由可得，又由，所以有，由為銳角可得，則，又由為銳角可得，故，即.故選：A.8.若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對進行變形，再利用不相等時，即可求出的范圍.【詳解】由，則，又，則，又當(dāng)時，，因此可得，，即，又，因此可得，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.變量之間的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，其經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點，且相對于點的殘差為，則（）A. B. C. D.殘差和為【答案】AD【解析】【分析】結(jié)合回歸方程的性質(zhì)和殘差的定義列方程求，判斷A，B，C，求殘差和判斷D.【詳解】因為經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點，所以，，因為相對于點的殘差為，所以，所以，，，A正確，B錯誤，C錯誤，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以殘差和為，D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)，則（）A.的值域是 B.的最小正周期是C.關(guān)于對稱 D.在上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)二倍角余弦公式化簡得出值域及單調(diào)區(qū)間判斷A,D,應(yīng)用周期及對稱軸判斷B,C.【詳解】因為，令,,A選項錯誤；在單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，fx在上單調(diào)遞減,D選項正確；,的最小正周期是2π,的最小正周期是,fx的最小正周期是的最小公倍數(shù)為2π,fx關(guān)于對稱，C選項正確；故選：BCD.11.甲、乙、丙、丁四人共同參加4項體育比賽，每項比賽的第一名到第四名的得分依次為5分，3分，2分，1分．比賽結(jié)束甲獲得16分為第一名，乙獲得14分為第二名，且沒有同分的情況．則（）A.第三名可能獲得10分B.第四名可能獲得6分C.第三名可能獲得某一項比賽的第一名D.第四名可能在某一項比賽中拿到3分【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件進行推理分析知：第三、四名的總分為14分，結(jié)合第一、二名的比賽項目名次，即可確定正確的項.詳解】由題設(shè)，第一名16分，情況如{2個第一，2個第二}、{3個第一，1個第四}，第二名14分，情況如{1個第一，3個第二}、{2個第一，2個第三}，{2個第一，1個第二，1個第四}，所以，第一名與第二名各比賽項目組合情況如下：第一種情況為：第一名{2個第一，2個第二}，第二名{2個第一，2個第三}，或{2個第一，1個第二，1個第四}，第二種情況為：第一名{3個第一，1個第四}，第二名{1個第一，3個第二}，綜上，第三名最好成績?yōu)閧2個第二，2個第三}，即最高分為10分，故A正確，C錯誤；當(dāng)?shù)谌鹻2個第二，2個第四}，則第四名{2個第三，2個第四}時，此時第四名獲得6分，故B正確；當(dāng)?shù)谌鹻1個第二，2個第三，1個第四}，則第四名{1個第二，3個第四}時，此時第四名在某一項比賽中拿到3分，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)過原點作曲線的切線，其切線方程為_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)出切點的坐標(biāo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分類討論，即可求解.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)，可得設(shè)切點為，則，所以切線方程為，因為切線過原點，可得，解得，不符合題意，舍去；當(dāng)時，函數(shù)，可得設(shè)切點為，則，所切線方程為，因為切點過原點，可得，解得，此時切線方程為，即，故答案為：13.如圖是一個的九宮格，小方格內(nèi)的坐標(biāo)表示向量，現(xiàn)不改變這些向量坐標(biāo)，重新調(diào)整位置，使得每行、每列各三個向量的和為零向量，則不同的填法種數(shù)為_____________．【答案】72【解析】【分析】要使得每行、每列各三個向量的和為零向量，根據(jù)對稱性，確定所在的行和列只能排，再按分步乘法計數(shù)原理進行求解即可.【詳解】123456789首先對的九宮格每個位置標(biāo)注數(shù)字，第一步先排，一共9個位置，因此有種排法，根據(jù)對稱性知，所在的行和列只能排，不妨設(shè)在1位置，第二步排2位置，則從選一個，因此有種排法，則3位置的數(shù)也定下來了，第三步排4位置，則從剩余的兩個中挑一個，因此有種排法，接著排7位置，7位置是中剩余的最后一個，相當(dāng)于所在的行和列都定下來了，則使得每行、每列各三個向量的和為零向量，其他四個位置的向量排法是唯一的，因此按分步乘法計數(shù)原理知，（種）因此共有72種排法，故答案為：72.14.已知數(shù)列滿足記的前項和為，若，則_____________；若，則_____________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意，當(dāng)時，得到數(shù)列an是以為周期的周期數(shù)列，進而求得的值，當(dāng)時，得到，進而求得的值.【詳解】由知數(shù)列an滿足記an的前項和為，若，，則，，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列an是以為周期的周期數(shù)列，一個周期的和為，所以；當(dāng)時，，，，因為時，可得，則以三個為一組循環(huán)，且，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.中，所對的邊分別為，已知是與的等比中項，且是與的等差中項．（1）證明：；（2）求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差中項所得等式，由兩角和與差的正弦公式化簡可得，再由正弦定理化角為邊可得；（2）由余弦定理化角為邊得等量關(guān)系，再由等比中項所得關(guān)系消，從而求得，再由余弦定理轉(zhuǎn)化為邊之比求解可得.【小問1詳解】由題，得，，因為是與的等差中項，所以，三角形內(nèi)角，，則，在中，由正弦定理，得，因此．【小問2詳解】在中，由余弦定理得，由（1）知，則，即．因為是與的等比中項，所以，從而，即，則有.從而，解得或（舍去），在中，由余弦定理得，因此．16.如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點在底面圓上，3，點是線段的中點，點是的中點．（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）先根據(jù)題意證明平面平面，從而點到平面的距離即等價于點到平面的距離，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點到面的距離向量求法即可求解.【小問1詳解】證明：取的中點為，連接，如圖所示，因為點分別是和的中點，所以，且．在圓柱的軸截面四邊形中，．所以，因此四邊形是平行四邊形．所以，又平面平面，所以平面．【小問2詳解】由圓的性質(zhì)可知，連接延長必與圓交于點，連接，因為不在平面內(nèi)，平面，所以平面，又平面，且且都在面，所以平面平面．從而點到平面的距離即為點到平面的距離．以為坐標(biāo)原點，的中垂線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則所以，設(shè)n=x,y,z為平面則由可取因此點到平面的距離，故點到平面的距離為．17.某學(xué)校有兩家餐廳，王同學(xué)每天中午會在兩家餐廳中選擇一家用餐，如果前一天選擇了餐廳則后一天繼續(xù)選擇餐廳的概率為，前一天選擇餐廳則后一天選擇餐廳的概率為，如此往復(fù)．已知他第1天選擇餐廳的概率為，第2天選擇餐廳的概率為．（1）求王同學(xué)第天恰好有兩天在餐廳用餐的概率；（2）求王同學(xué)第天選擇餐廳用餐的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)“王同學(xué)第天選擇餐廳”，利用全概率公式求出p=0.5，再設(shè)設(shè)“王同學(xué)第天恰好有兩天在餐廳用餐”，再利用全概率公式從而可求解.（2）利用全概率公式可得，化簡得到，從而可證為等比數(shù)列，從而可求解.【小問1詳解】設(shè)“王同學(xué)第天選擇餐廳”．．由全概率公式，得，解得．設(shè)“王同學(xué)第天恰好有兩天在餐廳用餐”，則，因此．【小問2詳解】設(shè)“王同學(xué)第天選擇餐廳”，則，由題與（1）可得．由全概率公式，得．則，又因為，所以是以首項為，公比為的等比數(shù)列．因此，即．18.設(shè)直線．點和點分別在直線和上運動，點為的中點，點為坐標(biāo)原點，且．（1）求點的軌跡方程；（2）設(shè)，求當(dāng)取得最小值時直線的方程；（3）設(shè)點關(guān)于直線對稱點為，證明：直線過定點．【答案】（1）（2）或（3）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，由利用數(shù)量積坐標(biāo)化得到關(guān)系，利用中點坐標(biāo)公式將坐標(biāo)用坐標(biāo)表示，代入消元即可得；（2）由雙曲線的性質(zhì)可得的范圍，得到最小值，再求解最值狀態(tài)下即為實軸端點時的直線方程即可；（3）求解當(dāng)直線斜率不存在時的方程；當(dāng)斜率存在時，寫出直線的方程，利用一垂直二平分求解點坐標(biāo)，進而得到直線的方程，觀察方程寫出定點.【小問1詳解】設(shè)，則，所以從而因為，所以，即．則，化簡得．所以點的軌跡方程為．【小問2詳解】由（1）得，則的最小值為1，此時或，即或．當(dāng)時，可得，從而直線的方程為；當(dāng)時，同理可得直線的方程為．小問3詳解】設(shè)，，由（2）可知，當(dāng)時，直線，得，直線；當(dāng)時，直線，得，直線．當(dāng)是其他點時，直線斜率存在，且，則直線的方程為，注意到，化簡得．點與關(guān)于直線AB對稱，設(shè)，則由，解得，又，所以，從而，令，得，因此直線過定點．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決此題目的關(guān)鍵在于多參設(shè)法的消參方法，一是代入消元，如第（1）問中將用動點坐標(biāo)表示代入關(guān)系式即可；二是整體消元，如第（3）問中的應(yīng)用；三是設(shè)而求法，解元消元，如第（3）問中坐標(biāo)的運算求解.19.函數(shù)的定義域為，若滿足對任意，當(dāng)時，都有，則稱是連續(xù)的．（1）請寫出一個函數(shù)是連續(xù)的，并判斷是否是連續(xù)的，說明理由；（2）證明：若是連續(xù)的，則是連續(xù)且是連續(xù)的；（3）當(dāng)時，，其中，且是連續(xù)的，求的值．【答案】（1），是的，理由見解析（2）證明見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）可舉例斜率為的一次函數(shù)，函數(shù)值與自變量的增量相同更易于分析；（2）利用不等式的同向可加性質(zhì)，將從兩個角度變形可得，進而得證；（3）利用不等式的同向可加性質(zhì)與（2）結(jié)論先證明是0,1連續(xù)的，可得，然后轉(zhuǎn)化為恒成立求解驗證即可.【小問1詳解】函數(shù)是連續(xù)的，也是連續(xù)的．理由如下：由，有，同理當(dāng)，有，所以是連續(xù)的，也是連續(xù)的．【小問2詳解】因為是連續(xù)的，由定義可得對任意，當(dāng)時，有，所以有，且，所以，所以，即是連續(xù)的，又同理可得，即是連續(xù)的．【小問3詳解】已知是連續(xù)的，則由（2）可得，兩式相減可得，即是連續(xù)的，進一步有，,是連續(xù)的.由已知時，，若時，，則，不滿足.又對任意，當(dāng)時，有，因為是連續(xù)的，所以，又，所以，所以，即對任意，當(dāng)時，都有，故是0,1連續(xù)的．由上述分析可得，則當(dāng)，，其中，有，所以恒成立．設(shè)，對稱