專題13 三角形的相關(guān)性質(zhì)與判定（一）（云南專用）（原卷版）

專題13三角形的相關(guān)性質(zhì)與判定（一）目錄熱點題型歸納 1題型01三角形內(nèi)角和定理與外角和定理 1題型02三角形內(nèi)角和與外角和定理的應(yīng)用 4題型03三角形的三邊關(guān)系 6題型04與三角形有關(guān)線段問題 7題型05線段垂直平分線的性質(zhì)與判定 10題型06角平分線的性質(zhì)與判定 12中考練場 13 題型01三角形內(nèi)角和定理與外角和定理【解題策略】三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°．推論：直角三角形的兩個銳角互余.三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用：1)在三角形中,已知兩個內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個內(nèi)角的度數(shù)；2)在三角形中,已知三個內(nèi)角的比例關(guān)系,可以求出三個內(nèi)角的度數(shù)；3)在直角三角形中,已知一個銳角的度數(shù),可以求出另一個銳角的度數(shù).三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性質(zhì)：1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．方法總結(jié)三角形中角度計算的6種?？寄Ｐ停篈字模型8字模型飛鏢模型老鷹抓小雞模型（一）∠1+∠2=∠A+180°∠A+∠B=∠C+∠D∠C=∠A+∠B+∠D∠A+∠O=∠1+∠2老鷹抓小雞模型（二）雙角平分線模型（一）雙角平分線模型（二）雙角平分線模型（三）∠A+∠O=∠2-∠1∠D=90°+12∠D=90°-12∠E=12∠三角形折疊模型（一）三角形折疊模型（二）三角形折疊模型（三）∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠22∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠2【典例分析】例1．（2022·內(nèi)蒙古）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△EDC，使點B的對應(yīng)點D恰好落在AB邊上，AC、ED交于點F．若∠BCD=α，則∠EFC的度數(shù)是（用含α的代數(shù)式表示）（

）A．90°+12α B．90°?12α例2．（2023·四川）如圖，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2=35°,∠D=60°則∠B=（

）

A．52° B．50° C．45° D．25°【變式演練】1．（2022·安徽·一模）將兩個直角三角板如圖擺放，其中∠BCA=∠EDF=90°，∠E=45°，∠A=30°，BC與DE交于點P，AC與DF交于點Q．若AB∥EF，則∠DPC?∠DQC=（A．40° B．32.5° C．45.5° D．30°2．（2022·安徽合肥·二模）如圖是一款手推車的平面示意圖，其中AB∥CD，∠3=150°，∠1=30°，則A．60° B．70° C．80° D．90°3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現(xiàn)得到的∠1與∠2的和總是一個定值．則∠1+∠2=度．4．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射線CP從射線CA開始繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角0°<α<75°，與射線AB相交于點D，將△ACD沿射線CP翻折至△A'CD處，射線CA'與射線AB相交于點E．若△

題型02三角形內(nèi)角和與外角和定理的應(yīng)用【典例分析】例1．（2024·江西模擬）苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)是由德國化學家凱庫勒提出的．隨著研究的不斷深入，發(fā)現(xiàn)苯分子中的6個碳原子與6個氫原子均在同一平面，且所有碳碳鍵的鍵長都相等（如圖1），組成了一個完美的六邊形（正六邊形），圖2是其平面示意圖，則∠1的度數(shù)為（）

A．130° B．120° C．110° D．60°例2．（2023·山西模擬）綠色出行，健康出行，你我同行．某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖1是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖2是其示意圖，其中AB，CD都與地面平行，∠BCD=68°，∠BAC=52°．已知AM與CB平行，則∠MAC的度數(shù)為（

）圖1

圖2A．70° B．68° C．60° D．50°【變式演練】1．（2022·湖南）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB=120°，∠CDB=20°，則∠AEF=．2．（2024·陜西模擬）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點P，點F為焦點．若∠1=155°，∠2=30°，則∠3A．45° B．50° C．55° D．65°題型03三角形的三邊關(guān)系【解題策略】三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．【解題技巧】1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形．【典例分析】例1．（2024·湖南模擬）3.已知a，b，c是一個三角形的三邊，且a，b滿足a?1+(b?2)2=0.則c的取值范圍是______．例2．（2020·甘肅天水·統(tǒng)考中考真題）一個三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2?8x+12=0的根，則該三角形的周長為【變式演練】1．（2023·河北）四邊形ABCD的邊長如圖所示，對角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當△ABC為等腰三角形時，對角線AC的長為（

）

A．2 B．3 C．4 D．52.（2024·湖南模擬）2,5,m是某三角形三邊的長，則(m?3)2+(m?7)A．2m?10 B．10?2m C．10 D．4題型04與三角形有關(guān)線段問題【解題策略】三角形有關(guān)的線段的性質(zhì)：高（AD）中線（AD）角平分線（AD）中位線（DE）∠ADB=∠ADC=90°BD=CDS△ABD=S△ADCC∠BAD=∠DAC=12AD=DBAE=ECDE=12方法總結(jié)：1.三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的關(guān)系，由三角形的角平分線可得角之間的關(guān)系．2.常見三角形的高：3.當已知三角形兩邊的中點時，可考慮運用三角形中位線定理，得到相應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系.【典例分析】例1．（2024·山東模擬）觀察下列作圖痕跡，所作CD為△ABC的邊AB上的中線是(

)A. B.

C. D.例2．（2024·全國模擬）如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線，若AB=AC，∠CAD=20°，則∠ACE的度數(shù)是(

)

A.20° B.35° C.例3．（2024·廣東模擬）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點．若DE=2，則BC的長是(

)

A.3

B.4

C.5

D.6【變式演練】1．（2023·江蘇模擬）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D．若BF=3FE，則BDDC=2．（2023·黑龍江模擬）已知，如圖1，若AD是△ABC中∠BAC的內(nèi)角平分線，通過證明可得ABAC=BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì)．請你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖2，在△ABC中，BD=2,CD=3,AD是△ABC的內(nèi)角平分線，則△ABC的BC題型05線段垂直平分線的性質(zhì)與判定【解題策略】垂直平分線的概念：經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）.性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.方法總結(jié)：對于含有垂直平分線的題目，首先考慮將垂直平分線上的點與線段兩端點連接起來．【典例分析】例1．（2023·天津）如圖，在△ABC中，分別以點A和點C為圓心，大于12AC的長為半徑作弧(弧所在圓的半徑都相等)，兩弧相交于M，N兩點，直線MN分別與邊BC，AC相交于點D，E，連接AD.若BD=DC，AE=4，AD=5，則AB的長為(

)

A.9 B.8 C.7 D.6例2．（2022·湖北）如圖，在△ABC中，分別以點B和點C為圓心，大于12BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N．作直線MN，交AC于點D，交BC于點E，連接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，則△ABD的周長為（A．25 B．22 C．19 D．18【變式演練】1.（2023·山東）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以點A為圓心，以AB的長為半徑作弧交AC于點D，連接BD，再分別以點B，D為圓心，大于D的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線AP交BC于點E，連接DE，則下列結(jié)論中不正確的是(

)A.BE=DE B.AE=CE

C.CE=2BE D.S2．（2024·吉林模擬）如圖，在△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（

）A．AF=BF B．AE=C．∠DBF+∠DFB=90° D．∠BAF=∠EBC3．（2023·江西模擬）如圖，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延長線交BC于點E，若∠EAC=49°，則∠BAE的度數(shù)為題型06角平分線的性質(zhì)與判定【解題策略】角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．角平分線的判定定理：角的內(nèi)部，與角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上．方法總結(jié)性質(zhì)中的“距離”是指“點到角兩邊所在直線的距離”,因此在應(yīng)用時必須含有“垂直”這個條件,否則不能得到線段相等.【典例分析】例1．（2022·四川）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點D，DE//AB，交AC于點E，DF⊥AB于點F，DE=5,DF=3，則下列結(jié)論錯誤的是（

A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=9【變式演練】1．（2021·廣東深圳·中考真題）如圖，已知∠BAC=60°，AD是角平分線且AD=10，作AD的垂直平分線交AC于點F，作DE⊥AC，則△DEF周長為．2.（2022·江蘇）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°1．（2023·江蘇）如圖，△ABC中，∠BAC=55°，將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<55°),得到△ADE，DE交AC于F．當α=40°時，點D恰好落在BC上，此時∠AFE等于（

）

A．80° B．85° C．90° D．95°2．（2022·湖北）如圖，沿AB方向架橋修路，為加快施工進度，在直線AB上湖的另一邊的D處同時施工．取∠ABC=150°，BC=1600m，∠BCD=105°，則C，D兩點的距離是m3．（2023·江蘇）若一個等腰三角形的腰長為3，則它的周長可能是(

)A.5 B.10 C.15 D.204.（2023·四川）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為邊BC的中點，連結(jié)OE.若AC=6，BD=8，則OE=(

)A.2

B.52

C.3

D.5.（2022·四川）如圖，在△ABC中，∠CAD=90°，AD=3，AC=4，BD=DE=EC，點F是AB邊的中點，則DF=(

)

A.54 B.52 C.2 6.（2023·廣東）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，則點O是△ABC的(

)

A.三條邊的垂直平分線的交點 B.三條角平分線的交點

C.三條中線的交點 D.三條高的交點7．（2022·湖北）如圖，在△ABC中，分別以點B和點C為圓心，大于12BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N．作直線MN，交AC于點D，交BC于點E，連接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，則△ABD的周長為（A．25 B．22 C．19 D．188.（2023·內(nèi)蒙古）如圖，矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC于點M，N.若AM=1，BN=2，則BD的長為(

)A.23

B.3

C.29.（2023·浙江）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，∠B=∠ADB.若AB=4，則DC的長是

．

10.（2023·全國）如圖，在△ABC中，∠A=9