2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 46 第六章 第四節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)考試要求：1．能以立體幾何中的定義、基本事實(shí)和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理．2．能運(yùn)用基本事實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形中垂直關(guān)系的簡單命題．自查自測知識點(diǎn)一直線與平面垂直判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．(1)如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直．(×)(2)如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直．(×)(3)如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直．(√)(4)已知△ABC和兩條不同的直線l，m，若l⊥AB，l⊥AC,m⊥BC，m⊥AC，則直線l∥m.(√)核心回扣1．判定定理：文字語言：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．符號表示：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α.2．性質(zhì)定理：文字語言：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．符號表示：a⊥α，b⊥α?a∥b．注意點(diǎn)：判定定理中平面內(nèi)的兩條直線必須是相交直線．自查自測知識點(diǎn)二平面與平面垂直1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．(1)如果平面α內(nèi)有一條直線垂直于平面β內(nèi)的一條直線，那么α⊥β.(×)(2)如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個(gè)平面．(×)(3)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.(×)(4)如果兩個(gè)平面垂直，那么垂直于交線的直線必垂直于其中一個(gè)平面．(×)2．(教材改編題)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥矩形底面ABCD，則四棱錐的四個(gè)側(cè)面中，一定垂直的側(cè)面有________對．3解析：由題意知PA⊥矩形底面ABCD，所以PA⊥CD.又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD.因?yàn)镃D?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.同理可得平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB.核心回扣1．面面垂直的定義：兩個(gè)相交平面所成的二面角是直二面角．2．判定定理：文字語言：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直．符號表示：l⊥α，l?β?α⊥β.3．性質(zhì)定理：文字語言：兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直．符號表示：α⊥β，l?β，α∩β＝a，l⊥a?l⊥α．注意點(diǎn)：面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù)．我們要作一個(gè)平面的一條垂線，通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面，在這個(gè)垂面中，作交線的垂線即可．自查自測知識點(diǎn)三線面角和二面角1．(教材改編題)若正四棱錐的所有棱長都相等，則該棱錐的側(cè)棱與底面所成的角的大小為(B)A．30? B．45?C．60? D．90?2．在正四面體A-BCD中，二面角A-BC-D的余弦值是()A．13 B．C．33 D．A解析：如圖，取BC的中點(diǎn)F，連接AF，DF，則AF⊥BC，DF⊥BC，所以∠AFD為二面角A-BC-D的平面角．設(shè)正四面體D-ABC的棱長為6，在正三角形ABC中，AF＝ABsin60?＝33.同理DF＝BDsin60?＝33.在△AFD中，由余弦定理得cos∠AFD＝FD23．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(diǎn)(不同于A，B)且PA＝AC，則二面角P-BC-A的大小為()A．60? B．30?C．45? D．15?C解析：由條件得，PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，所以BC⊥平面PAC，所以∠PCA為二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45?.核心回扣1．線面角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角．(2)特例：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90?，一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0?．(3)取值范圍：．2．二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形.(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角．(3)取值范圍：[0，π]．【常用結(jié)論】1．若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線．2．若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．3．一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直．4．兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．應(yīng)用1已知l1，l2是平面α內(nèi)的兩條直線，l是空間中的一條直線，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥l1且l⊥l2”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A解析：當(dāng)l⊥α?xí)r，l1?α，l2?α，所以l⊥l1且l⊥l2；當(dāng)l⊥l1且l⊥l2，l1?α，l2?α?xí)r，因?yàn)闊o法判斷l(xiāng)1，l2是否相交，所以l⊥α可能成立，也可能不成立．綜上，“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥l1且l⊥l2”的充分不必要條件．應(yīng)用2(多選題)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面．下列說法中正確的是()A．若m∥α，m?β，α∩β＝n，則m∥nB．若m∥n，m∥α，則n∥αC．若α∩β＝n，α⊥γ，β⊥γ，則n⊥γD．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，則β∥γACD解析：由線面平行的性質(zhì)可知A正確．若m∥n，m∥α，則n?α或n∥α，故B錯(cuò)誤．若α⊥γ，則在γ內(nèi)可作a⊥α.因?yàn)棣痢搔拢絥，所以n?α，則a⊥n.同理，在γ內(nèi)可作b⊥β，可得b⊥n.因?yàn)棣痢搔拢絥，所以a，b也相交，所以n⊥γ，故C正確．若m⊥α，m⊥β，則α∥β，又α∥γ，由平行的傳遞性可得β∥γ，故D正確．垂直關(guān)系的基本問題1．如果直線l，m與平面α，β，γ滿足：l＝β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有()A．l⊥m B．m∥βC．m⊥β D．l∥mA解析：因?yàn)閙⊥γ，且l?γ，所以l⊥m，A正確，D錯(cuò)誤．直線m和平面β不能確定關(guān)系．2．(多選題)(2024·聊城模擬)已知空間中的兩條直線m，n和兩個(gè)平面α，β，則“α⊥β”的充分條件是()A．m⊥α，m∥βB．m?α，n?β，m⊥nC．m?α，m∥n，n⊥βD．m⊥n，m⊥α，n⊥βACD解析：若m∥β，則存在一條直線l?β，使得m∥l.因?yàn)閙⊥α，所以l⊥α.又l?β，所以α⊥β，即條件“m⊥α，m∥β”能夠推出“α⊥β”，故A正確．當(dāng)m?α，n?β，m⊥n時(shí)，α，β可能相交或平行，故B錯(cuò)誤．若n⊥β，m∥n，則m⊥β.因?yàn)閙?α，所以α⊥β，故C正確．若m⊥n，m⊥α，則n∥α或n?α.因?yàn)閚⊥β，所以α⊥β，故D正確．3．(多選題)若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是真命題的為()A．過點(diǎn)P垂直于平面α的直線平行于平面βB．過點(diǎn)P垂直于直線l的直線在平面α內(nèi)C．過點(diǎn)P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi)D．過點(diǎn)P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面βACD解析：由于過點(diǎn)P垂直于平面α的直線必平行于平面β內(nèi)垂直于交線的直線，所以該直線平行于平面β，因此A正確；過點(diǎn)P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α，不一定在平面α內(nèi)，因此B不正確；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知，選項(xiàng)C，D正確．與線面垂直關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷方法(1)借助幾何圖形來說明線面關(guān)系要做到作圖快、準(zhǔn)，甚至無須作圖通過空間想象來判斷．(2)尋找反例，只要存在反例，結(jié)論就不正確．(3)反復(fù)驗(yàn)證所有可能的情況，必要時(shí)要運(yùn)用判定定理或性質(zhì)定理進(jìn)行簡單說明．幾何法求線面角和二面角【例1】(1)(2023·全國乙卷)已知△ABC為等腰直角三角形，AB為斜邊，△ABD為等邊三角形．若二面角C-AB-D為150?，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為()A．15 B．C．35 D．C解析：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，DE.因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，且AB為斜邊，所以CE⊥AB.因?yàn)椤鰽BD是等邊三角形，所以DE⊥AB，所以∠CED為二面角C-AB-D的平面角，即∠CED＝150?.因?yàn)镃E∩DE＝E，CE，DE?平面CDE，所以AB⊥平面CDE.因?yàn)锳B?平面ABC，所以平面CDE⊥平面ABC.因?yàn)槠矫鍯DE∩平面ABC＝CE，CD?平面CDE，所以直線CD在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE，所以∠DCE為直線CD與平面ABC所成的角．令A(yù)B＝2，則CE＝1，DE＝3，在△CDE中，由余弦定理，得CD2＝CE2＋DE2－2CE·DEcos∠CED＝1＋3－2×1×3×－32＝7，所以由正弦定理，得DEsin即sin∠DCE＝3sin顯然∠DCE是銳角，所以cos∠DCE＝1－tan∠DCE＝sin∠DCEcos∠DCE＝(2)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，若AB＝AD＝23，CC1＝2，則二面角C1-30?解析：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接C1O.因?yàn)镃1D＝C1B，O為BD的中點(diǎn)，所以C1O⊥BD.因?yàn)锳C⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1BDC的平面角．在Rt△C1CO中，C1C＝2，CO＝12AC＝所以sin∠C1OC＝C1CC1O＝1由圖可知，二面角C1-BD-C為銳二面角，即二面角C1-BD-C的大小為30?.求線面角、二面角的常用方法(1)線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線、找垂足，把線面角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解．(2)二面角大小的求法：二面角的大小用它的平面角來度量．平面角的作法常見的有定義法和垂面法．注意利用等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)．1．在三棱錐P-ABC中，已知△ABC是邊長為8的等邊三角形，PA⊥平面ABC，PA＝14，則直線AB與平面PBC所成角的正弦值為()A．7183122 BC．5183122 DA解析：因?yàn)镻A⊥平面ABC，AB，AC?平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC.由題意可得PB＝PC＝82在△PBC中，設(shè)邊BC上的高為h，則h＝PB2所以△PBC的面積S△PBC＝12設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d，因?yàn)閂P-ABC＝VA-PBC，即13×14×1設(shè)直線AB與平面PBC所成的角為θ，則sinθ＝dAB2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為PA，BC的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面PCD；(2)若PD⊥平面ABCD，∠ADC＝120?，且PD＝2AD＝4，求平面DEF與平面ABCD的夾角的余弦值．(1)證明：如圖，取PD的中點(diǎn)G，連接GE，GC.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PA，BC的中點(diǎn)，底面ABCD為菱形，所以GE∥DA∥CF，GE＝12DA＝1所以四邊形GEFC是平行四邊形，所以EF∥GC.又因?yàn)镚C?平面PCD，EF?平面PCD，所以EF∥平面PCD.(2)解：如圖，取AD的中點(diǎn)H，連接EH，則EH∥PD，EH＝12PD＝因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以EH⊥平面ABCD.因?yàn)椤螦DC＝120?，四邊形ABCD為菱形，所以∠DCB＝60?，所以△BCD為正三角形．又因?yàn)镕為BC的中點(diǎn)，所以∠CDF＝30?，∠FDA＝∠ADC－∠CDF＝90?，即AD⊥DF.因?yàn)槠矫鍰EF∩平面ABCD＝DF，所以∠EDH(或其補(bǔ)角)為平面DEF與平面ABCD的夾角，cos∠EDH＝DHDE所以平面DEF與平面ABCD的夾角的余弦值為55線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)考向1線面垂直的判定與性質(zhì)【例2】(2024·淄博質(zhì)檢)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60?，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.證明：(1)在四棱錐P-ABCD中，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.因?yàn)锳C⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以CD⊥平面PAC.因?yàn)锳E?平面PAC,所以CD⊥AE.(2)因?yàn)镻A＝AB＝BC，∠ABC＝60?，所以△ABC為等邊三角形，故AC＝PA.因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因?yàn)镻D?平面PCD，所以AE⊥PD.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以PA⊥AB.又因?yàn)锳B⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD.因?yàn)镻D?平面PAD，所以AB⊥PD.又因?yàn)锳B∩AE＝A，AB，AE?平面ABE，所以PD⊥平面ABE.1．證明線面垂直的四種方法(1)利用線面垂直的判定定理．(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”．(3)利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則其與另一個(gè)也垂直”．(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理．2．證明線線垂直的四種方法(1)利用特殊圖形(直角三角形、矩形、直角梯形)中的垂直關(guān)系．(2)利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì)．(3)利用勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算證明．(4)利用直線與平面垂直的定義和性質(zhì)．考向2面面垂直的判定與性質(zhì)【例3】(1)如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90?，且BC1⊥AC，過點(diǎn)C1作C1H⊥平面ABC，垂足為H，則點(diǎn)H在()A．直線AC上 B．直線AB上C．直線BC上 D．△ABC內(nèi)部B解析：如圖，連接AC1.因?yàn)锽C1⊥AC，BA⊥AC，且BC1∩BA＝B，BC1，BA?平面ABC1，所以AC⊥平面ABC1.又因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABC1.因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ABC1＝AB，由面面垂直的性質(zhì)可知，要過點(diǎn)C1作C1H⊥平面ABC，則只需過點(diǎn)C1作C1H⊥AB即可，故點(diǎn)H在直線AB上．(2)(2024·濟(jì)南模擬)在三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝6，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC＝30?，則PC＝()A．6 B．26C．10 D．210C解析：如圖，三棱錐P-ABC.因?yàn)镻A＝PB＝6，PA⊥PB，所以AB＝23.因?yàn)锳B⊥BC，∠BAC＝30?，所以BC＝ABtan30?＝2.因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，AB⊥BC，BC?平面ABC，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，所以PC＝PB2證明面面垂直的常用方法(1)證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理．(2)已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．1．(多選題)(2024·麗水模擬)已知正方體ABCD-A1B1C1D1，E是BC1的中點(diǎn)，則()A．AE∥平面A1BB1 B．BD1⊥ACC．A1E⊥AD1 D．A1E⊥平面BCC1B1BC解析：如圖1，連接A1B，AE.由圖可知AE與平面A1BB1相交于點(diǎn)A，故A錯(cuò)誤．圖1如圖2，連接AC，BD，BD1，因?yàn)锳C⊥DD1，AC⊥BD，DD1∩BD＝D，BD，DD1?平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1.因?yàn)锽D1?平面BDD1，所以AC⊥BD1，故B正確．圖2如圖3，連接A1B，A1C1，AD1，A1E，則△A1BC1為等邊三角形．因?yàn)镋為BC1的中點(diǎn)，所以A1E⊥BC1.因?yàn)锳D1∥BC1，所以A1E⊥AD1，故C正確．圖3由于A1B1⊥BCC1B1，過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，故A1E不垂直于平面BCC1B1，故D錯(cuò)誤．2．如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA＝PC＝AB＝2，且平面PAC⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AB，PC的中點(diǎn)．(1)求證：BD⊥PC；(2)求點(diǎn)E到平面PAD的距離．(1)證明：由正方形ABCD，可知BD⊥AC.因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面PAC.因?yàn)镻C?平面PAC，所以BD⊥PC.(2)解：如圖，設(shè)AC∩BD＝O，連接PO，DE，PE.因?yàn)镻A＝PC＝2，O為AC的中點(diǎn)，所以PO⊥AC.因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，PO?平面PAC，所以PO⊥平面ABCD，即PO是三棱錐P-ADE的高．因?yàn)锳B＝2，所以AO＝OD＝2，所以PO＝PA2因?yàn)镽t△POD≌Rt△POA，所以PA＝PD＝2，△APD是等邊三角形．設(shè)點(diǎn)E到平面PAD的距離為d，因?yàn)閂E-PAD＝VP-ADE，所以13S△PAD·d＝13S△ADE·即34×4×d所以點(diǎn)E到平面PAD的距離為63課時(shí)質(zhì)量評價(jià)(三十五)1．(多選題)下列說法正確的是()A．若直線a不平行于平面α，a?α，則α內(nèi)不存在與a平行的直線B．若一個(gè)平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個(gè)平面β，則α∥βC．設(shè)l，m，n為直線，m，n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的充要條件D．若平面α⊥平面α1，平面β⊥平面β1，則平面α與平面β所成的二面角和平面α1與平面β1所成的二面角相等或互補(bǔ)AB解析：若α內(nèi)存在直線與a平行，則由直線和平面平行的判定定理知直線a與平面α平行，與條件相矛盾，故A正確；由面面平行的判定定理可知B正確；由線面垂直的判定定理知，當(dāng)直線m，n不相交時(shí)，由l⊥m且l⊥n，得不到l⊥α，故C錯(cuò)誤；當(dāng)α1∥β1且α⊥β時(shí)，可滿足題設(shè)條件，此時(shí)平面α與平面β所成的二面角為90?，平面α1與平面β1所成的二面角為0?，故D錯(cuò)誤．2．(數(shù)學(xué)與文化)在《九章算術(shù)》中，將一種特殊的四面體叫做“鱉臑”，它的四個(gè)面均為直角三角形．如圖，在四面體P-ABC中，設(shè)E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點(diǎn)，連接AE，AF，EF(此外不再增加任何連線)，則圖中直角三角形最多有()A．6個(gè) B．8個(gè)C．10個(gè) D．12個(gè)C解析：為使題圖中有盡可能多的直角三角形，設(shè)四面體P-ABC為“鱉臑”，其中PA⊥平面ABC，且AB⊥BC，易知CB⊥平面PAB.若AE⊥PB，EF⊥PC，由CB⊥平面PAB，得平面PAB⊥平面PBC.又AE⊥PB，平面PAB∩平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，且AE⊥PC.又EF⊥PC，知四面體P-AEF也是“鱉臑”，則題圖中的10個(gè)三角形全是直角三角形．3．已知三棱錐D-ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，則平面BCD與平面BCA夾角的大小是()A．π4 B．C．π2 D．C解析：如圖，取BC的中點(diǎn)為E，連接AE，DE.因?yàn)椤鰽BC，△DBC和△BAD全等，又AB＝AC＝3，BC＝2，所以DB＝DC＝3，AD＝2.因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠AED為平面BCD與平面BCA夾角的平面角．在△ABC中，AE⊥BC，AB＝AC＝3，BC＝2，所以AE＝2，同理可得DE＝2.在△AED中，因?yàn)锳E＝2，DE＝2，所以DE2＋AE2＝AD2，所以∠AED＝π2因此平面BCD與平面BCA夾角的大小為π24．(2024·惠州模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)DM⊥PC(或BM⊥PC)解析：連接AC(圖略)，由三垂線定理可知，BD⊥PC.所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)直線BD1與直線AD所成的角為α，直線BD1與平面CDD1C1所成的角為β，則α＋β＝________.π2解析：如圖，因?yàn)锳D∥BC，所以∠D1BC為直線BD1與直線AD所成的角，即∠D1BC＝α因?yàn)锽C⊥平面CDD1C1，所以∠BD1C為直線BD1與平面CDD1C1所成的角，即∠BD1C＝β，且BC⊥D1C.在Rt△BD1C中，∠BCD1＝π2，所以∠D1BC＋∠BD1C＝π2，即α＋β＝6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，△PBA為銳角三角形，且PB⊥BC.求證：(1)AD∥平面PBC；(2)平面PBC⊥平面PAB.證明：(1)因?yàn)锽C∥平面PAD，BC?平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD.因?yàn)锳D?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.(2)過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，如圖．因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥平面ABCD.因?yàn)锽C?平面ABCD，所以BC⊥PH.因?yàn)椤鱌BA為銳角三角形，所以點(diǎn)H與點(diǎn)B不重合，即PB∩PH＝H.又因?yàn)镻B⊥BC，PB，PH?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB.7．(2022·全國乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則()A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1DA解析：如圖，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC.由正方體的性質(zhì)知AC⊥BD，AC⊥DD1.因?yàn)锽D∩DD1＝D，且BD，DD1?平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1，則EF⊥平面BDD1.因?yàn)镋F?平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正確．由選項(xiàng)A可知，平面B1EF⊥平面BDD1，而平面BDD1∩平面A1BD＝BD，在該正方體中，試想D1運(yùn)動至A1時(shí)，平面B1EF不可能與平面A1BD垂直，故B錯(cuò)誤．在平面ABB1A1中，易知AA1與B1E相交，所以平面B1EF與平面A1AC不平行，故C錯(cuò)誤．易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C與平面B1EF有公共點(diǎn)B1，所以平面B1EF與平面A1C1D不可能平行，故D錯(cuò)誤．8．(多選題)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個(gè)動點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝22，則下列結(jié)論中正確的有(A．當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動時(shí)，A1C⊥AE總成立B．當(dāng)點(diǎn)E向點(diǎn)D1運(yùn)動時(shí)，二面角A-EF-B逐漸變小C．二面角E-AB-C的最小值為45?D．三棱錐A-BEF的體積為定值A(chǔ)CD解析：對于A，因?yàn)樵谡襟wABCD-A1B1C1D1中可證其體對角線A1C⊥平面AB1D1，而AE?平面AB1D1，所以A1C⊥AE恒成立，故A正確；對于B，平面EFB即平面BDD1B1，而平面EFA即平面AB1D1，所以當(dāng)點(diǎn)E向點(diǎn)D1運(yùn)動時(shí)，二面角A-EF-B的大小不變，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)點(diǎn)E向點(diǎn)D1運(yùn)動時(shí)，平面ABE逐漸向底面ABCD靠攏，這個(gè)過程中，二面角E-AB-C越來越小，所以二面角E-AB-C的最小值為∠D1AD＝45?，故C正確；對于D，因?yàn)镾△BEF＝12×22×1＝24，點(diǎn)A到平面BDD1B1的距離為22，所以三棱錐A-BEF9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD.若在邊BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ⊥DQ，則a＝________.2解析：如圖，連接AQ，取AD的中點(diǎn)O，連接OQ.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥DQ.又因?yàn)镻Q⊥DQ，PA∩PQ＝P，PA，PQ?平面PAQ，所以DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ，所以點(diǎn)Q在以線段AD的中點(diǎn)O為圓心，AD為直徑的圓上．又因?yàn)樵贐C上有且僅有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ⊥DQ，所以BC與圓O相切，所以O(shè)Q⊥BC.因?yàn)锳D∥BC，所以O(shè)Q＝AB＝1，所以BC＝AD＝2OQ＝2，即a＝2.10．(2023·全國甲卷