考點(diǎn)02 二次根式（解析版）

考點(diǎn)二二次根式知識點(diǎn)整合1．二次根式的有關(guān)概念（1）二次根式的概念形如的式子叫做二次根式．其中符號“”叫做二次根號，二次根號下的數(shù)叫做被開方數(shù)．【注意】被開方數(shù)只能是非負(fù)數(shù)．即要使二次根式eq\r(a)有意義，則a≥0．（2）最簡二次根式被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．（3）同類二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的幾個二次根式，叫做同類二次根式．2．二次根式的性質(zhì)（1）≥0（≥0）；（2）；（3）；（4）；（5）．3．二次根式的運(yùn)算（1）二次根式的加減合并同類二次根式：在二次根式的加減運(yùn)算中，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，若有同類二次根式，可把同類二次根式合并成一個二次根式．（2）二次根式的乘除乘法法則：；除法法則：．（3）二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號內(nèi)的．在運(yùn)算過程中，乘法公式和有理數(shù)的運(yùn)算律在二次根式的運(yùn)算中仍然適用．考向一二次根式的概念及性質(zhì)1．二次根式的有關(guān)概念（1）二次根式的概念形如的式子叫做二次根式．其中符號“”叫做二次根號，二次根號下的數(shù)叫做被開方數(shù)．2．二次根式的性質(zhì)（1）≥0（≥0）；（2）；（3）；（4）；（5）．典例引領(lǐng)1．在函數(shù)中，自變量的取值范圍是（

）A．且 B． C．且 D．且【答案】C【分析】本題考查了函數(shù)的自變量有意義的條件，分式有意義的條件、二次根式有意義的條件．根據(jù)分式的分母不能為0，被開方數(shù)不0即可得．【詳解】解：在函數(shù)中，函數(shù)的自變量有意義的條件是，，解得且，即自變量的取值范圍是且，故選：C．2．下列式子有意義的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式有意義就是被開方數(shù)大于或等于0．根據(jù)二次有意義的條件依次判定即可．【詳解】A、被開方數(shù)是，故無意義，不符合題意；B、被開方數(shù)是，故無意義，不符合題意；C、被開方數(shù)是，故有意義，符合題意；D、被開方數(shù)是，故無意義，不符合題意．故選：C．3．若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，∴，故選：B．4．要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，應(yīng)滿足的條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式，掌握二次根式被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)被開方數(shù)大于等于，得，由此選出答案．【詳解】解：根據(jù)題意，，解得，故選：．5．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的值可以是．（寫一個即可）【答案】0（答案不唯一）【分析】本題考查二次根式有意義的條件，掌握二次根式中被開方數(shù)大于等于0是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式中被開方數(shù)的非負(fù)性求解．【詳解】解：由題意可知，解得，則的值可以是0．故答案為：0(答案不唯一)．6．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x取值范圍為．【答案】【分析】本題考查了二次根式和分式有意義，是基礎(chǔ)題．由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，分式的分母不為0聯(lián)立不等式組求解．【詳解】解：要使有意義，則，解得且．∴的取值范圍是．故答案為：．7．要使代數(shù)式有意義，則x可以取的最小整數(shù)是．【答案】3【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件．根據(jù)“二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)”，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：，∴x可以取的最小整數(shù)是3．故答案為：38．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，列出不等式進(jìn)行求解即可，掌握二次根式被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，，，故答案為：．9．函數(shù)的自變量x的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查了二次根式和分式有意義的條件．根據(jù)二次根式和分式有意義的條件得到且，解不等式即可求解．【詳解】解：由題意可得：且，解得且．∴自變量x的取值范圍是且．故答案為：且10．若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是．【答案】且【分析】根據(jù)二次根式的意義、分式有意義的條件列不等式組求解即可；掌握二次根式的被開方數(shù)大于等于零，分式的分母不等于零是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得：，解得：且．故答案為：且．11．若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．【答案】/【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，可求得x的取值，正確計算是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得，故答案為：．12．若x、y都是實(shí)數(shù)，且，則的平方根為．【答案】【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件和平方根的定義，掌握二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式求出x的值，得到y(tǒng)的值，根據(jù)平方根的定義解答即可．【詳解】解：由題意得，，解得，，則，，196的平方根是，故答案為：．13．函數(shù)中自變量x的取值范圍是【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件、分式有意義的條件列出不等式組，解不等式組即可求解．【詳解】解：由題意得，，解得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分式的分母不為0是解題的關(guān)鍵．14．已知：a、b、c滿足．(1)求a、b、c的值；(2)試問以a、b、c為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，請判斷三角形的形狀；若不能構(gòu)成三角形，請說明理由．【答案】(1)，，(2)以a、b、c為邊能構(gòu)成三角形，三角形的形狀是等腰三角形【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)之和等于零，則每個非負(fù)數(shù)等于零，分別建立方程求解即可；（2）先比較長三邊的大小，再用較小兩邊之和與最大邊比較即可判斷能夠構(gòu)成三角形；然后根據(jù)等腰三角形的概念求解即可．【詳解】（1）∵∴，，∴，，；（2）∵，∴，即∴∴以a、b、c為邊能構(gòu)成三角形，∵∴三角形的形狀是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，二次根式有意義的條件和構(gòu)成三角形的條件，等腰三角形的概念，解題的關(guān)鍵是根據(jù)非負(fù)數(shù)之和等于零的條件分別建立方程和如何判定三邊能否構(gòu)成三角形．15．已知．(1)求a的值；(2)求的平方根．【答案】(1)12(2)【分析】本題考查二次根式有意義的條件、求一個數(shù)的平方根，關(guān)鍵是熟知二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．（1）根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)求解即可；（2）先求得b值和，再根據(jù)一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)求解即可．【詳解】（1）解：由題意，且，解得，（2）解：∵，∴，則，∴，∴的平方根是．16．若有意義，求的值．【答案】．【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)求出，．【詳解】解：由題意得：，，解得：，∴，∴．17．如果，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】由二次根式與分式有意義的條件建立不等式組可得，再求解，再代入計算即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，解得：，∴；∴；【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，利用平方根的含義解方程，求解代數(shù)式的值，掌握二次根式與分式有意義的條件是解本題的關(guān)鍵．變式拓展1．要使代數(shù)式有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)題意得出，求解即可，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)大于等于零是解此題的關(guān)鍵.【詳解】解：要使代數(shù)式有意義，則的取值范圍是，即，故選：B.2．若二次根式有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)求解即可．【詳解】解：∵二次根式有意義，∴，解得：．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件．掌握被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．3．下列根式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式的定義，根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，逐個進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、當(dāng)時，無意義，不符合題意；B、∵，∴，∴是二次根式，符合題意；C、∵，∴，∴不是二次根式，不符合題意；D、不是二次根式，不符合題意；故選：B．4．若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)列出不等式并求解，即可得出答案．【詳解】解：若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則有，解得．故選：A．5．若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再解不等式即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，故選：D．6．函數(shù)中自變量的取值范圍是（

）A． B．且 C．且 D．【答案】A【分析】本題考查了求函數(shù)自變量的取值范圍，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分式的分母不等于0是解題的關(guān)鍵．根據(jù)被開方數(shù)大于等于0和分式的分母不等于0的條件可得，；求解不等式，即可得出答案．【詳解】解：由題意得：且，解得：，故選：A．7．若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0是解題的關(guān)鍵．8．使等式成立的x的取值范圍在數(shù)軸上可以表示為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式組求解即可．【詳解】解：由題意可知：,解得：,故選：．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式有意義的條件．9．在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（

）A．且 B．且 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0和分式的分母不能等于0的條件且，然后再解不等式即可解答．【詳解】解：由題意得：，且，所以，且，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)自變量的取值范圍，掌握二次根式有意義和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．10．若，則xy的值為（

）．A．8 B．12 C．5 D．-8【答案】B【分析】本題可根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)"兩個非負(fù)數(shù)相加，和為0，這兩個非負(fù)數(shù)的值都為0"解出的值，再代入中即可．【詳解】解：依題意得：且，解得：，所以故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，初中階段有三種類型的非負(fù)數(shù)：⑴絕對值；⑵偶次方；⑶二次根式（算術(shù)平方根）.當(dāng)它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．根據(jù)這個結(jié)論可以求解這類題目．11．二次根式有意義，則x．【答案】【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式即可．【詳解】解：由題意得，，解得．故答案為：12．使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查的是根式有意義的條件和分式有意義的條件，根據(jù)四次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式，解不等式即可．【詳解】由題意得，，，解得，，，故答案為：且．13．在函數(shù)中，自變量的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查求自變量的取值范圍．根據(jù)被開方數(shù)不為負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，解得：；故答案為：．14．，則的平方根為．【答案】【分析】利用二次根式有意義的條件可得x、y的值，然后再計算出的值，再利用平方根的定義即可解答．根據(jù)二次根式有意義的條件確定x的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得：，解得：，∴，∴，∴的平方根為．故答案為．15．下列各式：①②③④，其中一定是二次根式的是．（只填序號）【答案】②④/④②【分析】本題考查二次根式的定義，根據(jù)二次根式的定義逐一判斷即可．【詳解】①，故不是二次根式；②，故是二次根式；③的根指數(shù)是3，故不是二次根式；④由于，因此，故是二次根式；故答案為：②④．16．在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查函數(shù)自變量取值范圍，函數(shù)自變量取值范圍一般考慮兩個方面：（1）二次根式被開方數(shù)大于等于0；（2）分式分母不為0．【詳解】解：∵函數(shù)有意義，∴，解得：．故答案為：．17．若x、y都是實(shí)數(shù)，且，求．【答案】/0.375【分析】本題考查二次根式的非負(fù)性，根據(jù)和可得x的值，進(jìn)而求出y值，代入求解即可，掌握二次根式的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，，，，，，故答案為：．18．函數(shù)中，自變量的取值范圍是．【答案】且【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分式分母不為列出不等式，解不等式得到答案．【詳解】由可得：，解得：且．【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分式分母不為是解題的關(guān)鍵．考向二二次根式的運(yùn)算（1）二次根式的加減合并同類二次根式：在二次根式的加減運(yùn)算中，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，若有同類二次根式，可把同類二次根式合并成一個二次根式．（2）二次根式的乘除乘法法則：；除法法則：．（3）二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號內(nèi)的．在運(yùn)算過程中，乘法公式和有理數(shù)的運(yùn)算律在二次根式的運(yùn)算中仍然適用．典例引領(lǐng)1．已知，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的性質(zhì)．根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，求出的值，進(jìn)而得出的值，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)計算即可．掌握二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．【詳解】解：，，，解得：且，，，2．實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．【答案】【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，二次根式的性質(zhì)與化簡，絕對值的性質(zhì)；先根據(jù)數(shù)軸得出，且，進(jìn)而利用二次根式的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)化簡得出即可．【詳解】解：由數(shù)軸可得：，且，則，，．3．計算：．【答案】【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，先化簡各式，再合并同類二次根式即可．【詳解】解：原式．4．計算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，求一個數(shù)的立方根，化簡絕對值：（1）先化簡負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，立方根，平方根，化簡絕對值，再從左到右依次計算，即可作答．（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，以及運(yùn)用平方差公式化簡，即可作答．正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：（2）解：．5．已知，，求的值．【答案】【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，靈活進(jìn)行公式變形是解題的關(guān)鍵．先求出，的值，然后把變形后整體代入求解即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴．6．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式以及完全平方公式，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）先將二次根式化簡，再計算乘法，最后計算加減法即可；（2）先根據(jù)平方差公式和完全平方公式，再根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．7．計算(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)1(3)【分析】本題主要考查了根式的混合運(yùn)算．（1）先計算二次根式的乘法，再計算減法，注意最后結(jié)果要化成最簡二次根式；（2）根據(jù)平方差公式進(jìn)行計算即可；（3）可將原式化成，再化簡每一項即可．熟練掌握二次根式的化簡是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）（2）（3）8．已知的立方根是2，是的整數(shù)部分，是9的平方根，求的算術(shù)平方根．【答案】或/或【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，求一個數(shù)的平方根，根據(jù)立方根求這個數(shù)，無理數(shù)的估算等等，正確根據(jù)題意求出的值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)立方根的定義得到，估算出得到，根據(jù)平方根的定義得到，據(jù)此求出或，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義可得答案．【詳解】解：∵的立方根是2，∴，∵，∴，∵是的整數(shù)部分，∴，∵是9的平方根，∴，∴或，∴的算術(shù)平方根為或．9．（1）已知的平方根為，的立方根為2，求的算術(shù)平方根．（2）實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．【答案】（1）5；（2）【分析】（1）根據(jù)的平方根為，的立方根為2，得出，，代入進(jìn)行計算求出的值，再由算術(shù)平方根的定義計算即可；（2）由數(shù)軸可得，，從而得出，，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．【詳解】解：（1）的平方根為，的立方根為2，，，的算術(shù)平方根為；（2）由圖可得：，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根、立方根的定義、根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)、化簡絕對值、利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．10．我們知道無理數(shù)都可以化為無限不循環(huán)小數(shù)，所以的小數(shù)部分不可能全部寫出來，若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則，且．(1)的整數(shù)部分是________，小數(shù)部分是________；(2)若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，求的值．【答案】(1)7，(2)104【分析】本題考查無理數(shù)的估算，代數(shù)式求值,二次根式的混合運(yùn)算，理解無理數(shù)的估算方法是關(guān)鍵．（1）先估算出的范圍，進(jìn)而可求得整數(shù)部分和小數(shù)部分；（2）先估算的范圍，進(jìn)而可求得m、n值，然后代入求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴的整數(shù)部分是7，小數(shù)部分是，故答案為：7，；（2）解：∵，∴，∴，，∴．11．計算：(1)；(2)．【答案】(1)6(2)【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的混合運(yùn)算．（1）進(jìn)行乘方，開方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（2）先化簡各式，再合并同類二次根式即可．【詳解】（1）解：原式；（2）原式．12．當(dāng)時，求的值，如圖是小亮和小芳的解答過程：(1)______的解法是錯誤的；(2)當(dāng)時，求的值．【答案】(1)小亮(2)，10【分析】本題考查的是二次根式的化簡求值及整式的加減．（1）根據(jù)二次根式的被開方數(shù)具有非負(fù)性解答即可；（2）先把被開方數(shù)化為完全平方式的形式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答解．【詳解】（1）解：∵，，∴原式，∴小亮的解答是錯誤的．故答案為：小亮；（2）解：，，；當(dāng)時．原式．13．觀察下列各式：第1個算式：；第2個算式：；第3個算式：；……請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問題：(1)第5個算式為__________．(2)第n個算式為___________．（請用含n的式子表示）(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】此題考查了二次根式的混合計算，數(shù)字類規(guī)律的探討，正確總結(jié)題意中的計算規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已有算式，進(jìn)行作答即可；（2）根據(jù)已有算式，概括出相應(yīng)的規(guī)律即可；（3）利用（2）中的規(guī)律，拆項計算即可．【詳解】（1）解：由題意，得：第5個算式為；故答案為：；（2）∵第1個算式：；第2個算式：；第3個算式：；……∴第n個算式：，故答案為：；（3）．14．細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答下列問題：，，（是的面積）；，，（是的面積）；，，（是的面積）；…(1)填空：__________，__________；(2)請用含有n（n為正整數(shù)）的式子填空：___________，___________；(3)我們已經(jīng)知道，因此將分子、分母同時乘以，分母就變成了4，請仿照這種方法求的值；【答案】(1)10，(2)，(3)18【分析】本題考查了數(shù)學(xué)中的閱讀能力，規(guī)律問題，還有二次根式的化簡，分母有理化，關(guān)鍵是理解新定義和有關(guān)二次根式的化簡運(yùn)算．【詳解】（1）根據(jù)題意可得，，；（2）根據(jù)題意可得，，；（3）．15．已知正數(shù)，正數(shù)的兩個不同的平方根分別是和，(1)求，的值；(2)求的值．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了算術(shù)平方根，平方根的意義，以及二次根式的性質(zhì)．（1）根據(jù)算術(shù)平方根，平方根的定義求解即可；（2）把a(bǔ)，b的值代入，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】（1）∵，∴，∴．∵正數(shù)的兩個不同的平方根分別是和，∴，∴，∴，∴．（2）∵，，∴．變式拓展1．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)0指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的化簡，二次根式的除法，絕對值的意義等知識進(jìn)行化簡，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可求解；（2）先根據(jù)完全平方公式、平方差根式進(jìn)行計算，再去括號進(jìn)行加減運(yùn)算即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：=．【點(diǎn)睛】本題考查了0指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的化簡，二次根式的除法，絕對值的意義，二次根式的混合運(yùn)算等知識，熟知相關(guān)知識，正確進(jìn)行化簡是解題關(guān)鍵．2．計算：(1)(2)【答案】(1)(2)1【分析】（1）本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，先根據(jù)實(shí)數(shù)的乘除法則進(jìn)行計算，再進(jìn)行實(shí)數(shù)的加減即可；各種運(yùn)算律的靈活應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵；（2）先利用完全平方公式計算，然利用平方差計算即可．【詳解】（1）；（2）．3．計算題(1)(2)(3)(4)【答案】(1)0(2)(3)(4)【分析】本題考查二次根式的加減運(yùn)算、整式的混合運(yùn)算、分式的化簡，關(guān)鍵是掌握相關(guān)運(yùn)算法則．（1）先利用二次根式的性質(zhì)化簡各數(shù)，再加減運(yùn)算即可；（2）根據(jù)多項式除以單項式、積的乘方、多項式乘以單項式運(yùn)算法則求解即可；（3）先利用乘法公式去括號展開，再合并同類項即可求解；（4）根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡原式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．4．[閱讀材料]材料一：把分母中的根號化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一個不等于0的式子，以達(dá)到化去分母中根號的目的．例如，化簡解：材料二：化簡方法，如果能找到兩個實(shí)數(shù)m，n，使，并且，那么．例如，化簡解：【理解應(yīng)用】(1)填空：化簡的結(jié)果等于______．(2)計算：①②【答案】(1)(2)①，②【分析】本題考查了分母有理化，二次根式的混合運(yùn)算，探索二次根式計算中的規(guī)律．（1）根據(jù)材料一方法，把分母有理化化簡即可得出答案；（2）①根據(jù)材料二方法化簡即可得出答案；②根據(jù)材料一方法化簡即可得出答案．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：①；②原式．5．如圖甲，這是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，魔方體積為．

(1)求出這個魔方的棱長．(2)圖甲中陰影部分是一個正方形，求出陰影部分正方形的邊長．(3)把正方形放置在數(shù)軸上，如圖乙所示，使得點(diǎn)與數(shù)1重合，則在數(shù)軸上表示的數(shù)為______．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了正方體的體積、實(shí)數(shù)與數(shù)軸之間的關(guān)系和勾股定理：（1）魔方是個正方體，正方體的體積等于棱長的三次方；（2）這個正方形的邊長是小立方體一個面的對角線的長度；（3）根據(jù)題意得：點(diǎn)D表示的數(shù)是負(fù)數(shù)，它的絕對值比正方形的邊長少1，即可．【詳解】（1）解：∵魔方體積為，∴；（2）解：設(shè)小正方體的棱長為，根據(jù)題意得：，即，∴，∴，根據(jù)勾股定理得，答：陰影部分正方形的邊長為．（3）解：由（2）知，，∵點(diǎn)與數(shù)1重合，∴點(diǎn)D對應(yīng)的數(shù)是．6．閱讀下列材料，然后回答問題．在進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時，我們有時會碰上如一樣的式子，可以將其進(jìn)一步化簡：以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算．(1)計算：(2)已知是正整數(shù)，，，，求；(3)已知，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】()根據(jù)分母有理化去分母后可相互消掉可得結(jié)果；()互為倒數(shù)，分母有理化后可得的值，代入所求式子即可；()設(shè)，，則，利用已知等式導(dǎo)出，根據(jù)完全平方公式計算出即是所求；本題考查了分母有理化的技巧，熟練利用完全平方公式和平方差公式設(shè)未知數(shù)整體代入是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：原式，，，；（2）解：∵，，∴，，，∴，∵，∴，∴；（3）解：設(shè)，，則，∵，∴，∴，即，∴，∵，∴，（不符合題意，舍去），∴．7．如圖，面積為的正方形四個角是面積為的小正方形，現(xiàn)將四個角剪掉，制作一個無蓋的長方體盒子．

(1)則原來大正方形的邊長為；（保留根號）四個角的小正方形的邊長為．（保留根號）(2)求這個長方體盒子的底面邊長和體積分別是多少?并將結(jié)果精確到0.01．提示：【答案】(1)；(2)這個長方體盒子的底面邊長為，體積為【分析】本題主要考查了平方根的定義；（1）利用算術(shù)平方根進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)長方體的體積公式進(jìn)行計算即可；解題的關(guān)鍵是根據(jù)平方根的定義．【詳解】（1）解：則原來大正方形的邊長為；四個角的小正方形的邊長為．故答案為：；．（2）解：這個長方體盒子的底面邊長為：，這個長方體盒子的體積為：．答：這個長方體盒子的底面邊長為，體積為．8．我們知道無理數(shù)都可以化為無限不循環(huán)小數(shù)，所以的小數(shù)部分不可能全部寫出來，若的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則，且．例如，∴的整數(shù)部分為3，小數(shù)部分為．(1)的整數(shù)部分，是小數(shù)部分是；(2)若的整數(shù)部分為m，小數(shù)部分為n，求的值．【答案】(1)4；(2)103【分析】本題考查無理數(shù)的估算，二次根式的加減混合運(yùn)算，掌握算術(shù)平方根的概念和二次根式的加減運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）利用無理數(shù)的估算求值；（2）利用無理數(shù)的估算確定m和n的值，然后代入求解．【詳解】（1）解：的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是，故答案為：4；；（2）解：，的整數(shù)部分為m，小數(shù)部分為n，，．9．請閱讀下列材料：問題：已知，求代數(shù)式的值．小敏的做法是：根據(jù)得，∴，得：．把作為整體代入：得．即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問題．請你用上述方法解決下面問題：(1)已知，求代數(shù)式的值；(2)已知，求代數(shù)式的值【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的化簡求值、求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則．（