考點05 反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)（原卷版）

考點五反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)知識點整合一、反比例函數(shù)的概念1．反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)．2．反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）中x，y的取值范圍反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的自變量x的取值范圍是不等于0的任意實數(shù)，函數(shù)值y的取值范圍也是非零實數(shù)．二、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸．（2）性質(zhì)：當k>0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。攌<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大2．反比例函數(shù)圖象的對稱性反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=x和y=-x，對稱中心為原點．3．注意（1）畫反比例函數(shù)圖象應(yīng)多取一些點，描點越多，圖象越準確，連線時，要注意用平滑的曲線連接各點．（2）隨著|x|的增大，雙曲線逐漸向坐標軸靠近，但永遠不與坐標軸相交，因為反比例函數(shù)中x≠0且y≠0．（3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當k>0時，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當k>0時，y隨x的增大而減?。瑯?，當k<0時，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．三、反比例函數(shù)解析式的確定1．待定系數(shù)法確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖象上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式．2．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；（2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個關(guān)于待定系數(shù)k的方程；（3）解這個方程求出待定系數(shù)k；（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式．四、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義1．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積2．涉及三角形的面積型當一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點，其坐標分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．五、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合1．涉及自變量取值范圍型當一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時，聯(lián)立兩個解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點坐標．針對時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應(yīng)的x的范圍.例如，如下圖，當時，x的取值范圍為或；同理，當時，x的取值范圍為或．2．求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定.①k值同號，兩個函數(shù)必有兩個交點；②k值異號，兩個函數(shù)可能無交點，可能有一個交點，也可能有兩個交點；（2）從計算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．考向一反比例函數(shù)的定義1．反比例函數(shù)的表達式中，等號左邊是函數(shù)值y，等號右邊是關(guān)于自變量x的分式，分子是不為零的常數(shù)k，分母不能是多項式，只能是x的一次單項式．2．反比例函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：①k≠0；②以分式形式呈現(xiàn)；③在分母中x的指數(shù)為-1典例引領(lǐng)1．下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．3．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點與），則的值為（

）A． B．4 C． D．8變式拓展4．若函數(shù)是反比例函數(shù)，則．5．已知是反比例函數(shù)，則．6．如果點是反比例函數(shù)圖象上一點，那么．7．若是關(guān)于的反比例函數(shù)，則常數(shù)．考向二反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)當k>0時，函數(shù)的圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小．當k<0時，函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．雙曲線是由兩個分支組成的，一般不說兩個分支經(jīng)過第一、三象限（或第二、四象限），而說圖象的兩個分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）．典例引領(lǐng)1．我們知道函數(shù)的圖象可以由反比例函數(shù)的圖象左右平移得到，下列關(guān)于的圖象的性質(zhì)：①的圖象可以由的圖象向右平移3個單位長度得到；②的圖象關(guān)于點對稱；③的圖象關(guān)于直線對稱；④若，根據(jù)圖象可知，的解集是．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①②④2．如圖，點和點是反比例函數(shù)的一個分支上的兩點，且點B在點A的右側(cè)，則下列說法中，不正確的是（

）A．該反比例函數(shù)解析式B．矩形的面積為2C．該反比例函數(shù)的另一個分支在第三象限，且y隨x的增大而增大D．b的取值范圍是3．點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．4．反比例函數(shù)的圖象在每個象限內(nèi)，函數(shù)隨的增大而減小，則的值可以()A．3 B．2 C．1 D．0變式拓展5．已知點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．6．當反比例函數(shù)的自變量滿足時，函數(shù)值滿足，則的值為（

）A． B．或2 C．或 D．2或二、填空題7．在平面直角坐標系中，過原點的直線與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，若點的坐標為，則點的坐標為．三、解答題8．小明在實驗課上做了一個試驗．如圖，在儀器左邊托盤A（固定）中放置一個物體，在右邊托盤（可左右移動）中放置一個裝水的容器，容器的質(zhì)量為．在容器中加入一定質(zhì)量的水，可以使儀器左右平衡．改變托盤與點的距離，記錄容器中加入的水的質(zhì)量，得到下表：托盤與點的距離3025201510容器與水的總質(zhì)量1012152030加入的水的質(zhì)量57101525把上表中的與各組對應(yīng)值作為點的坐標，在平面直角坐標系中描出這些點，并用光滑的曲線連接起來，得到如圖所示的關(guān)于的函數(shù)圖象．(1)請在該平面直角坐標系中作出關(guān)于的函數(shù)圖象；(2)觀察函數(shù)圖象，并結(jié)合表中的數(shù)據(jù)：①猜測與之間的函數(shù)關(guān)系，并求關(guān)于的函數(shù)表達式；②求關(guān)于的函數(shù)表達式；③當時，隨的增大而______（填“增大”或“減小”），隨的增大而______（填“增大”或“減小”），的圖象可以由的圖象向______（填“上”或“下”）平移得到．(3)若在容器中加入的水的質(zhì)量滿足，求托盤與點的距離的取值范圍．考向三反比例函數(shù)解析式的確定1．反比例函數(shù)的解析式（k≠0）中，只有一個待定系數(shù)k，確定了k值，也就確定了反比例函數(shù)，因此要確定反比例函數(shù)的解析式，只需給出一對x，y的對應(yīng)值或圖象上一個點的坐標，代入中即可．2．確定點是否在反比例函數(shù)圖象上的方法：（1）把點的橫坐標代入解析式，求出y的值，若所求值等于點的縱坐標，則點在圖象上；若所求值不等于點的縱坐標，則點不在圖象上．（2）把點的橫、縱坐標相乘，若乘積等于k，則點在圖象上，若乘積不等于k，則點不在圖象上．典例引領(lǐng)1．如圖，點在函數(shù)的圖像上，將該函數(shù)圖像向上平移3個單位長度得到一條新的曲線，點的對應(yīng)點分別為．若圖中陰影部分的面積為9，則的值為．2．如圖，矩形的邊與y軸平行，頂點B的坐標為，，反比例函數(shù)的圖象同時經(jīng)過點A與點C，則k的值為．3．如圖，正方形的頂點A，B在x軸上，點，正方形的對稱中心為點M．已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點M，則該反比例函數(shù)的表達式為．4．如圖所示，設(shè)C為反比例函數(shù)圖象上一點，且長方形的面積為5，則這個反比例函數(shù)的解析式為．變式拓展5．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且函數(shù)圖象過第一象限的兩點，，若，則，的取值范圍為．6．已知是關(guān)于的反比例函數(shù)，當時，．則這個函數(shù)的表達式為．7．在平面直角坐標系內(nèi)，如圖，矩形的點，在軸正半軸上，是的中點，是邊上一點，反比例函數(shù)經(jīng)過點．若，，，則的值為．8．如圖，在平面直角坐標系中，點，點，點，連接，過A點作雙曲線交線段于點D（不與點B、C重合），已知，若，則a的取值范圍是．考向四反比例函數(shù)中k的幾何意義三角形的面積與k的關(guān)系（1）因為反比例函數(shù)中的k有正負之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面積時，都應(yīng)加上絕對值符號．（2）若三角形的面積為|k|，滿足條件的三角形的三個頂點分別為原點，反比例函數(shù)圖象上一點及過此點向坐標軸所作垂線的垂足．典例引領(lǐng)1．如圖，反比例函數(shù)圖象過第二象限內(nèi)一點P，過點P的直線分別交x軸，y軸于點A，B，軸于點C，軸于點D，若，則k的值為（）A． B．6 C． D．10二、填空題2．如圖，面積為的的斜邊在軸上，，反比例函數(shù)圖象恰好經(jīng)過點，則的值為．3．如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，過點作軸，點在軸正半軸上，若的面積為，則的值為．變式拓展4．如圖，在平面直角坐標系中，邊長為的正方形的兩條鄰邊，分別在軸正半軸和軸正半軸上，點為正方形的中心，反比例函數(shù)的圖象過點且交邊于點，連接，．（1）用含的代數(shù)式表示的值為（2）若，則的值為三、解答題5．已知反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于點，與另一個正比例函數(shù)的圖象相交于點，其中點在第一象限．若四邊形的面積為24，求點的坐標．6．如圖，在平面直角坐標系中，等腰三角形的底邊在軸的正半軸上，點在反比例函數(shù)的圖象上，延長交軸于點，若，的面積為，求的值．7．經(jīng)過點，過點作軸于點，且的面積為5．(1)求和的値；(2)當時，求函數(shù)值的取值范圍．考向五反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合的主要題型：（1）利用k值與圖象的位置的關(guān)系，綜合確定系數(shù)符號或圖象位置；（2）已知直線與雙曲線表達式求交點坐標；（3）用待定系數(shù)法確定直線與雙曲線的表達式；（4）應(yīng)用函數(shù)圖象性質(zhì)比較一次函數(shù)值與反比例函數(shù)值的大小等．解題時，一定要靈活運用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的知識，并結(jié)合圖象分析、解答問題．典例引領(lǐng)1．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點A作軸，交反比例函數(shù)的圖象于點C，過點C作軸于點D，與直線交于點E．

（1）若，，則；（2）若，則b與k的數(shù)量關(guān)系是．2．如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，與反比例函數(shù)的圖象相交于點，若，則的值為．二、解答題3．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，．(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的函數(shù)表達式；(2)連接，求的面積；(3)請結(jié)合圖象直接寫出不等式的解集．4．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點，與軸交于點．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)為線段上的一個動點（不包括，兩點），過點作軸交反比例函數(shù)圖象于點，當?shù)拿娣e最大時，求點的坐標．變式拓展5．已知點是一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的兩個交點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)觀察圖象，直接寫出不等式的解集．6．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點和，與軸交于點，與軸交于點，點的坐標為，點的坐標為．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)若點是點關(guān)于軸的對稱點，求的面積．7．如圖，在等腰中，，，D為上一點，，動點P從點A出發(fā)，沿著方向運動至點B處停止．連接、，設(shè)點P的運動路程為x，的面積為y．(1)直接寫出y與x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)請在圖2中畫出函數(shù)y的圖像，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(3)圖2中已經(jīng)畫出在第一象限的圖像，根據(jù)函數(shù)圖像，直接寫出當時，自變量x的取值范圍（保留一位小數(shù)）．8．如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于A，B兩點．已知，．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)請結(jié)合圖象直接寫出當，時自變量x的取值范圍．9．如圖1，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點與軸交于點．(1)求a，k的值．(2)利用圖像信息，直接寫出不等式的解集(3)如圖2，直線過點，與反比例函數(shù)圖像交于點，與軸交于點．連接，求的面積．10．如圖，一次函數(shù)與反