廈門灌口中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

廈門灌口中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某綜合實(shí)踐小組設(shè)計(jì)了一個(gè)“雙曲線型花瓶”.他們的設(shè)計(jì)思路是將某雙曲線的一部分（圖1中A，C之間的曲線）繞其虛軸所在直線l旋轉(zhuǎn)一周，得到花瓶的側(cè)面，花瓶底部是平整的圓面，如圖2.該小組給出了圖1中的相關(guān)數(shù)據(jù)：，，，，，其中B是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn).小組中甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別用不同的方法估算了該花瓶的容積（忽略瓶壁和底部的厚度），結(jié)果如下表所示學(xué)生甲乙丙丁估算結(jié)果（）其中估算結(jié)果最接近花瓶的容積的同學(xué)是（）（參考公式：，，）A.甲 B.乙C.丙 D.丁2．直線過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，設(shè)為直線的斜率，為直線的斜率，則的值為（）A. B.C. D.3．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱與底面垂直，若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.4．若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是A. B.C. D.6．若雙曲線的漸近線方程為，則的值為（）A.2 B.3C.4 D.67．命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.?x∈R，|x|+x2<0 B.?x∈R，|x|+x2≤0C.?x0∈R，|x0|+<0 D.?x0∈R，|x0|+≥08．直線分別與曲線，交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.1C. D.29．已知函數(shù)，.若存在三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，則（）A. B.C. D.以上都不對(duì)11．已知圓：，是直線的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，，則的最小值為（）A. B.C. D.12．已知向量，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為__________.14．如圖，已知AB，CD分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且，若該圓柱的底面圓直徑是其母線長(zhǎng)的2倍，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為______15．某校組織了一場(chǎng)演講比賽，五位評(píng)委對(duì)某位參賽選手的評(píng)分分別為9，x，8，y，9．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8.6，方差為0.24，則______16．已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且，則圓的方程為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，.（1）證明：平面平面；（2）若，為棱的中點(diǎn)，，，求二面角的余弦值18．（12分）某工廠修建一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米．池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元．設(shè)池底長(zhǎng)方形長(zhǎng)為x米（1）求底面積，并用含x的表達(dá)式表示池壁面積；（2）怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低?最低造價(jià)是多少?19．（12分）某班主任對(duì)全班名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少與手機(jī)網(wǎng)游的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多總數(shù)喜歡手機(jī)網(wǎng)游不喜歡手機(jī)網(wǎng)游總數(shù)（1）若隨機(jī)地抽問(wèn)這個(gè)班的一名學(xué)生，分別求事件“認(rèn)為作業(yè)不多”和事件“喜歡手機(jī)網(wǎng)游且認(rèn)為作業(yè)多”的概率；（2）若在“認(rèn)為作業(yè)多”的學(xué)生中已經(jīng)用分層抽樣的方法選取了名學(xué)生．現(xiàn)要從這名學(xué)生中任取名學(xué)生了解情況，求其中恰有名“不喜歡手機(jī)網(wǎng)游”的學(xué)生的概率20．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱上運(yùn)動(dòng)（1）證明：；（2）當(dāng)E為棱的中點(diǎn)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值；（3）等于何值時(shí)，二面角的大小為？21．（12分）設(shè)函數(shù)過(guò)點(diǎn)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值（要列表）；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值.22．（10分）已知在公差不為0的等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列___________，求數(shù)列的前項(xiàng)和請(qǐng)?jiān)冖?；②；③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成解答

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)幾何體可分割為圓柱和曲邊圓錐，利用圓柱和圓錐的體積公式對(duì)幾何體的體積進(jìn)行估計(jì)即可.【詳解】可將幾何體看作一個(gè)以為半徑，高為的圓柱，再加上兩個(gè)曲邊圓錐，其中底面半徑分別為，，高分別為,,,,所以花瓶的容積，故最接近的是丁同學(xué)的估算，故選：D2、A【解析】設(shè)點(diǎn)與的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示與，再結(jié)合兩點(diǎn)在橢圓上，可得的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)與，則，，所以，，又點(diǎn)與在橢圓上，所以，，作差可得，即，所以，故選：A.3、A【解析】先由等面積法求得的長(zhǎng)，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用線面角的向量求解方法可得答案【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，則平面，則，設(shè)，則，則根據(jù)三角形面積得，代入解得以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，得，所以直線與平面所成的角的余弦值為，故選：4、C【解析】利用函數(shù)在上單調(diào)遞減即可求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以若，，則；反之若，，則.所以若，則“”是“”的充要條件，故選：C.5、C【解析】焦點(diǎn)在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C考點(diǎn)：1．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)6、A【解析】根據(jù)雙曲線方程確定焦點(diǎn)位置，再根據(jù)漸近線方程為求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線所以焦點(diǎn)在x軸上，又因?yàn)闈u近線方程為，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】利用全稱命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：C.8、B【解析】設(shè)，，，，得到，用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：設(shè)，，，，則，，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)的最小值為1，故選：B9、B【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，再研究函數(shù)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)榇嬖谌齻€(gè)零點(diǎn)，所以方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由得，解得，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)?，，，所以的圖象如圖所示，所以有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則故選：B10、B【解析】根據(jù)極限的定義計(jì)算【詳解】由題意故選：B11、A【解析】根據(jù)題意，為四邊形的面積的2倍，即，然后利用切線長(zhǎng)定理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離求解.【詳解】圓：的圓心為，半徑，設(shè)四邊形的面積為，由題設(shè)及圓的切線性質(zhì)得，，∵，∴，圓心到直線的距離為，∴的最小值為，則的最小值為，故選：A12、B【解析】根據(jù)向量加減法運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可得到結(jié)果【詳解】故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】畫出可行域，通過(guò)平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界來(lái)求得的最大值.【詳解】，畫出可行域如下圖所示，由圖可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：14、.【解析】利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】取CD的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，以CD所在直線為x軸，以底面內(nèi)過(guò)點(diǎn)O且與CD垂直的直線為y軸，以過(guò)點(diǎn)O且與底面垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，，，，，，所以，所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為故答案為：15、1【解析】根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，求得，則問(wèn)題得解.【詳解】由題可知：整理得：；，整理得：，聯(lián)立方程組得，解得或，對(duì)應(yīng)或，故.故答案為：1.16、【解析】利用對(duì)稱條件求出圓心C的坐標(biāo)，借助直線被圓所截弦長(zhǎng)求出圓半徑即可寫出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的圓心，依題意，，解得，即圓心，點(diǎn)C到直線的距離，因圓截直線所得弦AB長(zhǎng)為6，于是得圓C的半徑所以圓的方程為：.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】分析：（1）由四邊形為矩形，可得，再由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)一步得到，再由，利用線面垂直的判定定理可得面，即可證得平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題得，解得.進(jìn)而求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.（2）設(shè)BC中點(diǎn)為,連接，，又面面，且面面，所以面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，設(shè)，可得所以由題得，解得.所以設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.則，所以二面角的余弦值為.點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18、（1)1600,（平方米）；（2）池底設(shè)計(jì)為邊長(zhǎng)40米的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低造價(jià)為268800元.【解析】（1）根據(jù)題意，由于修建一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米可得底面積為1600，池壁面積s=.（2）同時(shí)池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元設(shè)池底長(zhǎng)方形長(zhǎng)為x米，則可知總造價(jià)s=,x=40時(shí)，則.故可知當(dāng)x=40時(shí)，則有可使得總造價(jià)最低,最低造價(jià)是268800元.考點(diǎn)：不等式求解最值點(diǎn)評(píng)：主要是考查了不等式求解最值的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）事件“認(rèn)為作業(yè)不多”和事件“喜歡手機(jī)網(wǎng)游且認(rèn)為作業(yè)多”的概率分別為、；（2）.【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）確定所選的名學(xué)生中，“不喜歡手機(jī)網(wǎng)游”和“喜歡手機(jī)網(wǎng)游”的學(xué)生人數(shù)，加以標(biāo)記，列舉出所有的基本事件，確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問(wèn)1詳解】解：由題意可知，全班名學(xué)生中，“認(rèn)為作業(yè)不多”的學(xué)生人數(shù)為人，“喜歡手機(jī)網(wǎng)游且認(rèn)為作業(yè)多”的學(xué)生人數(shù)為人，因此，隨機(jī)地抽問(wèn)這個(gè)班的一名學(xué)生，事件“認(rèn)為作業(yè)不多”的概率為，事件“喜歡手機(jī)網(wǎng)游且認(rèn)為作業(yè)多”的概率為.【小問(wèn)2詳解】解：在“認(rèn)為作業(yè)多”的學(xué)生中已經(jīng)用分層抽樣的方法選取了名學(xué)生，這名學(xué)生中“不喜歡手機(jī)網(wǎng)游”的學(xué)生人數(shù)為，記為，名學(xué)生中“喜歡手機(jī)網(wǎng)游”的學(xué)生人數(shù)為，分別記為、、、，從這名學(xué)生中任取名學(xué)生，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共種，其中，事件“恰有名“不喜歡手機(jī)網(wǎng)游”的學(xué)生”包含的基本事件有：、、、，共種，故所求概率為.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】（1）連接、，長(zhǎng)方體、線面垂直的性質(zhì)有、，再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）連接，由已知條件及勾股定理可得、，即可求、，等體積法求到面的距離，又直線與面所成角即為與面所成角，即可求線面角的正弦值.（3）由題設(shè)易知二面角為，過(guò)作于，連接，可得二面角平面角為，令，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)及勾股定理構(gòu)造方程求即可.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，連接、，又長(zhǎng)方體中，∴為正方形，即，又面，面，即，∵，面，∴面，而面，即.【小問(wèn)2詳解】連接，由E為棱的中點(diǎn)，則，∴，又，故，∴，又，，故，則，由，若到面的距離為，又，，∴，可得，又，∴直線與面所成角即為與面所成角為，故.【小問(wèn)3詳解】二面角大小為，即二面角為，由長(zhǎng)方體性質(zhì)知：面，面，則，過(guò)作于，連接，又，∴面，則二面角平面角為，∴，令，則，故，而，，∴，∴，整理得，解得.∴時(shí)，二面角的大小為.21、（1）增區(qū)間，，減區(qū)間，極大值，極小值（2）最大值，最小值【解析】（1）將點(diǎn)代入函數(shù)解析式即可求得a，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，確定單調(diào)區(qū)間及極值；（2）分析函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性，由極值、端點(diǎn)值確定最值.【小問(wèn)1詳解】∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，解得，∴，∴，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極大值極小值∴當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為，當(dāng)時(shí)，有極