數(shù)學(xué)單元測(cè)試：坐標(biāo)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精單元測(cè)試一、選擇題（每小題5分,共60分）1.將一個(gè)圓作伸縮變換后所得到的圖形不可能是……（)A.橢圓B。比原來大的圓C。比原來小的圓D。雙曲線答案：D2。在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（—2，）的位置,可按如下規(guī)則確定()A。作射線OP,使∠xOP=,再在射線OP上取點(diǎn)M，使|OM｜=2B。作射線OP,使∠xOP=，再在射線OP上取點(diǎn)M，使｜OM｜=2C。作射線OP，使∠xOP=，再在射線OP的反向延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M，使|OM｜=2D。作射線OP,使∠xOP=-,再在射線OP上取點(diǎn)M,使|OM|=2答案：B3。極坐標(biāo)方程sinθ=（ρ∈R）表示的曲線是…(）A.兩條相交直線B.兩條有公共點(diǎn)的射線C.一條直線D。一條射線答案:C4.直角坐標(biāo)為（-3,4)的點(diǎn)的極坐標(biāo)可能是…（)A.(5,arctan(）)B。（5,arcsin)C。(—5,-arccos)D.(-5,arccos())答案：C5。將極坐標(biāo)（2,）化為直角坐標(biāo)為(）A。(0，2）B。(0,-2）C。（2,0）D。(—2，0)答案：B6。極坐標(biāo)方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲線是()A。直線B.圓C.雙曲線D。拋物線答案：B7.坐標(biāo)平面內(nèi),集合P=｛(ρ,θ）｜sinθ=-,ρ∈R}與集合S={（ρ,θ）|cosθ=,ρ∈R｝之間的關(guān)系是()A.PSPSC。P=SD.上述都不對(duì)答案：D8。已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(1，π),那么過點(diǎn)P且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為()A。ρ=1B.ρ=cosθC。ρ=D.ρ=解析：畫圖觀察,C正確。答案:C9.在極坐標(biāo)系中,過點(diǎn)A(6,π）作圓ρ=-4cosθ的切線,則切線長(zhǎng)為（）A.2B.6C。答案:C10。一個(gè)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在極點(diǎn)，其他兩個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為P1（—5，109°）,P2(4，49°)，則這個(gè)三角形P1OP2的面積為(）A。B.C。D.10答案：A11。以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)（1,1）為圓心,1為半徑的圓的方程是()A.ρ=2cos(θ-）B.ρ=2sin(θ-）C.ρ=2sin（θ—1）D。ρ=2cos（θ—1）答案：D12。已知曲線C與曲線ρ=53cosθ-5sinθ關(guān)于極軸對(duì)稱,則曲線C的方程是(）A.ρ=-10cos(θ-)B。ρ=10cos(θ-)C。ρ=—10cos（θ+)D。ρ=10cos(θ+）答案：B二、填空題（每小題4分，共16分）13.將直角坐標(biāo)P（-1,)化為極坐標(biāo)(ρ〉0，0≤θ〈2π)為_________。答案:（2,)14。極坐標(biāo)方程ρcosθ=sin2θ所表示的曲線是________。答案：一條直線或一個(gè)圓15。在同一平面直角坐標(biāo)系中，由橢圓=1變成圓x′2+y′2=1的伸縮變換公式為________.答案:16.曲線θ=0,θ=(ρ≥0）和ρ=4所圍成的面積是________.答案:三、解答題（共74分）17.（12分）設(shè)有一顆彗星,圍繞地球沿一拋物線軌道運(yùn)行，地球恰好位于該拋物線軌道的焦點(diǎn)處,當(dāng)此彗星離地球?yàn)?0(萬(wàn)千米）時(shí)，經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線的軸的夾角為30°,試建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系,寫出彗星此時(shí)的極坐標(biāo).解:如圖，建立極坐標(biāo)系,使極點(diǎn)O位于拋物線的焦點(diǎn)處,極軸Ox過拋物線的對(duì)稱軸，由題設(shè)可得下列情形:(1)當(dāng)θ=30°時(shí)，ρ=30(萬(wàn)千米）;（2）當(dāng)θ=150°時(shí),ρ=30（萬(wàn)千米)；（3）當(dāng)θ=210°時(shí),ρ=30(萬(wàn)千米）；(4）當(dāng)θ=330°時(shí)，ρ=30（萬(wàn)千米).∴彗星此時(shí)的極坐標(biāo)有四種情形:(30,30°),(30,150°)，(30,210°）,（30,330°）.18。（12分)(1）將下列曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程:①（x2+y2）2=2a2xy；②x—3y=0.(2）將下列曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程:①ρ2=cos2θ；②ρ=.解:（1）①由（x2+y2)2=2a2xy,得ρ4=2a2ρ2cosθsinθ?！唳?=2a2cosθsinθ，即ρ2=a2sin2θ。②由x-3y=0,得ρcosθ—3ρsinθ=0,tanθ=.∴θ=arctan。(2）①ρ2=cos2θ兩邊同時(shí)乘以ρ2,得ρ4=ρ2cos2θ=(ρcosθ）2.∴(x2+y2）2=x2,即有x2+y2=x或x2+y2=—x,它表示兩個(gè)圓.②方程可化為2ρ—ρcosθ=4，即2ρ=4+x，兩邊平方得4ρ2=（x+4）2.4x2+4y2=x2+8x+16,即3x2-8x+4y2=16。19.（12分）已知正△ABC的邊長(zhǎng)為a，在平面上求一點(diǎn)P,使｜PA｜2+｜PB｜2+|PC｜2最小,并求出此最小值.解：如右圖，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則A(0,a),B(,0）,C(,0).設(shè)P（x，y）,則｜PA|2+｜PB|2+|PC｜2=x2+（y—a)2+（x+)2+y2+（x—)2+y2=3x2+3y2-ay+=3x2+3（y—a)2+a2≥a2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0,y=a時(shí)，等號(hào)成立，∴所求最小值為a2,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為P(0，a)，是正△ABC的中心.20.（12分）已知定點(diǎn)A(a,0），動(dòng)點(diǎn)P對(duì)極點(diǎn)O和點(diǎn)A的張角∠OPA=，在OP的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)Q,使|PQ|=｜PA|.當(dāng)P在極軸上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡的極坐標(biāo)方程。解:由題意可知｜PA｜=。又｜OQ|=|OP|+｜PA｜,∴ρ=2acos(-θ）.21。（12分)半徑為a的兩個(gè)等圓,它們的圓心分別在兩條互相垂直相交于點(diǎn)O的定直線上,且兩圓都過點(diǎn)O，過點(diǎn)O任意作直線l分別交兩圓于A、B,試求出線段AB中點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程。解:如圖,建立極坐標(biāo)系,設(shè)B(ρ1,θ）,其軌跡為ρ1=2acosθ。設(shè)A(ρ2,θ）,其軌跡為ρ2=2asinθ,設(shè)P(ρ,θ)，則ρ=(ρ1+ρ2)=（2acosθ+2asinθ）=a（cosθ+sinθ）=asin（θ+）?！帱c(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=asin（θ+)。22.（14分)如圖，根據(jù)指令（r,θ）（r≥0，-180°≤θ≤180°)，機(jī)器人在平面上能完成下列動(dòng)作：先原地旋轉(zhuǎn)角度θ（θ為正時(shí)，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ,θ為負(fù)時(shí),按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)｜θ｜),再朝其面對(duì)的方向沿直線行走距離r.（1)現(xiàn)機(jī)器人在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，且面對(duì)x軸正方向,試給機(jī)器人下一個(gè)指令,使其移動(dòng)到點(diǎn)(4,4)。(2）機(jī)器人在完成該指令后,發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)（17,0）處有一個(gè)小球正向坐標(biāo)原點(diǎn)作勻速直線滾動(dòng),已知小球滾動(dòng)的速度為機(jī)器人直線行走速度的2倍，若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，問機(jī)器人最快可在何處截住小球?并給出機(jī)器人截住小球所需的指令.（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）解：（1）求得r=，θ=