2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：平面向量及其應(yīng)用（含解析）

備考2025高考數(shù)學(xué)一輪知識清單（上好課）專題09平面向量及其應(yīng)

用（5知識點(diǎn)+4重難點(diǎn)+8方法技巧+6易錯(cuò)易混）（含解析1）專題09平

面向量及其應(yīng)用

（思維構(gòu)建+知識盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）

維構(gòu)建?耀精曉紿

向量：既有方向又有大小的豪）

-（零向量：長度為1個(gè)單位長度的向量;

1

O知識點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念平行供線）向量：方向相同或相反的向量）|凝s平面向郵概僦ffi|

《相等向量：長度相等且方向相同的向量）

-（相反向量：長度相等且方向相反的向量）

「三角形法則：首尾相接

向量加法一平行四邊形法則:共起點(diǎn)

L運(yùn)算律：交換律、結(jié)合律|題型01向量的線性運(yùn)算|

-f。知識點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算i』=小十

T］幾何意義：a-b=a+（-b），

平向量數(shù)乘運(yùn)算律：結(jié)合律、第O配律、第二分配律

面

?向量共線定理：非零向量。與決線O存在唯——個(gè)實(shí)數(shù)放使得6=及

向

題型。向量共

｛三點(diǎn)共線定理）1

量。知識點(diǎn)三向量至定理與基本定理題型02基底的概念及判斷

平面向量基本定理：如果62是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，題型03用已知基底表示向量

及

那么對于平面內(nèi)任一向量。，有且僅有一對實(shí)數(shù)否，丸，使＜1=4161+2202

其

應(yīng)向量的夾角同起點(diǎn)、0*04180°

題型向量數(shù)量積的計(jì)算

定義：fl-d=|?||6|cos601

用向量的數(shù)量積題型02向量垂直的相關(guān)問題

。知識點(diǎn)四平面向量的數(shù)量積幾何意義:數(shù)量積。?。等于同與唯《方向上的投影向cose的乘積題型03向量模長的相關(guān)問題

題型04向量夾角的相關(guān)問題

向量數(shù)量積的性質(zhì)

堂05蟾向宴滇蜘

向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律、分配律、數(shù)乘結(jié)合律

一向量片口切功氣切㈤）

T.加法:＜?+b=（xi+x2M+1y2））

「向量線性運(yùn)算坐標(biāo)表示下

T減法:ab=Gi-x2yL

一數(shù)乘：加月血卷0）

＜。知識點(diǎn)五平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算）向量平行的坐標(biāo)表示_）--（XU2~XM=O）題型01平面向郵坐后示及運(yùn)算

題型02線段定比分點(diǎn)的應(yīng)用

H、模長的坐標(biāo)：露所）

工蟠的坐標(biāo)：

向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示一

T垂直的坐標(biāo)：馬巧+.3L。）

T模長的不等關(guān)系：路+.3）區(qū)+.r；X/+市）J

口樂盤點(diǎn)?查；層撲上

知識點(diǎn)1向量的有關(guān)概念

1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

2、零向量：長度為0的向量，記作0.

3、單位向量：長度等于1個(gè)單位長度的向量.

4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量平行.

5、相等向量：長度相等且方向相同的向量.

6、相反向量：長度相等且方向相反的向量.

知識點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

交換律：a+b=b+a；

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算

aQ結(jié)合律：(Q+B)+C=Q+(B+C)

三角形法則平行四邊形法則

求Z與石的相反向量

減法a—Z?=Q+(—b)

的和的運(yùn)算幾矗義

=倒忖，

結(jié)合律：；

求實(shí)數(shù)力與向量）的當(dāng)義＞0時(shí)，花與￡的方向相同；

數(shù)乘第——分配律：（4+〃）a=4。+〃〃；

積的運(yùn)算當(dāng)kO時(shí)，花與2的方向相反；

第二分配律：A（a+b）=A,a+Zb

當(dāng)2=0時(shí)，2a=0

知識點(diǎn)3向量共線定理與基本定理

1、向量共線定理：如果〕"（XeR）,則Z〃石，反之，如果Z〃石且石片。，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)2,使￡=

2、三點(diǎn)共線定理：平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、。三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)使元=%礪+〃礪，其

中2+〃=1,O為平面內(nèi)一點(diǎn)。2

3、平面向量基本定理

（1）定義：如果,，豆是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量入有且只有一對

實(shí)數(shù)使a=4G+4e2

（2）基底：若,最不共線，我們把｛用￡｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

（3）對平面向量基本定理的理解

①基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可以作為基底.同一非零向量在不同基底下的分解

式是不同的.

②基底給定時(shí)，分解形式唯一.是被Z4,最唯一確定的數(shù)值.

③后是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，

則當(dāng)"與I共線時(shí)，4=0；當(dāng)Z與z共線時(shí)，4=o；當(dāng)￡=d時(shí)，4=4=0.

④由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量.

知識點(diǎn)4平面向量的數(shù)量積

1、向量的夾角

11UULiuumiii

(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和匕，作。4=。，OB=b,則NAOB就是向量。與〃的夾角.

(2)范圍：設(shè)6是向量;與力的夾角，則0。9比180。.

i11111

(3)共線與垂直：若8=0。，則。與匕同向；若0=180。，則。與b反向；若0=90。，則a與〃垂直.

2、平面向量的數(shù)量積

1i.rIiTI1i

(1)定義：己知兩個(gè)非零向量a與匕，它們的夾角為0,則數(shù)量MMcosS叫做。與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，

iirriT?ITIii

記作a0，即a.6=|a|McosJ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0/=0.

(2)幾何意義：數(shù)量積;?)等于)的長度制與力在;的方向上的投影同cose的乘積.

【注意】

il1i1,fl

(1)數(shù)量積口力也等于6的長度|b|與a在b方向上的投影|a|cos6的乘積，這兩個(gè)投影是不同的.

1i

(2)。1在b1方向上的投影也可以寫z成j.A*，投影是一個(gè)數(shù)量，可正可負(fù)可為0,取決于0角的范圍.

\b\

3、向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè);，力是兩個(gè)非零向量，3是單位向量，a是:與之的夾角，于是我們就有下列數(shù)量積的性質(zhì)：

rrrr4巴,r,

⑴e'a=a'e=\a\\e\cosa=回cosa.

iiii

(2)a-Lb<^>a-b=0.

、110心rriirr|riiri

(3)a，b同向=間；a，b反向=―同國?

特別地工』"2或3正.

II

11Z7.A

(4)若。為口，〃的夾角，貝i]cos8=茶品.

\a\\b\

4、向量數(shù)量積的運(yùn)算律

1i11

(1)a,b=b,a(交換律).

[[/rr\r/r\,

(2)Aa-b=A(a-b\=a-A\b\(結(jié)合律).

/Fixrrrrr

(3)(a-^-bj-c=a-c-^-b-c(分配律).

【注意】對于實(shí)數(shù)mb,c有(a?6)?c=a?S,c),但對于向量〃，b,c而言，(Q?Z?)?c=a?(b?c)不一

定成立，即不滿足向量結(jié)合律.這是因?yàn)?D)：表示一個(gè)與c共線的向量，而二?向?"表示一個(gè)與a共線

的向量，而〃與c不一定共線，所以(a?b>c=a?(b?c)不一定成立.

知識點(diǎn)5平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1、向量線性運(yùn)算坐標(biāo)表示

⑴已知:=（&%）］=（%,%）,則＞+1（％+孫%+%），不一孫必一力）.

結(jié)論：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

（2）若.=（無,y）,則Xy）；

結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。

2、向量平行坐標(biāo)表示：已知〉=（/%）工=（%，＞2），則向量111片6）共線的充要條件是西卜2-三%=0

3、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

已知非零向量a=（七,乂），〃=（%,%），a與b的夾角為，

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模a|=a=+

II

cos^=X^+Y2

夾角cos0-;

m\b\

。，力的充要條件

a-b=0xm+X%=0

rrrr石馬+%%＜Ja；+才）（君+及）

a-b與a?b的關(guān)系融羽刷

X重點(diǎn)突破?塞分?必將

重難點(diǎn)01平面向量最值或范圍問題

1、定義法：①利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系；②運(yùn)用基本不等式求其

最值問題；③得出結(jié)論。

2、坐標(biāo)法：①根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并推導(dǎo)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；②將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化；③運(yùn)

用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解。

3、基底法：①利用基底轉(zhuǎn)化向量；②根據(jù)向量運(yùn)算化簡目標(biāo)；③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不

等式的思想、三角函數(shù)等得出結(jié)論；

4、幾何意義法：①結(jié)合條件進(jìn)行向量關(guān)系推導(dǎo)；②利用向量之間的關(guān)系確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡；③結(jié)

合圖形，確定臨界位置的動(dòng)態(tài)分析求出范圍。

類型1數(shù)量積的最值或范圍

【典例1】（2024?四川成都三模）在矩形ABCD中，A3=5,AD=4,點(diǎn)E滿足2左=3麗，在平面ABCD

中，動(dòng)點(diǎn)P滿足麗.麗=0，則麗的最大值為（）

A.741+4B.V41-6C.2713+4D.2而-6

冗7T

【典例2】（2024?江西鷹潭?二模）在Rt^ABC中，角AB,C所對應(yīng)的邊為a,》,c,A=：,C=-,c=2,P

62

是AABC外接圓上一點(diǎn)，則無?（西+麗）的最大值是（）

A.4B.2+710C.3D.1+V10

類型2模長的最值或范圍

【典例1】（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）已知向量Z=（租，機(jī)），石=（0,2）,則忖+方|的最小值為.

【典例2】（2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測）在平行四邊形ABCD中4=45。,42=1,4￡>=血，若

Q=+x蒞（xeR）,貝的最小值為（）

A.!B.變C.1D.J2

22

類型3向量夾角的最值或范圍

【典例1】（2024?廣東江門.二模）設(shè)向量函=（l,x）,兩=（2,x）,則cos〈及，歷〉的最小值為.

【典例2］（23-24高三上?山東荷澤?階段練習(xí)）已知向量乙B，滿足忖=1,同=4,若對任意模為2的向量入

均有"d+怛同<201,則向量以行的夾角的取值范圍為.

類型4線性系數(shù)的最值或范圍

【典例1】（2024.山西晉中.模擬預(yù)測）（多選）在44BC中，。為邊AC上一點(diǎn)且滿足AQ=］DC,若尸為邊

BD上一點(diǎn),且滿足Q=/l濕+〃/，2,〃為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.M的最小值為1B.由的最大值為1

12

c.；+的最大值為12D.；+的最小值為4

【典例2］（23-24高三下?安徽?階段練習(xí)）已知正方形ABC。的邊長為2,中心為。，四個(gè)半圓的圓心均為

正方形ABCD各邊的中點(diǎn)（如圖），若尸在3。上，且衣=4通+〃正，則丸+4的最大值為.

B,

重難點(diǎn)02運(yùn)用向量表示三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心

1、常見重心向量式：設(shè)。是A4BC的重心，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)

@OA+~OB+OC^0

②同=|（PX+PB+PC）

③若獲=%（屈+就）或加=而+4屈+前），Ae[0,+oo）,則P一定經(jīng)過三角形的重心

④若方=，（晝+焉）或加=就+2（禹+肅）2e[0,+8）則p一定經(jīng)過三角形的重心

2、常見垂心向量式：。是A4BC的垂心，則有以下結(jié)論：

①初-OB=OB-OC^OC-OA

②|西之+|西2=麗『+?函2=?西2+?函2

③動(dòng)點(diǎn)尸滿足而=+。+|二。J，46（0,+8）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過44BC的垂心

\\AB\cosB\AC\cosCJ

3、常用外心向量式：。是2L4BC的外心，

①I西=\OB\=|oc|^OA2=~OB2=OC2

②畫+OB）-AB=（OB+OC）-BC=（OA+OC）-AC=0

③動(dòng)點(diǎn)P滿足加="匹+“1」^口+I4。）,4e（0,+8）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過A4BC的外心.

2\|i4B|cosB\AC\cosCJ

④若@+確?版=（OB+OC）-BC=（OC+OA）-CA0,貝!]。是A4BC的外心.

4、常見內(nèi)心向量式：P是AABC的內(nèi)心，

①廊同+\BC\PA+\CA\PB=0（或癡+bPB+cPC=0）

其中a,b,c分另！J是A4BC的三邊BC、AC,AB的長，

②布=4（儡+裾）4[0,+8）,貝i]P一定經(jīng)過三角形的內(nèi)心。

?CAD______1KR/DA

【典例l】（2024?四川南充三模）已知點(diǎn)P在“BC所在平面內(nèi)，若可=而-=）=0,

\AC\\AB\\BC\\BA\

則點(diǎn)P是AABC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.內(nèi)心

【典例2]（23-24高三上?全國?專題練習(xí)）已知G,O,”在1BC所在平面內(nèi)，滿足G4+SS+玄=。,

|（M|=|OB|=|OCbAHBH=BHCH=CHAH，則點(diǎn)G,O,H依次為AABC的（）

A.重心，外心，內(nèi)心B.重心、內(nèi)心,外心

C.重心，外心，垂心D.外心，重心，垂心

重難點(diǎn)03奔馳定理及其應(yīng)用

1、奔馳定理：。是AA8C內(nèi)的一點(diǎn)，且x,瓦5+y,岳+z?方=6,

則SABOC：SACOA：SAAOB=x:y:Z

2、證明過程：已知。是AA3C內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,△C04,440B的面積分別為2，SB,Sc,

求證：SA-OA+SB,OB+Sc-OC=0.

延長。4與8c邊相交于點(diǎn)D,A

BD

m\\—SA-BD_SABOD_S^ABD-SRBOD_也\

SSSS

DCS^ACDLCODLACD-LCODBQJ\

OD—OB+—OC~^0B+~^0C,

BCBCSB+SCSB+SC，_______L_____

Bn(

?.OD_S—OD_SCOD_SBOD+S—OD_SaU

0ASS+

BOAScOABOA^COASB+SC_-T-

麗=一建;市,

--^-OA=-^-OB+-^-OC,)

SB+SCSB+SCSB+SC

所以邑?瓦？+SB,4+SC,反=6.j

(3)奔馳定理推論：x-~0A+y-~0B+z-~0C貝I

①SABOC：SACOA：SAAOB=lXl:\y\-\z\

⑨S—BOC_IxIS“oc_IyISA-OB_IzI

SRABClx+y+zl1SAABCIx+y+zl?SRABCIx+y+zl'

由于這個(gè)定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.

(4)對于三角形面積比例問題，常規(guī)的作法一般是通過向量線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化出三角形之間的關(guān)系。但如果向

量關(guān)系符合奔馳定理的形式，在選擇填空題當(dāng)中可以迅速的地得出正確答案。

【典例1](23-24高三上?江西新余?期末)(多選)“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向

量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心(重心、內(nèi)心、外心、垂心)有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具

體內(nèi)容是：已知M是AA5c內(nèi)一點(diǎn)，ABMC,AAMC,AAWB的面積分別為臬，SB,Sc,且

A.若L:品：Sc=1：1：1,則M為AABC的重心

B.若〃為&4BC的內(nèi)心，貝l|2C?涼+AC?礪+42.而=0

C.若M為AABC的垂心，3MA+4MB+5MC=Q，則tanNB4C:tanNABC:tanN3C4=3:4:5

D.若4c=45。，ZABC=60°,M為^ABC的外心，則&:=g：2:1

【典例2］（23-24高三上.河北保定?階段練習(xí)）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)?/p>

這個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的標(biāo)志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是AABC

內(nèi)一點(diǎn)，BOC,AAOC,"16?的面積分別為最，SB，SC,貝?醇+SB?礪+Sc?元=0.設(shè)。是AABC

內(nèi)一點(diǎn)，AABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,^BOC,LAOC,AAOB的面積分別為%,SB,,若

30A+40B+50C=0，則以下命題正確的有（）

A.SA:SB:SC=3:4:5

B.。有可能是AABC的重心

C.若。為AABC的外心，貝!|sinA:sing：sinC=3:4:5

D.若。為"IBC的內(nèi)心，則AABC為直角三角形

重難點(diǎn)04極化恒等式及其應(yīng)用

1、極化恒等式：7石=；［.+年一（￡_叫

2、平行四邊形模式：平行四邊形ABC。，。是對角線交點(diǎn).則顯?布=%|AC|2—

3、三角形模式：在△ABC中，設(shè)。為BC的中點(diǎn)，則屈=|4。|2-|2。匕

【典例1］（23-24高三下?湖南長沙?階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形

的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一，即如圖所示，而配。，我們稱為極化恒等式.

已知在AABC中，M是BC中點(diǎn)，AM=3,BC=10,則荏.衣=（）

【典例2】（2024高三.全國?專題練習(xí)）四邊形ABC。中，M是A3上的點(diǎn)，MA=MB=MC=MD=1,

如=90。,若N是線段CO上的動(dòng)點(diǎn)，麗.福的取值范圍是.

法技巧?1g蔡學(xué)霸

一、解決向量概念問題的關(guān)鍵點(diǎn)

1、相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

2、共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).

3、相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量.

4、向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談.

aaa

5、非零向量"與同的關(guān)系：同是〃方向上的單位向量,因此單位向量同與〃方向相同.

6、向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能.但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大小.

7、在解決向量的概念問題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：①不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；②考慮零向

量是否也滿足條件.

【典例1】（2023?湖南長沙?一模）（多選）下列說法不正確的是（）

A.若a//b，則Z與B的方向相同或者相反

ab

B.若石為非零向量，且同=同，則Z與3共線

C.若al1b，則存在唯一的實(shí)數(shù)幾使得a=Ab

D.若一」是兩個(gè)單位向量,且國-可=1,則,+q=3

【典例2】（2023高三?全國?專題練習(xí)）（多選）下列命題正確的是（）

A.若Z）都是單位向量，則￡=九

B.響叫”是“2=的必要不充分條件

C.若0萬都為非零向量，則使3+=6成立的條件是Z與否反向共線

\a\\b\

D.若a=B④=c,則H

二、平面向量共線定理的應(yīng)用

1、證明向量共線：若存在實(shí)數(shù)%,使1花,貝丘與非零向量B共線；

2、證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)入，使。=4而，旗與:W有公共點(diǎn)A,則A,B,C三點(diǎn)共線；

3、求參數(shù)的值：利用向量共線定理及向量相等的條件列方程（組）求參數(shù)的值

【典例1】（2024?浙江.模擬預(yù)測）己知向量號,a是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且荏=a+22,

BC=-3el+2e2,萬1=3號一6可，則（）

A.A、B、C三點(diǎn)共線B.A、B、。三點(diǎn)共線

C.A、C、。三點(diǎn)共線D.B、C、。三點(diǎn)共線

【典例2】（2024高三?全國?專題練習(xí)）在“IBC中，M,N分別是邊BC,AC的中點(diǎn)，線段AM,8N交于點(diǎn)

AD

。，則筆的值為（）

三、平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路

1、應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.

2、用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的

形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.

【典例1】（2024?山西呂梁?三模）已知等邊"RC的邊長為1,點(diǎn)2E分別為的中點(diǎn)，若而=3麗，

貝尼=（）

1—.5—?1—.3—?

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

1―?―?1uua3

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【典例2］（23-24高三下.黑龍江大慶.階段練習(xí)）四邊形ABCZ）中，AB=tDC，且麗=4正+〃而，若

四、平面向量數(shù)量積的求解方法

1、定義法求平面向量的數(shù)量積

（1）方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的模和夾角。時(shí)，可利用定義法求解，即;力=|：帆COS。

（2）適用范圍：已知或可求兩個(gè)向量的模和夾角。

2、基底法求平面向量的數(shù)量積

（1）方法依據(jù)：選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個(gè)向量分別用這組基底表

示出來，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量級的運(yùn)算律和定義求解。

（2）適用范圍：直接利用定義法求數(shù)量積不可行時(shí)，可將已知模和夾角的兩個(gè)不共線的向量作為基底，采

用“基底法”求解。

3、坐標(biāo)法求平面向量的數(shù)量積

（1）方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，

1111

即若。=（七,乂），b=（x2,y2）>則。0=%龍2+%%；

（2）適用范圍：①己知或可求兩個(gè)向量的坐標(biāo)；②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面

直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積。

【典例1］（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測）已知向量商=+7,B=2f+3亍，（7,了分別為正交單位向量），則必坂=

（）

A.-1B.1C.6D.-5

【典例2】（2024?安徽蕪湖.模擬預(yù)測）已知邊長為1的正方形ABCD,點(diǎn)E,尸分別是BC,的中點(diǎn)，則

AEEF=（）

五、解決有關(guān)垂直問題

兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：@aLba-b=0；②若0=（石,乂），b=（x2,y2），則

11

a_LZ?ox{x2+yry2=0-

【典例1】（2024?全國?高考真題）已知向量商=（0,1）,5=（2,刈,若人方—4M）,則％=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【典例2】（2024?西藏?模擬預(yù)測）已知向量￡=cos"》in"T]

（2〃+B）_L（a+xB）,則實(shí)數(shù)％的值是（）

A.—2B.—C.:D.2

22

六、求向量模的常用方法

1、定義法：利用4=扃及層獷』『±2；..+滬把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；

2、坐標(biāo)法：當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時(shí)，可用模的計(jì)算公式；

3、幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余

弦定理等方法求解.

【典例1】（2024?山東荷澤,二模）已知向量a=（-2,1）石=（3,%）,且卜+可=卜-日，則x的值是（）

32

A.-6B.——C.-D.6

23

【典例2】（2024.江西宜春.模擬預(yù)測）已知向量。，B滿足|西=2,出|=3,a-（a-b）=-l,則悔-5］=（）

A.5B.75C.6D.8

七、平面向量的夾角問題

求解兩個(gè)非零向量之間的夾角的步驟：

第一步，由坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積；

第二步，分別求出這兩個(gè)向量的模；

第三步，根據(jù)公式cos。求出這兩個(gè)向量夾角的余弦值，其中a=（七,/）,

1

/?=（%,%）;

第四步，根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍［0,乃］及其夾角的余弦值，求出兩個(gè)向量的夾角.

【典例1】（2024.江蘇泰州.模擬預(yù)測）若￡=（2,0）,忖=1,卜一?=返，則乙與乙一行的夾角為（）

【典例2】（2024?河北?模擬預(yù)測）平面四邊形ABC。中，點(diǎn)E、尸分別為"》,BC的中點(diǎn),

|cr）|=2|AB|=8,|EF|=5,則cos（而，呵=（）

八、投影向量及其應(yīng)用

11IL

r人)7r

a^

uuuu11uuunrrr匕

設(shè)向量是向量a在向量％上的投影向量，則有A4=\a\cos<a,b>-。ff

人

。

【典例1】（2024山東青島.二模）已知向量2=（-1,2）,5=（-3,1）,則G在B上的投影向量為（）

311「西、

A.(-1,-)B.(--,1)］也正3M

c,一，一D.10，石,

【典例21（2024.山東荷澤?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，麗=（1,迅），點(diǎn)5在直線1+若y-2=0上,

則而在函上的投影向量為（）

A.(1,73)B.(1,3)

混笏錯(cuò)?聯(lián)券壯鍍

易錯(cuò)點(diǎn)1平面向量的概念模糊，尤其是零向量

點(diǎn)撥：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反

向量、向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、向量的模、夾角等等。

【典例1]（23-24高三上?全國?專題練習(xí)）（多選）下列說法中正確的是（）

A.零向量與任一向量平行B.方向相反的兩個(gè)非零向量不一定共線

C.單位向量是模為1的向量D.方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等

易錯(cuò)點(diǎn)2忽視兩個(gè)向量成為基底的條件

點(diǎn)撥：如果￡、B是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量之，有且只有一對實(shí)數(shù)4,

%,使在平面向量知識體系中，基本定理是基石，共線向量定理是重要工具。考生在學(xué)習(xí)

這部分知識時(shí)，務(wù)必要注意這兩個(gè)定理的作用和成立條件。

【典例1】（2024?上海浦東新?三模）給定平面上的一組向量4、工,則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的

基底的是（）

A.2q+e2和q-e?B.q+3e?和e2+3q

C.3q-e,和2e2-6qD.q和q+e?

【典例2]（23-24高三上.福建?階段練習(xí)）（多選）下列各組向量中，可以作為所有平面向量的一個(gè)基底的是

（）

A.e1=（1,1）,4=（1,2）B.e1=（-1,1）,e2=（-2,2）

C.ex=（1,-2）,e2=（3,6）D.ex=（1,2）,e2=（-3,-4）

易錯(cuò)點(diǎn)3錯(cuò)誤使用向量平行的等價(jià)條件

點(diǎn)撥：對于2=（玉b=（x2,y2）,a//b\y2-x2yx=0,若是使用。〃石=一,容易忽略o

"~"X2%

這個(gè)解.考生解題過程中要注意等價(jià)條件的完備性。

【典例1】（2024?青海海西?模擬預(yù)測）已知向量商=。,-2）,b=（t,\-t）,若％〃九則￡=（）

A.-2B.-1C.0D.2

【典例2】（2024?陜西渭南二模）已知向量Z=（-3,-l）,B=（2J）,則“f=2”是“2〃3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

易錯(cuò)點(diǎn)4混淆向量數(shù)量積運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果

點(diǎn)撥：向量的數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果依舊為向量，而數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果為實(shí)數(shù)，兩者要區(qū)分開。尤其使用數(shù)量積的

運(yùn)算時(shí)不可約公因式。

【典例1］（23-24高三上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）（多選）下列關(guān)于向量心b，忑的運(yùn)算，一定成立的有（）

A.^a+b^-c=a-c+b-cB.^a-b^-c=a-（b-（^

C.無同啊D.|a-Z^l＜|a|+|z）|

【典例2】（2024高三.全國?專題練習(xí)）（多選）設(shè)日石忑是任意的非零平面向量，且相互不共線，則下列命

題中的真命題是（）

A.（日。）1—（不萬）b=0B.|—|b1^1＜z—Z?|

c.（珂萬一（加5不與e垂直D.（31+2硬3萬一