28.2解直角三角形及其應(yīng)用（原卷版）

28.2解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.

設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有：

①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).

②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.

③邊角之間的關(guān)系：

，，，，，.

④，h為斜邊上的高.注意：

(1)直角三角形中有一個(gè)元素為定值(直角為90°)，是已知值.

(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).

(3)對(duì)這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.題型1：解直角三角形1.（2022?慶元縣校級(jí)開學(xué)）在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A＝60°，AC＝4．（1）求∠B的度數(shù)；（2）求AB的長(zhǎng)．【變式11】在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形；（可以使用計(jì)算器）（1）c＝8，∠A＝30°；（2）b＝7，∠A＝15°；（3）a＝5，b＝12．【變式12】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝6，解這個(gè)直角三角形．解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對(duì)邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，注意：

1．在遇到解直角三角形的實(shí)際問題時(shí)，最好是先畫出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對(duì)邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算.

2．若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個(gè)條件為邊.題型2：解非直角三角形2.（2022秋?嘉峪關(guān)校級(jí)期末）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則cosA的值是（）A． B． C． D．【變式21】（2022秋?臨清市期中）如圖，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝12，sinB＝，求BC長(zhǎng)．【變式22】（2021秋?淮陰區(qū)期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求sinB，cosB．題型3：解直角三角形與面積問題3.設(shè)a、b、c分別為△ABC中∠A、∠B和∠C的對(duì)邊，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．【變式31】如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝5，cosC＝，AD是BC邊上的高線．（1）求AD的長(zhǎng)；（2）求△ABC的面積．【變式32】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，BC＝，AB＝4，tanC＝，求四邊形ABCD的面積．題型4：解直角三角形與方案問題（選做）4.如圖，有一塊梯形空地ABCD可供停車，AD∥BC，∠C＝90°，∠B＝53°，AD＝1.6m，CD＝5.2m，現(xiàn)有一輛長(zhǎng)4.9m，寬1.9m的汽車需要完全停入梯形區(qū)域，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種停車方案，并通過計(jì)算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【變式41】為了解決停車難問題，交通部門準(zhǔn)備沿12米寬60米長(zhǎng)的道路邊規(guī)劃停車位，按每輛車長(zhǎng)5米、寬2.4米設(shè)計(jì)停車后道路仍有不少于7米的路寬保證兩車可以雙向通過，如下圖設(shè)計(jì)方案1：車位長(zhǎng)邊與路邊夾角為45°方案2：車位長(zhǎng)邊與路邊夾角為30°（1）請(qǐng)計(jì)算說明，兩種方案是否都能保證通行要求？（2）計(jì)算符合通行要求的方案中最多可以停多少輛車？（3）請(qǐng)你畫示意圖設(shè)計(jì)一個(gè)滿足通行要求且停車更多的新方案，并計(jì)算出最多停放車輛數(shù)．【變式42】如圖，為了求河的寬度，在河對(duì)岸岸邊任意取一點(diǎn)A，再在河這邊沿河邊取兩點(diǎn)B、C，使得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，量得BC長(zhǎng)為30m．（1）求河的寬度；（即求△ABC中BC邊上的高）（2）請(qǐng)?jiān)僭O(shè)計(jì)一種測(cè)量河的寬度的方案．（≈1.414，≈1.732）題型5：解直角三角形與綜合5.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上，且滿足∠CAD＝∠B．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若AC是∠BAD的平分線，sinB＝，BC＝4，求⊙O的半徑．【變式51】（2022?通遼）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O(shè)為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑的圓交邊AB于點(diǎn)D，點(diǎn)C在邊OA上且CD＝AC，延長(zhǎng)CD交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：CD是圓的切線；（2）已知sin∠OCD＝，AB＝4，求AC長(zhǎng)度及陰影部分面積．【變式52】（2022·嵐山模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是圓上的兩點(diǎn)，且AC=BC，∠BAD的平分線AE交⊙O于點(diǎn)E，過E作（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）連接EC，交AB于點(diǎn)G，若已知AB=5，sin∠EAC=45題型6：解直角三角形與新定義6.通過銳角三角比的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)比與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似的我們可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）.如下圖在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA=底邊/腰=BC/AC.我們?nèi)菀字酪粋€(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是互相唯一確定的.根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問題：

（1）sad60o=_____________；sad90o=________________。

（2）對(duì)于0°<A<180°，∠A的正對(duì)值sadA的取值范圍是_____________?！咀兪?1】定義：在△ABC中，∠C=30°，我們把∠A的對(duì)邊與∠C的對(duì)邊的比叫做∠A的鄰弦，記作thiA，即thiA=∠A的對(duì)邊∠C的對(duì)邊=BC已知：在△ABC中，∠C=30°．（1）若∠A=45°，求thiA的值；（2）若thiA=3，則∠A=°；（3）若∠A是銳角，探究thiA與sinA的數(shù)量關(guān)系．【變式62】對(duì)于一個(gè)三角形，設(shè)其三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為x°、y°和z°，若x、y、z滿足x2+y2＝z2，我們定義這個(gè)三角形為美好三角形．（1）△ABC中，若∠A＝40°，∠B＝80°，則△ABC（填“是”或“不是”）美好三角形；（2）如圖，銳角△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C＝60°，AC＝2，⊙O的直徑是22，求證：△ABC是美好三角形；（3）已知△ABC是美好三角形，∠A＝30°，求∠C的度數(shù)．解直角三角形的應(yīng)用在用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

(3)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.題型7：解直角三角形的應(yīng)用坡度與坡角7.（2022?徐州二模）如圖是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長(zhǎng)為18m，它的坡角為45°．為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡度為的斜坡AD，在CB方向距點(diǎn)B處9m處有一座房屋．（參考數(shù)據(jù)；）（1）求∠DAB的度數(shù)；（2）在背水坡改造的施工過程中，此處房屋是否需要拆除？【變式71】如圖，一座堤壩的橫截面是梯形，根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，求壩高和壩底寬（精確到0.1m）參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732【變式72】濟(jì)南市緯十二路的一座過街天橋如圖所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1：1，為了方便行人推車過天橋，有關(guān)部門決定降低坡度，使新坡面的坡度為1：．（1）求新坡面的坡角α；（2）原天橋底部正前方7米處（PB的長(zhǎng)）有一文化墻PM，若新坡面下A處與文化墻之間需留下至少3米寬的人行道，問文化墻是否需要拆除？請(qǐng)說明理由．（約為1.732）題型8：解直角三角形的應(yīng)用仰角和俯角8.如圖，在城市改造時(shí)，要拆除建筑物AB，在離它21米遠(yuǎn)的建筑物CD頂端C測(cè)得A的仰角45°，B的俯角30°，在點(diǎn)B的35米處有一文物，問：此文物是否在危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)？請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【變式81】計(jì)算：在一次數(shù)學(xué)社團(tuán)活動(dòng)課上，同學(xué)們測(cè)量一座古塔CD的高度，他們首先在A處安置測(cè)量器，測(cè)得塔頂C的仰角∠CFE＝30°，然后往塔的方向前進(jìn)100米到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得塔頂C的仰角∠CGE＝60°，已知測(cè)量器高1.5米，請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算出古塔CD的高度．（保留根號(hào)）【變式82】（2022?羅城縣模擬）如圖，某測(cè)量隊(duì)采用無人機(jī)技術(shù)測(cè)量無法直達(dá)的A，B兩處的直線距離，已知在無人機(jī)的鏡頭O處測(cè)得A、B的俯角分別為45°和50°，無人機(jī)的飛行高度OC為238米，點(diǎn)A、B、C在同一直線上，求AB的長(zhǎng)度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）．題型9：解直角三角形的應(yīng)用方向角9.游艇在湖面上以12千米/小時(shí)的速度向正東方向航行，在O處看到燈塔A在游艇北偏東60°方向上，航行1小時(shí)到達(dá)B處，此時(shí)看到燈塔A在游艇北偏西30°方向上，求此時(shí)游艇與燈塔的距離AB．【變式91】（2022?錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時(shí)，測(cè)得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．【變式92】已知海島A的周圍6km的范圍內(nèi)有暗礁，一艘海輪在B處測(cè)得海島A在北偏東30°的方向；向正北方向航行6km到達(dá)C處，又測(cè)得該島在北偏東60°的方向，如果海輪不改變航向，繼續(xù)向正北航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？一、單選題1．（2022九下·定海開學(xué)考）如圖是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC與地面BC的夾角為a，則兩梯腳之間的距離BC為（）A．4cosa B．4sina C．4tana D．42．如圖，從點(diǎn)D觀測(cè)建筑物AC的視角是（）A．∠ADC B．∠DAB C．∠DCA D．∠DCE3．如圖，在△ABC中，BC＝6，∠A＝60°.若⊙O是△ABC的外接圓，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（）A．3 B．23 C．33 4．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課中小明同學(xué)測(cè)量某建筑物CD的高度，如圖，已知斜坡AE的坡度為i＝1：2.4，小明在坡底點(diǎn)E處測(cè)得建筑物頂端C處的仰角為45°，他沿著斜坡行走13米到達(dá)點(diǎn)F處，在F測(cè)得建筑物頂端C處的仰角為35°，小明的身高忽略不計(jì).則建筑物的CD高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）A．28.0米 B．28.7米 C．39.7米 D．44.7米5．如圖，某學(xué)校操場(chǎng)旗桿上高高飄揚(yáng)著五星紅旗，數(shù)學(xué)小組想測(cè)量旗桿的高度，在離旗桿底部4米的A處，用高1.5米的測(cè)角儀DA測(cè)得旗桿頂點(diǎn)C的仰角為α，則旗桿的高度BC為（）米A．4sinα+1.5 B．4cosα+1二、填空題6．某人從山腳下的點(diǎn)A走了200m后到達(dá)山頂?shù)狞c(diǎn)B處，已知點(diǎn)B到山腳的垂直距離為100m，則山的坡度為.7．如圖是攔水壩的橫斷面，堤高BC為5米，斜面坡度為1：2，則斜坡AB的長(zhǎng)為米.8.某斜坡坡角a的正弦值sina=129．如果一個(gè)直角三角形斜邊上的高將斜邊分成的兩條線段的長(zhǎng)分別為2cm和8cm，那么這個(gè)直角三角形較短的一條直角邊的長(zhǎng)是cm．三、解答題10．如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)欲測(cè)量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他們先在A處測(cè)得古塔頂端點(diǎn)D的仰角為45°，再沿著BA的方向后退20m至C處，測(cè)得古塔頂端點(diǎn)D的仰角為30°.求該古塔BD的高度（3≈1.73211．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝60°，解這個(gè)直角三角形.12．（2021九上·莘縣期中）如圖，禁漁期間，我漁政船在A處發(fā)現(xiàn)正北方向B處有一艘可疑船只，測(cè)得A，B兩處距離為200海里，可疑船只正沿南偏東45°方向航行．我漁政船迅速沿北偏東30°方向去攔截，經(jīng)歷4小時(shí)剛好在C處將可疑船只攔截．求該可疑船只航行的平均速度(結(jié)果保留根號(hào))．四、綜合題13．（2021九上·萊蕪期末）如圖，AB是⊙O的直徑，OC是半徑，連接AC，BC．延長(zhǎng)OC至點(diǎn)D，使∠CAD=∠B，過點(diǎn)D作DM⊥AD交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若AD=6，tan∠CAD=1214．如圖，已