2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)情境試題創(chuàng)新練五解析幾何理含解析新人教A版

PAGE情境試題創(chuàng)新練(五)解析幾何1．阿波羅尼斯是古希臘聞名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的探討，主要探討成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的探討成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比eq\f(|MQ|,|MP|)＝λ(λ＞0，λ≠1)，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為x2＋y2＝1，定點(diǎn)Q為x軸上一點(diǎn)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))且λ＝2，若點(diǎn)B(1，1)，則2|MP|＋|MB|的最小值為()A．eq\r(6)B．eq\r(7)C．eq\r(10)D．eq\r(11)【解析】選C.由題意可得圓x2＋y2＝1是關(guān)于P，Q的阿波羅尼斯圓，且λ＝2，則eq\f(|MQ|,|MP|)＝2，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m，n)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\f(\r(（x－m）2＋（y－n）2),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋y2))＝2，整理得，x2＋y2＋eq\f(4＋2m,3)x＋eq\f(2n,3)y＋eq\f(1－m2－n2,3)＝0，又該圓的方程為x2＋y2＝1，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＋2m＝0，,2n＝0，,\f(1－m2－n2,3)＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝0，))所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－2，0)，所以2|MP|＋|MB|＝|MQ|＋|MB|，由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)M位于M1或M2時(shí)取得最小值，且最小值為|QB|＝eq\r(（－2－1）2＋1)＝eq\r(10).2．正確運(yùn)用遠(yuǎn)光燈對(duì)于夜間行車很重要．已知某家用汽車遠(yuǎn)光燈(如圖)的縱斷面是拋物線的一部分，光源在拋物線的焦點(diǎn)處，若燈口直徑是20cm，燈深10cm，則光源到反光鏡頂點(diǎn)的距離是()A.2.5cmB．3.5cmC．4.5cmD．5.5cm【解析】選A.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)對(duì)應(yīng)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px，由題意知拋物線過點(diǎn)(10，10)，得100＝2p×10，得p＝5，則eq\f(p,2)＝2.5，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2.5，0)，則光源到反光鏡頂點(diǎn)的距離是2.5cm.3．仿照“Dandelin雙球”模型，人們借助圓柱內(nèi)的兩個(gè)內(nèi)切球證明白平面截圓柱的截面為橢圓面．如圖，底面半徑為1的圓柱內(nèi)兩個(gè)內(nèi)切球球心距離為4，現(xiàn)用與兩球都相切的平面截圓柱所得到的截面邊緣線是一橢圓，則該橢圓的離心率為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(3),2)【解析】選D.設(shè)兩個(gè)球的球心分別為O1，O2，所得橢圓的長(zhǎng)軸為AB，直線AB與O1O2交于點(diǎn)O，設(shè)它們確定平面α，作出平面α與兩個(gè)球及圓柱的截面，如圖所示，過B作O1O2的垂線，交圓柱的母線于點(diǎn)C，設(shè)AB切球O2的大圓于點(diǎn)F1，切球O1的大圓于F2，連接O2F1，O1F2，因?yàn)樵赗t△O2F1O中，OO2＝eq\f(1,2)O1O2＝2，O2F1＝1，所以cos∠F1O2O＝eq\f(1,2)，所以∠F1O2O＝60°，所以O(shè)F1＝eq\r(3)，因?yàn)殇J角∠F1O2O與∠ABC的兩邊對(duì)應(yīng)相互垂直，所以∠ABC＝∠F1O2O＝60°，所以在Rt△ABC中，cos∠ABC＝eq\f(1,2)，因?yàn)锽C長(zhǎng)等于球O1的直徑，得BC＝2，橢圓的長(zhǎng)軸AB＝4，所以橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).4．將一條閉合曲線放在兩條平行線之間，無論這條閉合曲線如何運(yùn)動(dòng)，只要它與兩平行線中的一條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，就必與另一條直線也只有一個(gè)交點(diǎn)，則稱此閉合曲線為等寬曲線，這兩條平行直線間的距離叫等寬曲線的寬比．如圓就是等寬曲線．其寬就是圓的直徑．如圖是分別以A，B，C為圓心畫的三段圓弧組成的閉合曲線Γ(又稱萊洛三角形)，下列關(guān)于曲線Γ的描述中，正確的有()(1)曲線Γ不是等寬曲線；(2)曲線Γ是等寬曲線且寬為線段AB的長(zhǎng)；(3)曲線Γ是等寬曲線且寬為弧AB的長(zhǎng)；(4)若曲線Γ和圓的寬相等，則它們的周長(zhǎng)相等；(5)若曲線Γ和圓的寬相等，則它們的面積相等．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【解析】選B.若曲線Γ和圓的寬相等，設(shè)曲線Γ的寬度為1，則圓的半徑為eq\f(1,2)，(1)依據(jù)定義，可以得到曲線Γ是等寬曲線，錯(cuò)誤；(2)曲線Γ是等寬曲線且寬為線段AB的長(zhǎng)，正確；(3)依據(jù)(2)得(3)錯(cuò)誤；(4)曲線Γ的周長(zhǎng)為3×eq\f(1,6)×2π＝π，圓的周長(zhǎng)為2π×eq\f(1,2)＝π，故它們的周長(zhǎng)相等，正確；(5)正三角形的邊長(zhǎng)為1，則三角形對(duì)應(yīng)的扇形面積為eq\f(π×12,6)＝eq\f(π,6)，正三角形的面積S＝eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，則一個(gè)弓形面積S′＝eq\f(π,6)－eq\f(\r(3),4)，則整個(gè)區(qū)域的面積為3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(\r(3),4)))＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(π,2)－eq\f(\r(3),2)，而圓的面積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(π,4)，不相等，故錯(cuò)誤．綜上，正確的有2個(gè)．5．?dāng)?shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”．事實(shí)上，許多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，例如，與eq\r(（x－a）2＋（y－b）2)相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A(x，y)與點(diǎn)B(a，b)之間的距離的幾何問題．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得方程|eq\r(x2＋6x＋13)－eq\r(x2－6x＋13)|＝4的解為()A．±eq\f(6,5)B．±eq\f(\r(5),5)C．±eq\f(6\r(5),5)D．±eq\f(3\r(5),5)【解析】選C.由|eq\r(x2＋6x＋13)－eq\r(x2－6x＋13)|＝4得，|eq\r(（x＋3）2＋（2－0）2)－eq\r(（x－3）2＋（2－0）2)|＝4，其幾何意義為平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)(x，2)與兩定點(diǎn)(－3，0)，(3，0)距離差的肯定值為4，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)(－3，0)，(3，0)距離差的肯定值為4的點(diǎn)的軌跡是雙曲線，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，(a＞0，b＞0)，由題得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝4，,c＝3，,c2＝a2＋b2，))解得a＝2，b＝eq\r(5)，所以平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)(－3，0)，(3，0)距離差的肯定值為4的點(diǎn)的軌跡方程是eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2，,\f(x2,4)－\f(y2,5)＝1，))解得x＝±eq\f(6\r(5),5).6.雙曲線定位法是通過測(cè)定待定點(diǎn)到至少三個(gè)已知點(diǎn)的兩個(gè)距離差所進(jìn)行的一種無線電定位．通過船(待定點(diǎn))接收到三個(gè)放射臺(tái)的電磁波的時(shí)間差計(jì)算出距離差，兩個(gè)距離差即可形成兩條位置雙曲線，兩者相交便可確定船位．我們來看一種簡(jiǎn)潔的“特別”狀況：如圖所示，已知三個(gè)放射臺(tái)分別為A，B，C且剛好三點(diǎn)共線，已知AB＝34海里，AC＝20海里．現(xiàn)以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建系．現(xiàn)依據(jù)船P接收到C點(diǎn)與A點(diǎn)發(fā)出的電磁波的時(shí)間差計(jì)算出距離差，得知船P在雙曲線eq\f(（x－27）2,36)－eq\f(y2,64)＝1的左支上，若船P上接到A臺(tái)放射的電磁波比B臺(tái)電磁波早185.2μs(已知電磁波在空氣中的傳播速度約為0.3km/μs，1海里＝1.852km)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)(單位：海里)為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(90,7)，±\f(32\r(11),7)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(135,7)，±\f(32\r(2),7)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(17，±\f(32,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(45，±16\r(2)))【解析】選B.由題可知，PB－PA＝185.2×0.3＝55.56km＝30海里，設(shè)依據(jù)船P接收到B點(diǎn)與A點(diǎn)發(fā)出的電磁波的時(shí)間差計(jì)算距離差時(shí)，構(gòu)成的雙曲線為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由雙曲線的定義知，PB－PA＝2a，所以a＝15，因?yàn)锳B＝34＝2c，所以c＝17，b2＝c2－a2＝172－152＝64，所以雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的方程為eq\f(x2,225)－eq\f(y2,64)＝1.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,225)－\f(y2,64)＝1，,\f(（x－27）2,36)－\f(y2,64)＝1，))解得x＝45或eq\f(135,7)，因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線eq\f(（x－27）2,36)－eq\f(y2,64)＝1的左支上，所以x＜xC＝eq\f(1,2)AB＋eq\f(1,2)AC＝17＋10＝27，所以x＝eq\f(135,7)，y＝±eq\f(32\r(2),7)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(135,7)，±\f(32\r(2),7))).7．1970年4月24日，我國(guó)放射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”，從今我國(guó)開啟了人造衛(wèi)星的新篇章．人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律：衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是改變的，速度的改變聽從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星與地球的連線)在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等．設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距分別為2a，2c，下列結(jié)論不正確的是()A．衛(wèi)星向徑的最小值為a－cB．衛(wèi)星向徑的最大值為a＋cC．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，橢圓軌道越扁D．衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最大【解析】選D.由題意可得衛(wèi)星的向徑是橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離，所以最小值為a－c，最大值為a＋c，所以A，B正確；衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，即eq\f(a－c,a＋c)＝eq\f(1－e,1＋e)＝－1＋eq\f(2,1＋e)越小，則e越大，橢圓越扁，故C正確．因?yàn)檫\(yùn)行速度是改變的，速度的改變聽從面積守恒規(guī)律，而衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)在近地點(diǎn)的向徑最小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)的向徑最大，衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星與地球的連線)在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，則向徑越大，速度越小，所以衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小，即D不正確．8．中國(guó)是世界上最古老的文明中心之一，中國(guó)古代對(duì)世界上最重要的貢獻(xiàn)之一就