2024年中考數(shù)學(xué)試題分類訓(xùn)練：圓的有關(guān)位置關(guān)系

專題23圓的有關(guān)位置關(guān)系（36題）

一、單選題

1.（2024?福建?中考真題）如圖，已知點(diǎn)A8在。。上，ZAOB=72°,直線初V與。。相切，切點(diǎn)為C,

且C為的中點(diǎn)，則NACW等于（）

A.18°B.30°C.36°D.72°

【答案】A

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)C為嬴的中點(diǎn)，三角形內(nèi)

角和可求出/。。4=9（180。-36。）=72。,再根據(jù)切線的性質(zhì)即可求解.

【解析】VZAOB=12°,C為AB的中點(diǎn)，???NAOC=36o；Q4=OC：./0。4=；*（180。-36。）=72。;?直

線肱V與。。相切，/.ZOCM=90°,；./4。11=/0。加-/0。1=18。故選，A.

2.（2024.上海.中考真題）在AABC中，AC=3,BC=4,AB=5,點(diǎn)尸在AABC內(nèi)，分別以A、B、尸為

圓心畫，圓A半徑為1,圓B半徑為2,圓尸半徑為3,圓A與圓尸內(nèi)切，圓尸與圓8的關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.相交C.外切D.相離

【答案】B

【分析】本題考查圓的位置關(guān)系，涉及勾股定理，根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，即可得到答案，熟記

圓的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

【解析】???圓A半徑為1,圓尸半徑為3,圓A與圓P內(nèi)切，，圓A含在圓尸內(nèi)，即24=3-1=2,

尸在以A為圓心、2為半徑的圓與AABC邊相交形成的弧上運(yùn)動(dòng)，如圖所示：

;當(dāng)?shù)絇位置時(shí)，圓尸與圓8圓心距離PB最大，為爐彳

V17<3+2=5,，圓尸與圓8相交，故選，B.

3.（2024?河南?中考真題）如圖，。。是邊長(zhǎng)為的等邊三角形A3C的外接圓，點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，連

接8￡）,CD.以點(diǎn)。為圓心，2。的長(zhǎng)為半徑在。。內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（）

B.4兀D.16K

【答案】C

【分析】過。作。5c于E,利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)求出/或心=120。，利用弧、

弦的關(guān)系證明3D=CD,利用三線合一性質(zhì)求出BE=L3C=2>/^,/BDE=工/BDC=60°,在RtaBDE

22

中，利用正弦定義求出80,最后利用扇形面積公式求解即可.

【解析】解：過。作于E,OO是邊長(zhǎng)為473的等邊三角形ABC的外接圓,

BC=4A/3-ZA=60。，ZSDC+ZA=180°,AZBDC^120°,:點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，；?BD=CD，；?

BD=CD,：.BE=^BC=2y/3,NBDE=工NBDC=60°,：.BD=———=2G=4,

22sinZBDEsin60°

1207r416萬丹旺

S陰影=-病—=—T'故選，C-

Jou3

4.(2024.四川瀘州.中考真題)如圖，EA,即是OO的切線，切點(diǎn)為A,D,點(diǎn)、B,C在O。上，若

ZBAE+ZBCD^236°,則NE=()

(5JD

(T-

A.56°B.60°C.68°D.70°

【答案】C

【分析】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作輔助線是

解題關(guān)鍵.

根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得NB4r>+N3CD=180。，由N54E+N3CD=236。得NE4D=56。，由切線長(zhǎng)

定理得E4=KD,即可求得結(jié)果.

【解析】如圖，連接AD,:四邊形ABCO是。。的內(nèi)接四邊形，/NAD+N8Cr>=180。，：

ZBAE+ZBCD=236°,：.ZBAE+ZBCD-（ZBAD+ZBCD）=236°-180°,即/3AE-/3AD=56°,/.

Z￡W=56°,,：EA,ED是。。的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得，E4=即，.../皿>=/￡ZM=56。，；.

ZE=180°-ZEAD-ZEDA=180°-56°-56°=68°.故選，C.

二、填空題

5.（2024?浙江?中考真題）如圖，A3是。。的直徑，AC與。。相切，A為切點(diǎn)，連接BC.已知NACB=5O°,

則NB的度數(shù)為

【答案】40。/40度

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

【解析】：AC與。。相切，AABAC=90°,又：ZACB=5O°,/3=90。一/。=90。-50。=40。，故答

案為：40°.

6.（2024.內(nèi)蒙古包頭.中考真題）如圖，四邊形ABC。是。O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)。在四邊形ABC。內(nèi)部，過

點(diǎn)C作。O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接OAO2.若/AO3=140。，4cp=35。,則—ADC的度數(shù)

為.

【答案】105。/105度

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，連接0C,利用等邊

對(duì)等角得出/。3=/。氏4=20。，ZOCB=ZOBC,利用切線的性質(zhì)可求出NOBC=NOCB=55。，然后利

用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可.

【解析】連接0C,'：OA^OB^OC,ZAO3=140。，AOAB=AOBA=1(180°-ZAOB)=20°,

ZOCB=ZOBC,：CP是切線，：.NOCP=90。,BPZOCB+ZBCP=90°,,：ZBCP=35°,：.

ZOBC=ZOCB=55°,:.ZABC=ZABO+NOBC=75。,二?四邊形A5CD是O。的內(nèi)接四邊形，，

NADC=180。—NABC=105。，故答案為：105。.

7.(2024.天津.中考真題)如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,F,G均在格點(diǎn)上.

(D線段AG的長(zhǎng)為；

(2)點(diǎn)E在水平網(wǎng)格線上，過點(diǎn)A,E,尸作圓，經(jīng)過圓與水平網(wǎng)格線的交點(diǎn)作切線，分別與AE,"的

延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)B,C,AASC中，點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在邊上，點(diǎn)P在邊AC上.請(qǐng)用無刻度的直

尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)M,N,P,使反!"/?的周長(zhǎng)最短，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)M,N,尸的位置

是如何找到的(不要求證明).

【答案】V2圖見解析，說明見解析

【分析】此題考查了勾股定理、切線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意正確作圖是解題的關(guān)鍵.

(1)利用勾股定理即可求解；

(2)作點(diǎn)M關(guān)于A3、AC的對(duì)稱點(diǎn)M|、M2,連接MM】、MXM2,分別與A3、AC相交于點(diǎn)E、P,

△肱VP的周長(zhǎng)等于的長(zhǎng)，等腰三角形4/1加2的腰長(zhǎng)為AM，當(dāng)AM的值最小時(shí)，的值最小,

此時(shí)M是切點(diǎn)，由此作圖即可.

【解析】(1)由勾股定理可知，AG=EF=0"，故答案為：V2

(2)如圖，根據(jù)題意，切點(diǎn)為M；連接ME并延長(zhǎng)，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)A/1；取圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)￡)和格

點(diǎn)H,連接?！ú⒀娱L(zhǎng)，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)加2；連接得知2,分別與48,AC相交于點(diǎn)N,P,則點(diǎn)

8.(2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題)如圖，已知兩條平行線4、L點(diǎn)A是《上的定點(diǎn)，于點(diǎn)8,點(diǎn)C、

。分別是4、4上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AC=3D,連接C￡＞交線段AB于點(diǎn)E,BHLCD于點(diǎn)H,則當(dāng)N54H最

大時(shí)，sinZfi4H的值為.

【分析】證明AACE絲ABDE(ASA),得出BE=AE=(A8,根據(jù)B"_LCD,得出N3HE=90。，說明點(diǎn)H

在以8E為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取線段BE的中點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心，為半徑畫圓，則點(diǎn)”在。。上運(yùn)動(dòng),

說明當(dāng)■與。。相切時(shí)NBA”最大，得出根據(jù)AO=AE+OE=3OE,利用

"即嚼=粽《即可求出結(jié)果.

【解析】：兩條平行線4、，2,點(diǎn)A是4上的定點(diǎn)，于點(diǎn)8，?..點(diǎn)B為定點(diǎn)，A3的長(zhǎng)度為定值,

lA//l2,：.ZACE=ZBDE,ZCAE=ZDBE,VAC=BD,；.AACE絲ASDE（ASA），,BE=AE=3AB,

?..瓦/LCD,.?./B〃E=90。，...點(diǎn)//在以BE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，取線段8E的中點(diǎn)0,以點(diǎn)。為

圓心，05為半徑畫圓，

則點(diǎn)H在OO上運(yùn)動(dòng)，???當(dāng)與OO相切時(shí)44H最大，AOHYAH,?:AE=OB=2OE,：.

CH/1Z7i1

AO=AE+OE=3OE,'：OH=OE,：.sinZBAH=—,故答案為：一.

AOiOE33

9.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，0M的圓心為〃（4,0）,半徑為2,尸是直線＞=x+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

過點(diǎn)P作。M的切線，切點(diǎn)為Q,則尸。的最小值為

【答案】2幣

【分析】記直線y=x+4與X,y軸分別交于點(diǎn)A,K,連接?！?，PM,KM.由直線解析式可求得點(diǎn)4K

的坐標(biāo)，從而得△OAK,△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ=dPM2-QM2,由

QM=2,則當(dāng)P"最小時(shí)，PQ最小，點(diǎn)尸與點(diǎn)K重合，此時(shí)PM最小值為由勾股定理求得PM的

最小值，從而求得結(jié)果.

【解析】記直線y=x+4與X,y軸分別交于點(diǎn)A,K,連接QM，PM,KM,

當(dāng)x=0,y=4,當(dāng)y=。，即x+4=0,解得：x=T,即K(0,4),A(—4,0)；而M(4,0),OA—OK—OM—4,

△OAK,AOKM均是等腰直角三角形，二ZAKO=NMKO=45°，＜ZAKM=90°,=QP與。/相切,

ZPQM=90°,:.PQ=1PM2—QM2,：。河=2,.?.當(dāng)PQ最小時(shí)即PM最小，，當(dāng)9_LAK時(shí)，取

得最小值，即點(diǎn)尸與點(diǎn)K重合，此時(shí)PM最小值為KM,在RIAOKM中，由勾股定理得：

KM=ylOM2+OK2=4A/2>?,?尸。="32-4=26,；.PQ最小值為2近.

10.（2024?山東煙臺(tái)?中考真題）如圖，在YABC。中，ZC=120°,AB=8,BC=10.E為邊CO的中點(diǎn)，

F為邊AO上的一動(dòng)點(diǎn)，將ADEF沿EF翻折得AD,EF連接AD'，BD',則△板/面積的最小值為.

【答案】20A/3-16/-16+20A/3

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD=AS=8,AB//CD,NABC=60。，由折疊性質(zhì)得到ED=DE=4,

進(jìn)而得到點(diǎn)D0在以E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，過E作曰0LA5交A5延長(zhǎng)線于交圓E

于以，此時(shí)￡>0到邊4B的距離最短，最小值為ZXM■的長(zhǎng)，即此時(shí)△ABZ7面積的最小，過C作。V_LAB于

N,根據(jù)平行線間的距離處處相等得到=故只需利用銳角三角函數(shù)求得CN=5g即可求解.

【解析】???在YABCD中，ZBCD=120°,AB=8,：.CD=AB=8,AB//CD,貝。

Z4BC=180。一N3CD=60°,：E為邊CD的中點(diǎn)，=CE=；CO=4,：ADEF沿所翻折得，

/.ED'=DE=4,

...點(diǎn)0C在以E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，過￡作交A3延長(zhǎng)線于交圓E于。C,

此時(shí)到邊AB的距離最短，最小值為DM的長(zhǎng),即面積的最小，過C作CTV,AB于M：AB〃CD,

:.EM=CN,在RtABCN中，BC=10,ZCBN=60°,：.CW=BC-sin60°=10x—=573,

2

DM=ME-￡ir=5g-4,△ABD面積的最小值為gx8x（5若-4）=20右-16,故答案為：2073-16.

B

三、解答題

11.（2024?廣東?中考真題）如圖，在AABC中，ZC=90°.

（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法作-A的平分線AD交于點(diǎn)。；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

⑵應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，以點(diǎn)。為圓心，0c長(zhǎng)為半徑作。D.求證：與0。相切.

【分析】本題考查了尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，切線的判定等知識(shí).熟練上述知識(shí)是解題的

關(guān)鍵.

（1）利用尺規(guī)作角平分線的方法解答即可；

（2）如圖2,作于E,由角平分線的性質(zhì)定理可得DE=DC,由是半徑，可證

與。。相切.

解：（1）如圖1,AD即為所作；

（2）證明：如圖2,作于E,

：是/CAD的平分線，DC±AC,DEJ.AB,

：.DE=DC,

是半徑，DE.LAB,

A3與。。相切.

12.（2024.內(nèi)蒙古赤峰.中考真題）如圖，“IBC中，ZACB=90°,AC=BC,。。經(jīng)過8,C兩點(diǎn)，與斜

邊A3交于點(diǎn)E,連接CO并延長(zhǎng)交A3于點(diǎn)交。O于點(diǎn)。，過點(diǎn)E作EF〃8,交AC于點(diǎn)R

⑴求證：所是。。的切線；

⑵若BM=40，tanABCD=1,求的長(zhǎng).

【分析X1）連接0E,延長(zhǎng)E。，交。。于點(diǎn)尸，連接PD,也），根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出NDBE=45°,

得ZDPE=45。,ZDOE=90°,由EF〃CD可得NEEE>=NDOE=90。，從而可證明所是。。的切線；

/八?/八「八1/1=.DB1DB1、十皿,BMDMDB1,

（2）由tan/BCD=-^7，n即n=彳，證明小DBM^^ACM,佝ZF-.=-=――=%,由BM=4^2

2nC2AC2AJvLCMAC2

得AM=80，故可得AB=12V2，由勾股定理求出AC=BC=12,得DB=6,由勾股定理求出CD=645,

CO=DO=3^/5,根據(jù)”■=?求出。加=2右，進(jìn)一步求出OM=O。一OM=3行一26=6

CM2

解：（1）證明：連接。￡,延長(zhǎng)E。，交。。于點(diǎn)P，連接PR50,如圖，

?/AB=BC,ZACB=90°,

???△ABC是等腰直角三角形，

ZABC=45°,

?18是。。的直徑，

??.ZCBD=90°,

：.ZDBE=ZCBD-ZABC=90°-45°=45°,

.?./EPD=/DBE=45。,

：.NDOE=2ZDPE=2x45°=90°,

?.?EF//CD,

：./FEO=/DOE=90°,即OE_LEF,

OE是。。的半徑，

???石產(chǎn)是。0的切線；

(2)VZDBC=9Q°,tanZBCD=-,

2

?.D?B_1—―，

BC2

?.?BC=AC,

.DB1

??=一，

AC2

ZDMB=ZCMA,ZA=ZDBM,

：.ADBMSAACM,

.BMDMDB_1

,,AM-CM-AC-2，

BM=472，

:.AM=2BM=8。

A8=AM+BM=8夜+4&=12逝，

在等腰直角三角形ABC中，AC2+BC2=AB2,

?*.AC2+AC2=AB2=(12A/2)2,

解得，AC—12,

...AC=BC=12,

：.DB=-BC=6,

2

在戊&8￡＞。中，CD=4BC。+DB?=J12?+62=6區(qū)

/.CO=DO=345,

XCM2,

CM=2DM,

：.2DM+DM=CD=6技

/.DM=2A/5

/.OM=OD-DM=3A/5-2A/5=A/5

13.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，A3是。。的直徑，C是80的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作AO的垂線，垂足為

點(diǎn)E.

(2)求證：CE是。O的切線；

⑶若AD=2CE,OA=42,求陰影部分的面積.

【分析】+(1)分別證明ZACB=N4￡C,ZBAC=NEAC,從而可得結(jié)論；

(2)連接。C,證明/E4C=/ACO,可得OC〃AE,再進(jìn)一步可得結(jié)論；

(3)連接、。。，證明四邊形DECF是矩形,可得。斤=EC,再證明AD=,可得ZDAB=ZDBA=45°,

可得Z.DOA=2NDBA=90°,利用S陰影部分=S扇形水加一^AAOD可得答案.

解：(1)證明：是。。的直徑

NACB=90°,

又?:CE1AD,

：.ZAEC=90°,

ZACB=ZAEC,

C是BZ)的中點(diǎn)，

BC=DC，

：.ZBAC=ZEAC,

二AACE^AABC；

ZCAO=ZACO,

"?ZBAC^ZEAC,

：.ZEAC=ZACO,

：.OC//AE.

*：CE±ADf

：.CEYOC,

,/OC是OO的半徑,

???C￡是。。的切線；

?.?A3是的直徑，

.??ZADB=90°,

?：ZAEC=NECO=90。,

J四邊形DECb是矩形，

/.DF=EC,

TOC是半徑，C是瓦)的中點(diǎn)，

：.DF=FB,OC±DB,

即DB=2DF=2EC,

,:AD=2CEf

AD=DB,

：.ZDAB=ZDBA=45°,

：.ZDOA=2ZDBA=90°,

90°7TX(V2)2

S陰影部分=s扇形A。。-S^--x^/2x^/2=—7i-l

A0D36022

14.（2024.江蘇鹽城?中考真題）如圖，點(diǎn)。在以AB為直徑的。。上，過點(diǎn)。作。。的切線/，過點(diǎn)A作AD，/,

垂足為。，連接AC、BC.

(1)求證：△ABCsAACD；

(2)若AC=5,CD=4,求。。的半徑.

【分析】題目主要考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理解三角形，作出輔助線，綜合運(yùn)

用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

(1)連接OC,根據(jù)題意得NOCD=NOC4+NACD=90。，ZACB=ZACO+ZOCB=90°,利用等量

代換確定/ACD=/ABC,再由相似三角形的判定即可證明；

(2)先由勾股定理確定AD=3,然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

解：(1)證明：連接OC,如圖所示：

???<?。是。。的切線，點(diǎn)（7在以46為直徑的0。上，

NOCD=/OCA+/ACD=90。，/ACB=ZACO+NOCB=90°,

/ACD=/OCB,

'：OC^OB,

：./OBC=/OCB,

：.ZACD^ZABC,

'：ADll,

：./ADC=90。，

:.NADC=NACB,

：.AABC^AACD；

（2）VAC=5,CD=4,

A。=452-42=3,

由（1）得AABCs"CD,

,ABACAB5

??=艮nn=一，

ACAD53

/.。。的半徑2為5=2§5

36

15.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，A3是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，A￡＞平分NBAC交。。于點(diǎn)。,

過點(diǎn)。的直線OE人AC,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

⑴求證：所是。。的切線;

（2）連接E。并延長(zhǎng)，分別交。。于M,N兩點(diǎn)，交AD于點(diǎn)G,若。O的半徑為2,一尸=30。，求GM-GN的

值.

【分析】（1）連接。。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線得到OD//AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得NOD尸=90。,

即可證明;

（2）連接MD,AN,先解求得。尸=4,。尸=26，貝。AF=6,AE=3,可證明AO=￡）尸=2后,

由的。RGE,得符矍$故DGqmAG=|A，證明4GM即可得到

72

GM-GN=GD-GA=——

25

解：（1）連接OD,

N

?：OA=OD9

：.N2=N3,

???AD平分NBAC,

???N1=N2,

N1=N3,

OD//AC,

：.ZODF=ZAED

9：DEIAC,

：.ZAED=9Q0,

ZODF=90°,

BP0D1EF,

TOD是。O的半徑

???石產(chǎn)是。0的切線；

(2)連接MD,AN,

E

N

*.?4=30。,

???在RtzXOD尸中，O產(chǎn)=28=4,

由勾股定理得：DF=Jo月2—O￡)2=2百

???AF=2+4=6,

???在Rt^A￡F中，ZF=30°,

AE=—AF=3,

2

VZF=30°,OD1EF

：.ZDOF=60°=Z2+Z3,而/2=/3,

???Z2=30°,

AZ2=ZF,

AD=DF=26，

■:OD//AE,

:“DGQs小AGE,

.DGOP_2

**AG-AE-3'

23

DG=-AD,AG=-AD,

AM=AM9

：.ZANG=ZMDG,

,:ZMGD=ZAGN,

：.AMGDS^AGN，

.MGGD

??布一嬴’

oazr2D

：.GMGN=GDGA=-AD-AD=—AD2=—x（2扃=—.

552525,’25

16.（2024?山東煙臺(tái)?中考真題）如圖，A3是。O的直徑，AABC內(nèi)接于。。，點(diǎn)/為AABC的內(nèi)心，連接C/

并延長(zhǎng)交。于點(diǎn)。，E是BC上任意一點(diǎn)，連接AD，BD,BE,CE.

⑴若NABC=25。，求NCEB的度數(shù)；

（2）找出圖中所有與相等的線段，并證明；

⑶若C/=2血，DI=個(gè)垃,求AABC的周長(zhǎng).

【分析】（1）利用圓周角定理得到NACB=90。，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求NCAB=65。，然后利用圓

內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求解即可；

（2）連接加，由三角形的內(nèi)心性質(zhì)得到內(nèi)心，ACAI=ABAI,ZACI=NBCI,然后利用圓周角定理得

至|JNDAB=NDCB=NAC/,AD=BD,禾U用三角形的外角性質(zhì)證得=然后利用等角對(duì)等邊

可得結(jié)論；

（3）過/分別作/QJ_A8,IFLAC,IPYBC,垂足分別為。、F、P,根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)和和切線長(zhǎng)定

理得到=CF=CP,BQ=BP,利用解直角三角形求得C尸=2=CP,AB=13,進(jìn)而可求解.

解：（1）;AB是。。的直徑，

ZADB=ZACB=90°,又ZABC=25°,

：./C4B=90?！?5°=65°,

:四邊形ABEC是。O內(nèi)接四邊形，

ZCEB+ZCAB=180°,

ZCEB=180°-ZG4B=115°；

(2)DI=AD=BD,

證明：連接A/,

:點(diǎn)/為AA6C的內(nèi)心，

/.ZCAI=Z.BA1，ZACI=ZBCI=-ZACB=45°,

2

?*,AD=BD，

/.ZDAB=ZDCB=ZACI,AD=BD,

ZDAI=^DAB+^BAI,ZDIA=AACI+Z.CAI,

ZDAI=ZDIA,

***DI=AD=BD；

(3)過/分別作/。，AB,IFVAC,IPLBC,垂足分別為Q、F、P,

:點(diǎn)/為AABC的內(nèi)心，即為AABC的內(nèi)切圓的圓心.

：.Q.F、P分別為該內(nèi)切圓與AABC三邊的切點(diǎn)，

AQ=AF,CF=CP,BQ=BP,

,:CI=2應(yīng),ZZFC=90°,ZAC7=45°,

CF=CI-cos45°=2=CP,

1Q

VDI=AD=BD,DI=—6,ZADB=9Q0,

2

Z.AB=^AD2+BD2=V2x—V2=13,

2

AABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC

=AB+AF+CF+CP+BP

=AB+AQ+BQ+2CF

=2AB+2CF

=2x13+2x2

=30.

17.（2024.甘肅.中考真題）如圖，AB是。。的直徑，BC=5D，點(diǎn)￡在AD的延長(zhǎng)線上，且NADC=NA￡B.

⑴求證：的是。。的切線；

⑵當(dāng)。。的半徑為2,BC=3時(shí)，求的值.

【分析】（1）連接80,OC,OD,證明。3垂直平分CO,得出NA7Z>=90。，證明得出

ZABE=ZAFD=90°,說明即可證明結(jié)論；

（2）根據(jù)A3是。。的直徑，得出/ACB=90。，根據(jù)勾股定理求出AC=J^^=^=々，根

據(jù)三角函數(shù)定義求出tan/ABC=4G=Y7,證明NAEB=NABC,得出tan/AE3=tan/ABC=Y7即可.

BC33

解：（1）證明：連接BD,OC,OD,如圖所示:

,**BC=BD，

：.BC=BD,

OC=OD,

???點(diǎn)0、B在的垂直平分線上,

???。5垂直平分8,

???ZAFD=90°,

ZADC=ZAEB,

：.CD//BE,

：.ZABE=ZAFD=90°f

；?AB±BE,

*/AB是。。的直徑，

8E是。。的切線；

(2);。。的半徑為2,

***AS=2x2=4,

?.?AB是的直徑，

???ZACB=90°,

,?BC=3,

AC=y/AB2-BC2=742-32=不，

tanZABC,

BC3

;AC=AC'

：.ZADC^ZABC,

"：ZAEB=ZADC,

：.ZAEB=ZABC,

tanNAEB=tan/ABC=.

3

18.(2024?山東威海?中考真題)如圖，已知AB是。。的直徑，點(diǎn)C,。在。。上，且BC=CD.點(diǎn)E是線

段A3延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EC并延長(zhǎng)交射線AD于點(diǎn)尸.NFEG的平分線E”交射線AC于點(diǎn)”,/H=45。.

⑵若3E=2,CE=4,求AF的長(zhǎng).

【分析】本題考查切線的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)角平分線的定義

得到ZF=90°是解題的關(guān)鍵.

(1)連接OC,根據(jù)圓周角定理得到NZMC=NG42=1/DAB,即可得到OC〃仞，然后根據(jù)角平分線

的定義得到ZF=ZFEG-ZFAE2ZH=2x45。=90。，然后得到NOCE=NF=90。即可證明切線；

(2)設(shè)。。的半徑為r,根據(jù)。。2+0片=。爐，可以求出r,然后根據(jù)AECOSAEE4,即可得到結(jié)果.

解：(1)證明：連接OC,

則NO4c=NOC4,

又：BC=CD,

；?BC=CD，

：.ADAC=ZCAB=-ZDAB,

2

ZDAC^ZOCA,

：.OC//AD,

：.ZOCE=ZF,

'：EH平分NFEG,

：./FEG=2ZHEG,

：.NF=ZFEG-ZFAE=2NHEG-2ZCAB=2(NHEG-ZCAB)=2ZH=2x45°=90°,

ZOCE=ZF=90°,

又,:0c是半徑，

所是。。的切線；

(2)設(shè)OO的半徑為廠，則OE=C?+3E=r+2,

OC2+CE2=OE2,即/+42=(r+2『,

解得廠=3,

￡A=AB+3E=2r+2=8,OE=5,

又：OC\\AD,

；.AECAAEFA,

24

:.且=竺,即江”解得=g

OEOC53

19.（2024?陜西?中考真題）如圖，直線/與。。相切于點(diǎn)A,A8是。。的直徑，點(diǎn)C,。在/上，且位于

點(diǎn)A兩側(cè)，連接BGBD,分別與OO交于點(diǎn)E,F,連接EF,AF.

B

(1)求證：ZBAF=/CDB；

(2)若。O的半徑r=6,AD=9,AC=12,求石廠的長(zhǎng).

【分析】(1)利用切線和直徑的性質(zhì)求得NBA0=N5E4=9。。，再利用等角的余角相等即可證明

ZBAF=ZCDB；

(2)先求得A6=12=AC,BD=15,證明和△鉆石是等腰直角三角形，求得AE的長(zhǎng)，再證明

ABEFSBDC,據(jù)此求解即可.

解：(1)證明：??,直線/與。。相切于點(diǎn)A,

??.ZBAD=90°,

ZBDA+ZABD=90。,

〈AB是的直徑，

：.ZBFA=90°,

：.ZBAF-^ZABD=90°,

：.ZBAF=ZCDB；

(2)?:r=6,

??AB—2r=12=AC,BD=VAB2+AD2=V122+92=15，

??,直線/與OO相切于點(diǎn)A,

：.ABAC=90°,

「?△ABC是等腰直角三角形，

???ZABC=ZACB=45°,

丁AB是的直徑，

AZSEA=90°,

???后也是等腰直角三角形，

?*-AE=BE=AB-cos45°=672，

;BF=BF，

：.ZBEF=ZBAF,

?:/BAF=/CDB,

：.ZBEF=ZBDC,

；?^BEFs^BDC,

.BE_EF6A/2EF

??一,--=-----,

BDCD1512+9

.門口4272

5

20.（2024?湖北?中考真題）Rt^ABC中，NACB=90。，點(diǎn)。在AC上，以0c為半徑的圓交4B于點(diǎn)。,

交AC于點(diǎn)E.且加＞=3C.

⑴求證：48是OO的切線.

（2）連接交O。于點(diǎn)若AD=6,AE=1,求弧CF的長(zhǎng).

【分析】（1）利用SSS證明△03。絲△OBC,推出NOD8=NOCB=90。，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；

（2）設(shè)OO的半徑為x,在Rt^AOD中，利用勾股定理列式計(jì)算求得x=l,求得NAOD=60。，再求得

NCO/=60。，利用弧長(zhǎng)公式求解即可.

解：（1）證明：連接。。，

在AQ?。和△OBC中，\OB=OB,

OD=OC

/AO3C（SSS）,

ZODB=NOCB=90°,

為。O的半徑，

?*.43是的切線；

(2)V=90°,

ZODA=90°,

設(shè)。。的半徑為x,

在RtAAOD中，AO2=OD2+AD-,即（x+l『=爐+（右）

解得x=l,

OD=OC=1,OA=2,cos^.AOD-=—

OA2

NAOD=60°,

*.?AOBD^AOBC,

21.(2024.貴州?中考真題)如圖，A8為半圓O的直徑，點(diǎn)尸在半圓上，點(diǎn)P在A3的延長(zhǎng)線上，PC與半

圓相切于點(diǎn)C,與。咒的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，AC與。尸相交于點(diǎn)E,DC=DE.

AOBP

(1)寫出圖中一個(gè)與/DEC相等的角：；

(2)求證：OD±AB；

(3)若。4=2OE,DF=2,求P3的長(zhǎng).

【分析】(1)利用等邊對(duì)等角可得出〃CE=N￡)￡C,即可求解；

(2)連接。C,利用切線的性質(zhì)可得出/OCE+/ACO=90。，利用等邊對(duì)等角和對(duì)頂角的性質(zhì)可得出

ZAOE=ZDCE,等量代換得出ZA￡O+NC4O=90。，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出NAOE=90。，即可得

證；

(3)設(shè)OE=2,貝lj可求AO=O尸=8O=2x,EF=x,OD=2x+2,DC=DE=2+x,在RtZ\ODC中，禾!J

用勾股定理得出(2+2元y=(尤+2『+(2x『，求出尤的值，利用函八韜;若可求出0尸，即可求解.

解：⑴?；DC=DE,

：.NDCE=NDEC,

故答案為：NDCE(答案不唯一);

(2)證明：連接。C,

,/PC是切線,

/.OC±CD,即NOCE+ZACO=90。，

*：OA=OC9

：.ZOAC=ZACO,

VZDCE=ZDEC,ZAEO=ZDEC,

：.ZAEO+ZCAO=90°,

???ZAOE=90。，

OD±AB；

(3)設(shè)。石=x,貝!JAO=。b=50=2%,

：.EF=OF-OE=x,OD=OF+DF=2x+2,

：.DC=DE=DF+EF=2+x,

在RtAkQDC中，OD2=CD2+OC2,

A(2+2X)2=(X+2)2+(2X)2,

解得外=4,9=0（舍去）

AOD=10,CD=6,OC=8,

???tan小絲="

ODCD

,OP8

??=一，

106

解得。尸=40￡，

：.BP=OP-OB=—

3

22.（2024?青海?中考真題）如圖，直線AB經(jīng)過點(diǎn)C,且。4=OB,CA=CB.

(1)求證：直線48是。。的切線；

(2)若圓的半徑為4,々=30。，求陰影部分的面積.

【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和勾股定理、扇形面積的計(jì)算等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì).

(1)利用等腰三角形的性質(zhì)證得利用切線的判定定理即可得到答案；

(2)在RtAOCB中，利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求得QB=8,BC=4摳,再根據(jù)

S陰影=SQCB~S扇形。8，計(jì)算即可求解.

解：(1)證明：連接OC,

?.?在A04B中，OA=OB,CA=CB,

：.OC±AB,

又：OC是。。的半徑，

.??直線是。o的切線；

(2)由(1)知NOCB=90。，

ZB=30°,

ZCOB=90°-30°=60°,

.c_60兀-42_8"

扇形。8

在Rt^OCB中，ZB=30°,OC=4,

08=8,

BC=y]OB2-OC2=A/82-42=4A/3，

S.=—BC-OC4A/38下＞,

△onCcFgI2=—2x,x4=

S陰影=SqcB—S扇形os=8』--.

23.(2024?天津?中考真題)已知"LOB中，NABO=30。,A3為。O的弦，直線與相切于點(diǎn)C.

EA

MCNMC

圖①圖②

(1)如圖①，若AB〃M直徑CE與AB相交于點(diǎn)D,求ZAOB和NBCE的大??；

(2)如圖②，若OB〃MN,CGLAB,垂足為G,CG與08相交于點(diǎn)不。4=3,求線段OF的長(zhǎng).

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的

關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等邊對(duì)等角得到NA=NABO,然后利用三角形的內(nèi)角和得到NAOB=18(T-2ZABO=120。，然

后利用平行線的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理解題即可；

(2)連接。C,求出/CR9=/3尸G=60。，再在Rt^CO尸中運(yùn)用三角函數(shù)解題即可.

解：(1)?.?他為。。的弦，

得NA=NABO.

中，ZA+ZABO+ZAOB=180°,

又ZABO=30°,

ZAOB=180°-2ZABO=120°.

1??直線MN與。。相切于點(diǎn)C,CE為QO的直徑,

:.CE±MN.即/ECM=90°.

又AB〃MN,

：.ZCDB=ZECM=90°.

在RMODB中，/BOE=90°-ZABO=60°.

ZBCE=-ZBOE,

2

:"BCE=30°.

(2)如圖，連接。C.

A

MCN

,/直線MN與QO相切于點(diǎn)C,

??.ZOCM=90°

?.,OC\\MN

：.ZOCM=ZCOB=90°.

vCGIAB,得NFGB=900.

「?在用△廠G5中，由NABO=30。，

得ZBFG=90°-ZABO=60°.

:./CFO=/BFG=6U°.

OC

在尸中，tan/Cb。=——,OC=OA=3,

OF

3

OF=——=A/3.

tan/CFOtan60°

24.（2024.四川樂山.中考真題）如圖，是△ABC的外接圓，為直徑，過點(diǎn)。作。。的切線8交54

延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，點(diǎn)E為CB上一點(diǎn)，且AC=CE.

(1)求證：DC//AE-,

⑵若EF垂直平分。8,DA=3,求陰影部分的面積.

【分析】(1)如圖1,連接OC.則NOCD=90。，即“C4+NOC4=90。.由A3為直徑，可得NACB=90。，

即/1+/OG4=90。.則/OC4=N1.由OC=O3,可得Zl=/2.由AC=CE，可得22=N3.貝U

ZDCA=Z3.進(jìn)而可證DC〃AE.

(2)如圖2,連接OE、BE.由E尸垂直平分02,可得OE=BE.貝LOEB為等邊三角形.ZBOE^60°,

ZAOE=120°.由OA=OE,可得N(ME=NO￡4=30。.由DC〃AE,可得/￡>=NtME=30。.ZDOC=60°.vE

明AAOC為等邊三角形.則NOC4=60。，OA^OC^AC."6=30。.則

123

ZD=ZDC4.ZM=AC=(M=OC=OE=3.EF=OEsin60°.S^0AE=^AO-EF.S^OAE=^,

再根據(jù)S陰影=S扇形OAE—S^OAE,計(jì)算求解即可.

解：（1）證明：如圖1,連接OC.

ZOCD=90°,即ZDCA+ZOCA=90°.

又TAB為直徑，

???NACB=90。，即N1+NOC4=90。.

???ZDCA=Z1.

OC=OB,

AZ1=Z2.

AC=CE，

：.N2=N3.

：.ZDCA=Z3.

：.DC//AE.

石廣垂直平分03,

：.OE=BE.

又?：OE=OB,

???△OES為等邊三角形.

AZBOE=60°,ZAOE=120°.

'：OA=OE,

：.ZOAE=ZOEA=30°.

■:DC//AE,

：.ZD=ZOAE=30°.

又「NOCD=90。,

：.ZDOC=60°.

,：OA=OC,

???“。。為等邊三角形.

AZOCA=60°fOA=OC=AC.

：.ZDCA=30°.

:.ND=/DCA.

：.DA=AC=OA=OC=OE=3.

3J3

AEF=OEsin60°=-^-.

2

?C_1S班

,,S^OAE=-AO-EF=—?

▽_120TTX32

乂?S扇形-———-3兀，

?&9>

**D陰影―3扇形04七一1\^。4￡1—n兀",

???陰影部分的面積為3兀

4

25.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，/RC中，=40，。為中點(diǎn)，NBAC=NBCD,cosZADC=2,

。0是AACD的外接圓.

(1)求BC的長(zhǎng)；

(2)求。。的半徑.

【分析】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理.

(1)易證ABACSABCD,得到一=-即可解答；

BDBC

(2)過點(diǎn)A作AELCD,垂足為E,連接CO,并延長(zhǎng)交。。于尸，連接Ab,在RtA4ED中，通過解直

角三角形得到DE—1,AE=S',由3cZ)得至lj——==^/2.設(shè)CD=x，則AC=VZx，CE—x—1,

CDBC

在Rt^ACE中，根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程，求得CD=2,AC=2框,由NAFC=NADC得到

sinNAFC=sin/ADC,根據(jù)正弦的定義即可求解.

解：⑴?;NBAC=/BCD,ZB=ZB,

:.ABACS^BCD.

里4即

BDBC

；AB=4夜，。為AB中點(diǎn),

BD=AD=-AB=2y[2,

2

BC2=AB-BD=4^/2-2y/2=16

:.BC=4.

（2）過點(diǎn)A作AELCD,垂足為E,連接CO,并延長(zhǎng)交。。于凡連接AR,

■■■在RtAAED中，cosZCDA=—=—

AD4

：.DE=1.

二在RtzXAED中，AE=yjAD2-DE2=y/l-

LBACSABCD,

CDBC

設(shè)CD=x,則4。=缶，CE=CD-DE=x—l.

,：在Rt^ACE中，AC2=CE2+AE2,

后『=(尤一1『+(6『，即》2+2X一8=0,

解得為=2,X2=-4（舍去）.

:.CD=2,AC=2V2.

AC=