專題01展開與折疊綜合題

專題01展開與折疊（綜合題）易錯點撥易錯點撥知識點：展開與折疊有些立體圖形是由一些平面圖形圍成，將它們的表面適當剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖．細節(jié)剖析:(1)不是所有的立體圖形都可以展成平面圖形．例如，球便不能展成平面圖形．(2)不同的立體圖形可展成不同的平面圖形；同一個立體圖形，沿不同的棱剪開，也可得到不同的平面圖．易錯題專訓易錯題專訓一．選擇題1．（2022?雁塔區(qū)模擬）如圖，是一個正方體的展開圖，把展開圖折疊成正方體后，與“春”這個漢字相對的面上的漢字是（）A．正 B．斗 C．奮 D．青【易錯思路引導】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點作答．【規(guī)范解答】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，與“春”這個漢字相對的面上的漢字是“斗”．故選：B．【考察注意點】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對面入手是解題的關(guān)鍵．2．（2022?井研縣模擬）如圖是一個正方體的展開圖，折成正方體后，x，y與其相對面上的數(shù)字相等，則xy的值為（）A．8 B．﹣8 C．9 D．【易錯思路引導】根據(jù)正方體的表面展開圖找相對面的方法：一線隔一個，可得x＝﹣2，y＝3，然后代入式子中進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：由題意得：x與﹣2相對，y與3相對，∴x＝﹣2，y＝3，∴xy＝（﹣2）3＝﹣8，故選：B．【考察注意點】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，熟練掌握根據(jù)正方體的表面展開圖找相對面的方法是解題的關(guān)鍵．3．（2022?常州）下列圖形中，為圓柱的側(cè)面展開圖的是（）A． B． C． D．【易錯思路引導】從圓柱的側(cè)面沿它的一條母線剪開，可以得到圓柱的側(cè)面展開圖的是長方形．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意，把圓柱的側(cè)面沿它的一條母線剪開展在一個平面上，得到其側(cè)面展開圖是對邊平行且相等的四邊形；又有母線垂直于上下底面，故可得是長方形．故選：D．【考察注意點】本題考查了幾何體的展開圖．解題的關(guān)鍵是明確圓柱的側(cè)面展開圖是長方形．4．（2020秋?錦州期末）一枚六個面分別標有1﹣6個點的骰子，將它拋擲三次得到不同的結(jié)果，看到的情形如圖所示，則圖中寫有“？”一面上的點數(shù)是（）A．6 B．2 C．3 D．1【易錯思路引導】根據(jù)與1個點數(shù)相鄰的面的點數(shù)有2、3、4、5可知1個點數(shù)的對面是6個點數(shù)，再根據(jù)1與2、3相鄰，從而得解．【規(guī)范解答】解：根據(jù)圖形可知，與點數(shù)1相鄰的面的點數(shù)有2、3、4、5，∴點數(shù)1與6是相對面，對比第一個和第三個圖，可知寫有“？”的面與點數(shù)1是相對面，故寫有“？”一面上的點數(shù)是6．故選：A．【考察注意點】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相鄰的面上找出一個與另外4個相鄰的數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．（2019秋?南京期末）如圖，在一個正方形盒子的六面上寫有“祝、母、校、更、美、麗”六個漢字，其中“?！迸c“更”，“母”與“美”在相對的面上，則這個盒子的展開圖（不考慮文字方向）不可能的是（）A． B． C． D．【易錯思路引導】根據(jù)立方體的平面展開圖規(guī)律解決問題即可．【規(guī)范解答】解：由圖可得，“?！迸c“更”，“母”與“美”在相對的面上，則這個盒子的展開圖可能是A，B，C選項，而D選項中，“更”與“?！钡奈恢没Q后則符合題意．故選：D．【考察注意點】本題主要考查了正方體的展開圖，對于此類問題一般方法是用紙按圖的樣子折疊后可以解決，或是在對展開圖理解的基礎(chǔ)上直接想象．從實物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵．6．（2017?雙流區(qū)校級自主招生）如圖所示的正方體，如果把它展開，可以是下列圖形中的（）A． B． C． D．【易錯思路引導】根據(jù)正方體的展開圖的特征，“對面”“鄰面”之間的關(guān)系進行判斷即可．【規(guī)范解答】解：由“相間Z端是對面”可知A、D不符合題意，而C折疊后，圓形在前面，正方形在上面，則三角形的面在右面，與原圖不符，只有B折疊后符合，故選：B．【考察注意點】考查正方體的展開與折疊，掌握展開圖的特征以及“正面、鄰面”之間的關(guān)系是正確判斷的前提．二．填空題7．（2022?鹽湖區(qū)模擬）如圖是正方體的一種展開圖，則原正方體中與“真”所在面的對面所標的字是強．【易錯思路引導】根據(jù)正方體的表面展開圖找相對面的方法，同層隔一面判斷即可．【規(guī)范解答】解：原正方體中與“真”所在面的對面所標的字是強．故答案為：強．【考察注意點】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，熟練掌握根據(jù)正方體的表面展開圖找相對面的方法是解題的關(guān)鍵．8．（2021秋?高新區(qū)校級期末）將一張長30cm，寬20cm的長方形紙片的四個角上各剪一個同樣大小的正方形，然后把剩下的部分折成一個無蓋長方體形盒子．若設(shè)剪去的正方形的邊長為x，則制成的無蓋長方體盒子的容積為x（30﹣2x）（20﹣2x）cm3．（不需要化簡）【易錯思路引導】求得長方體盒子長為（30﹣2x）cm，寬為（20﹣2x）cm，高為xcm，利用長方體的體積計算公式列式即可．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意，長方體盒子長為（30﹣2x）cm，寬為（20﹣2x）cm，高為xcm，無蓋長方體盒子的容積為：x（30﹣2x）（20﹣2x）cm3．故答案為：x（30﹣2x）（20﹣2x）cm3．【考察注意點】此題考查展開圖折疊成幾何體、列代數(shù)式，掌握長方體的體積計算公式是解決問題的關(guān)鍵．9．（2021秋?鄧州市期末）如圖所示的A、B、C、D四個位置的某個正方形與實線部分的五個正方形組成的圖形，不能拼成正方體的是位置A．【易錯思路引導】由平面圖形的折疊及正方體的表面展開圖的特點解題．【規(guī)范解答】解：正方形A與實線部分的五個正方形組成的圖形出現(xiàn)重疊的面，所以不能圍成正方體．故答案為：A．【考察注意點】本題考查了展開圖折疊成幾何體，解題時勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形．注意：只要有“田”字格的展開圖都不是正方體的表面展開圖．10．（2021秋?順義區(qū)期末）如圖是一個沒有完全剪開的正方體，若再剪開一條棱，則得到的平面展開圖不可能是下列圖中的②、⑤．（填序號）【易錯思路引導】根據(jù)平面圖形的折疊及正方體的展開圖解題，注意分兩種情況剪開．【規(guī)范解答】解：沿后面下面剪開可得③，沿后面右面剪開可得①，沿下面右面剪開可得④．所以平面展開圖不可能是②、⑤．故答案為：②、⑤．【考察注意點】本題考查了正方體的表面展開圖．正方體共有11種表面展開圖，注意分情況討論．11．（2019秋?龍華區(qū)期末）已知圖1是圖2所示的小正方體的表面展開圖，小正方體從圖2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，這時小正方體朝上一面的字是信．【易錯思路引導】根據(jù)兩個面相隔一個面是對面，再根據(jù)翻轉(zhuǎn)的規(guī)律，可得答案．【規(guī)范解答】解：第一次翻轉(zhuǎn)誠在下面，第二次翻轉(zhuǎn)愛在下面，第三次翻轉(zhuǎn)國在下面，由圖1可得，信與國相對，這時小正方體朝上一面的字是信，故答案為：信．【考察注意點】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，兩個面相隔一個面是對面，注意翻轉(zhuǎn)的順序確定每次翻轉(zhuǎn)時下面是解題關(guān)鍵．12．（2018秋?江寧區(qū)期末）如圖，將一張長為17，寬為11的長方形紙片，去掉陰影部分，恰可以圍成一個寬是高2倍的長方體紙盒，這個長方體紙盒的容積是56．【易錯思路引導】設(shè)長為y，高為x，則寬為2x，依據(jù)圖中想數(shù)據(jù)列方程組，即可得到這個長方體紙盒的容積．【規(guī)范解答】解：設(shè)長為y，高為x，則寬為2x，依題意得，解得，∴這個長方體紙盒的容積是4×2×7＝56，故答案為：56．【考察注意點】本題主要考查了展開圖折成幾何體，解決問題的關(guān)鍵是通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，去理解和掌握幾何體的展開圖，要注意多從實物出發(fā)，然后再從給定的圖形中辨認它們能否折疊成給定的立體圖形．三．解答題13．（2021春?渠縣期末）小明將一個底面為正方形，高為n的無蓋紙盒展開，如圖（a）所示．（1）請你計算圖（a）所示的無蓋紙盒的表面展開圖的面積S1；（2）將陰影部分剪拼成一個長方形，如圖（b）所示，請你計算該長方形的面積S2．（3）比較（1）（2）的結(jié)果，你得出什么結(jié)論？【易錯思路引導】（1）大正方形的面積減去4個小正方形的面積的差，即為無蓋紙盒的表面展開圖的面積S1；（2）利用矩形的面積公式即可計算該長方形的面積S2；（3）根據(jù)（1）（2）表示的面積相等即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：（1）無蓋紙盒的表面展開圖的面積S1＝（3m）2﹣4n2＝9m2﹣4n2；（2）長方形的長是：3m+2n，寬是：3m﹣2n，∴長方形的面積S2＝（3m+2n）（3m﹣2n）；（3）由題可得，9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n）．【考察注意點】本題主要考查了平方差公式的幾何背景，表示出圖形陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．立體圖形的側(cè)面展開圖體現(xiàn)了平面圖形與立體圖形的聯(lián)系，立體圖形問題可以轉(zhuǎn)化為平面圖形問題解決．14．（2021秋?臨淄區(qū)期末）如圖是一個正方體紙盒的展開圖，請把﹣10，7，10，﹣2，﹣7，2分別填入六個正方形，使得按折成正方體后，相對面上的兩數(shù)互為相反數(shù)．【易錯思路引導】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點作答．【規(guī)范解答】解：如圖所示：【考察注意點】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．15．（2021秋?連南縣期中）張明同學設(shè)計了某個產(chǎn)品的正方體包裝盒如圖所示，由于粗心少設(shè)計了其中一個頂蓋，請你把它補上，使其成為一個兩面均有蓋的正方體盒子．（1）共有4種彌補方法；（2）任意畫出一種成功的設(shè)計圖（在圖中補充）；（3）在你幫忙設(shè)計成功的圖中，要把﹣8，10，﹣12，8，﹣10，12這些數(shù)字分別填入六個小正方形，使得折成的正方體相對面上的兩個數(shù)相加得0．（直接在圖中填上）【易錯思路引導】（1）根據(jù)正方體展開圖特點：中間4聯(lián)方，上下各一個，中間3聯(lián)方，上下各1，2，兩個靠一起，不能出“田”字，符合第一種情況，中間四個連在一起，上面一個，下面有四個位置，所以有四種彌補方法；（2）利用（1）的分析畫出圖形即可；（3）想象出折疊后的立方體，把數(shù)字填上即可，注意答案不唯一．【規(guī)范解答】解：（1）共有4種彌補方法，故答案為：4；（2）如圖所示：；（3）如圖所示：．【考察注意點】此題主要考查了立體圖形的展開圖，識記正方體展開圖的基本特征是解決問題的關(guān)鍵．16．（2018秋?黃浦區(qū)期末）生活中的易拉罐、電池、圓形的筆筒等都是一種叫做圓柱體的立體圖形（如圖1所示），當把它的上底面、下底面和側(cè)面展開后發(fā)現(xiàn)上底面和下底面是兩個大小相同的圓，側(cè)面是一個長方形（如圖2所示（1）一個圓柱體的鋁制易拉罐上、下兩個底面的半徑都是4cm，側(cè)面高為15cm，制作這樣一個易拉罐需要面積多大的鋁材？（不計接縫）．（2）如果一個圓柱體的鋁制裝飾品的高是5cm，而且側(cè)面的面積等于上、下兩個底面面積之和，那么底面的半徑是5cm．（3）一張正方形的鋁材邊長是40cm，可單獨用于制作（2）題中鋁制裝飾品的側(cè)面或單獨用于制作底面，若要使制成的側(cè)面和底面正好能成為一套完整的裝飾品，那么制作側(cè)面的鋁材張數(shù)與制作底面的鋁材張數(shù)之比為8：9．【易錯思路引導】（1）根據(jù)表面積＝側(cè)面積+底面積×2，根據(jù)側(cè)面積、底面積計算方法進行計算即可；（2）根據(jù)側(cè)面積＝底面積×2，設(shè)半徑，列方程求解即可；（3）求出利用一張正方形的紙單獨做底面的個數(shù)、單獨做側(cè)面的個數(shù)，然后做幾套的比即可．【規(guī)范解答】解：側(cè)面積+底面積×2得，2π×4×15+π×42×2＝152π（cm2），答：制作這樣一個易拉罐需要面積為152π平方厘米的鋁材；（2）設(shè)半徑為rcm，由題意得，2πr×5＝2πr2，解得，r＝5，故答案為：5．（3）用邊長是40cm正方形上，單獨作半徑為5cm的底面圓時，一張可以做16個圓形，8套，用邊長是40cm正方形上，單獨作底面半徑為5cm，高為5cm圓柱的側(cè)面時，一張可以做9個側(cè)面（8個橫的，1個豎的），因此做側(cè)面與底面張數(shù)的比為8：9．故答案為：8：9．【考察注意點】考查圓柱體的展開與折疊，理解底面、側(cè)面之間的關(guān)系和計算方法是解決問題的關(guān)鍵．17．（2018秋?義安區(qū)期末）如圖是一個正方體的展開圖，標注了字母A的面是正方體的正面，如果正方體的左面與右面所標注式子的值相等，求x的值．【易錯思路引導】利用正方體及其表面展開圖的特點，列出方程x﹣3＝3x﹣2解答即可．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意得，x﹣3＝3x﹣2，解得：x＝﹣．【考察注意點】本題考查了正方體相對兩個面上的文字．注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．18．（2019秋?蓮湖區(qū)期中）顧琪在學習了《展開與折疊》這一課后，明白了很多幾何體都能展開成平面圖形．于是她在家用剪刀展開了一個長方體紙盒，可是一不小心多剪了一條棱，把紙盒剪成了兩部分，即圖中的①和②．根據(jù)你所學的知識，回答下列問題：（1）顧琪總共剪開了8條棱．（2）現(xiàn)在顧琪想將剪斷的②重新粘貼到①上去，而且經(jīng)過折疊以后，仍然可以還原成一個長方體紙盒，你認為她應(yīng)該將剪斷的紙條粘貼到①中的什么位置？請你幫助她在①上補全．（3）已知顧琪剪下的長方體的長、寬、高分別是6cm、6cm、2cm，求這個長方體紙盒的體積．【易錯思路引導】（1）根據(jù)平面圖形得出剪開棱的條數(shù)，（2）根據(jù)長方體的展開圖的情況可知有兩種情況，（3）根據(jù)長方體的體積公式，可得答案．【規(guī)范解答】解（1）小明共剪了8條棱，故答案為：8．（2）如圖，四種情況．（3）6×6×2＝72cm3，這個長方體紙盒的體積是72cm3．【考察注意點】本題主要考查了幾何展開圖，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵．19．（2018秋?張店區(qū)期中）小明在學習了《展開與折疊》這一課后，明白了很多幾何體都能展開成平面圖形．于是他在家用剪刀展開了一個長方體紙盒，可是一不小心多剪了一條棱，把紙盒剪成了兩部分，即圖中的①和②．根據(jù)你所學的知識，回答下列問題：（1）小明總共剪開了8條棱．（2）現(xiàn)在小明想將剪斷的②重新粘貼到①上去，而且經(jīng)過折疊以后，仍然可以還原成一個長方體紙盒，你認為他應(yīng)該將剪斷的紙條粘貼到①中的什么位置？請你幫助小明在①上補全．（3）小明說：已知這個長方體紙盒高為20cm，底面是一個正方形，并且這個長方體紙盒所有棱長的和是880cm，求這個長方體紙盒的體積．【易錯思路引導】（1）根據(jù)長方體總共有12條棱，有4條棱未剪開，即可得出剪開的棱的條數(shù)；（2）根據(jù)長方體的展開圖的情況可知有4種情況；（3）設(shè)底面邊長為acm，根據(jù)棱長的和是880cm，列出方程可求出底面邊長，進而得到長方體紙盒的體積．【規(guī)范解答】解（1）由圖可得，小明共剪了8條棱，故答案為：8．（2）如圖，粘貼的位置有四種情況如下：（3）∵長方體紙盒的底面是一個正方形，∴可設(shè)底面邊長acm，∵長方體紙盒所有棱長的和是880cm，長方體紙盒高為20cm，∴4×20+8a＝880，解得a＝100，∴這個長方體紙盒的體積為：20×100×100＝200000立方厘米．【考察注意點】本題主要考查了幾何展開圖，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵．20．（2021秋?臨淄區(qū)期中）（1）如圖1四個幾何體分別是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5個面，9條棱，6個頂點，觀察圖形，并解答：四棱柱有6個面，12條棱，8個頂點；六棱柱有