第四章數(shù)學(xué)建模建立函數(shù)模型解決實際問題：探究茶水溫度與時間的關(guān)系高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修1

數(shù)學(xué)建?；顒印骄坎杷疁囟群蜁r間的關(guān)系高中數(shù)學(xué)01.實驗基本信息02.實驗設(shè)計思路與創(chuàng)新點03.實驗原理04.實驗?zāi)繕?biāo)05.教學(xué)過程06.實驗效果評價

實驗基本信息01本節(jié)課是選自高中數(shù)學(xué)必修一人教A版《數(shù)學(xué)建模

建立函數(shù)模型解決實際問題》的一節(jié)實驗探究課。在知識層面上本節(jié)沒有新增內(nèi)容，要求學(xué)生運用已有函數(shù)知識解決實際問題，體會建立函數(shù)模型的過程，感受函數(shù)在生活中的廣泛應(yīng)用，理解函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。本節(jié)內(nèi)容所涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要包括：由實際問題抽象為函數(shù)模型這一過程中蘊涵的符號化、模型化的思想；在解決問題過程中函數(shù)與方程的思想。一、教材分析

1.知識儲備：理解了函數(shù)的概念，掌握了基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并且在第三章“函數(shù)的應(yīng)用舉例”中已經(jīng)了解數(shù)學(xué)建模的流程，對函數(shù)知識有了初步的應(yīng)用能力。2.對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識：很多學(xué)生對于數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識還停留在“數(shù)學(xué)建模=應(yīng)用題”的階段，對于這種誤解有必要對學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)指導(dǎo)，認(rèn)識到數(shù)學(xué)建模是運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動。問題預(yù)設(shè)：用數(shù)學(xué)知識建立模型解決實際問題，需要有一定能力比較弱，這些要求對學(xué)生的學(xué)習(xí)造成了一定的困難。二、學(xué)情分析實驗設(shè)計思路與創(chuàng)新點02一、設(shè)計思路現(xiàn)實情境發(fā)現(xiàn)問題收集數(shù)據(jù)問題分析模型應(yīng)用模型猜想模型檢驗?zāi)Ｐ徒⑴c求解二、創(chuàng)新點1.將STEAM教育理念融入數(shù)學(xué)建模，培養(yǎng)了學(xué)生多學(xué)科知識學(xué)習(xí)的綜合能力，體現(xiàn)了育人價值；2.運用Matlab、計算機Excel輔助教學(xué)，讓學(xué)生深刻體會信息技術(shù)輔助知識學(xué)習(xí)的工具作用；3.滲透我國的傳統(tǒng)茶文化，激發(fā)民族自豪感；4.經(jīng)歷了從感性到理性的認(rèn)識過程，親身經(jīng)歷實踐探索的整個過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的獨立思考能力、合作意識和表達(dá)能力。實驗原理03一、實驗原理牛頓冷卻定律

對于同一物體溫度下降的速率,牛頓發(fā)現(xiàn)同一物體在外部介質(zhì)性質(zhì)及溫度相同,本身性質(zhì)及表面積相同時,物體冷卻的速率只與外部與物體的溫差有關(guān)。

一個較周圍熱的物體溫度為T,忽略表面積以及外部介質(zhì)性質(zhì)和溫度的變化.它的冷卻速率(dT/dt)與該物體的溫度與周圍環(huán)境的溫度C的差(T-C)成正比。

冷卻定律推導(dǎo)出來,在忽略表面積以及外部介質(zhì)性質(zhì)和溫度的變化,物體溫度變化是越來越慢的。實驗教學(xué)目標(biāo)04一、教學(xué)目標(biāo)1.從生活情境中提出數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模整個過程，掌握數(shù)學(xué)建模研究實際問題的一般思路和步驟。2.通過動手實踐，激發(fā)學(xué)生自主思考，促進(jìn)學(xué)生合作交流，發(fā)展學(xué)科實踐能力和創(chuàng)新意識，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科價值的理解和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。3.通過模型建立過程中對數(shù)據(jù)的處理分析，使學(xué)生掌握處理數(shù)據(jù)的基本方法，提升數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。實驗教學(xué)過程05環(huán)節(jié)一選題開題指導(dǎo)圖片展示創(chuàng)設(shè)情境設(shè)計意圖展示生活中建模成果，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模實踐的興趣與熱情，使課堂探究活動有章可循，有據(jù)可依，有的放矢。通過問題1，開門見山給出四個環(huán)節(jié)，明確數(shù)學(xué)建模實踐全過程?！締栴}1】如何自己完成這樣一個數(shù)學(xué)建模課題研究呢？對應(yīng)數(shù)學(xué)建模的基本流程，給出數(shù)學(xué)建模課題研究的四個環(huán)節(jié)———選題、開題、做題、結(jié)題?！締栴}2】你要選什么內(nèi)容來做數(shù)學(xué)建模課題研究呢？環(huán)節(jié)一選題開題指導(dǎo)設(shè)計意圖《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀》里提到“尋找并確立課題的過程是一個培養(yǎng)思維習(xí)慣的過程”，“選題”的意義可見一斑。萬事開頭難，選題對學(xué)生而言往往是最困難的一步，學(xué)生更習(xí)慣于“解決問題”，而不擅長“提問題”，通過選題這一環(huán)節(jié)，讓學(xué)生主動去發(fā)現(xiàn)問題，提出問題。【問題2】你要選什么內(nèi)容來做數(shù)學(xué)建模課題研究呢？丟棄的粉筆頭奶茶打折促銷互動環(huán)節(jié)二創(chuàng)設(shè)情境，提出問題設(shè)計意圖給出所要研究問題的背景，體驗感受中國的茶文化，以問題串的形式，逐漸引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而讓學(xué)生體會意識到建立茶水溫度和時間函數(shù)模型的必要性。茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)。經(jīng)驗表明某種綠茶用85℃的熱水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感?！締栴}3】針對以上實例我們能提出什么問題呢？【問題4】在這個問題中變量是什么？【問題5】如何建立兩者之間的函數(shù)模型呢？需要先做的第一步是什么？環(huán)節(jié)三選定對象，采集數(shù)據(jù)設(shè)計意圖讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的初始階段，體會到數(shù)據(jù)采集這一環(huán)節(jié)的重要性，為后面對數(shù)據(jù)的處理分析有重要的指導(dǎo)意義。準(zhǔn)備：每組初始溫度相同的茶水一杯，溫度計一支，秒表或手表一支。實施：以4人為一小組，其中一人負(fù)責(zé)用秒表（手表）讀時間，一人負(fù)責(zé)測量溫度，一人負(fù)責(zé)填寫《數(shù)據(jù)采集記錄表》，最后一人復(fù)查數(shù)據(jù)。環(huán)節(jié)三選定對象，采集數(shù)據(jù)活動圖片展示：環(huán)節(jié)四直觀呈現(xiàn)，散點作圖設(shè)計意圖讓學(xué)生經(jīng)歷散點作圖的過程，體會散點圖的作用，數(shù)少形時缺直觀的思想?！締栴}6】得到這些數(shù)據(jù)要怎么處理？提出問題：數(shù)據(jù)表明隨著時間的推移茶水溫度有怎樣的變化規(guī)律？數(shù)據(jù)收集結(jié)果：環(huán)節(jié)五選擇模型，求解模型設(shè)計意圖1.讓學(xué)生回顧以前所學(xué)習(xí)過的函數(shù)模型，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)，為后面模型的選擇做準(zhǔn)備。2.得到不符合實際的函數(shù)模型后，引導(dǎo)學(xué)生通過對解析式的結(jié)構(gòu)以及實際情況分析，校正模型。根據(jù)散點圖的走勢，你會選擇建立怎樣的函數(shù)模型？小組交流3-5分鐘，并將答案呈現(xiàn)在學(xué)案上。（呈現(xiàn)結(jié)果圖片)學(xué)生問題預(yù)設(shè)：【問題7】變量間關(guān)系可以建立一次函數(shù)模型嗎？考慮泡茶時的室溫是恒定的，溫度會一直降低下去嗎？【問題8】可以建立指數(shù)函數(shù)模型嗎？【問題9】是指數(shù)型函數(shù)嗎？根據(jù)選擇的函數(shù)模型與采集數(shù)據(jù)，求解函數(shù)模型由初始溫度85℃知，k=75,如何求a的值呢？環(huán)節(jié)五選擇模型，求解模型模型檢驗【問題10】如何檢驗?zāi)闼⒌暮瘮?shù)符合實際情況呢？解答：1.增加實驗次數(shù)，數(shù)據(jù)帶入函數(shù)模型或者畫出函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)該函數(shù)可以很好的反映茶水溫度隨時間變化的規(guī)律。2.利用matlab編程軟件，給學(xué)生演示擬合的函數(shù)結(jié)果，并對比兩種結(jié)果的誤差大小。設(shè)計意圖

1.由于高一學(xué)生知識儲備不足，故采取多次實驗減少偶然誤差，使模型盡可能精確，讓學(xué)生理解所得模型要符合實際的重要性.2.利用matlab軟件擬合函數(shù)，讓學(xué)生體會信息技術(shù)和數(shù)學(xué)學(xué)科的融合特點。環(huán)節(jié)六利用模型，解決問題設(shè)計意圖通過實際問題的最終解決，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)建模的意義和價值。經(jīng)過多長時間茶水可以達(dá)到最佳飲用口感？將y=60帶入函數(shù)：得：，左右兩邊同時取對數(shù)得：所以，泡制一杯最佳口感的茶水大約需要17.6分鐘.環(huán)節(jié)七歸納小結(jié)，課后思考設(shè)計意圖通過小結(jié)，讓學(xué)生更加清楚建立兩個變量模型的方法和步驟，課后探究活動結(jié)合當(dāng)下實時熱點問題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)建模在實際生活中應(yīng)用的重要意義，提高高中生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。課后探究活動：1.利用計算機擬合疫情與時間的變化規(guī)律函數(shù)模型，并進(jìn)行預(yù)測，給出控制傳染病蔓延的對策和建議。2.根據(jù)自己本學(xué)期周考成績，建立函數(shù)模型預(yù)測期末考試數(shù)學(xué)成績。123456實驗效果評價06實驗效果評價量表附錄：（課堂評價量表）課堂評價量表（單項10分）第（

）組1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分課前準(zhǔn)備課堂動手實驗

數(shù)據(jù)觀察

數(shù)據(jù)分析