浙江省紹興市紹興一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

浙江省紹興市紹興一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是雙曲線的左焦點，為右頂點，是雙曲線上的點，軸，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．已知平面上兩點，則下列向量是直線的方向向量是（）A. B.C. D.3．如圖，在棱長為2的正方體中，點P在截面上（含邊界），則線段的最小值等于（）A. B.C. D.4．過，兩點的直線的一個方向向量為，則（）A.2 B.2C.1 D.15．中，，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，若，，，則（）A. B.C. D.6．某大學(xué)數(shù)學(xué)系共有本科生1500人，其中一、二、三、四年級的人數(shù)比為，要用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個容量為300的樣本，則應(yīng)抽取的三年級學(xué)生的人數(shù)為（）A.20 B.40C.60 D.807．執(zhí)行下圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A.5 B.6C.7 D.88．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記{兩次的點數(shù)均為奇數(shù)}，{兩次的點數(shù)之和為8}，則（）A. B.C. D.9．設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.10．已知圓與直線至少有一個公共點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.11．在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A. B.C. D.12．如圖，面積為的正方形中有一個不規(guī)則的圖形，可按下面方法估計的面積：在正方形中隨機(jī)投擲個點，若個點中有個點落入中，則的面積的估計值為，假設(shè)正方形的邊長為，的面積為，并向正方形中隨機(jī)投擲個點，用以上方法估計的面積時，的面積的估計值與實際值之差在區(qū)間內(nèi)的概率為附表：A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點F是拋物線的焦點，點，點P為拋物線上的任意一點，則的最小值為_________.14．若橢圓的一個焦點為，則p的值為______15．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是__________16．已知，為橢圓C的焦點，點P在橢圓C上，，則的面積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某廠有4臺大型機(jī)器，在一個月中，一臺機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，出現(xiàn)故障時需1名工人進(jìn)行維修，且每臺機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，每臺機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為（1）若出現(xiàn)故障的機(jī)器臺數(shù)為X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有維修1臺機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時能及時維修，都產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠在雇傭維修工人時，要保證在任何時刻多臺機(jī)器同時出現(xiàn)故障能及時進(jìn)行維修的概率不小于90%，雇傭幾名工人使該廠每月獲利最大？18．（12分）如圖，已知橢圓：（）的左、右焦點分別為、，離心率為.過的直線與橢圓的一個交點為，過垂直于的直線與橢圓的一個交點為，.（1）求橢圓的方程和點的軌跡的方程；（2）若曲線上的動點到直線：的最大距離為，求的值.19．（12分）已知圓的圓心為，且圓經(jīng)過點（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓：與圓恰有兩條公切線，求實數(shù)的取值范圍20．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.21．（12分）（1）敘述正弦定理；（2）在△中，應(yīng)用正弦定理判斷“”是“”成立的什么條件，并加以證明.22．（10分）已知集合，（1）若，求m的取值范圍；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，求m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)條件可得與，進(jìn)而可得，，的關(guān)系，可得解.【詳解】由已知得，設(shè)點，由軸，則，代入雙曲線方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故選：C.2、D【解析】由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和空間向量平行的坐標(biāo)表示，以及直線的方向向量的定義可得選項.【詳解】解：因為兩點，則，又因為與向量平行，所以直線的方向向量是，故選：D.3、B【解析】根據(jù)體積法求得到平面的距離即可得【詳解】由題意的最小值就是到平面的距離正方體棱長為2，則，，設(shè)到平面的距離為，由得，解得故選：B4、C【解析】應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示求的坐標(biāo)，由且列方程求y值.【詳解】由題設(shè)，，則且，所以，即，可得.故選：C5、C【解析】利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：C.6、C【解析】根據(jù)給定條件利用分層抽樣的抽樣比直接計算作答.【詳解】依題意，三年級學(xué)生的總?cè)藬?shù)為，從1500人中用分層隨機(jī)抽樣抽取容量為300的樣本的抽樣比為，所以應(yīng)抽取的三年級學(xué)生的人數(shù)為.故選：C7、C【解析】直接按照程序框圖運(yùn)行即可得正確答案.【詳解】當(dāng)時，不成立，時，不成立，時，不成立，時，不成立，時，不成立，時，不成立，時，不成立，時，成立，輸出的值為，故選：C.8、B【解析】利用條件概率公式進(jìn)行求解.【詳解】，其中表示：兩次點數(shù)均為奇數(shù)，且兩次點數(shù)之和為8，共有兩種情況，即，故，而，所以，故選：B9、C【解析】根據(jù)集合交集和補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算，可得，所以.故選：C.10、C【解析】利用點到直線距離公式求出圓心到直線的距離范圍，從而求出的取值范圍.【詳解】圓心到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故只需即可.故選：C11、C【解析】結(jié)合基本不等式的知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，時，為負(fù)數(shù)，A錯誤.對于B選項，，，，但不存在使成立，所以B錯誤.對于C選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C正確.對于D選項，，，，但不存在使成立，所以D錯誤.故選：C12、D【解析】每個點落入中的概率為，設(shè)落入中的點的數(shù)目為，題意所求概率為故選D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】根據(jù)拋物線的定義可求最小值.【詳解】如圖，過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)共線時等號成立，故的最小值為3，故答案為：3.14、3【解析】利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程概念求解【詳解】因為焦點為，所以焦點在y軸上，所以故答案：315、1【解析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體，從而可求其體積.【詳解】據(jù)三視圖分析知，該幾何體為直三棱柱，且底面為直角邊為1的等腰直角三角形，高為2，所以其體積故答案為：116、##【解析】設(shè)，然后根據(jù)橢圓的定義和余弦定理列方程組可求出，再由三角形的面積公式可求得結(jié)果【詳解】由，得，則，設(shè)，則，在中，，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）雇傭3名【解析】（1）設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺數(shù)為X，由題意知，即可由二項分布求解；（2）設(shè)該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，先求出保證在任何時刻多臺機(jī)器同時出現(xiàn)故障能及時進(jìn)行維修的概率不小于90%需要至少3人，再分別計算3人，4人時的獲利即可得解.【小問1詳解】每臺機(jī)器運(yùn)行是否出現(xiàn)故障看作一次實驗，在一次試驗中，機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為，4臺機(jī)器相當(dāng)于4次獨立試驗設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺數(shù)為X，則，，，，，，則X的分布列為：X01234P【小問2詳解】設(shè)該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，設(shè)“在任何時刻多臺機(jī)器同時出現(xiàn)故障能及時進(jìn)行維修”的概率為，則：n01234P1∵，∴至少要3名工人，才能保證在任何時刻多臺機(jī)器同時出現(xiàn)故障時能及時進(jìn)行維修的概率不小于90%當(dāng)該廠雇傭3名工人時，設(shè)該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為17，12，，，∴Y的分布列為：Y1712P∴，∴該廠獲利的均值為16.9萬元當(dāng)該廠雇傭4名工人時，4臺機(jī)器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進(jìn)行維修的概率為100%，該廠獲利的均值為萬元∴若該廠要保證在任何時刻多臺機(jī)器同時出現(xiàn)故障能及時進(jìn)行維修的概率不小于90%時，雇傭3名工人使該廠每月獲利最大18、（1）橢圓的方程為，點的軌跡的方程為（2）【解析】（1）由題意可得，求出，再結(jié)合，求出，從而可得橢圓的方程，設(shè)，則由題意可得，坐標(biāo)代入化簡可得點的軌跡的方程，（2）由題意結(jié)合點到直線的距離公式可得，設(shè)，將直線方程代入橢圓方程中消去，整理利用根與系數(shù)的關(guān)系，由，可得，因為，代入化簡計算可求得答案【小問1詳解】由題意得，解得，則，所以橢圓的方程，設(shè)，則由題意可得，所以，所以，所以點軌跡的方程為【小問2詳解】由（1）知曲線是以原點為圓心，1為半徑的圓，因為曲線上的動點到直線：的最大距離為，所以，得，設(shè)，由，得，所以，，因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以，，所以，得，得（舍去），或19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出圓C的半徑，再直接寫出方程作答.(2)由給定條件可得圓C與圓O相交，由此列出不等式求解作答.【小問1詳解】依題意，圓C的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.【小問2詳解】圓：的圓心，半徑為，因圓與圓恰有兩條公切線，則有圓O與圓C相交，即，而，因此有，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.20、（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的區(qū)間即為所求減區(qū)間；（Ⅱ）化簡不等式，變形為，即求，令，求的導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性求出最小值，可求出的范圍.【詳解】（Ⅰ）由題可知.令，得，從而，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）由可得，即當(dāng)時，恒成立.設(shè)，則.令，則當(dāng)時，.∴當(dāng)時，單調(diào)遞增，，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.∴，∴.【點睛】思路點睛：在函數(shù)中，恒成立問題，可選擇參變分離的方法，分離出參數(shù)轉(zhuǎn)化為或，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值求出的范圍.21、（1）正弦定理見解析；（2）充要條件，證明見解析【解析】（1）用語言描述正弦定理，并用公式表達(dá)正弦定理（2）利用“大角對大邊”的性質(zhì)，并根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化即可【詳解】（1）正弦定理：在任意一個三角形中，各邊和它所對角的正弦值之比相等且等于這個三角形外接