巖土工程滲流03 第3章 地下水滲流微分方程

《地下水滲流力學(xué)》第3章地下水滲流微分方程

2第3章地下水滲流微分方程3.1滲流連續(xù)性方程3.2承壓水運(yùn)動(dòng)微分方程3.3半承壓水運(yùn)動(dòng)微分方程3.4潛水運(yùn)動(dòng)微分方程3.5定解條件3.6描述地下水運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型及其解法33.1滲流連續(xù)性方程達(dá)西定律方程中有兩個(gè)未知數(shù)v和H，需另一個(gè)方程來(lái)求解，即連續(xù)性方程。從質(zhì)量守恒原理出發(fā)建立滲流連續(xù)性方程。1.由單元體內(nèi)平衡推導(dǎo)（土木、水利）2.用積分方式推導(dǎo)（石油）4單元體內(nèi)質(zhì)量平衡單元體邊長(zhǎng)滲流分速度

單位面積的水流質(zhì)量

沿x軸方向流入和流出單元體的質(zhì)量差（流入為正）

流入與流出單元體總的質(zhì)量差

土力學(xué)中，太沙基的推導(dǎo)過(guò)程以a點(diǎn)為中心，與本教材不同，但結(jié)果相同。5單元體內(nèi)質(zhì)量平衡單元內(nèi)液體隨時(shí)間的變化（增加為正）根據(jù)質(zhì)量守恒原理，上述兩個(gè)量應(yīng)該相等此式為滲流連續(xù)性方程，可改寫(xiě)為

6積分方式推導(dǎo)滲流場(chǎng)中控制體Ω，表面積σ，通過(guò)面元dσ的滲流速度為v，則流出表面σ的流體質(zhì)量為質(zhì)量守恒：用奧-高公式奧斯特羅格拉茨基Ostrograski,MikhailVasilievich

控制體Ω內(nèi)的流體質(zhì)量增加量為滲流連續(xù)性方程的討論1)穩(wěn)定滲流：滲流場(chǎng)不隨時(shí)間變化時(shí)，右端項(xiàng)為0通常情況：①土層難以壓縮，Es較大，體積Vb變化?、跐B透性很大，K較大，左端數(shù)值較大③水頭變化緩慢，右端小8滲流連續(xù)性方程的討論2）一般情況的方程右端項(xiàng)：第一項(xiàng)第二項(xiàng)匯總得：壓縮為正

不考慮垂向壓縮（側(cè)限），不限于承壓水比較（3.2.3）9孔壓替換成水頭忽略密度隨位置變化的影響，提出來(lái)。比較（3.2.9）103.2承壓水運(yùn)動(dòng)微分方程將達(dá)西定律代入，再按一定的假設(shè)條件，可得到各種常用的滲流微分方程各向同性達(dá)西定律將水頭換為孔壓，并忽略液體壓縮這是比奧固結(jié)方程之一，不受側(cè)限條件控制11側(cè)限條件下的滲流連續(xù)性方程側(cè)限條件整理得：若豎向總應(yīng)力不變：非穩(wěn)定滲流、太沙基一維固結(jié)右端第二項(xiàng)：12側(cè)限條件下的滲流基本微分方程側(cè)限條件，垂直方向總應(yīng)力不變將達(dá)西定律代入，替換滲流速度μs為貯水率或單位貯存量，量綱[L-1]穩(wěn)定滲流Laplace方程13二維問(wèn)題簡(jiǎn)化式含水層厚M，忽略垂直方向滲流，則導(dǎo)水系數(shù)T：T=KM；貯水系數(shù)μ*：μ*=Mμs，當(dāng)水頭降低一個(gè)單位時(shí)，從單位面積、厚度為M的柱體中釋放出來(lái)的水量。

14（嚴(yán)格的推導(dǎo)）：對(duì)（3.2.9）沿z方向由底面向上積分15有水補(bǔ)充的情況如上表面補(bǔ)水，則（vz向上為正，W向下補(bǔ)水為正，抽水為負(fù)）

注意書(shū)中的（3.2.17）式存在概念問(wèn)題：?jiǎn)挝粫r(shí)間從單位體積含水層流入或流出是不可能的，只能在某種邊界條件中出現(xiàn)。

16柱坐標(biāo)形式的滲流連續(xù)性方程

一維變形條件下，直角坐標(biāo)的滲流連續(xù)性方程

直角坐標(biāo)→柱坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系：17柱坐標(biāo)形式的常見(jiàn)方程1)軸對(duì)稱問(wèn)題：（井、砂井、塑料排水板固結(jié)）2)均勻井問(wèn)題：（非穩(wěn)定抽水）

3)對(duì)穩(wěn)定井：

183.3半承壓水運(yùn)動(dòng)滲流方程W為越流補(bǔ)給強(qiáng)度有越流補(bǔ)給的滲流方程二維簡(jiǎn)化時(shí)應(yīng)用的公式對(duì)各向同性介質(zhì)越流因素：教材中（3.3.2）~（3.3.4）是推導(dǎo)越流補(bǔ)給量的過(guò)程193.4潛水運(yùn)動(dòng)微分方程1.用裘布依（Dupuit）假設(shè)推導(dǎo)2.由連續(xù)性方程積分導(dǎo)出有自由水面變動(dòng)的滲流微分方程203.4.1裘布依（Dupuit）假設(shè)推導(dǎo)

Dupuit假設(shè):潛水面任意點(diǎn)P滲透速度方向與潛水面相切

由于坡角θ很小，用代替

這是達(dá)西定律的潛水版。當(dāng)?shù)酌嫠?，z以底面為原點(diǎn)，則近似有h=H21在Dupuit假設(shè)下建立的，只適用于緩變運(yùn)動(dòng)，在vz大的地段不適用。例如在有入滲的潛水分水嶺地段，滲出面附近和鉛直的隔水邊界附近。

條件為i2<<1。

223.4.2潛水流的基本微分方程

（布西涅斯克方程）自由面壓強(qiáng)p=0，不計(jì)土體壓縮性。流入、流出的水量差（含垂直補(bǔ)給）等于潛水面上升所吸收的水量（μ為給水度）二維情況推導(dǎo)類似23潛水流的基本微分方程當(dāng)隔水底板水平時(shí)，將高程基準(zhǔn)設(shè)在底板面，h=H，方程變?yōu)椋阂部梢詮娜S滲流方程直接推出24補(bǔ)充：

由連續(xù)性方程積分導(dǎo)出三維的連續(xù)性方程,忽略彈性釋水，μs≈0，即

含水層底板、潛水表面高程、過(guò)水?dāng)嗝婧穸妊貁方向從z1到z2積分：25積分結(jié)果的討論若頂面有滲入，或水面隨時(shí)間漲落變化，當(dāng)頂面沒(méi)有滲入，且水面不隨時(shí)間變化時(shí)

26在Dupuit假設(shè)下建立的，只適用于緩變運(yùn)動(dòng)，在vz大的地段不適用。例如在有入滲的潛水分水嶺地段，滲出面附近和鉛直的隔水邊界附近。

條件為i2<<1。上述約束條件將大為放寬。按斷面平均流速和平均水頭考慮，(a)和(c)可照常使用，(b)在一定條件下可用

27注意三個(gè)系數(shù)的異同：

μs

——貯水率、單位貯存量。

μ*——貯水系數(shù)。無(wú)量綱

μ——當(dāng)潛水面上升時(shí)為飽和差，潛水面下降時(shí)為給水度（與有效孔隙率ne相關(guān)）無(wú)量綱彈性釋水283.5定解條件定解條件包括邊界條件和初始條件。1．邊界條件滲流區(qū)域幾何邊界上的水力性質(zhì)。（邊界并不一定是外邊界！）2．初始條件給定(t=0)時(shí)刻的滲流場(chǎng)內(nèi)各點(diǎn)的水頭值293.5.1．邊界條件第一類邊界條件(Dirichlet條件)，給定水頭邊界。邊界上某一部分各點(diǎn)的每時(shí)刻的水頭值已知。如地表水體(河流、湖泊)；泉水出口；抽水井，注水井；或疏干巷道等。一般三維區(qū)域邊界

二維區(qū)域邊界應(yīng)當(dāng)注意，給定水頭邊界不是定水頭邊界。

狄利克雷303.5.1．邊界條件第二類邊界條件(Neumann條件)，給定流量邊界。邊界(S2或Γ2)單位面積(二維的為單位寬度)上流入(流出時(shí)為負(fù)值)的流量q，或勢(shì)函數(shù)(水頭函數(shù))的法向?qū)?shù)。一般三維區(qū)域邊界

二維區(qū)域邊界313.5.1．邊界條件第三類邊界條件，混合邊界給定流量和水頭的組合。32邊界條件示例水頭H在各邊界上必須適合的條件為：上游邊界Cl浸潤(rùn)曲線(潛水面與垂直剖面的交線)C2滲出面C3下游邊界即井壁C4隔水邊界C533343.5.2．初始條件給定(t=0)時(shí)刻的滲流場(chǎng)內(nèi)各點(diǎn)的水頭值穩(wěn)定滲流不需要一般三維區(qū)域初值二維區(qū)域初值353.6.1地下水流問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型（1）用確定模型來(lái)描述滲流問(wèn)題時(shí)必須具備下列條件：1)有能描述滲流規(guī)律的微分方程。確定的滲流范圍、參數(shù)值。2)給出定解條件，表現(xiàn)研究區(qū)的初始狀態(tài)和它與周圍的聯(lián)系。需要識(shí)別模型、校正模型步驟（2）解是存在的；解是唯一的；模型的解是穩(wěn)定的。3637383.6.2求解數(shù)學(xué)模型的方法通常有三種方法：解析法；數(shù)值法；實(shí)驗(yàn)?zāi)M法。

1．解析法2.數(shù)值法3.實(shí)驗(yàn)?zāi)M方法391．解析法用數(shù)學(xué)物理方法，如分離變量法、積分變換、保角變換等方法求解析解。解析解可將描述滲流的各種物理量（水頭、水量及各種參數(shù)）反映在一個(gè)表達(dá)式中，就可研究各個(gè)量相互聯(lián)系與相互制約的內(nèi)在規(guī)律。因此，在可能條件下盡量應(yīng)用。401．解析法解析解方法有很大的局限性，只適用于含水層幾何形狀規(guī)則，方程式簡(jiǎn)單，邊界條件較單一的情況。均質(zhì)各向同性，等厚含水層，滲流區(qū)域是圓形或矩形或者無(wú)限；有定水頭補(bǔ)給等等。實(shí)際問(wèn)題往往比這復(fù)雜得多，即使對(duì)定解條件作了相當(dāng)?shù)母呕僭O(shè)，往往因解析解中包含復(fù)雜的積分項(xiàng)及一些特殊函數(shù)，而限制該法的應(yīng)用。412.數(shù)值法用數(shù)值方法求得的解稱為數(shù)值解。它是一種近似解。有限元法、有限差分法、邊界元法、解析元素法、混合