滬科版八年級數(shù)學上學期考試滿分全攻略第03講一元二次方程的概念與解法(2大考點9種解題方法)(原卷版+解析)

第03講一元二次方程的概念與解法（2大考點9種解題方法）考點考向考點考向一、一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．二、一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一個關于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項．一次項系數(shù)b和常數(shù)項c可取任意實數(shù)，二次項系數(shù)a是不等于0的實數(shù)，這是因為當a=0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了．要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元二次方程化成一般形式．三、一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．四、解一元二次方程-直接開平方形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負數(shù)．②降次的實質是由一個二次方程轉化為兩個一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．五、解一元二次方程-配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．六、解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．七、解一元二次方程-公式法（1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．考點精講考點精講一．一元二次方程的定義（共1小題）1．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．32x﹣1＝0 B．x+＝3 C．x2＝（x﹣2）（x+1） D．（x﹣2）（x+2）+4＝0二．一元二次方程的一般形式（共3小題）2．（2021秋?普陀區(qū)校級月考）把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般式，則a、b、c的值分別是（）A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，23．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是關于x的一元二次方程，且不含x的一次項，則m，n＝．4．（2021秋?楊浦區(qū)期中）若關于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常數(shù)項為0，則m＝．三．一元二次方程的解（共2小題）5．（2021秋?金山區(qū)校級期中）關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，它的一個根為﹣1，則（）A．a+b+c＝0 B．a+b﹣c＝0 C．a﹣b+c＝0 D．a﹣b﹣c＝06．（2021秋?浦東新區(qū)校級期中）已知關于x的一元二次方程（a﹣3）x2+2x+a2﹣9＝0的一個根是0，則a＝．四．解一元二次方程-直接開平方法（共1小題）7．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）方程的解是．五．解一元二次方程-配方法（共3小題）8．（2021秋?松江區(qū)期末）用配方法解方程：．9．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）用配方法解方程：．10．（2021秋?徐匯區(qū)期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0．六．解一元二次方程-公式法（共2小題）11．（2021秋?普陀區(qū)校級月考）解方程：x2﹣3x﹣5＝0．12．（2021秋?金山區(qū)校級期中）用公式法解方程：x2﹣2x﹣3＝0．七．解一元二次方程-因式分解法（共2小題）13．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）方程2x2＝x的根是．14．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．八．換元法解一元二次方程（共3小題）15．（2021秋?普陀區(qū)校級月考）若（x2+y2）2+3（x2+y2）﹣4＝0，則x2+y2＝．16．（2021秋?金山區(qū)校級期中）解方程：（x﹣2）2+3（2﹣x）﹣10＝0．17．（2021秋?黃浦區(qū)期中）解方程：（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣3＝0．九．配方法的應用（共1小題）18．（2020秋?浦東新區(qū)校級月考）將化成a（x+b）2+c（a≠0）的形式．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·上海奉教院附中八年級期末）下列關于x的方程一定有實數(shù)根的是（）A． B． C． D．2．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）若，是方程的一個根，則值滿足（）A． B． C． D．3．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）下列方程中，滿足兩個實數(shù)根的和為2的方程是（）A． B． C． D．4．（2019·上海民辦浦東交中初級中學）已知分別是的邊長，則一元二次方程的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法判斷二、填空題5．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）當_______時，方程不是一元二次方程．6．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）已知關于的方程的一個根是-2，則它的另一個根是_______．7．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）若x1，x2是方程x2+x-1=0的兩根，則（x12+x1-2）（x22+x2-2）的值為_______．8．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）方程的二次項是_______；一次項系數(shù)是_______．9．（2021·上海市松江區(qū)新橋中學八年級期中）在實數(shù)范圍內，已知，則的值是______．10．（2020·上海金山區(qū)·八年級期中）方程的根是_________．11．（2021·上海奉教院附中八年級期末）在實數(shù)范圍內分解因式：______．12．（2020·上海金山區(qū)·八年級期中）對于實數(shù)，定義運算“”：．例如，因為，所以．若是一元二次方程的兩個根，則_________．13．（2019·上海市民辦嘉一聯(lián)合中學）方程的實數(shù)解為__________．三、解答題14．（2020·上海金山區(qū)·八年級期中）解方程：．15．（2020·上海市松江區(qū)民辦茸一中學八年級月考）解方程：（1）；（2）16．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）已知關于的方程沒有實數(shù)根，試判別方程的根的情況．（2019·上海民辦桃李園實驗學校八年級月考）用配方法解方程：（2019·上海民辦桃李園實驗學校八年級月考）解方程：（2020·上海金山區(qū)·八年級期中）解方程：（2019·上海市民辦嘉一聯(lián)合中學）解方程：（公式法）（2019·上海市民辦嘉一聯(lián)合中學）解方程：（配方法）22．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）在實數(shù)范圍內因式分解（1）；（2）．第03講一元二次方程的概念與解法（2大考點9種解題方法）考點考向考點考向一、一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．二、一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一個關于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項．一次項系數(shù)b和常數(shù)項c可取任意實數(shù)，二次項系數(shù)a是不等于0的實數(shù)，這是因為當a=0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了．要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元二次方程化成一般形式．三、一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．四、解一元二次方程-直接開平方形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負數(shù)．②降次的實質是由一個二次方程轉化為兩個一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．五、解一元二次方程-配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．六、解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．七、解一元二次方程-公式法（1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．考點精講考點精講一．一元二次方程的定義（共1小題）1．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．32x﹣1＝0 B．x+＝3 C．x2＝（x﹣2）（x+1） D．（x﹣2）（x+2）+4＝0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可．【解答】解：A．32x﹣1＝0，是一元一次方程，故A不符合題意；B．是分式方程，故B不符合題意；C．方程整理可得x+2＝0，是一元一次方程，故C不符合題意；D．（x﹣2）（x+2）+4＝0是一元二次方程，故D符合題意；故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵，注意：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．二．一元二次方程的一般形式（共3小題）2．（2021秋?普陀區(qū)校級月考）把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般式，則a、b、c的值分別是（）A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2【分析】a、b、c分別指的是一元二次方程的一般式中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項．【解答】解：由方程x（x+2）＝5（x﹣2），得x2﹣3x+10＝0，∴a、b、c的值分別是1、﹣3、10；故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0），在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．3．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是關于x的一元二次方程，且不含x的一次項，則m≠±2，n＝7．【分析】先將已知方程整理為一元二次方程的一般形式，然后根據(jù)一元二次方程的定義得到：二次項系數(shù)不為0；結合不含x的一次項知，一次項系數(shù)為0．【解答】解：由m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0知，（m2﹣4）x2+（n﹣7）x+4＝0．根據(jù)題意知，m2﹣4≠0，n﹣7＝0，解得m≠±2，n＝7．故答案是：≠±2，7．【點評】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．4．（2021秋?楊浦區(qū)期中）若關于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常數(shù)項為0，則m＝﹣3．【分析】方程整理為一般形式，根據(jù)常數(shù)項為0確定出m的值即可．【解答】解：方程整理得：（m﹣3）x2﹣3x+m2﹣9＝0，由常數(shù)項為0，得到m2﹣9＝0，解得：m＝3（舍去）或m＝﹣3，則m＝﹣3，故答案為：﹣3【點評】此題考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定義，其一般形式為ax2+bx+c＝0（a≠0）．三．一元二次方程的解（共2小題）5．（2021秋?金山區(qū)校級期中）關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，它的一個根為﹣1，則（）A．a+b+c＝0 B．a+b﹣c＝0 C．a﹣b+c＝0 D．a﹣b﹣c＝0【分析】直接把x＝﹣1代入方程得到a、b、c的關系，從而可對各選項進行判斷．【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0（a≠0）得a﹣b+c＝0．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．6．（2021秋?浦東新區(qū)校級期中）已知關于x的一元二次方程（a﹣3）x2+2x+a2﹣9＝0的一個根是0，則a＝﹣3．【分析】把x＝0代入已知方程，列出關于a的新方程，通過解新方程來求a的值．【解答】解：∵關于x的一元二次方程（a﹣3）x2+2x+a2﹣9＝0有一個根是0，∴a2﹣9＝0，解得：a＝±3，∵a﹣3≠0，∴a＝﹣3，故答案為：﹣3．【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義．能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．四．解一元二次方程-直接開平方法（共1小題）7．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）方程的解是x1＝x2＝﹣．【分析】兩邊開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：，x+1＝0，解得：x1＝x2＝﹣．【點評】本題考查了解一元二次方程，能把一元二次方程轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．五．解一元二次方程-配方法（共3小題）8．（2021秋?松江區(qū)期末）用配方法解方程：．【分析】兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，再開方即可得．【解答】解：∵，∴x2﹣2x+5＝4+5，即（x﹣）2＝9，∴x﹣＝3或x﹣＝﹣3，∴x1＝3+，x2＝﹣3+．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．9．（2021秋?虹口區(qū)校級期末）用配方法解方程：．【分析】根據(jù)配方法將方程變形，寫成完全平方的形式，即可解答此方程．【解答】解：，移項得：x2+x＝，配方得：，即，開方得：，解得：．【點評】本題考查解一元二次方程—配方法，解答本題的關鍵是會用配方法解方程．10．（2021秋?徐匯區(qū)期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0．【分析】解題時要注意解題步驟的準確應用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．【解答】解：x2﹣4x﹣2＝0，x2﹣4x＝2，x2﹣4x+4＝2+4，（x﹣2）2＝6，x﹣2＝±，解得x1＝2+，x2＝2﹣．【點評】本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．六．解一元二次方程-公式法（共2小題）11．（2021秋?普陀區(qū)校級月考）解方程：x2﹣3x﹣5＝0．【分析】根據(jù)公式法即可求出答案．【解答】解：∵x2﹣3x﹣5＝0，∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣5，∴△＝9﹣4×（﹣5）＝29＞0，∴x＝【點評】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎題型．12．（2021秋?金山區(qū)校級期中）用公式法解方程：x2﹣2x﹣3＝0．【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝20＞0，∴x＝＝，∴x1＝+，x2＝﹣．【點評】本題考查了用公式法解一元二次方程，能熟記公式是解此題的關鍵．七．解一元二次方程-因式分解法（共2小題）13．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）方程2x2＝x的根是x1＝0，x2＝．【分析】移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：2x2＝x，2x2﹣x＝0，x（2x﹣1）＝0，x＝0，2x﹣1＝0，x1＝0，x2＝，故答案為：x1＝0，x2＝．【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，解此題的關鍵是能把一元二次方程轉化成一元一次方程，難度適中．14．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．【分析】原方程的左邊含有公因式（x﹣3），可先提取公因式，然后再分解因式求解．【解答】解：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0（x﹣3）（3x﹣3）＝0解得：x1＝3，x2＝1．【點評】只有當方程的一邊能夠分解成兩個一次因式，而另一邊是0的時候，才能應用因式分解法解一元二次方程．分解因式時，要根據(jù)情況靈活運用學過的因式分解的幾種方法．八．換元法解一元二次方程（共3小題）15．（2021秋?普陀區(qū)校級月考）若（x2+y2）2+3（x2+y2）﹣4＝0，則x2+y2＝1．【分析】先設x2+y2＝t，則方程即可變形為t2+3t﹣4＝0，解方程即可求得t，根據(jù)x2+y2≥0，即x2+y2的值【解答】解：設t＝x2+y2，則原方程可化為：t2+3t﹣4＝0，即（t﹣1）（t+4）＝0∴t＝﹣4或1，∵x2+y2≥0，∴t＝1，即x2+y2＝1，故答案為1．【點評】本題主要考查了換元法，即把某個式子看作一個整體，用一個字母去代替它，實行等量替換．16．（2021秋?金山區(qū)校級期中）解方程：（x﹣2）2+3（2﹣x）﹣10＝0．【分析】將x﹣2看作整體，利用因式分解法求解可得．【解答】解：（x﹣2）2+3（2﹣x）﹣10＝0，（x﹣2）2﹣3（x﹣2）﹣10＝0，∴（x﹣2﹣5）（x﹣2+2）＝0，即x（x﹣7）＝0，∴x＝0或x﹣7＝0，∴x1＝0，x2＝7．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．17．（2021秋?黃浦區(qū)期中）解方程：（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣3＝0．【分析】方法一：利用因式分解法解方程；方法二：設x﹣2＝y(tǒng)，則原方程變?yōu)閥2﹣4y+3＝0，然后解關于y的方程，最后再來求x的值．【解答】方法一：解：（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣3＝0．（x﹣2﹣3）（x﹣2+1）＝0，（x﹣5）（x﹣1）＝0，∴x﹣5＝0或x﹣1＝0，∴x1＝5；x2＝1．方法二：解：x﹣2＝y(tǒng)，則有y2﹣2y﹣3＝0，∴（y+1）（y﹣3）＝0；解得，y＝﹣1或y＝3；①當y＝﹣1時，x＝1；②當y＝3時，x＝5．【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．九．配方法的應用（共1小題）18．（2020秋?浦東新區(qū)校級月考）將化成a（x+b）2+c（a≠0）的形式﹣（x﹣5）2+4．【分析】原式提取﹣，利用完全平方公式配方即可得到結果．【解答】解：原式＝﹣（x2﹣10x+25）+4＝﹣（x﹣5）2+4．故答案為：﹣（x﹣5）2+4．【點評】此題考查了配方法的應用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·上海奉教院附中八年級期末）下列關于x的方程一定有實數(shù)根的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別根據(jù)方程的解得定義，從a的取值出發(fā)進行判斷．【詳解】解：A、有實數(shù)解，故符合；B、，當a=0時，等式不成立，即方程無實數(shù)解，故不符合；C、，當a=0時，等式不成立，即方程無實數(shù)解，故不符合；D、，當a＜0時，等式不成立，即方程無實數(shù)解，故不符合；故選A．【點睛】本題考查了方程的解，解題的關鍵是理解方程的解的定義，對a值進行取值驗證．2．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）若，是方程的一個根，則值滿足（）A． B． C． D．【答案】C【分析】方程的根就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值；利用這一知識點求出未知字母系數(shù)后，要善于觀察未知數(shù)的系數(shù)；將x=1代入原方程即可解得k的值．【詳解】解：把x=1代入方程（k-1）x2+（k2-1）x-k+1=0，可得k-1+k2-1-k+1=0，即k2=1，解得k=-1或1；但當k=1時k-1和k2-1均等于0，故應舍去；所以，取k=-1；故選：C．【點睛】此題應特別注意求出未知字母系數(shù)的值后，要代入原方程看是否符合題意．3．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）下列方程中，滿足兩個實數(shù)根的和為2的方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系可對A、B、D進行判斷；根據(jù)根的判別式對C進行判斷．【詳解】解：A、x1+x2=0，所以A選項不符合；B、x1+x2=2，所以B選項符合；C、Δ=4-4×2＜0，方程沒有實數(shù)根，所以C選項不符合；D、x1+x2=-2，所以D選項不符合．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=，x1?x2=，也考查了一元二次方程的根的判別式．4．（2019·上海民辦浦東交中初級中學）已知分別是的邊長，則一元二次方程的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法判斷【答案】A【分析】由于這個方程是一個一元二次方程，所以利用根的判別式可以判斷其根的情況．而△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2，根據(jù)三角形的三邊關系即可判斷．【詳解】解：△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2=4（c+a+b）（c-a-b）．∵a，b，c分別是三角形的三邊，∴a+b＞c．∴c+a+b＞0，c-a-b＜0，∴△＜0，∴方程沒有實數(shù)根．故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形三邊關系、一元二次方程的根的判別式等知識點．重點是對（2c）2-4（a+b）（a+b）進行因式分解．二、填空題5．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）當_______時，方程不是一元二次方程．【答案】±【分析】根據(jù)方程不是一元二次方程得出二次項系數(shù)等于0，求出即可．【詳解】解：∵不是一元二次方程，∴a2-3=0，解得：a=±，故答案為：±．【點睛】本題考查了對一元二次方程的定義的應用，注意：一元二次方程：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)，且a≠0）．6．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）已知關于的方程的一個根是-2，則它的另一個根是_______．【答案】【分析】設方程的另一個根為t，利用根與系數(shù)的關系得到-2t=-3，然后解一元一次方程即可．【詳解】解：設方程的另一個根為t，根據(jù)題意得-2t=-3，解得t=，即方程的另一個根是，故答案為：．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=．7．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）若x1，x2是方程x2+x-1=0的兩根，則（x12+x1-2）（x22+x2-2）的值為_______．【答案】1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得到，，代入計算即可．【詳解】解：∵x1，x2是方程x2+x-1=0的兩根，∴，，∴，，∴==1故答案為：1．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，解體的關鍵是掌握方程的解能使方程等式兩邊成立．8．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）方程的二次項是_______；一次項系數(shù)是_______．【答案】-2【分析】要確定二次項系數(shù)、一次項系數(shù)，首先要把方程化成一般形式．【詳解】解：由方程得：，∴該方程的二次項是，一次項系數(shù)是-2，故答案為：，-2．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．9．（2021·上海市松江區(qū)新橋中學八年級期中）在實數(shù)范圍內，已知，則的值是______．【答案】-3【分析】直接利用換元法解方程，再利用一元二次方程的解法分析得出答案．【詳解】解：設，則，，故，解得：，，當時，則，此時△，此方程無解，故，故的值是．故答案為：．【點睛】此題主要考查了換元法解方程，正確解一元二次方程是解題關鍵．10．（2020·上海金山區(qū)·八年級期中）方程的根是_________．【答案】，【分析】移項后利用因式分解法直接求解即可．【詳解】解：移項可得，分解因式可得，∴或，∴，，故答案為：，．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法是解題的關鍵．11．（2021·上海奉教院附中八年級期末）在實數(shù)范圍內分解因式：______．【答案】【分析】首先根據(jù)求出方程的兩個根，然后即可分解因式．【詳解】令,∴,,故答案為：．【點睛】本題主要考查因式分解，根據(jù)方程求出兩個解是關鍵．12．（2020·上海金山區(qū)·八年級期中）對于實數(shù)，定義運算“”：．例如，因為，所以．若是一元二次方程的兩個根，則_________．【答案】或【分析】首先解出一元二次方程的兩個解，然后根據(jù)定義新運算分情況討論即可．【詳解】∵是一元二次方程的兩個根，，∴或，當時，；當時，；綜上所述，的值為或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查定義新運算，分情況討論是關鍵．13．（2019·上海市民辦嘉一聯(lián)合中學）方程的實數(shù)解為__________．【答案】；【分析】通過移項、系數(shù)化為1、開平方先求出，舍去負值后進一步開平方即可．【詳解】解：移項后可得：或（舍）故答案為：．【點睛】本題考查了高次方程的求解問題，解題步驟參照解一元二次方程的步驟，將方程逐步轉化為(n為偶數(shù)，a為常數(shù)）的形式，再通過逐步開平方降次即可求解，注意解題過程中不符合條件的值舍去即可．三、解答題14．（2020·上海金山區(qū)·八年級期中）解方程：．【答案】x1=，x2=0【分析】先移項，然后用因式分解法求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴2x-5=0，2x=0，∴x1=，x2=0．故答案為：x1=，x2=0．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關鍵．15．（2020·上海市松江區(qū)民辦茸一中學八年級月考）解方程：（1）；（2）【答案】（1），；（2）．【分析】（1）直接利用公式法求解即可；（2）移項后利用十字相乘法因式分解即可求解．【詳解】解：（1），∴，∴，∴，；（2），，，，即或，解得．【點睛】本題考查解一元二次方程．熟練掌握解一元二次方程的幾種方法并能靈活運用是解題關鍵．16．（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）已知關于的方程沒有實數(shù)根，試判別方程的根的情況．【答案】1個或2個【分析】由方程mx2-2（m+2）x+m+5=0沒有實數(shù)根，得△1=4（m+2）2-4m（m+5）＜0，解得m＞4．關于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x+m=0，當m-5=0，為一元一次方程，有一個根；當m-5≠0時，△2=4（m+2）2-4m（m-5）=4（9m+4）＞