福建省泉州市部分地區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省泉州市部分地區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗解不等式可得，易知，所以.故選：D.2.一組數(shù)據(jù)2，3，5，x，7，4，6，9的眾數(shù)是4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.4 B. C.5 D.〖答案〗B〖解析〗這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)4，，將數(shù)據(jù)從小到大排列為：2，3，4，4，5，6，7，9，則中位數(shù)為：4.5．故選：B．3.已知有理數(shù)a，b滿足，則的值為（）A. B. C.或0 D.或0〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，?dāng)，時，原式=；當(dāng)，時，原式；當(dāng)，時，原式；當(dāng)，時，原式．故選：C．4.如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，若，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗是半圓O的直徑，，，，四邊形是半的內(nèi)接四邊形，，點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，，，.故選：C．5.已知關(guān)于x，y方程組的解是．則關(guān)于x，y的方程組的解是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗可化為：，關(guān)于x，y的方程組的解是，的解為：，解得：．故選：D．6.一個不透明小立方塊的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖1所示．在一張不透明的桌子上，按圖2方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小是（）A.31 B.32 C.33 D.34〖答案〗B〖解析〗由正方體表面展開圖可知，“1”與“3”，“2”與“4”，“5”與“6”所在的面是對面，因此要使題圖2中幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，最右邊的那個正方體所能看到的4個面的數(shù)字為1，2，3，5，最上邊的那個正方體所能看到的5個面的數(shù)字為1，2，3，4，5，左下角的那個正方體所能看到的3個面的數(shù)字為1，2，3，所以該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小為．故選：B.7.如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊上．連接．按以下步驟作圖：（1）以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交，于M，N兩點(diǎn)；（2）再分別以M，N兩點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；（3）連接并延長，分別交，于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．若，連接，則的值為（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗∵，，，∴，∴為直角三角形，，∴，由作圖可知：平分，∴，∵，∴，∴，，∴垂直平分，∴，過點(diǎn)F作，則：為等腰直角三角形，設(shè)，則：，∴，∴，解得：，∴，，∵，∴，∴.故選：B．8.如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)Aa，0和，交y軸于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．下列結(jié)論正確的是（）①若，則；②當(dāng)時，且y的最小值為；③拋物線上有兩點(diǎn)Px1，y1和Qx2④當(dāng)時，對于拋物線上兩點(diǎn)、，若，則.A.②③ B.①② C.③④ D.②④〖答案〗D〖解析〗∵，∴對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對于①，當(dāng)時，點(diǎn)A坐標(biāo)為，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為，∴，故①錯誤；對于②，∵，拋物線開口向上，拋物線與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)和，∴當(dāng)時，x的取值范圍為，且最小值為，故②正確；對于③，∵對稱軸為直線，，且，∴到x軸的距離小于到x軸的距離，∴，故③錯誤；對于④，當(dāng)時，，令，則，解得，，∴，，若，則，∴，∴，故④正確；∴正確的有②④.故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得補(bǔ)部分分，有選錯的得0分．9.下列命題中，是真命題的有（）A.集合的所有真子集為B.若（其中），則C.是等邊三角形是等腰三角形D.〖答案〗BC〖解析〗集合真子集是，共3個，所以A為假命題；由，知，，則，則B為真命題；等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以C為真命題；，所以，所以D為假命題．故選：BC.10.已知命題：，，則命題成立的一個充分條件可以是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由命題：，．故命題成立一個充分條件是的子集，對照四個選項(xiàng)，ABD符合要求.故選：ABD．11.設(shè)，為正實(shí)數(shù)，則下列命題中是真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則〖答案〗AD〖解析〗對于A選項(xiàng)，由，為正實(shí)數(shù)，且，可得，所以，所以，若，則，可得，這與矛盾，故成立，所以A中命題為真命題；對于B選項(xiàng)，取，，則，但，所以B中命題為假命題；對于C選項(xiàng)，取，，則，但，所以C中命題為假命題；對于D選項(xiàng)，由，則，即，可得，所以D中命題為真命題.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若點(diǎn)，，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是____________．〖答案〗〖解析〗∵點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為，∴B為的中點(diǎn)，設(shè)的坐標(biāo)為，∴，，∴，∴的坐標(biāo)是．13.使分式與的值相等的x的值為_____．〖答案〗9〖解析〗根據(jù)題意得：，去分母得：，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時，，∴原方程解為，即使分式與的值相等的x的值為9．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，連接，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到，此時點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為______．〖答案〗〖解析〗過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，連接，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到，∴，，，，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴，∴，∴.四、解答題：本題共5分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.配方法是數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為一個完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個整數(shù)能表示成(a、b是正整數(shù))的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”，例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)椋?是“完美數(shù)”．解決問題（1）已知29是“完美數(shù)”，請將它寫成(a、b是正整數(shù))形式__________；（2）若可配方成(m、n為正整數(shù))，則__________；探究問題（3）已知(x、y是整數(shù)，k是常數(shù))，要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由．解：（1）.（2），∴，，∴.（3），∵S是“完美數(shù)”，，也是整數(shù)，∴k可以取13．16.設(shè)命題，使得不等式恒成立；命題，不等式成立．（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題、有且只有一個是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）若為真命題，即，使得不等式成立，則對于，即可.由于，，則.（2）若為真命題，即，不等式成立，則對于，即可.由于，，，解得p、q有且只有一個是真命題，則或，解得.17.“抖音直播帶貨”已經(jīng)成為時尚的銷售方式，某帶貨主播準(zhǔn)備銷售一種防護(hù)品，進(jìn)貨價格為每件50元，并且每件的售價不低于進(jìn)貨價．經(jīng)過初期試銷售調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每月的銷售量y(件)與每件的售價x(元)之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．（1）求每月的銷售量y(件)與每件的售價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；(不必寫出自變量的取值范圍)（2）物價部門規(guī)定，該防護(hù)品每件的利潤不許高于進(jìn)貨價的．該帶貨主播銷售這種防護(hù)品每月的總利潤要想達(dá)到10000元，那么每件的售價應(yīng)定為多少元？解：（1）由圖象可知每月銷售量y(件)與售價x(元)之間為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為y=kx+bk≠0將，代入，得，解得：，∴每月銷售y(件)與售價x(元)的函數(shù)關(guān)系式為且.（2）根據(jù)題意得：，整理得，，解得，，∵該防護(hù)品的每件利潤不允許高于進(jìn)貨價的，∴，即，∴．∴當(dāng)這種防護(hù)品每件的售價定為70元時，該主播每月的總利潤可達(dá)到10000元．18.如圖，是的直徑，與相交于點(diǎn)E．過點(diǎn)D的圓O的切線，交的延長線于點(diǎn)F，．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的半徑．解：（1）如圖，連接．為的切線，．，．，．，．（2）如圖，連接，，，．，，且，，，即，，，即半徑為2．19.半掛車是掛車中的一種類型，是通過牽引銷與半掛車頭相連接的一種重型運(yùn)輸交通工具.如圖是一種輕體側(cè)翻自卸半掛車.圖1是半掛車?yán)洜顟B(tài)截面示意圖，圖2是其卸貨狀態(tài)截面示意圖，四邊形為矩形，已知該車的車廂長為13米，寬為2.5米．高