自動控制原理（千博）習題答案 第四章習題答案

4-1

⑴系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點，兩個開

環(huán)零點，所以根軌跡有兩條分支，

由開環(huán)極點指向開環(huán)零點

⑵

同(1),系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點，兩個

開環(huán)零點，所以根軌跡有兩條分

支，由開環(huán)極點指向開環(huán)零點

系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點，兩個開環(huán)零點，所以根

軌跡有兩條分支，相鄰兩零點之間存在根軌

跡，且有匯合點，相鄰兩極點之間存在根軌跡,

且有分離點，所以根軌跡如圖

系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點，兩個開環(huán)零點，所以根

軌跡有兩條分支，相鄰兩極點之間存在根軌

跡，且有分離點，并終止于零點，所以根軌跡

如圖

4~2

(1)有三個開環(huán)極點：P1=P2=O，P3=-1，有3條根軌跡分支，無開環(huán)零點,

根軌跡起始于極點，終止于無窮遠；

(2)畫出實軸上的根軌跡(-8,-1］；

(3)漸近線有n-m=3條，與實軸交于一點,

人上小丁%I(P靠(為

交點坐標為=。一1—=--1

60°k=0

交角中=改史=180°k=l

n-m

60°k=2

(4)分離點:；+；+=■=0,==0出=一:(舍);

dad+13

(5)與虛軸無交點；

(6)補全剩余根軌跡。

1

i

4-3(1)

(1)有三個開環(huán)極點：Pi=O，P2=-1+2j,p3=-1-2j,有3條根軌跡分支，無

開環(huán)零點，根軌跡起始于極點，終止于無窮遠；

(2)畫出實軸上的根軌跡(一8,0］；

(3)漸近線有n-m=3條，與實軸交于一點，

交點坐標3

1(60°3k=0

交角6Q=超乎=I180k=1

(-60。k=2

⑷出射角：

6P2=180°-z(p2-pi)-z(p2-P3)=180°-(180°-arctan2)-90°=-26.6°

%=-Jp2=-26.6°

(5)求與虛軸交點：

f(s)=s3+2s2+5s+Ko=0,令s=jo),=>-jeo3—2a)2++K。=0,

解得：u)=±乃,K°=10

(6)補全剩余根軌跡。

L

M

P

U

O

9

M

-

it

yx

^

M

C

&

9

E

-

2

4-3(2)

(1)有4個開環(huán)極點，1個開環(huán)零點：Pl=P2=O，P3=-2，P4=-4/1=-1,有

4條根軌跡分支，根軌跡起始于極點，終止于零點或無窮遠；

(2)畫出實軸上的根軌跡(-8,-4],[-2,-1]；

⑶漸近線有n-m=3條，與實軸交于一點,

￡33)一解】竺=

交點坐標％=5

n-m3

60°k=0

(2k+l)zr

交角①a=1803k=l

n-m

-60°k=2

(4)8P2=180°-z(p2-pl-z(p2-P3)=180°-(180°-arctanl)-90°=26.6°

8P3=_%2=-26.6°

(5)求與虛軸交點：

4

f(s)=s+6s3+8s2+Kos+=0,令s=jo).

432

=>a)-j6co—8a)+jKoa)+Ko=0,解得:o)=±V2,K0=12

(6)補全剩余根軌跡。

4-3-3

⑴有4個開環(huán)極點，無開環(huán)零點：Pl=O，P2=-1，P3=—2/4=-5,,有4條根

軌跡分支，根軌跡起始于極點，終止于無窮遠；

(2)畫出實軸上的根軌跡[-5,-2],[-1,-0]；

⑶漸近線有n-m=4條，與實軸交于一點，

交點坐標,二叫亨⑻T

3

45°k=0

交角中〃=受史135°k=l

71—7〃225°k=2

-45°k=3

(4)分離點：］+—J—+=0,n山=-0.4^2=—4.06,d3=-1.54(舍);

UU1Xt€--i4C4■O

(5)求與虛軸交點：

42

f(s)=s+8s3+17s+10s+Ko=0,令s=jco,

432

=>6O-j8co-17a)+jlOa)+K。=0,解得：3=±^-,K0=19.7

(6)補全剩余根軌跡。

4-4

(1)有三個開環(huán)極點，一個開環(huán)零點：pi=pz=O，P3=-Lz=-a,有3條根軌

跡分支，根軌跡起始于極點，終止于零點或無窮遠；

⑵畫出實軸上的根軌跡［-1,-a］；

(3)漸近線有n-m=3條，與實軸交于一點,

交點坐標%=L；")=等

交角①二-I)」=/90。k=0

n-ml-90°fc=1

⑷無分離點；

⑸與虛軸無交點；

(6)補全剩余根軌跡。

4

Re.Axis(seconds\

與4-2相比，系統(tǒng)在S平面左半部增加一個零點后，其根軌跡全部在S平面做半

部，系統(tǒng)變穩(wěn)定。

4-5

(1)有4個開環(huán)極點，無開環(huán)零點：P]=0,p2=-1，P3=-2/4=-3,,有4條根

軌跡分支，根軌跡起始于極點，終止于無窮遠；

(2)畫出實軸上的根軌跡[-3,—2],[—1,一0]；

(3)漸近線有n-m=4條，與實軸交于一點，

六占灰將%儂)—以⑵)3

父點坐標「一一="2

45°k=0

135。k=l

225°k=2

(-45%=3

(4)分離點：a+++點=0，=di=-2.62,為=-0.38,d3=-1.54(舍);

(5)求與虛軸交點：

s4+6s3+1Is2+6s+K。=0,令s=jo),

432

=>co-j6co—1la)+j6a)+Ko=0,解得：3=±1,KO=10

(6)補全剩余根軌跡。

5

已知系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：s'+6s3+Ils?+6s+Ko=0,

=0.5=>p=60°

令s=a±jHa,代入閉環(huán)特征方程得:

(a+jV3a)4+6(a+jV3a)3+ll(a+jV3a)2+6(a+jV3a)+K。=0

在60。處交點坐標為(-0.226±0.609/此時K=3.41

4-6

要求穩(wěn)定工作時K的范圍，就需要先求根軌跡與虛軸的坐標：

由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)得其特征方程為：(s+I)2(|s-1)+K(2s+1)=0

令s=j3,=(—yco3+2Ka)-y;+(―+K_1)=0

分別令實部和虛部為0,解得：KG(1,1.28)

RMNAIM(MCOCdB')

4-7

(1)有2個開環(huán)極點，一個開環(huán)零點：pi=072=-2,z=-4,有2條根軌跡分

支，根軌跡起始于極點，終止于零點或無窮遠；

(2)畫出實軸上的根軌跡(一oof-4],[-2,0]；

6

(3)漸近線有1條，即負實軸；

(4)分離點和匯合點：

；+解得:由=-1.17(分禺點)/=一6.83(匯合點)；

⑸與虛軸無交點；

(6)補全剩余根軌跡。

RootLocus

RealAXB(second*1)

系統(tǒng)無超調(diào)量時，閉環(huán)極點均為負實數(shù)，所以由幅值條件求K范圍:

K[0.25x(-1.17)+1]

|G(s)|=1=K=0.69

1.17x[0.5x(-1.17)4-1]

K[0.25x(-6.83)+1]

|G(s)|=1=K=23.3

6.83x[0.5x(-6.83)+1]

=>0<K<0,69IIK>23.3

4-8

由系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)得開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(s)=

s(s+l)(s4+2)

(1)有3個開環(huán)極點，一個開環(huán)零點：pi=0,p2=-1，P3=-2,z=-10,有3條

根軌跡分支，根軌跡起始于極點，終止于零點或無窮遠；

(2)畫出實軸上的根軌跡[-10,-2]f[-1,0]；

⑶漸近線有2條：

交點坐標

EMM%?)Q匚

a=--------------------=3.5

an—m

交加①=(2fc+i>=(90°k=0

n-mI-90°/c=1

(4)分離點：

"缶++=露,解得&=-0.43曲一1.64=-14.5；

(5)與虛軸交點：

2

將s=j€D代入特征方程得：-初3+j(2+K°)3+10Ko-3a)=0

=K。=*所以在0VKo時系統(tǒng)穩(wěn)定；

(6)補全剩余根軌跡。

4-9

由題知，G(s)H(s)=Go(s)Gc(s)H(s)=

OIOIJLJIOILvI

(1)閉環(huán)極點滿足相角條件：EM4s-4)-2；=14(S-Pi)=±7T

4444

即arctan—————-arctan——-arctan————--arctan——----=

-1.6+2.5—1.6-1.6+1-1.6+a

解得：a=3.6

(2)閉環(huán)極點滿足幅值條件：出廣e=2_

n;=ii(sp)iK0

即._______|T.6+j4+2.5|___________=￡

:|-1.6+;4||-1.6+;4+1||-1.64-744-3.6|~~K

解得：K=18.8

(3)

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：s(s+l)(s+a)+K(s+2.5)=0

由根之和法則：Si+S2+S3=-1-a=-4.60s3=-1.4

4T0T

(1)有2個開環(huán)極點，1個開環(huán)零點：pi=-1+2力口2=-1-2/*=-2,有2條

根軌跡分支，根軌跡起始于極點，終止于零點或無窮遠處；

(2)畫出實軸上的根軌跡(-8,-2］；

⑶漸近線有n-m=l條，即負實軸；

(4)匯合點：

舟+舟7=磊廨得4=-4.24出=0.24(舍)；

(5)出射角:%1=1800--z)-z(pi-p2)=180°+arctan2-900=153.4。

8Pz=&=-153.4°;

8

(6)補全剩余根軌跡。

RealAKA(seconds1)

410-2

(1)有3個開環(huán)極點，1個開環(huán)零點：

Pl=°，P2=-10+1°J，P2=-1°-1%Z=-20,

有3條根軌跡分支，根軌跡起始于極點，終止于零點或無窮遠處；

⑵畫出實軸上的根軌跡[-20,0]；

(3)漸近線有n-m=2條，與實軸交于一點：

交點坐標…?

交角中a=E^=[90。k=0；

n-m1-9O°/C=1

⑷無分離點和匯合點；

⑸出射角：

-180°+z.(p2—z)-z.(p2-p])-z.(pz-p3)=180°+arctani-(180°—arctanl)-90°=0°

(6)補全剩余根軌跡。

FteaAMiMcondt,>

9

4-11

由結(jié)構(gòu)圖得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(S)=(2:5

s(s4+2s+2)

(D有3個開環(huán)極點，無開環(huán)零點：Pl=O，P2=-1-力P3=-1+/，

有3條根軌跡分支，根軌跡起始于極點，終止于無窮遠處；

(2)畫出實軸上的根軌跡(一8,0］；

(3)與虛軸交點：

系統(tǒng)特征方程為：s3+2s?+2s+K=0,令s=jo)

=>(-co3+2a))j+(—2a)2+K)=0

解得：GO=±y/2,K=4

⑷無分離點和匯合點；

⑸出射角：

8Pz=180°-z(p2-pl-z(p2-P3)=180°-(180°-arctanl)-90°=-45°

0P=~Op=45°-

(6)補全剩余根軌跡。

-

PS

OU

M3

)^

2

A

cj

cu-

￡c

RealAxis(seconds

(1)有3個開環(huán)極點，1個開環(huán)零點：Pi=O，P2=-1，P3=-3,z=-2,有3條根

軌跡分支，根軌跡起始于極點，終止于零點或無窮遠處；

⑵畫出實軸上的根軌跡［-3,-2］,［-1,0］；

⑶漸近線有n-m=2條，與實軸交于一點：

交點坐標。Q=W")=-1

un-m

交角中0=如"=削。k=0；

n-m(一90°k=1

⑷分離點：

5+擊+*=解得:%=-0.53,血3=-0.8±2.6/（舍）；

10

(5)補全剩余根軌跡。

所以設(shè)si?=a(l±遮力,代入系統(tǒng)特征方程:si(s1+l)(s[+3)+K(s〔+2)=0

=>a=0.68,K=6.45,s1>2=0.68±1.18;

4-13

由開環(huán)傳遞函數(shù)得系統(tǒng)的特征方程：s2(s+1)+](s+a)=0

1

4a

n1+——-~z-=0

s3+s2+—s

4

所以可得到系統(tǒng)的等效傳遞函數(shù)：G'(s)=2鏟1--------------

S0+S今s(s+1)(s+1)

(1)有3個開環(huán)極點，無開環(huán)零點：Pl=O，P2=P3=-3，有3條根軌跡分支,

根軌跡起始于極點，終止于無窮遠處；

⑵畫出實軸上的根軌跡［-0.5,0］；

(3)漸近線有n-m=3條，與實軸交于一點：

交點坐標3F%-。.33

一一m

60°k=0

交角①=竺母=

n-?n180°k=1；

60°k=3

⑷分離點：

1

5+焉+短=°，解得d=6；

11

(5)補全剩余根軌跡。

由開環(huán)傳遞函數(shù)得系統(tǒng)的特征方程：S(O.15+l)(7s+1)+2.6-0

Ts2(s+10)

is(s+l)+26=°

"(s+10)_TS2(S+10)

所以可得到系統(tǒng)的等效傳遞函數(shù)：G(s)s(s+l)+26一(s+05士/厚)2

(1)有2個開環(huán)極點，3個開環(huán)零點:

=0.5_/產(chǎn)/1

=

=Z20途3=_1°，

有3條根軌跡分支;

(2)畫出實軸上的根軌跡(-00,-10］；

⑶漸近線有1條，即負實軸；

⑷出射角：

0Pl=180°+z(p2-與)+z(p2-Z2)+Z.(p2-Z3)-Z(P2-Pl)=75,

即2=3=-75。；

(5)補全剩余根軌跡。

RMIAm(MCOMIB

12

4-15

(1)有4個開環(huán)極點，1個開環(huán)零點：pi=口2=073=-274=-4*=-1,有4

條根軌跡分支，根軌跡起始于極點，終止于零點金無窮遠；

(2)畫出實軸上的根軌跡[-4,-2],[-1,-0],[0,+co)；

(3)漸近線有n-m=3條，與實軸交于一點，

交點坐標。.=-*'?)=_1

交角①a=-3+^1-而=<01°20。kk==01

-120°/c=2

⑷分離點:渭+全+擊，，=%=-3.1；

⑸補全剩余根軌跡。

4-16

證明：

由開環(huán)傳遞函數(shù)得閉環(huán)特征方程為：s(s+1)+K0(s+2)=?+(K。+l)s+2K。=0

-(K。+1)±J--6K。+1

=Sl,2=2

令x=ReGD=-(3；",=K。=-2x+1

2

JKO-6KO+1O

y=Im(Si)=---------------------=4y2=K2-6K。+1

乙O

消去K。得：(x+2)2+y2=2

所以系統(tǒng)的復(fù)數(shù)根軌跡部分是以(-2,j0)點為圓心，以北為半徑的圓。

4-17-1

13

0.5K(s+2)

由系統(tǒng)框圖知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(S)H(s)=,\7

S(S+1)

(1)有2個極點，1個零點：pi=072=-1/=一2

有2