江蘇省泰州市興化市板橋高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE19-江蘇省泰州市興化市板橋高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在中，若，則此三角形為（）三角形．A.等腰 B.直角 C.等腰直角 D.等腰或直角【答案】B【解析】【分析】由條件結(jié)合正弦定理即可得到，由此可得三角形的形態(tài)．【詳解】由于在中，有，依據(jù)正弦定理可得；所以此三角形為直角三角形；、故答案選B【點睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2.在正方體的各條棱中，與直線異面的棱有（）條．A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意畫出圖形,結(jié)合圖形寫出與直線異面的棱,可得答案.【詳解】與棱異面的有：共四條,故選C．【點睛】本題考查了異面直線的應(yīng)用,考查學(xué)生的空間想象實力與推理實力,屬于基礎(chǔ)題.3.△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，則∠BAC=()A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：由余弦定理有：.所以.考點：余弦定理.4.在正方體中，異面直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接、，可證四邊形為平行四邊形，得，得（或補角）就是異面直線與所成角，由正方體的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】連接、，如下圖：在正方體中，且；四邊形為平行四邊形，則；（或補角）就是異面直線與所成角；又在正方體中，，為等邊三角形，，即異面直線與所成角的大小為；故答案選C【點睛】本題考查正方體中異面直線所成角的大小，屬于基礎(chǔ)題．5.如圖，設(shè)點在河的兩岸，一測量者在的同側(cè)所在的河岸邊選定一點．測出兩點間的距離為．，則兩點間的距離為（）m．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先依據(jù)三角形內(nèi)角和求，再依據(jù)正弦定理求解.【詳解】在中,，則由正弦定理得，所以m.故選：C.【點睛】本題考查解三角形的實際應(yīng)用，正弦定理余弦定理是常用方法，屬基礎(chǔ)題.6.三個平面兩兩相交，最多可以得到（）條交線.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由三個平面兩兩相交，可得一條交線或三條交線，即可求解.【詳解】由題意，三個平面兩兩相交，則有一條交線或三條交線，且三條交線兩兩平行或交于一點，例如：三棱柱的三個側(cè)面兩兩相交，交線是三棱柱的三條側(cè)棱，相互平行；例如：三棱錐的三個側(cè)面兩兩相交，交線為三棱錐的三條側(cè)棱，交于一點；所以三個平面兩兩相交，最多可以得到3條交線.故選：C.【點睛】本題主要考查了兩個平面的位置關(guān)系，其中解答中仔細審題，熟記平面的基本性質(zhì)，著重考查空間想象實力，屬于基礎(chǔ)題.7.江岸邊有一炮臺高，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺成部連線成30°角，則兩條船相距（）A. B. C.20 D.【答案】A【解析】【分析】利用直線與平面所成角及俯角的定義，化為兩個特別直角三角形的計算，再在底面中用余弦定理即可求出兩船距離．【詳解】如圖，過炮臺頂部作水平面的垂線，垂足為，設(shè)處觀測小船的俯角為，設(shè)處觀測小船的俯角為，連接、中，，可得米中，，可得米在中，米，米，，由余弦定理可得：，米（負值舍去）故選：A【點睛】本題著重考查了余弦定理、空間線面的位置關(guān)系等學(xué)問，屬于基礎(chǔ)題，嫻熟駕馭直線與平面所成角的定義與余弦定理解三角形，是解決本題的關(guān)鍵.8.如圖，側(cè)棱長為的正三棱錐中，，過點作截面則截面，則截面的周長的最小值為（）A. B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】沿著側(cè)棱把正三棱錐綻開在一個平面內(nèi)，則即為截面周長的最小值，且，在中，由余弦定理可得的值.【詳解】如圖所示：沿著側(cè)棱把正三棱錐綻開在一個平面內(nèi)，如圖（2），則即為截面周長的最小值，且，在中，由余弦定理可得，故選：C.【點睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，利用棱錐的側(cè)面綻開圖探討幾條線段和的最小值問題，屬于基礎(chǔ)題.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.已知分別是三個內(nèi)角的對邊，下列說法正確的有（）A.在中．；B.在中，若，則；C.在中，若，且，則是等邊三角形：D.在中，．【答案】ABD【解析】分析】對于A，由正余弦定理推斷即可；對于B，利用三角形中，大邊對大角和正弦定理即可推斷；對于CD選項利用正余弦定理進行推斷即可.【詳解】解：對于A，由正弦定理，可得，所以A正確；對于B，當時，，由正弦定理得，所以B正確；對于C，由得，由余弦定理得，所以，但三角形不肯定是等邊三角形；對于D，由余弦定理得結(jié)合正弦定理得，，所以D正確；故選：ABD【點睛】此題考查正余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.如圖，在正方形中，分別的中點，現(xiàn)在沿著把這個正方形折成一個四面體，使重合，重合后的點記為．給出下列關(guān)系，其中成立的為（）A.平面 B.平面C. D.平面【答案】AC【解析】【分析】留意翻折前后的角度的變與不變，依據(jù)線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理以及反證的數(shù)學(xué)思想方法逐一推斷即可.【詳解】解：對于A，，平面，平面，，平面，故A正確.對于B，若平面，結(jié)合選項A，則，明顯沖突，故B錯誤.對于C，，平面，平面，，所以平面，又平面，所以，故C正確.對于D，若平面，因為平面（C項已經(jīng)證明），則，明顯沖突，故D錯誤.故選：AC.【點睛】考查翻折問題，解決的關(guān)鍵是留意翻折前后的度量關(guān)系的改變，屬于基礎(chǔ)題.11.已知為不重合的三條直線，為平面，則下列四個命題中正確的命題為（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，依據(jù)垂直與同一平面兩直線平行，可得，所以A是正確的；對于B中，由，依據(jù)線面垂直判定定理，可知只有當為相交直線時，可得，所以B不正確；對于C中，由，依據(jù)線面平行的判定定理，只有當是，可得，所以C不正確；對于D中，由，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可得，所以D是正確的.故選：AD.【點睛】本題主要考查了線面位置關(guān)系的判定與證明，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與論證實力，屬于中檔試題.12.己知分別是三個內(nèi)角的對邊，給出下列四個命題，其中正確的是（）A.在中，若，則是銳角三角形；B.若，則是等腰三角形C.若，則是等腰三角形D.若，則是等邊三角形【答案】CD【解析】【分析】對于A，由余弦定理可得,角C為銳角,但不能確定角B和角C,推斷選項A錯誤;對于B，由正弦定理可得,,通過倍角公式，化簡為，然后即可推斷選項B錯誤;對于C,通過和差公式和誘導(dǎo)公式即可化簡出，，然后即可推斷選項C正確;對于D，利用正弦定理，把化簡為，即可推斷選項D正確.【詳解】對于A，即,可得,即只知C為銳角,故A不正確;對于B，若，則，則，則，則或，是等腰三角形或直角三角形,故B錯誤;對于C,，，即，則是等腰三角形，故C正確;對于D，若，則，則，，即是等邊三角形，故D正確;故選：CD【點睛】本題考查命題的推斷,考查倍角公式、和差公式以及正弦定理的運用，屬于中檔題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在△ABC中，已知C＝120°，sinB＝2sinA，且△ABC的面積為，則AB的長為________．【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得，，代入三角形的面積公式可求，，然后由余弦定理可求．【詳解】解：，由正弦定理可得，，，，，由余弦定理可得，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理的簡潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.如圖，在體積為的圓柱中挖去以圓柱上、下底面為底面，共頂點的兩個圓錐，剩余部分的體積為，則________【答案】【解析】【分析】設(shè)上下圓錐的高分別為圓柱的底面圓的半徑為，圓柱的高為,然后依據(jù)錐體體積以及柱體體積可得，再求即可【詳解】設(shè)上下圓錐的高分別為圓柱的底面圓的半徑為，圓柱的高為,則故答案為：.【點睛】本題主要考查圓錐、圓柱體積的計算，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的駕馭水平，屬基礎(chǔ)題.15.在中，，則________，的面積等于________【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用正弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，進而可求得角的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】由正弦定理，得，，，則，因此，的面積為.故答案為：；.【點睛】本題考查利用正弦定理求角，同時也考查了三角形面積的計算，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.16.棱長為的正方體的8個頂點在同一個球面上，則這個球的體積與表面積的比值為________【答案】1【解析】【分析】正方體的外接球的直徑就是其對角線，用求球半徑即可求解.【詳解】解：該球的直徑就是正方體的對角線，設(shè)球的半徑為，則，故答案為：1【點睛】考查正方體的外接球體積和表面積的求法，基礎(chǔ)題.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫岀文字說明，證明過程或演算步驟．17.在中，角所對應(yīng)的邊分別為，已知，（1）求的周長（2）求的面積【答案】（1）5；（2）．【解析】【分析】（1）由余弦定理，列出方程，即可求得的周長；（2）由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得的值，結(jié)合的面積公式，即可求解.【詳解】（1）在中，，由余弦定理得，解得，則的周長為．（2）由，可得，則的面積為．【點睛】本題主要考查了余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時，要抓住題設(shè)條件和利用某個定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解實力，屬于基礎(chǔ)題．18.如圖，在三棱錐中，，分別為棱的中點，平面平面.求證：（1）∥平面；（2）平面平面.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）證得MN∥BC，由線面平行的判定定理證明即可；（2）證得平面.由面面垂直的判定定理證明即可【詳解】（1）∵分別為棱的中點，∴MN∥BC又平面，∴∥平面.（2）∵，點為棱的中點，∴，又平面平面，平面平面，∴平面.∵平面，∴平面平面【點睛】本題考查線面平行，面面垂直的判定，考查定理，是基礎(chǔ)題19.如圖，在三棱柱中，平面平面，側(cè)面是矩形，點，分別為，的中點.求證：（1）；（2）平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出，從而平面.由此能證明.（2）取的中點，連結(jié)，.推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形，.由此能證明平面.【詳解】證明：（1）因為側(cè)面是矩形，所以，因為平面平面，平面平面，在平面內(nèi)，所以平面.因為在平面內(nèi)，所以.（2）取的中點，連結(jié)，.在△中，，分別是，的中點，所以，且.在矩形中，是中點，所以，且.所以，且.所以四邊形為平行四邊形，所以.又因為在平面外，在平面內(nèi)，所以平面.【點睛】本題考查線線平行、線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查推理論證實力，是中檔題.20.如圖，已知四邊形中，，，，.（1）求長；（2）求四邊形的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）分別在和中利用余弦定理得出關(guān)于和的方程組，即可解得邊的長；（2）求得和的值，然后利用三角形的面積公式可求得四邊形的面積.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②又，所以．所以，，解得，；（2）所以．則四邊形的面積為．【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時也考查了利用三角形的面積公式計算四邊形的面積，考查計算實力，屬于中等題.21.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(Ⅱ)由幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征首先證得線面垂直，然后利用面面垂直的推斷定理可得面面垂直；(Ⅲ)由題意，利用平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理即可找到滿意題意的點.【詳解】（Ⅰ）證明：因為平面,所以；因為底面是菱形，所以;因為,平面,所以平面.（Ⅱ）證明：因為底面是菱形且，所以為正三角形，所以,因為,所以；因為平面，平面,所以；因為所以平面，平面,所以平面平面.（Ⅲ）存在點為中點時，滿意平面；理由如下:分別取的中點，連接,在三角形中，且；在菱形中，為中點，所以且，所以且，即四邊形為平行四邊形，所以;又平面，平面，所以平面.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探究問題等學(xué)問，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實力和計算求解實力.22.某海疆的東西方向上分別有A，B兩個觀測點（如圖），它們相距海里．現(xiàn)有一艘輪船在D點發(fā)出求救信號