15.1分式的概念和性質(zhì)（講練）-2022-2023學年八年級數(shù)學上冊重要考點(人教版)（原卷版）

15.1分式的概念和性質(zhì)分式的概念一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.注意：（1）區(qū)別：分式的分母中含有字母；分數(shù)的分子、分母中都不含字母.（2）聯(lián)系：由于分式中的字母可以表示不同的數(shù)，所以分式比分數(shù)更具有一般性；分數(shù)是分式中字母取特定值后的特殊情況.（3）但π表示圓周率，是一個常數(shù)，不是字母，如是整式而不能當作分式.（4）是分式，與有區(qū)別，是整式，即只看形式，不能看化簡的結(jié)果.題型1：分式的概念1.下列各式中，是分式的是（）A．?b2a B．a(chǎn)+b2 C．12【變式11】代數(shù)式xx+1，52x，3x3A．4 B．3 C．2 D．1【變式12】在代數(shù)式32+x，3+x2，32+x，A．2 B．3 C．4 D．5分式有意義，無意義或等于零的條件1.分式有意義的條件：分母不等于零.2.分式無意義的條件：分母等于零.3.分式的值為零的條件：分子等于零且分母不等于零.注意：（1）分式有無意義與分母有關(guān)但與分子無關(guān)，分式要明確其是否有意義，就必須分析、討論分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值為零.（2）本章中如果沒有特殊說明，所遇到的分式都是有意義的，也就是說分式中分母的值不等于零.（3）必須在分式有意義的前提下，才能討論分式的值.題型2：分式有意義、無意義的條件2.使分式x?32x?1有意義的x的取值范圍是()A．x≥12 B．x≤12 C．x＞12【變式21】分式x+1x(x?1【變式22】要使分式3x2+2題型3：分式值為0的條件3.使分式x2?1A．1 B．?1 C．±1 D．不存在【變式31】如果分式|mA．m≠2 B．m=±2 C．m=﹣2 D．m=2當x＝2時，分式x?kx+m的值為0，則k、m必須滿足的條件是【變式32】若分式2?|x|(x?1)(x?2)=0，則x=當x=時，分式x2已知分式x+12?x，當x取a時，該分式的值為0；當x取b時，分式無意義，則ab的值等于分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.注意：（1）基本性質(zhì)中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知條件中隱含著的條件，一般在解題過程中不另強調(diào)；M≠0是在解題過程中另外附加的條件，在運用分式的基本性質(zhì)時，必須重點強調(diào)M≠0這個前提條件.（2）在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)進行分式變形時，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值范圍有可能發(fā)生變化.例如：，在變形后，字母的取值范圍變大了.題型4：分式的基本性質(zhì)4.下列等式中，正確的是（）A．a(chǎn)b=a+1C．a(chǎn)b=a【變式41】如果把分式中x+y2xyA．擴大為原來的2倍 B．縮小為原來的1C．不變 D．擴大為原來的4倍【變式42】若把分式xyx+y的x和y都擴大3倍，那么分式xyA．擴大3倍 B．擴大9倍 C．擴大4倍 D．不變分式的變號法則對于分式中的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變；改變其中任何一個或三個，分式成為原分式的相反數(shù).分式的約分，最簡分式與分數(shù)的約分類似，利用分式的基本性質(zhì)，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.如果一個分式的分子與分母沒有相同的因式（1除外），那么這個分式叫做最簡分式.注意：根據(jù)分式的基本性質(zhì)有，.根據(jù)有理數(shù)除法的符號法則有.分式與互為相反數(shù).分式的符號法則在以后關(guān)于分式的運算中起著重要的作用.注意：（1）約分的實質(zhì)是將一個分式化成最簡分式，即約分后，分式的分子與分母再沒有公因式.（2）約分的關(guān)鍵是確定分式的分子與分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系數(shù)的最大公約數(shù)與相同因式最低次冪的積；當分式的分子、分母中含有多項式時，要先將其分解因式，使之轉(zhuǎn)化為分子與分母是不能再分解的因式積的形式，然后再進行約分.題型5：約分及最簡分式5.①分式?xx2A．?1x?y B．?1x+y C．②下列分式①b8a②3x2y9xy2③a+b【變式51】約分：（1）x58x2=（2）7m2n【變式52】化簡分式xy+xx2的結(jié)果是化簡x2?4x化簡分式x2?92x?6分式的通分與分數(shù)的通分類似，利用分式的基本性質(zhì)，使分式的分子和分母同乘適當?shù)恼剑桓淖兎质降闹?，把分母不同的分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.注意：（1）通分的關(guān)鍵是確定各分式的最簡公分母：一般取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母.（2）如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)與相同字母的最高次冪的乘積；如果各分母都是多項式，就要先把它們分解因式，然后再找最簡公分母.（3）約分和通分恰好是相反的兩種變形，約分是對一個分式而言，而通分則是針對多個分式而言.題型6：分式的通分6.把分式1x?y，1x+y，1A．x﹣y B．x+yC．x2﹣y2 D．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2）【變式61】12a2b與分式1x2分式1x2?y【變式62】通分：（1）2b3a2（2）2xx2（3）1x2?6x+9，題型7：根據(jù)分式的正負求字母取值范圍7.若分式2x?5x2A．x為任意數(shù) B．x<52 C．x>5【變式71】若分式2x?1xA．x為任意實數(shù) B．x<12 C．x>1【變式72】若分式x?1(x+1)2的值為負數(shù)，則x的取值范圍是題型8：化簡求值解方程組8.已知＝0，求的值．【變式81】已知xyz≠0，且滿足x+3y+7z＝0，3x﹣4y﹣18z＝0，求的值．【變式82】已知x2﹣3xy﹣4y2＝0（y≠0），試求代數(shù)式的值．題型9：化簡求值整體代入法9.已知x+y＝6，xy＝9，求的值．【變式91】（1）已知＝1，求的值；（2）已知+＝2，求的值．【變式92】已知＝2，求的值．題型10：化簡求值設(shè)輔助參數(shù)10.已知＝＝＝，且2b﹣d+5f≠0，求的值．【變式101】已知：a：b：c＝2：3：5，求分式的值．【變式102】已知：，求代數(shù)式的值．題型11：分式與規(guī)律性題11.觀察下面一列分式：，﹣，，﹣，…（1）計算這列分式中，一個分式與它前一個分式的商，你有什么發(fā)現(xiàn)？（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第n個分式．【變式111】觀察式子：，﹣，，﹣，…，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律知，第8個式子為．【變式112】觀察下列各式：2×＝2+；3×＝3+；4×＝4+…若n為正整數(shù)，用含n的等式表示上述規(guī)律．一、單選題1．若分式x?2x+3的值等于0，則xA．2 B．2 C．3 D．32．若把分式3xx+yA．擴大3倍 B．擴大9倍 C．不變 D．縮小3倍3．如果分式2xx+y中的x和yA．擴大2倍 B．擴大4倍C．縮小為原來的一半 D．不變4．下列變形從左到右一定正確的是（）A．a(chǎn)b=a?2b?2 B．a(chǎn)b=5．下列不屬于分式12x2A．（2x2﹣18）（4x+12） B．16（x﹣3）（x+3）C．4（x﹣3）（x+3） D．2（x+3）（x﹣3）二、填空題6．化簡：6ab37．若分式x3x+2的值為0，則x的值為8．若分式x?2x+1的值為0，則x=9．要使式子x+2x?1有意義，則x的取值范圍是10．當x時，分式|x|?1