蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略專題04待定系數(shù)求二次函數(shù)的解析式壓軸題五種模型全攻略特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題04待定系數(shù)求二次函數(shù)的解析式壓軸題五種模型全攻略考點(diǎn)一一點(diǎn)一參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式考點(diǎn)二兩點(diǎn)兩參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式考點(diǎn)三三點(diǎn)三參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式考點(diǎn)四已知頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式考點(diǎn)五已知交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式典型例題典型例題考點(diǎn)一一點(diǎn)一參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式例題：（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知拋物線y＝x2＋（3﹣m）x﹣2m＋2(1)若拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求此時拋物線的解析式；(2)該拋物線的頂點(diǎn)隨著m的變化而移動，當(dāng)頂點(diǎn)移到最高處時，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖南·長沙市長郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級開學(xué)考試）已知拋物線（）經(jīng)過點(diǎn)（，0）．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)直線l交拋物線于點(diǎn)A（，m），B（n，7），n為正數(shù)．若點(diǎn)P在拋物線上且在直線l下方（不與點(diǎn)A，B重合），求出點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍．考點(diǎn)二兩點(diǎn)兩參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式例題：（2022·福建·莆田二中九年級階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線圖像恰好經(jīng)過A（2，﹣9），B（4，﹣5）兩點(diǎn)，求該拋物線解析式．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北·襄州七中九年級階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2，0)，B(0，-6)兩點(diǎn)．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C，連接BA、BC，求△ABC的面積．2．（2021·山東·嘉祥縣金屯鎮(zhèn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（﹣6，0），與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB的面積與△ABC的面積相等，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M，在對稱軸上存在點(diǎn)Q，使△CMQ是以MC為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．考點(diǎn)三三點(diǎn)三參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式例題：（2021·四川·鄰水縣壇同鎮(zhèn)初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y＝c的圖象經(jīng)過（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）三點(diǎn)．(1)求這個函數(shù)的解析式；(2)寫出此拋物線的開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，增減性，最值．【變式訓(xùn)練】1．（2022·云南·會澤縣以禮中學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4）(1)求拋物線的解析式．(2)點(diǎn)D在拋物線的對稱軸上，求AD+CD的最小值．(3)點(diǎn)P是直線BC上方的點(diǎn)，連接CP，BP，若△BCP的面積等于3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．2．（2022·甘肅·武威第九中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)A(﹣4，0)，B(2，0)，并過點(diǎn)C(﹣2，﹣2)，與y軸交于點(diǎn)D．(1)求出拋物線的解析式；(2)求出△ABD的面積；(3)在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)E，使BE+DE的值最小，如果有，寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果沒有，說明理由．3．（2021·河南·睢縣第二中學(xué)九年級期中）如圖，拋物線經(jīng)過A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，)三點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．考點(diǎn)四已知頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式例題：（2020·浙江省義烏市廿三里初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，三點(diǎn)，求拋物線的解析式．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東·揭陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，連接．(1)求此拋物線的解析式；(2)拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2022·吉林·安圖縣第三中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸交于（-1，0），(3，0)兩點(diǎn)，且圖象過點(diǎn)(0，3)，(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)寫出它的開口方向、對稱軸3．（2022·河南·開封市東信學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點(diǎn)M是直線l上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)C的距離之和最短時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．考點(diǎn)五已知交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式例題：（2021·寧夏·石嘴山市第九中學(xué)九年級期中）已知拋物線的頂點(diǎn)為P（﹣2，3），且過A（﹣3，0），求此二次函數(shù)的解析式．【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖北·浠水縣蘭溪鎮(zhèn)河口中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，-6），當(dāng)x＝1時，函數(shù)的最大值為-4，求此二次函數(shù)的解析式．2．（2020·天津市西青區(qū)當(dāng)城中學(xué)九年級階段練習(xí)）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，－1）且經(jīng)過點(diǎn)（2，3），求該拋物線解析式．3．（2020·天津市西青區(qū)張家窩中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1，-3），且經(jīng)過點(diǎn)（1，5），求此二次函數(shù)的表達(dá)式．4．（2022·湖北武漢·九年級期中）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(－1，0)，(3，0)，且函數(shù)有最小值－4．(1)求拋物線的解析式；(2)若0＜x＜4，求函數(shù)值y的取值范圍．課后訓(xùn)練課后訓(xùn)練一、選擇題1．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）將拋物線y＝（x+2）2﹣3先向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度后所得拋物線的解析式為（）A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x+3）2﹣1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣52．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）一個二次函數(shù)，當(dāng)x＝0時，y＝﹣5；當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣4；當(dāng)x＝﹣2時，y＝5，則這個二次函數(shù)的關(guān)系式是（

）A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣53．（2022·全國·九年級單元測試）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0，5)，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)，關(guān)于該拋物線，下列說法正確的是（

）A．表達(dá)式為 B．圖象開口向下C．圖象與軸有兩個交點(diǎn) D．當(dāng)時，隨的增大而減小二、填空題4．（2022·吉林·安圖縣第三中學(xué)九年級階段練習(xí)）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則a＝____．5．（2021·湖北·黃梅縣晉梅中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知一個二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），過點(diǎn)（1，7），則這個二次函數(shù)的解析式為_____．（用一般式表示）6．（2022·寧夏·隆德縣第二中學(xué)九年級期末）拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x?01234?y?30-103?則拋物線的解析式是______________．三、解答題7．（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)九年級階段練習(xí)）根據(jù)下列條件分別求二次函數(shù)的表達(dá)式．(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(﹣2，﹣1)，且當(dāng)時，函數(shù)有最大值2．(2)已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝1，與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)(0，﹣1)，(﹣1，0)．8．（2022·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中九年級期中）拋物線與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，且∠DBC的角平分線在x軸上，點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn)，若△ADM是以AD為腰的等腰三角形，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．9．（2022·湖北·漢川市官備塘中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn).(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)為該拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），直線將的面積分成兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo).10．（2022·吉林·安圖縣第三中學(xué)九年級階段練習(xí)）二次函數(shù)中的x，y滿足如表x…﹣1012…y…0﹣3m﹣3…(1)該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；(2)①求m的值．②當(dāng)x＞1時，y隨值的x增大而（填“增大”或“減小”）．11．（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖是一個二次函數(shù)的圖象，頂點(diǎn)是原點(diǎn)O，且過點(diǎn)A(2，1)．(1)求出二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)我們把橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，請用整數(shù)n表示這條拋物線上所有的整點(diǎn)坐標(biāo)．(3)過y軸的正半軸上一點(diǎn)C(0，c)作AO的平行線交拋物線于點(diǎn)B，如果點(diǎn)B是整點(diǎn)，求證：OAB的面積是偶數(shù)．12．（2021·江蘇·昆山市城北中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知拋物線（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B．(1)若直線y＝mx+n經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸x＝﹣1上找一點(diǎn)M，使MA+MC的值最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)設(shè)P為拋物線的對稱軸x＝﹣1上的一個動點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．13．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A（1，0），交y軸交于點(diǎn)B，對稱軸是直線x＝2．(1)求拋物線的解析式；(2)若在拋物線上存在一點(diǎn)D，使△ACD的面積為8，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△PAB的周長最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．14．（2022·甘肅·民勤縣第六中學(xué)九年級期末）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(2，0)，B(-2，4)，(-4，0)，直線AB與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)M在直線AB上方的拋物線上運(yùn)動，當(dāng)ΔABM的面積最大時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)F為平面內(nèi)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請寫出符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)．15．（2022·黑龍江省新華農(nóng)場中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知拋物線的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)．(1)A點(diǎn)的坐標(biāo)是_____________；B點(diǎn)坐標(biāo)是________________；(2)求直線BC的解析式；(3)點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上的一動點(diǎn)（不與B、C重合），是否存在點(diǎn)P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積，若不存在，試說明理由；(4)若點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在拋物線上，以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點(diǎn)M點(diǎn)坐標(biāo)．專題04待定系數(shù)求二次函數(shù)的解析式壓軸題五種模型全攻略考點(diǎn)一一點(diǎn)一參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式考點(diǎn)二兩點(diǎn)兩參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式考點(diǎn)三三點(diǎn)三參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式考點(diǎn)四已知頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式考點(diǎn)五已知交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式典型例題典型例題考點(diǎn)一一點(diǎn)一參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式例題：（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知拋物線y＝x2＋（3﹣m）x﹣2m＋2(1)若拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求此時拋物線的解析式；(2)該拋物線的頂點(diǎn)隨著m的變化而移動，當(dāng)頂點(diǎn)移到最高處時，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；【答案】(1)y＝x2+2x(2)（﹣2，0）【分析】（1）用待定系數(shù)法將（0，0）代入進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（p，q），即可得，，頂點(diǎn)移到最高處，即是q取最大值，而進(jìn)行計(jì)算，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得．（1）解：將（0，0）代入得：，解得m＝1，∴拋物線的解析式為；（2）解：設(shè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（p，q），則，，頂點(diǎn)移到最高處，即是q取最大值，而＝＝＝，∵，∴當(dāng)時，q最大值是0，此時，∴當(dāng)頂點(diǎn)移到最高處時，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作為待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖南·長沙市長郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級開學(xué)考試）已知拋物線（）經(jīng)過點(diǎn)（，0）．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)直線l交拋物線于點(diǎn)A（，m），B（n，7），n為正數(shù)．若點(diǎn)P在拋物線上且在直線l下方（不與點(diǎn)A，B重合），求出點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)【分析】（1）將點(diǎn)（-2，0）代入求解；（2）分別求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，根據(jù)圖像開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)求解．（1）解：把（-2，0）代入，可得，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，∵，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）把代入，可得，∴，把代入函數(shù)解析式得，解得或，∴或，∵n為正數(shù)，∴，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，∵拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線頂點(diǎn)在下方，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．考點(diǎn)二兩點(diǎn)兩參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式例題：（2022·福建·莆田二中九年級階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線圖像恰好經(jīng)過A（2，﹣9），B（4，﹣5）兩點(diǎn)，求該拋物線解析式．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法解答，即可求解．【詳解】解：把A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入，得：，解得：，所以該拋物線解析式為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北·襄州七中九年級階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2，0)，B(0，-6)兩點(diǎn)．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C，連接BA、BC，求△ABC的面積．【答案】(1)(2)6【分析】（1）將點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入即可得出b、c的值，繼而可得出二次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）求得的解析式，可得出對稱軸，也可得出AC的長度，根據(jù)可得出答案．（1）解：（1）將點(diǎn)A（2，0）、B（0，?6）代入得：，解得：，故這個二次函數(shù)的解析式為：．（2）∵二次函數(shù)的解析式為：，∴二次函數(shù)的對稱軸為x＝4，∴（4，0），B（0，?6）∴OC＝4，，∵點(diǎn)A（2，0），∴AC＝2，故．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積，要注意掌握點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長度之間的轉(zhuǎn)換．2．（2021·山東·嘉祥縣金屯鎮(zhèn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（﹣6，0），與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB的面積與△ABC的面積相等，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M，在對稱軸上存在點(diǎn)Q，使△CMQ是以MC為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝(2)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6）(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）【分析】（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入解方程組即可；（2）先假設(shè)存點(diǎn)P，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用△PAB的面積與△ABC的面積相等建立方程求解即可；（3）如圖1中，分三種情形①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，分別求解即可．（1）解：（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入，得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）存在，P（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6），理由如下：∵A（2，0）、B（﹣6，0）、，∴AB＝8，C（0，6），OC＝6，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，由△PAB的面積與△ABC的面積相等，得：，∴．解得：或．當(dāng)時，＝﹣6，解得，當(dāng)時，＝6，解得：（此時與點(diǎn)C重合，舍去），，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6）；（3）解：如圖∵拋物線的解析式為：，∴它的對稱軸為直線x＝﹣2，∴M（﹣2，0），設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（﹣2，t）．∵中，當(dāng)x＝0時，y＝6，∴C（0，6），∵M(jìn)（﹣2，0），∴，，．①當(dāng)CQ＝QM時，，解得，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，此時，MC不是腰，不符合題意，舍去；②當(dāng)CM＝QM時，，解得：，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或，③當(dāng)CM＝CQ時，，解得：t＝0（舍去），或t＝12，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積問題等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的運(yùn)用，屬于中考壓軸題．考點(diǎn)三三點(diǎn)三參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式例題：（2021·四川·鄰水縣壇同鎮(zhèn)初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y＝c的圖象經(jīng)過（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）三點(diǎn)．(1)求這個函數(shù)的解析式；(2)寫出此拋物線的開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，增減性，最值．【答案】(1)y＝(2)拋物線的開口象上，對稱軸為直線x＝﹣，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣），當(dāng)x≤﹣時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞時，y隨x的增大增大，當(dāng)x＝時，y取最小值﹣．【分析】（1）用待定系數(shù)法直接可得函數(shù)的解析式；（2）配成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．（1）解：把（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）代入y＝得：解得，∴這個函數(shù)的解析式為y＝；（2）∵y＝2+x﹣2＝2﹣，∴拋物線的開口象上，對稱軸為直線x＝﹣，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣），當(dāng)x≤﹣時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞時，y隨x的增大增大，當(dāng)x＝時，y取最小值﹣．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，求出二次函數(shù)解析式．【變式訓(xùn)練】1．（2022·云南·會澤縣以禮中學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4）(1)求拋物線的解析式．(2)點(diǎn)D在拋物線的對稱軸上，求AD+CD的最小值．(3)點(diǎn)P是直線BC上方的點(diǎn)，連接CP，BP，若△BCP的面積等于3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）連接BD，根據(jù)二次函數(shù)的的對稱性可得AD=BD，可得到當(dāng)點(diǎn)B，D，C三點(diǎn)共線時，AD+CD的值最小，最小值等于BC的長，利用勾股定理求出BC，即可求解；（3）過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，先求出直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，可得，再根據(jù)△BCP的面積等于3，列出方程，即可求解．（1）解：把點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，4）代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）如圖，連接BD，∵點(diǎn)D在拋物線的對稱軸上，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD≥BC，∴當(dāng)點(diǎn)B，D，C三點(diǎn)共線時，AD+CD的值最小，最小值等于BC的長，∵點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，4），∴OB=OC=4，∴；（3）解：如圖，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，設(shè)直線BC的解析式為，把點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，4）代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，∴，∵△BCP的面積等于3，∴，解得：m=1或3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．2．（2022·甘肅·武威第九中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)A(﹣4，0)，B(2，0)，并過點(diǎn)C(﹣2，﹣2)，與y軸交于點(diǎn)D．(1)求出拋物線的解析式；(2)求出△ABD的面積；(3)在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)E，使BE+DE的值最小，如果有，寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果沒有，說明理由．【答案】(1)y＝(2)△ABD的面積為6(3)存在，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣1，﹣)【分析】（1）利用待定系數(shù)法將A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組即可求得結(jié)論；（2）利用拋物線解析式求得點(diǎn)D坐標(biāo)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線段OA，OB，OD的長度，根據(jù)三角形的面積公式即可求得結(jié)論；（3）連接AD交對稱軸于點(diǎn)E，則此時BD+BE最??；分別求得對稱軸方程和直線AD的解析式，聯(lián)立后解方程組即可求得點(diǎn)E坐標(biāo)．（1）∵物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0），B（2，0），C（﹣2，﹣2），∴，解得：．∴拋物線的解析式為y＝．（2）令x＝0，則y＝﹣2，∴D（0，﹣2）．∴OD＝2．∵A（﹣4，0），B（2，0），∴OA＝4，OB＝2，∴AB＝OA+OB＝6．∴AB?AD＝×6×2＝6．∴△ABD的面積為6．（3）在拋物線對稱軸上存在一點(diǎn)E，使BE+DE的值最小，理由：∵y＝＝＝，∴拋物線y＝的對稱軸為直線x＝﹣1．連接AD交對稱軸于點(diǎn)E，則此時BD+BE最小，如圖，設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+m，由題意得：，解得：．∴直線AD的解析式為y＝﹣x﹣2．∴．解得：．∴E（﹣1，﹣）．∴拋物線對稱軸上存在一點(diǎn)E，使BE+DE的值最小，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，﹣）【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．3．（2021·河南·睢縣第二中學(xué)九年級期中）如圖，拋物線經(jīng)過A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，)三點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)（1，1）(3)存在，，，，，【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），連接BC交對稱軸直線于點(diǎn)P，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）分點(diǎn)N在x軸下方或上方兩種情況進(jìn)行討論．（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，，，三點(diǎn)在拋物線上，，解得．拋物線的解析式為：．（2）拋物線的解析式為，其對稱軸為直線：．連接，設(shè)直線的解析式為，，，解得．直線的解析式為．當(dāng)時，．；（3）存在．如圖2所示．①當(dāng)點(diǎn)在軸上方時，拋物線的對稱軸為直線，，；②當(dāng)點(diǎn)在軸下方時，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，△△．，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．．解得或，，，，．綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合知識，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、平行四邊的判定與性質(zhì)、全等三角形等知識，在解答（3）時要注意進(jìn)行分類討論．考點(diǎn)四已知頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式例題：（2020·浙江省義烏市廿三里初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，三點(diǎn)，求拋物線的解析式．【答案】【分析】解法一：根據(jù)A（﹣2，0），B（，0），可設(shè)交點(diǎn)式，代入C點(diǎn)坐標(biāo)即可求得二次函數(shù)的解析式；解法二：可設(shè)一般式，代入A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)即可求二次函數(shù)的解析式．【詳解】解：解法一：設(shè)

代入C（0，2）得解得：，∴，解法二：設(shè)

代入A（﹣2，0），B（，0），C（0，2）三點(diǎn)，得

，解得：，【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東·揭陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，連接．(1)求此拋物線的解析式；(2)拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，，【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，再把代入求出的值即可；（2）根據(jù)（1）中拋物線的解析式，求出拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，所以可得出的面積，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）解：∵拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的解析式為，∵過點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的解析式為，即；（2）解：∵拋物線的解析式為；∴其對稱軸，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，∴設(shè)，∵，，∴設(shè)過點(diǎn)、的直線解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，∴直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴，∵，∴，解得，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時，，解得，∴此時；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時，，解得，∴此時，綜上所述，可得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、求二次函數(shù)解析式、三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵在明確題意，利用二次函數(shù)性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想解答問題．2．（2022·吉林·安圖縣第三中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸交于（-1，0），(3，0)兩點(diǎn)，且圖象過點(diǎn)(0，3)，(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)寫出它的開口方向、對稱軸【答案】(1)(2)開口向下，對稱軸為直線【分析】（1）設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為，然后把點(diǎn)(0，3)代入，即可求解；（2）把二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式，即可求解．（1）解：設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為，把點(diǎn)(0，3)代入得：，解得：，∴這個二次函數(shù)的解析式為；（2）解：∵，∴二次函數(shù)開口向下，∵，∴二次函數(shù)的對稱軸為直線．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．3．（2022·河南·開封市東信學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點(diǎn)M是直線l上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)C的距離之和最短時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩點(diǎn)式和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）連接BC，BC與直線l的交點(diǎn)即為M．（1）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，將點(diǎn)C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴；∴函數(shù)的解析式為：．（2）解：拋物線的對稱軸為：；點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，連接BC，則BC是點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)C的距離之和的最小值，設(shè)直線BC的解析式為：，則：，解得：，∴，設(shè)，代入得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確求出函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題是解題的關(guān)鍵．本題的動點(diǎn)問題是將軍飲馬問題，找到定點(diǎn)的對稱點(diǎn)，與另一個定點(diǎn)形成的線段即為最短距離．考點(diǎn)五已知交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式例題：（2021·寧夏·石嘴山市第九中學(xué)九年級期中）已知拋物線的頂點(diǎn)為P（﹣2，3），且過A（﹣3，0），求此二次函數(shù)的解析式．【答案】【分析】設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)P（﹣2，3）及點(diǎn)A（﹣3，0）代入即可解答．【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)解析式為：，∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（﹣2，3），∴，將點(diǎn)A（﹣3，0）代入得，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)題目給出的條件，正確設(shè)出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖北·浠水縣蘭溪鎮(zhèn)河口中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，-6），當(dāng)x＝1時，函數(shù)的最大值為-4，求此二次函數(shù)的解析式．【答案】【分析】根據(jù)題意得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），于是可設(shè)頂點(diǎn)式，然后把（2，-6）代入求出a的值即可．【詳解】解：∵當(dāng)x=1時，函數(shù)的最大值為-4，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），設(shè)所求二次函數(shù)解析式為，把（2，-6）代入得，解得a=-2，∴此二次函數(shù)解析式為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．2．（2020·天津市西青區(qū)當(dāng)城中學(xué)九年級階段練習(xí)）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，－1）且經(jīng)過點(diǎn)（2，3），求該拋物線解析式．【答案】【分析】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（3，﹣1），所以設(shè)此二次函數(shù)的解析式為，把點(diǎn)（2，3）代入解析式即可解答．【詳解】解：已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1），設(shè)此二次函數(shù)的解析式為，把點(diǎn)（2，3）代入解析式，得：a﹣1＝3，即a＝4，∴此函數(shù)的解析式為．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法．題目給出了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則采用頂點(diǎn)式求解簡單．3．（2020·天津市西青區(qū)張家窩中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1，-3），且經(jīng)過點(diǎn)（1，5），求此二次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】【分析】由于已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)頂點(diǎn)式，然后把（1，5）代入求出a即可．【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把（1，5）代入得a?4﹣3＝5，解得a＝2，所以二次函數(shù)的解析式為．即．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．4．（2022·湖北武漢·九年級期中）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(－1，0)，(3，0)，且函數(shù)有最小值－4．(1)求拋物線的解析式；(2)若0＜x＜4，求函數(shù)值y的取值范圍．【答案】(1)（或）(2)【分析】（1）利用二次函數(shù)的對稱性可由拋物線經(jīng)過點(diǎn)(－1，0)，(3，0)，得到拋物線的對稱軸為直線，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，于是可設(shè)頂點(diǎn)式，然后把代入求出a的值即可；（2）求得和的函數(shù)值，即可求得結(jié)論．（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)(－1，0)，(3，0)，∴拋物線的對稱軸為直線，∵函數(shù)有最小值-4，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，把代入得，解得，∴拋物線的解析式為（或）．（2）∵，∴拋物線開口向上，函數(shù)有最小值為，當(dāng)時，，∴當(dāng)時，函數(shù)值y的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練課后訓(xùn)練一、選擇題1．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）將拋物線y＝（x+2）2﹣3先向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度后所得拋物線的解析式為（）A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x+3）2﹣1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣5【答案】D【分析】先得到拋物線y＝（x+2）2﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），再利用點(diǎn)的平移規(guī)律得到點(diǎn)（-2，-3）平移后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-5），然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出平移的拋物線解析式．【詳解】解：拋物線y＝（x+2）2﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），把（﹣2，﹣3）向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度后得到對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣5），所以平移后拋物線解析式為y＝（x+1）2﹣5．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移與幾何變換，利用拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減是解題關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）一個二次函數(shù)，當(dāng)x＝0時，y＝﹣5；當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣4；當(dāng)x＝﹣2時，y＝5，則這個二次函數(shù)的關(guān)系式是（

）A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5【答案】A【分析】設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由當(dāng)x＝0時，y＝﹣5；當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣4；當(dāng)x＝﹣2時，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程組，解方程組確定a，b，c的值即可．【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），∵當(dāng)x＝0時，y＝﹣5；當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣4；當(dāng)x＝﹣2時，y＝5，∴c＝﹣5①，a﹣b+c＝﹣4②，4a﹣2b+c＝5③，解由①②③組成的方程組得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，所以二次函數(shù)的關(guān)系式為：y＝4x2+3x﹣5．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式．設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），通過解方程組確定a，b，c的值．3．（2022·全國·九年級單元測試）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0，5)，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)，關(guān)于該拋物線，下列說法正確的是（

）A．表達(dá)式為 B．圖象開口向下C．圖象與軸有兩個交點(diǎn) D．當(dāng)時，隨的增大而減小【答案】D【分析】由二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式，將(0，5)代入解析式求解．【詳解】解：∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)，∴，將(0，5)代入得，解得，∴，故選項(xiàng)A不符合題意；∵a=1>0，∴圖象開口向上，故選項(xiàng)B不符合題意；∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)，且圖象開口向上，∴圖象與軸沒有有兩個交點(diǎn)，故選項(xiàng)C不符合題意；∵a=1>0，且對稱軸為直線x=2，∴時，隨增大而減小，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．二、填空題4．（2022·吉林·安圖縣第三中學(xué)九年級階段練習(xí)）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則a＝____．【答案】1【分析】把點(diǎn)（0，0）代入，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，∴且，解得：．故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，通過代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解，較為簡單．5．（2021·湖北·黃梅縣晉梅中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知一個二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），過點(diǎn)（1，7），則這個二次函數(shù)的解析式為_____．（用一般式表示）【答案】【分析】設(shè)頂點(diǎn)式，再把（1，7）代入求得a＝4，從而得到拋物線解析式，然后把頂點(diǎn)式化為一般式即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），∴拋物線解析式可設(shè)為，把（1，7）代入得，解得a＝4，所以二次函數(shù)解析式為，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．6．（2022·寧夏·隆德縣第二中學(xué)九年級期末）拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x?01234?y?30-103?則拋物線的解析式是______________．【答案】【分析】結(jié)合題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，通過列二元一次方程組并求解，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，得：將代入到，得：∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)、二元一次方程組的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)、二元一次方程組的性質(zhì)，從而完成求解．三、解答題7．（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)九年級階段練習(xí)）根據(jù)下列條件分別求二次函數(shù)的表達(dá)式．(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(﹣2，﹣1)，且當(dāng)時，函數(shù)有最大值2．(2)已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝1，與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)(0，﹣1)，(﹣1，0)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由二次函數(shù)當(dāng)時，有最大值是2，得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（），設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式方程，將（）代入求出a的值，即可求出二次函數(shù)的解析式．（2）已知拋物線的對稱軸，可以設(shè)出函數(shù)的解析式為，把（），（）代入函數(shù)解析式即可求得函數(shù)解析式．（1）解：由二次函數(shù)當(dāng)時，有最大值是2，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為（），設(shè)二次函數(shù)解析式為（a≠0），將點(diǎn)（）代入得：，解得：，則二次函數(shù)解析式為．（2）設(shè)函數(shù)的解析式是，根據(jù)題意得：，解得：．則函數(shù)的解析式是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)條件正確設(shè)出函數(shù)的解析式形式是解題的關(guān)鍵．8．（2022·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中九年級期中）拋物線與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，且∠DBC的角平分線在x軸上，點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn)，若△ADM是以AD為腰的等腰三角形，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)（0，5）或（0，）或（0，）【分析】（1）將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a、b、c即可；（2）如圖，根據(jù)角平分線的定義得出∠DBA=∠CBA，可證明△≌△BOC，得出點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解直線的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組求出點(diǎn)D坐標(biāo)，設(shè)M（0，t），分AM=AD和DM=AD兩種情況，利用兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式列方程求解即可．（1）解：將A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入中，得，解得：∴求拋物線的表達(dá)式為；（2）解：如圖，設(shè)BD交y軸于點(diǎn)，∵∠DBC的角平分線在x軸上，∴∠DBA=∠CBA，又∠=∠BOC=90°，OB=OB，∴△≌△BOC（ASA），∴=OC=3，∴（0，3），設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立方程組，解得或，∴D（-4，5），設(shè)M（0，t），則，，，∵△ADM是以AD為腰的等腰三角形，∴AM=AD和DM=AD，當(dāng)AM=AD時，，則=29，解得：t=±5，當(dāng)t=-5時，M（0，-5），設(shè)直線DM的解析式為y=px+q，則，解得：，∴直線DM的解析式為，則點(diǎn)A（-2，0）在直線DM上，即A、D、M不能構(gòu)成三角形，∴（0，5）；當(dāng)DM=AD時，，則=29，解得：，∴（0，）或（0，），綜上，滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，5）或（0，）或（0，）．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、角平分線的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式、解方程等知識，屬于二次函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合的綜合題型，難度適中，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．9．（2022·湖北·漢川市官備塘中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn).(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)為該拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），直線將的面積分成兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）當(dāng)BH=AB=2時，CH將△ABC的面積分成2：1兩部分，即點(diǎn)H的坐標(biāo)為（2，0），則CH和拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，進(jìn)而求解；（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn).∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為，，∵，∴，解得：，∴；（2）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)知，OB=2OA，故CO將△ABC的面積分成2：1兩部分，此時，點(diǎn)P不在拋物線上；如圖，設(shè)交軸于點(diǎn)∵，當(dāng)BH=AB=2時，CH將△ABC的面積分成2：1兩部分，∴，∴∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（2，0），由可得,設(shè)過點(diǎn)C、H的直線解析式為，∴，解得，直線CH的表達(dá)式為，聯(lián)立，解得：或（舍去），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，-8）．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式和與幾何圖形結(jié)合的綜合，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．10．（2022·吉林·安圖縣第三中學(xué)九年級階段練習(xí)）二次函數(shù)中的x，y滿足如表x…﹣1012…y…0﹣3m﹣3…(1)該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；(2)①求m的值．②當(dāng)x＞1時，y隨值的x增大而（填“增大”或“減小”）．【答案】(1)（1，-4）；(2)①m=-4；②增大【分析】（1）設(shè)一般式，再取兩組對應(yīng)值代入得到關(guān)于a、b的方程組，然后解方程組即可；（2）①把x=1代入二次函數(shù)的解析式求解即可；②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可寫出答案．（1）解：設(shè)拋物線解析式為，把（-1，0），（2，-3）代入得，解得：，∴解析式為：，∴拋物線的對稱軸為直線x=1，∴當(dāng)x=1時，y=-4，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）．故答案為：（1，-4）；（2）解：①把x=1代入，可得y=1-2-3=-4，所以m=-4；②∵，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x=1，∴當(dāng)x＞1時，y隨值的x增大而增大．故答案為：增大．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，求出二次函數(shù)的解析式．11．（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖是一個二次函數(shù)的圖象，頂點(diǎn)是原點(diǎn)O，且過點(diǎn)A(2，1)．(1)求出二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)我們把橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，請用整數(shù)n表示這條拋物線上所有的整點(diǎn)坐標(biāo)．(3)過y軸的正半軸上一點(diǎn)C(0，c)作AO的平行線交拋物線于點(diǎn)B，如果點(diǎn)B是整點(diǎn)，求證：OAB的面積是偶數(shù)．【答案】(1)(2)，其中n為整數(shù)(3)見解析【分析】（1）可設(shè)拋物線的解析式為，然后只需把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就可解決問題；（2）由拋物線的解析式可知，要使y是整數(shù)，只需x是偶數(shù)，故x可用2n表示（n為整數(shù)），由此就可解決問題；（3）運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線OA的解析式，然后根據(jù)兩直線平行一次項(xiàng)的系數(shù)相同，可得到直線BC的函數(shù)表達(dá)式；由于點(diǎn)B是整點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為，代入直線BC的解析式，即可得到a的值（用n表示），然后根據(jù)平行等積法可得，由于與是相鄰整數(shù)，必然一奇一偶，因而是偶數(shù)，問題得以解決．（1）解：∵二次函數(shù)的圖象，頂點(diǎn)是原點(diǎn)O，且過點(diǎn)A(2，1)，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入得，，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：∵拋物線的解析式為，∴拋物線上整點(diǎn)坐標(biāo)可表示為，其中n為整數(shù)（3）證明：設(shè)直線OA的解析式為把點(diǎn)A（2，1）代入y=kx,得1=2k,解得k=，∴直線OA的解析式為,∴過點(diǎn)C（0，c）與直線OA平行的直線的解析式為；∵點(diǎn)B是整點(diǎn)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為，其中n為整數(shù)，把B代入,得∴．∵，∴，∵為整數(shù)，∴與一奇一偶，∴是偶數(shù)，即△OAB的面積是偶數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求直線與拋物線的解析式、兩直線平行問題、直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行等積法、奇數(shù)與偶數(shù)等知識，運(yùn)用平行等積法是解決第（3）小題的關(guān)鍵．12．（2021·江蘇·昆山市城北中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知拋物線（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B．(1)若直線y＝mx+n經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸x＝﹣1上找一點(diǎn)M，使MA+MC的值最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)設(shè)P為拋物線的對稱軸x＝﹣1上的一個動點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，y＝x+3(2)M的坐標(biāo)為（﹣1，2）(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）設(shè)直線BC與對稱軸x＝﹣1的交點(diǎn)為M，則此時MA+MC的值最小，進(jìn)而求解；（3）分點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)、點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)、P為直角頂點(diǎn)三種情況，分別求解即可．（1）解：拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，0），設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝＝，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入上式得：3＝a（﹣3），解得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為：；把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得：，解得，∴直線的解析式為y＝x+3；（2）解：設(shè)直線BC與對稱軸x＝﹣1的交點(diǎn)為M，則此時MA+MC的值最?。褁＝﹣1代入直線y＝x+3得y＝2，故M（﹣1，2），即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時M的坐標(biāo)為（﹣1，2）；（3）解：設(shè)P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），則＝18，＝＝，，若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時，則，即18+＝，解得t＝﹣2；若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時，則BC2+PC2＝PB2，即＝18+，解得t＝4，若P為直角頂點(diǎn)時，則，則+＝18，解得t＝，綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、點(diǎn)的對稱性等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．13．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A（1，0），交y軸交于點(diǎn)B，對稱軸是直線x＝2．(1)求拋物線的解析式；(2)若在拋物線上存在一點(diǎn)D，使△ACD的面積為8，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△PAB的周長最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)D（5，8）或（﹣1，8）(3)存在，（2，1）【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）先求出點(diǎn)C（0，3），可得AC=2，根據(jù)三角形的面積可得到n＝±8，再代入拋物線解析式，即可求解；（3）根據(jù)拋物線的對稱性可得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B，C共線時，△PAB的周長最小，求出直線BC的解析式，即可求解．（1）解：由題意得∶，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：令y=0，則，解得：，∴點(diǎn)C（0，3），∴AC=2，設(shè)D（m，n），∵△ACD的面積為8，∴×2×|n|＝8，∴n＝±8，當(dāng)n＝8時，，解得x＝5或﹣1，∴D（5，8）或（﹣1，8），當(dāng)n＝﹣8時