2022年暑假初升高數(shù)學(xué)第18講：函數(shù)的概念（學(xué)生版）

2022年暑假初升高數(shù)學(xué)第18講：函數(shù)的概

念

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴1通.過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽

關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.能用集合與對(duì)應(yīng)的象素養(yǎng).

語(yǔ)言刻畫出函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫數(shù)2.借助函數(shù)定義域的求解，培養(yǎng)數(shù)

學(xué)概念中的作用.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函3.借助與犬。）的關(guān)系，培養(yǎng)邏

數(shù)的定義域和值域.（重點(diǎn)）輯推理素養(yǎng).

K新知初探m

1.函數(shù)的概念

給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集A與B,以及對(duì)應(yīng)關(guān)系/,如果對(duì)于集合

A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x,按照對(duì)應(yīng)關(guān)系方在集合8中都有唯二

定義確定的實(shí)數(shù)y=/U）與x對(duì)應(yīng)，則稱/為定義在集合A上的一

個(gè)函數(shù),記作：y=y（x），x￡A,其中x稱為自變量，），稱為因

變量

對(duì)應(yīng)關(guān)

y=/U),xWA

三要系

素定義域自變量x的取值的范圍（即數(shù)集A）

值域所有函數(shù)值組成的集合｛y￡"V=/a）,16工

思考：（1）有人認(rèn)為表示的是“y等于7與x的乘積”，這種看法

對(duì)嗎？

（2次只與?〃）有何區(qū)別與聯(lián)系？

提示：（1）這種看法不對(duì).

符號(hào)y=/U）是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，應(yīng)理解為x是自變量，,是對(duì)

應(yīng)關(guān)系，y是自變量的函數(shù)，當(dāng)x允許取某一具體值時(shí)，相應(yīng)的），值為與該自變

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量值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.），=/□）僅僅是函數(shù)符號(hào)，不表示"），等于/'與上的乘積”.在

研究函數(shù)時(shí)，除用符號(hào)./U）外，還常用以外，/?。）等來(lái)表示函數(shù).

（2次x）與犬〃）的區(qū)別與聯(lián)系：人〃）表示當(dāng)時(shí)，函數(shù)共幻的值，是一個(gè)常量，

而兀r）是自變量入的函數(shù)，一般情況下，它是一個(gè)變量，以。）是段）的一個(gè)特殊值,

如一次函數(shù)次x）=3x+4,當(dāng)/=8時(shí)，H8）=3X8+4=28是一個(gè)常數(shù).

2.兩個(gè)函數(shù)相同

一般地，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相圓，對(duì)應(yīng)關(guān)系也想圓（即對(duì)自變量的每一

個(gè)值，兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都相等），則稱這兩個(gè)函數(shù)就是同一個(gè)函數(shù).

初，試身

1.思考辨析

（1）函數(shù)了=?￥）=/,與〃=4。=尸，表示的是同一個(gè)函數(shù).（）

（2）函數(shù)y=/*）=f［0,2］與g（x）=2x,x￡。2］表示的是同一個(gè)函數(shù).（）

（3）函數(shù)y=/U）=f,工￡。2］與//（工）=/,x￡（0,2）表示同一個(gè)函數(shù).（）

2.函數(shù)的定義域是()

A.[-1,+8)B.[-1,0)

C.(-1,+8)D.(-1,0)

3.若負(fù)㈤=?_^2,則7(3)=.

4.下表表示y是x的函數(shù)，則函數(shù)的值域是

Xx<22?x>3

y-101

合作探究。提素養(yǎng)

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、類型1函數(shù)的概念

【例1】(1)下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是()

A.兀r)=d?,g(x)=x

B./(x)=xfga)=m

c.X%)=A/P,g(x)=x

D./)=f，g(x)=(也)4

(2)判斷下列對(duì)應(yīng)/是否為定義在集合4上的函數(shù).

①4=R,B=R,對(duì)應(yīng)法則/：y=±;

②…⑦},B=R,/(1)=/(2)=3,43)=4；

3={1,2,3},3={4,5,6},對(duì)應(yīng)法則如圖所示.

現(xiàn)律方法

1.判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個(gè)條件

(1)4,B必須是非空實(shí)數(shù)集.

(2)4中任意一元素在B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng).

對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一”或“多對(duì)一”的是函數(shù)關(guān)系，“一對(duì)多”的不是函數(shù)

關(guān)系.

2.判斷函數(shù)相等的方法

(1)先看定義域，若定義域不同，則不相等；

(2)若定義域相同，再化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，看對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同.

◎跟蹤訓(xùn)練

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1.判斷下列對(duì)應(yīng)關(guān)系/是不是定義在集合A上的函數(shù).

(1)A=N,B=N\對(duì)應(yīng)法則力對(duì)集合A中的元素取絕對(duì)值與B中元素對(duì)應(yīng);

(2)4={-1,1,2,-2),B={1,4),對(duì)應(yīng)法則/：工一)，=?,)，￡&

(3)A={-1,1,2,一2},B={1,2,4},對(duì)應(yīng)法則聲xJ,yWB；

(4)A={三角形},B={x|x>0},對(duì)應(yīng)法則/：對(duì)4中元素求面積與B中元素

對(duì)應(yīng).

堡型27求函數(shù)的定義域

[探究問(wèn)題]

1.已知函數(shù)的解析式，求其定義域時(shí)，能否可以對(duì)其先化簡(jiǎn)再求定義域？

2.若函數(shù)y=/*+l)的定義域是[1,2],這里的“[1,2]”是指誰(shuí)的取值范圍？

函數(shù)y=/U)的定義域是什么？

【例2】求下列函數(shù)的定義域:

(1次力=2+不二；

（2/元）=（/—

(3/元)=如一不山一1；

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(x+1)2/------

(4次x)=Tp十一產(chǎn);.

［母題探究］

（變結(jié)論）在本例（3）條件不變的前提下，求函數(shù)y=ya+1）的定義域.

加律方法

求函數(shù)定義域的常用方法

（1）若加）是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零.

（2）若於）是偶次根式，則被開(kāi)方數(shù)大于或等于零.

（3）若於）是指數(shù)嘉，則函數(shù)的定義域是使嘉運(yùn)算有意義的實(shí)數(shù)集合.

（4）若段）是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個(gè)部分定義域的交集.

（5）若左）是實(shí)際問(wèn)題的解析式，則應(yīng)符合實(shí)際問(wèn)題，使實(shí)際問(wèn)題有意義.

◎跟蹤訓(xùn)練

2.下列函數(shù)的定義域不是R的是（）

A.y=x-\~\B.

C.y="D.y=2x

3.已知函數(shù)的定義域?yàn)镸,g（x）=d1的定義域?yàn)镹,則MAN

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=()

A.{x\x^-2]B.{x\x<2}

C.{x|-2<x<2)D.{x|-2^x<2)

W型3求函數(shù)值（值域）

【例3】設(shè)人外=2?+2,g（x）=］工.

（1）求人2），4。+3）,g（〃）+g（O）m#—2），g（A2））；

⑵求函數(shù)y=2x+l,123,4｝的值域.

現(xiàn)律方法

1.函數(shù)求值的方法

（1）已知7U）的表達(dá)式時(shí)，只需用。替換表達(dá)式中的x即得寅。）的值.

（2）求人以〃））的值應(yīng)遵循由里往外的原則.

2.求函數(shù)值域的常用方法

（1）觀察法：通過(guò)對(duì)解析式的簡(jiǎn)單變形和觀察，利用熟知的基本函數(shù)的值域,

求出函數(shù)的值域.如：①一次函數(shù)人工）="+伏&W0）的值域是R;②反比例函數(shù)

y（x）=§（zwo）的值域是3），20）；③二次函數(shù)於）=加+法+以〃20）,當(dāng)。＞o時(shí),

值域是小打一5;當(dāng)Y0時(shí)，值域是出0（一部）.

（2）配方法，判別式法是求解二次函數(shù)型值域的常用方法.

（3）換元法：通過(guò)對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，可將復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)

單的函數(shù)，從而求得函數(shù)的值域.

Q跟蹤訓(xùn)緘D

4.已知/U）=r+2x+3,求犬1）和川（-1））的值.

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5.求函數(shù)y=l—x2的值域.

r~^課堂小結(jié)m

1.判斷兩個(gè)函數(shù)相同

函數(shù)的定義主要包括定義域和定義域到值域的對(duì)應(yīng)法則，因此，判定兩個(gè)函

數(shù)是否相同時(shí)，就看定義域和對(duì)應(yīng)法則是否完全一致，完全一致的兩個(gè)函數(shù)才算

相同.

2.對(duì)函數(shù)定義的再理解

（1）函數(shù)的定義域必須是豐空實(shí)數(shù)集，因此定義域?yàn)榭占暮瘮?shù)不存在.如y

就不是函數(shù);集合A中的元素是實(shí)數(shù)，即且AGR.

（2）函數(shù)定義中強(qiáng)調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，即對(duì)于非空數(shù)集A

中的任意一個(gè)（任意性）元素x,都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y與之對(duì)應(yīng).這

三性只要有一個(gè)不滿足，便不能構(gòu)成函數(shù).

（3）函數(shù)7U）的定義域是非空數(shù)集A,但值域不一定是非空數(shù)集8,而是非空

數(shù)集8的子集.

例如，對(duì)于從集合A—R到集合R的函數(shù)y—值域是而不

是R.

當(dāng)堂達(dá)標(biāo)。國(guó)以基