拓展3 導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)、不等式的綜合運(yùn)用（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修二

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】拓展3導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)、不等式的綜合運(yùn)用（精講）考點(diǎn)一不等式成立【例1】（2022遼寧?。┮阎瘮?shù)，定義域都是，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，．(1)求函數(shù)和的解析式；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【解析】（1）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，所以，由，，.（2）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以為偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，所以為上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以，，所以．根據(jù)題意，恒成立，所以．故實(shí)數(shù)的取值范圍是．【一隅三反】1．（2022·寧夏）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，，有兩根－1，，且，，則；，則；故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）函數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化為在上恒成立.令，則，，，，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).所以，則，又，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.2（2022·貴州）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，.若對(duì)恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)0(2)【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以.（2）當(dāng)時(shí)，，，必要性：，，故，即.充分性：當(dāng)時(shí)，，故，恒成立.函數(shù)在上是減函數(shù)，恒成立，滿足.綜上所述：的取值范圍是.考點(diǎn)二函數(shù)的零點(diǎn)【例2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖像在x＝1處的切線與直線垂直．(1)求的解析式；(2)若在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍；(3)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)3【解析】（1），則，∵函數(shù)的圖像在x＝1處的切線與直線x+3y﹣1＝0垂直，∴，即，解得，∴；（2）由（1）得，則，則，由得x＝1，由得，由得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取得極小值也是最小值，要使在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需滿足，即，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為；（3）對(duì)任意的，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，恒成立，①當(dāng)時(shí)，，顯然成立，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則，∵x＞0，∴恒成立，由得，由得，由得0＜x＜1，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝1時(shí)，取得極小值也是最小值，且，∴；③當(dāng)時(shí)，恒成立，令，此時(shí)m（x）＜0，由②得（），令，，∴在上單調(diào)遞增，又，由零點(diǎn)存在定理得存在，使得，有，即，由得，由得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取得極大值也是最大值，且＝，∴，綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為，∴實(shí)數(shù)k的最大值為3．【一隅三反】1．（2022·廣東廣州·高二期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）解：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，，故.令，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即，所以，，所以，，，又因?yàn)?，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在、上各有一個(gè)零點(diǎn)，合乎題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.2（2022·安徽·歙縣教研室高二期末）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)答案見解析(2)兩個(gè)【解析】（1）由知定義域?yàn)?，①?dāng)時(shí)，在上，故單調(diào)遞減，所以無極值.②當(dāng)時(shí)，由得:，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)有極小值為，無極大值.（2）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，，故在上存在使得，而當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，所以，又，故由零點(diǎn)的存在性定理在上存在一個(gè)零點(diǎn)，在上也存在一個(gè)零點(diǎn).所以在上有兩個(gè)零點(diǎn).3．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.(1)若的極小值為－16，求；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)答案見解析【解析】（1）由題得，其中，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，所以，解得.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，的極小值為，的極大值為，當(dāng)，即時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，如圖①曲線；當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，如圖②曲線；當(dāng)，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，如圖③曲線；當(dāng)時(shí)，，易知有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)三雙變量問題【例3】（2021·江西·高安中學(xué)高二期中（理））巳知函數(shù).(1)求函數(shù)f（x）的最大值;(2)若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根證明:【答案】(1)2(2)證明見詳解【解析】（1）因?yàn)?，所?令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.（2）方程可化為.設(shè)，顯然在上是增函數(shù)，又，所以有，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，.由（1）可知，則有，所以的取值范圍為.因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，，所以，則，要證，即證.，需證.需證.不妨設(shè)，令，則，即要證.設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，，即成立，故原式成立.【一隅三反】1（2022·陜西安康·高二期末（理））已知函數(shù)．(1)若時(shí)，，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）∵，，∴，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，與已知矛盾．當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，滿足條件；綜上，取值范圍是．（2）證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，要證，只需證，∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴只需證，∵，∴只需證．設(shè)，則，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，即成立，∴．2．（2022·貴州遵義·高二期末（理））已知函數(shù)（k為常數(shù)），函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)，時(shí)，有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且；有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，且．證明：．【答案】(1)詳見解析；(2)證明見解析.【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時(shí)，，，∴，所以方程與的根互為倒數(shù)，又因?yàn)榉匠逃星抑挥袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且，方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且，所以，，可得，，所以，故要證，只需證明，要證，只需證，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以只需證，進(jìn)而只需證，因?yàn)椋恍枳C明，構(gòu)造函數(shù)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，則，即，所以，即，故．3．（2022·重慶·萬州純陽中學(xué)校高二期中）設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，①求a的取值范圍；②證明：.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)；(2)；詳見證明過程．【解析】(1)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，成立，所以在為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，②當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)；綜上：當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上為